Integral Definida

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CAPÍTULO 5 
 
 
1. INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
O problema da área 
 Dada uma função f contínua e não negativa em um intervalo [a, b], encontre a área da 
região gerada entre o gráfico de f e o intervalo [a, b] no eixo x. 
 
 
 
Método dos retângulos 
 
 Uma abordagem ao problema da área, utilizando a ideia da exasutão de Arquimedes 
é a utilização de retângulos na determinação da região abaixo da função f. Considere as 
seguintes ações: 
• Divida o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais e em cada um deles construir um retângulo 
que se estende desde o eixo x até algum ponto de y = f(x) acima do subintervalo. 
• Para cada n, a área total dos retângulos pode ser vista como um aproximação da área exata 
sob a curva acima do intervalo [a, b]. É facilmente percebido que à medida qua n cresce as 
aproximações ficam cada vez melhores. Portanto, se A é a área exata sob a curva e An é a 
aproximação da área usando n retângulos, então 
 
n
n
A limA
+→
= . 
 
 
 
Se subdividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais, então temos que a medida 
da base de cada retângulo será 
b a
x
n
−
 = . Construindo os retângulos de tal modo que 
1( )f c 
seja a altura do retângulo no 1º subintervalo, 
2( )f c seja a altura do retângulo no 2º 
subintervalo, e assim por diante, até que ( )nf c seja a altura do retângulo no n-ésimo 
subintervalo, então temos os retângulos com áreas equivalentes a 
1( )f c x , 2( )f c x , ..., 
( )nf c x . 
A união dos n retângulos forma uma região Rn que pode ser considerada como uma 
aproximação da área A da região R, ou seja: 
 
1 2( ) ( ) ( )nA f c x f c x f c x=  +  +  . 
 
Tal notação pode ser representada mais adequadamente por um somatório, a saber: 
1
( )
n
i
i
A f c x
=
=  . 
É possível que não seja conveniente subdividir a região abaixo da curva que desejamos 
calcular a área em retângulos de mesmo comprimento. Consideremos que, nesse caso, uma 
das partições seja maior ou igual a outra, como sugere a figura abaixo: 
 
 
 A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn, é dada por: 
 
An = f(c1)x1 + f(c2)x2 + ... + f(cn)xn = 
1
( )
n
i i
i
f c x
=
 . 
 
Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x). 
 
 Podemos observar que a medida que n cresce muito e cada xi , i = 1, 2, ..., n, torna-
se muito pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente 
entendemos como área de A. 
 Portanto, se y = f(x) é uma função contínua, não-negativa em [a,b], a área sob a curva 
y = f(x), de a até b, é definida por 
 0
1
lim ( )
i
n
i i
máx x
i
A f c x
 →
=
=  
 
onde para cada i = 1, 2, ..., n, ci é um ponto arbitrário do intervalo [xi –1, xi]. 
 
 
Integral Definida 
 
 A integral definida está associada ao limite da definição acima. Ela nasceu com a 
formalização matemática dos problemas de áreas. 
Se f está definida em um intervalo fechado [a,b] e o limite de uma soma de Riemann de f 
existe, dizemos que f é integrável em [a,b] e denotamos o limite por 
 
 0
1
lim ( ) ( )
i
bn
i i
máx x
i a
A f c x f x dx
 →
=
=  =  . 
 
 O limite é a integral definida de f de a até b. O número a é o limite inferior de 
integração e b é o limite superior. 
 É importante observar que integrais definidas e integrais indefinidas são coisas 
diferentes. Uma integral definida é um número, enquanto uma integral indefinida é uma 
função ou uma família de funções. 
 Uma condição suficiente para que f seja integrável em [a,b] é dada no teorema abaixo. 
 
Teorema: 
Se uma função f é contínua em um intervalo fechado [a,b], então f é integrável em [a,b]. 
 
Propriedades da Integral Definida 
• Se f é integrável nos três intervalos determinados por a, b e c , então: 
( ) ( ) ( ) 
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +   . 
 
• Se f e g são integráveis em [a,b] e k é uma constante, então as seguintes propriedades são 
verdadeiras: 
(a) ( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=  (b)  ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx =    . 
 
• Se f e g são contínuas no intervalo [a,b] e 0 ( ) ( )f x g x  para bxa  , então as seguintes 
propriedades são verdadeiras: 
(a) 0 ( )
b
a
f x dx  (b) ( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx  . 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 
 Seja f uma função contínua e não negativa em um intervalo [a, b]. Nesse caso, a área 
A sob o gráfico de f e acima do intervalo [a, b] é representada por: 
 
( )
b
a
A f x dx=  . 
 
