atps de calculo III- Completo

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Etapa 3
Aula-tema: Cálculo de Área.
Passo 1
O Teorema Fundamental do Cálculo relaciona o uso de derivadas e integrais, encontramos o conceito geral que descreve a relação intrínseca entre a integração e derivação, sendo elas operações inversas entre as mesmas para a aplicação de ambas no cálculo de área, mostrando-se sua importância na pesquisa e desenvolvimento científico.
O cálculo de área se dá através da integração de uma função representativa (curva) da qual se quer descobrir a área sob a mesma em pontos quaisquer ou em toda a continuidade da função. Assim, seja uma função 𝑓(𝑥) que representa uma curva no gráfico e se quer descobrir a área sob a mesma em dados pontos 𝑎 e 𝑏, tomamos 𝑓(𝑥) em cada ponto da representação como a altura em cada ponto de 𝑥 ao longo do campo de cálculo. Disto, utilizando-se do conceito de limite, e representando o cálculo conhecido da área de um retângulo cuja altura é 𝑓(𝑥) e que cuja largura é ∆𝑥 compreendemos a área total sob uma curva como sendo a área desconhecida da mesma, mais a área dada pelo erro na apro-ximação do cálculo pela área do retângulo. Assim, se aumentarmos o número de retângulos, conse-quentemente o valor de ∆𝑥 será tão próximo de 0 que representará uma porcentagem mínima do erro de aproximação e como a área total é a soma de todas as áreas dos retângulos que compõe o cálculo, então basta-nos tender o número de retângulos ao infinito para que tomemos a exatidão do cálculo da área sob a curva da somatória de todas as áreas dos retângulos que a irão compor. 
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http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_integrais.htm
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAh54AI/calculo-conceitos-historia
 Passo 2 
 Figura 1 Figura 2
Da Figura 1, podemos calcular a área sob o gráfico calculando primeira a área definida entre dois pontos, sendo eles ena integral , onde obtemos não a área definida pela figura, mas parte dela, obtemos, no entanto, a área sob o gráfico nos pontos em que a . Trabalhando a integral,
Agora, devemos calcular a área formada pelo quadrado da figura de pontos ,, e . Assim, determinamos a área pela multiplicação dos lados do quadrado, sendo assim Então, a área total sob o gráfico definida entre os pontos , e é de 
Disto, podemos tomar a área que está fora do nosso cálculo como a área de um triângulo-retângulo. Assim, temos duas áreas que estão fora de cálculo, sendo elas: Área 1, de pontos , e , e Área 2, de pontos , e . Então, para o cálculo da Área 1 e 2, fazemos , ou seja, a metade do resultado da multiplicação da base vs a altura do triângulo-retângulo descrito. 
Para a Área 1:
Para a Área 2:
Deste modo, desconsiderando as áreas 1 e 2 do cálculo da área total encontrada como , podemos encontrar a área descrita pela figura. Fazemos então:
Disto, determinamos que a área descrita pela Figura 1 é de , condizente com o que se afirma no Passo.
Para a Figura 2, consideramos a o cálculo das áreas sob as curvas e. Como se trata da representação de áreas com os mesmos limites de integração e que em números representam desigualdades,mas como trabalha-se com o conceito de área, não podemos dá-las como negativas, assim as somamos.
 Então concluímos que a afirmação dada pelo Passo é contrária a solução encontrada, assim, a área dada pelo Passo na Figura 2 é falsa.
Pode-se ser demonstrado matematicamente através de processos de integração sucessivos para cada quadrante do gráfico apresentado.
Fazendo-o para o 1º Quadrante, no espaço delimitado, em a.
Como temos uma limitação para a área quando , devemos calcular a área a ser formada por um retângulo no ponto e . Assim, para o ponto , como devemos determinar o valor de quando , atribuímos este valor em na equação , ficando . Em consequência, a área dada por tal retângulo será , ou seja, Agora, basta-nos calcular a área sob a curva de . Para tal, a integramos.
Assim, a área total sob o gráfico é 
Para o 2º Quadrante, limitado em e, onde prevalece a lei , então a área sob a curva é no intervalo e .
