CONJUNTOS NUMÉRICOS PISM I

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// MATEMÁTICA 
Bruno C. 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (ℕ) 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
Exemplos e Propriedades 
 
𝐀𝐬𝐬𝐨𝐜𝐢𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚
𝐂𝐨𝐦𝐮𝐭𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚
𝐃𝐢𝐬𝐭𝐫𝐢𝐛𝐮𝐭𝐢𝐯𝐚
𝐄𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐍𝐞𝐮𝐭𝐫𝐨
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (ℤ) 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
• Exemplos 
 
• Propriedade da Simetria 
 
• Números Inteiros na Reta Numérica 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (ℤ) 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
Exemplos 
Operações com inteiros 
 
1) 𝟑𝟎 − 𝟑𝟔 5) 𝟓𝟎 9) 𝟑−𝟏 13) −𝟒 
2) −𝟏𝟖 + 𝟐𝟑 6) 𝟏𝟎𝟏 10) 𝟓−𝟐 14) 𝟐𝟕
𝟑
 
3) 𝟖. −𝟑 7) (−𝟐)𝟑 11) (−𝟒)−𝟑 15) −𝟔𝟒
𝟑
 
4) −𝟐 . −𝟒 8) (−𝟑)𝟒 12) 𝟏𝟔 16) 𝟓
𝟑
 
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
1ª) Multiplicação de potências de mesma base 
 
2ª) Divisão de potências de mesma base 
 
3ª) Potência de potência 
 
Exemplos 
a) 𝟑𝟐. 𝟑𝟓 
b) 
𝟓𝟒
𝟓𝟐
 
c) (𝟐𝟑)𝟒 
MÚLTIPLOS E DIVISORES 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
Os múltiplos de um número são encontrados após a multiplicação desse 
número por qualquer número inteiro. E é representado por M(a) ou 𝐌𝐚. 
 
Os divisores de um número são os números inteiros divisíveis por esse 
número. Ou seja, deixam resto zero. E é representado por D(a) ou 𝐃𝐚. 
 
Critérios de Divisibilidade 
Exemplos 
Determinar: 
 
D(2) D(-3) D(0) 
 
M(2) M(-3) M(0) 
NÚMEROS PRIMOS 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
Dizemos que um número inteiro p é primo, quando 𝐩 ≠ 𝟎, 𝐩 ≠ 𝟏 𝐞 𝐩 ≠ −𝟏. 
E 𝐃 𝐩 = 𝟏,−𝟏, 𝐩,−𝐩 . 
 
Exemplos 
 
2, -2, 3, -3, 5, -5, 7, -7 são números primos. 
QUESTÃO 01 
Descreva os seguintes conjuntos: 
 
a) D(6) 
 
b) D(-18) 
 
c) D(-24) ∩ D(16) 
 
d) M(4) 
 
e) M(10) 
 
f) M(-9) ∩ M(6) 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
GABARITO: 
a) ±𝟏,±𝟐,±𝟑,±𝟔 
b) ±𝟏,±𝟐,±𝟑,±𝟔,±𝟗,±𝟏𝟖 
c) ±𝟏,±𝟐,±𝟒,±𝟖 
d) 𝟎,±𝟒,±𝟖,±𝟏𝟐,±𝟏𝟔,… 
e) 𝟎,±𝟏𝟎,±𝟐𝟎,±𝟑𝟎,… 
f) ±𝟏𝟖 
QUESTÃO 02 
Quais dos seguintes números inteiros não são primos: 
12, -13, 0, 5, 31, -1, 2, -4, 1, 49 e 53? 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
GABARITO: 
12, 0, -1, -4, 1, 49 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
Exemplos 
 
 
 
*Símbolos importantes: 
𝐐∗ = 𝐜𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐨𝐬 𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐢𝐬 𝐧ã𝐨 𝐧𝐮𝐥𝐨𝐬.
𝐐+ = 𝐜𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐨𝐬 𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐢𝐬 𝐧ã𝐨 𝐧𝐞𝐠𝐚𝐭𝐢𝐯𝐨𝐬.
𝐐− = 𝐜𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐨𝐬 𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐢𝐬 𝐧ã𝐨 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐭𝐢𝐯𝐨𝐬.
𝐐+
∗ = 𝐜𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐨𝐬 𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐢𝐬 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐭𝐢𝐯𝐨𝐬.
𝐐−
∗ = 𝐜𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐨𝐬 𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐢𝐬 𝐧𝐞𝐠𝐚𝐭𝐢𝐯𝐨𝐬
 
 
*válidos para todos os conjuntos numéricos. 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
 
• Inverso multiplicativo das frações. 
 