Sabemos que: 
• '( ) ( )A x f x= 
• ( ) 0A a = A área sob a curva de a até a é a área acima de um único ponto e, portanto, é zero. 
• ( )A b A= A área sob a curva de a até b é A. 
 
 
 
 
Teorema: Se f for contínua em [a, b] e F for uma antiderivada de f em [a, b], então: 
 
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= − . 
 
Temos agora uma maneira de calcular a integral definida desde que possamos encontrar uma 
antiderivada de f. 
Ao aplicar este teorema, a notação  ( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = − é bastante útil. 
 
Finalmente, observamos que a constante de integração C pode ser retirada da antiderivada, 
já que 
     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x C F b C F a C F b F a= + = + − + = − . 
 
Exemplos: 
1) Determine a área da região abaixo através do conceito de integral definida. Após, compare 
com o valor da área obtida através das fórmulas de geometria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule 
2
0
( 1)x dx− e 
1
0
( 1)x dx− . 
 
 
 
 
 
3) Determine 
2
4
1
 dx
x
−
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Calcular a área da região limitada pelas curvas 2 , 0, 2, 0y x x x y= − = = = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Calcule a área da região compreendida entre as curvas 
2y x= e 2y x= − . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Calcule 
1
2
0
(3 5 )
dx
x−
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Determine a área total entre a curva 
21y x= − e o eixo x sobre o intervalo [0, 2]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
 
Lista 6: Integral definida 
 
Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral 
usando uma fórmula apropriada de Geometria onde for necessário. 
 
1) (a) 
4
1
xdx
−
= (b) 
5
0
2dx = 
 
(c) 
0
cos ( )x dx

= (d) 
2
1
|2 3|x dx
−
− = 
 
 
2) Em cada parte, calcule a integral, sabendo que 
| 2 | , se 0
( )
2 , se 0
x x
f x
x
− 
= 

. 
 
(a) 
0
2
( )f x dx
−
= 
 
(b) 
2
2
( )f x dx
−
= 
 
(c) 
6
0
( )f x dx = 
 
(d) 
6
4
( )f x dx
−
= 
 
3) Obtenha 
2
1
[ ( ) 2g( )]f x x dx
−
+ se 
2
1
( ) 5f x dx
−
= e 
2
1
g( ) 3x dx
−
= − . 
 
 
4) Determine: 
 
(a) 
3
1
(4 5 ) dx x
−
− = 
 
(b) ( )
1
2
0
2 1x x dx+ − = 
 
 
 
5) Calcule as integrais definidas: 
 
(a) 
1
2
2
( 6 12)x x dx
−
− + = 
 
(b) 
4
2
1
4
dx
x
= 
 
(c) 
9
4
2x xdx = 
 
(d) 
/ 2
/ 2
sen( )d


 
−
= 
 
(e) 
/ 4
/ 4
cos( )d


 
−
= 
 
(f) 
3
ln 2
5 xe dx = 
 
(g) 
1/ 2
2
0
 
1-
dx
x
= 
 
(h) 
2
2
2
 
1
dx
x x
=
−
 
 
(i) 
4
1
1
 3 t dt
t
 
− = 
 
 
 
(j) 
/ 2
2
/ 6
2
sen ( )
x dx
x


 
+ = 
 
 
 
 
6) Encontre a área abaixo da curva 
2 1y x= + e acima do intervalo [0, 3]. Faça um esboço da 
região. 
 
 
7) Encontre a área abaixo da curva 3 ( )y sen x= e acima do intervalo [0, 2/3]. Faça um esboço 
da região. 
 
8) Esboce a curva e encontre a área total entre a curva e o intervalo dado do eixo x. 
 
 
(a) 
2y x x= − [0, 2] 
 
(b) 1
xy e= − [-1, 1] 
 
Respostas: 
 
1. (a) 
 
 
 (b) 
 
 
 (c) 
 
 
 
 
(d) 
 
 
 
2. (a) 4 
 (b) 6 
 (c) 10 
 (d) 18 
3. 
2
1
[ ( ) 2g( )]f x x dx
−
+ = -14. (a) -4 
 (b) 
1
2
+
 
 
 
5. (a) 48 
 (b) 3 
 (c) 
5
844
 
 (d) 0 
 (e) 2 
 (f) 35 10e − 
 (g) 
4

 
 (h) 
12

 
 (i) -12 
 (j) 
2
2 3
9

+ 
 
 
6. 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
 
 
 
 
8. (a) 
 
 
 
 (b)