Assim, a área sob a curva é dada em:
E a área total sob a curva é 
Agora, para o 3º Quadrante, limitado em e, temos a lei de formação .
Disto, a área sob a curva no intervalo e é.
Assim, a área total descrita é igual a área sob a curva mais a área do retângulo formado, cujo valor é de , deste modo 
Para o 4º quadrante, delimitado em e, temos:
A área sob a curva obedece a lei , onde aparenta todos os valores numericamente iguais, mas negativos, mas do cálculo de área, dá-se o valo positivo e igual à da área 1.
Assim sendo, o mesmo vale para o 2º e 3º quadrante, que descrevem a mesma situação para com a solução.
Para as alternativas em que pode-se afirmar:
A Figura 1 é verdadeira e a Figura 2 é falsa.
Alternativa c. 
Passo 3
Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.
Número associado: 8
Passo 4
Relatório
 Figura 1 Figura 2
Da Figura 1, podemos calcular a área sob o gráfico calculando primeira a área definida entre dois pontos, sendo eles ena integral , onde obtemos não a área definida pela figura, mas parte dela, obtemos, no entanto, a área sob o gráfico nos pontos em que a . Trabalhando a integral,
Agora, devemos calcular a área formada pelo quadrado da figura de pontos ,, e . Assim, determinamos a área pela multiplicação dos lados do quadrado, sendo assim Então, a área total sob o gráfico definida entre os pontos , e é de 
Disto, podemos tomar a área que está fora do nosso cálculo como a área de um triângulo-retângulo. Assim, temos duas áreas que estão fora de cálculo, sendo elas: Área 1, de pontos , e , e Área 2, de pontos , e . Então, para o cálculo da Área 1 e 2, fazemos , ou seja, a metade do resultado da multiplicação da base vs a altura do triângulo-retângulo descrito. 
Para a Área 1:
Para a Área 2:
Deste modo, desconsiderando as áreas 1 e 2 do cálculo da área total encontrada como , podemos encontrar a área descrita pela figura. Fazemos então:
Disto, determinamos que a área descrita pela Figura 1 é de , condizente com o que se afirma no Passo.
Para a Figura 2, consideramos a o cálculo das áreas sob as curvas e. Como se trata da representação de áreas com os mesmos limites de integração e que em números representam desigualdades,mas como trabalha-se com o conceito de área, não podemos dá-las como negativas, assim as somamos.
 Então concluímos que a afirmação dada pelo Passo é contrária a solução encontrada, assim, a área dada pelo Passo na Figura 2 é falsa.
Pode-se ser demonstrado matematicamente através de processos de integração sucessivos para cada quadrante do gráfico apresentado.
Fazendo-o para o 1º Quadrante, no espaço delimitado, em a.
Como temos uma limitação para a área quando , devemos calcular a área a ser formada por um retângulo no ponto e . Assim, para o ponto , como devemos determinar o valor de quando , atribuímos este valor em na equação , ficando . Em consequência, a área dada por tal retângulo será , ou seja, Agora, basta-nos calcular a área sob a curva de . Para tal, a integramos.
Assim, a área total sob o gráfico é 
Para o 2º Quadrante, limitado em e, onde prevalece a lei , então a área sob a curva é no intervalo e .
Assim, a área sob a curva é dada em:
E a área total sob a curva é 
Agora, para o 3º Quadrante, limitado em e, temos a lei de formação .
Disto, a área sob a curva no intervalo e é.
Assim, a área total descrita é igual a área sob a curva mais a área do retângulo formado, cujo valor é de , deste modo 
Para o 4º quadrante, delimitado em e, temos:
A área soba curva obedece a lei , onde aparenta todos os valores numericamente iguais, mas negativos, mas do cálculo de área, dá-se o valo positivo e igual à da área 1.
Assim sendo, o mesmo vale para o 2º e 3º quadrante, que descrevem a mesma situação para com a solução.
Para as alternativas em que pode-se afirmar:
A Figura 1 é verdadeira e a Figura 2 é falsa.
Alternativa c. 
Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.
Número associado: 8