𝐚
𝐛
∙
𝐛
𝐚
= 𝟏 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
Operações com Racionais 
 
1) 
𝟑
𝟓
−
𝟐
𝟑
 
2) −
𝟏
𝟐
− −𝟑 
3) −𝟎, 𝟑 −
𝟏
𝟒
+
𝟑
𝟓
 
4) 𝟏 −
𝟖
𝟑
 
5) −𝟎, 𝟐 +
𝟏
𝟐
 
 
6) 
𝟑
𝟓
∙
𝟐
𝟑
 
7) −
𝟒
𝟏𝟓
∙ 𝟑 
8) 
𝟖
𝟓
: −
𝟐
𝟏𝟓
 
9) 𝟒:
𝟐
𝟑
 
10) 
𝟑
𝟓
: 𝟐 
11) 𝟎, 𝟑𝟐 + 𝟏, 𝟒 
12) 𝟑, 𝟕𝟐𝟓 − 𝟐 
13) 𝟒, 𝟐𝟔𝟑 ∙ 𝟐, 𝟑 
14) 𝟔, 𝟐𝟓 ∶ 𝟎, 𝟓 
15) 𝟐𝟕
𝟏
𝟑 
16) 𝟐𝟓
𝟏
𝟐 
17) 𝟏𝟎
𝟐
𝟓 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
Representação decimal das frações (vice versa) 
 
1) 
𝟐𝟑
𝟏𝟎
 5) 𝟎, 𝟓𝟓𝟓… 
2) 
𝟏
𝟒
 6) 𝟐, 𝟏𝟑 
3) 
𝟓
𝟗
 7) 𝟏, 𝟑𝟐𝟓 
4) 𝟎, 𝟒𝟑 
QUESTÃO 03 
Represente sobre uma reta orientada os seguintes números racionais: 
 
− 𝟐 , −
𝟑
𝟐
, − 𝟏 , −
𝟏
𝟒
, 𝟎 ,
𝟐
𝟑
, 𝟏 ,
𝟒
𝟑
, 𝟐 ,
𝟕
𝟑
,
𝟔
𝟐
 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
QUESTÃO 04 
Coloque na forma de uma fração irredutível os seguintes números 
racionais: 
a) 0,4 f) 5,423423423... k) -0,58333... 
b) 0,444... g) 0,666... l) 1,5818181... 
c) -0,32 h) 1,555... m) 0,23555... 
d) 0,323232... i) -15,1333... n) 3,5666... 
e) 54,2 j) 2,3262626... o) 15,3444... 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
GABARITO: 
a) 2/5 j) 2303/990 
b) 4/9 k) -7/12 
c) -8/25 l) 87/55 
d) 32/99 m) 53/225 
e) 271/5 n) 107/30 
f) 602/111 o) 1381/90 
g) 2/3 
h) 14/9 
i) -227/15 
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (ɪ) 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
Saber reconhecer números irracionais. 
 
Exemplos 
 
1) 𝟎, 𝟐𝟏𝟐𝟏𝟏𝟐𝟏𝟏𝟏… 
2) 𝟏, 𝟐𝟎𝟑𝟎𝟒𝟎… 
3) 𝟐 
4) 𝟓 
5) 𝛑 
OPERAÇÕES COM IRRACIONAIS 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
 EXTRAÇÃO DE FATORES DO RADICANDO 
 
Exemplos 
 
1) 𝟒𝟖 2) 𝟕𝟐𝟎 3) 𝟏𝟐𝟎𝟎 4) 𝟑𝟕𝟓
𝟑
 5) 𝟐𝟓𝟎
𝟑
 
 
 INTRODUÇÃO DE FATORES NO RADICANDO 
 
Exemplos 
 
1) 𝟏𝟎 𝟐 2) 𝟐 𝟔
𝟑
 3) 𝟐𝟎 𝟑 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
 ADIÇÃO ALGÉBRICA DE RADICAIS 
 
Exemplos 
 
1) 𝟕 𝟏𝟎 + 𝟗 𝟏𝟎 − 𝟏𝟒 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎 
2) 𝟗 𝟐 + 𝟔 𝟐 − 𝟏𝟎 𝟐 + 𝟐 − 𝟏𝟏 𝟐 
3) 𝟔 𝟓 − 𝟐 𝟕 − 𝟓 𝟓 + 𝟑 𝟕 
4) 𝟏𝟖 + 𝟓𝟎 
5) 𝟏𝟐𝟓𝒂𝟒𝒙
𝟑
− 𝟐𝟕𝒂𝟒𝒙
𝟑
+ 𝒂 𝟖𝒂𝒙
𝟑
 
6) 
𝟕𝟓+ 𝟏𝟐
𝟓𝟖𝟖
 
7) 𝟓𝟎𝟎 + 𝟐𝟎𝟎 + 𝟖 + 𝟒𝟓 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
MULTIPLICAÇÃO DE RADICAIS DE MESMO ÍNDICE 
 
Exemplos 
 
1) 𝟐 . 𝟏𝟎 
2) 𝟕 𝟔 . 𝟐 𝟖 
3) 𝟑 + 𝟕 . 𝟏 − 𝟕 
4) 𝟓 + 𝟐 𝟐 . 𝟓 − 𝟐 
5) 𝟓 + 𝟑
𝟐
 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
 
Exemplos 
 
1) 
𝟏
𝟏𝟎
 4) 
𝟐
𝟒+ 𝟏𝟎
 
2) 
𝟐
𝟑 𝟔
 5) 
𝟏
𝟓+ 𝟑
 
3) 
𝟑
𝟓
 6) 
𝟕− 𝟓
𝟕+ 𝟓
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (ℝ) 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
É a união entre o conjunto dos números racionais e do conjunto dos 
irracionais. 
 
 𝐐 ∪ ɪ = ℝ 
 
 𝐐 ∩ ɪ = ∅ 
QUESTÃO 05 
Julgue as afirmações em V(verdadeira) ou F(falsa): 
 
a) 0 ∈ N f) 1,57329... ∈ Q 
b) 0 ∉ Z g) 𝟐 ∈ Q 
c) -10 ∉ Z h) 𝟓 ∈ ɪ 
d) 3/4 ∈ Q i) -3,14159... ∈ ℝ 
e) (1 - 5/6) ∉ Q 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
GABARITO: 
a) V 
b) F 
c) F 
d) V 
e) F 
f) F 
g) F 
h) V 
i) V 
QUESTÃO 06 
Classifique cada sentença em verdadeira ou falsa: 
 
a) O conjunto dos números naturais é finito. 
 
b) A soma de dois números irracionais é sempre um número 
irracional. 
 
c) O produto de dois números irracionais pode ser um número 
racional. 
 
d) A soma de dois números racionais é sempre um número racional. 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
GABARITO: 
a) F 
b) F 
c) V 
d) V 
QUESTÃO 07 
Sejam x um número racional qualquer e y um número irracional 
qualquer. Classifique cada sentença em verdadeira ou falsa utilizando 
exemplos: 
 
a) 𝟑 ∙ 𝐱 pode ser racional. 
 
b) 𝐲𝟐 é sempre irracional. 
 
c) 𝐲𝟑 nem sempre é irracional. 
 
d) 𝐱 é sempre um número real. 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
GABARITO: 
a) V (x valendo zero) 
b) F (y sendo uma raiz quadrada 
irracional) 
c) V (Y sendo uma raiz cúbica 
irracional) 
d) F (x sendo um número negativo) 
QUESTÃO 08 
Seja H o conjunto 𝐧 ∈ 𝐈𝐍 𝟐 ≤ 𝐧 ≤ 𝟒𝟎, 𝐧 𝐦ú𝐥𝐭𝐢𝐩𝐥𝐨 𝐝𝐞 𝟐, 𝐞 𝐧ã𝐨 𝐦ú𝐥𝐭𝐢𝐩𝐥𝐨 𝐝𝐞 𝟑}. 
Qual é o número de elementos de H? 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
GABARITO: 
14 elementos 
QUESTÃO 09 
Calcule o valor de: 
 
a) 𝟎, 𝟗𝟗𝟗…+ 
𝟏
𝟓
+
𝟏
𝟑
𝟑
𝟓
−
𝟏
𝟏𝟓
 
 
 
b) 𝟎, 𝟏𝟏𝟏…+
𝟏𝟒
𝟎,𝟕𝟕𝟕…
 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
GABARITO: 
a) 2 
b) 55/3 
QUESTÃO 10 
Disponha em ordem crescente os seguintes números reais: 
 
𝟎, 𝟕 ; 𝟎, 𝟕𝟏 ; 𝟎, 𝟕 ; 
𝟑
𝟒
 ; 
𝟐
𝟐
 ; 
𝟏𝟖
𝟐𝟓
 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
GABARITO: 
0,7 ; 
𝟐
𝟐
 ; 𝟎, 𝟕𝟏 ; 
𝟏𝟖
𝟐𝟓
 ; 
𝟑
𝟒
 ; 𝟎, 𝟕 
QUESTÃO 11 
Represente sobre uma reta orientada os números: 
 
−𝟏 ; −
𝟏𝟎
𝟑
 ; 
𝟏
𝟏𝟎
 ; −
𝟑
𝟏𝟎
 ; 
𝟓
𝟐
 ; 
𝟐
𝟓
 ; 𝟔 ; −𝟎, 𝟑 
Conjuntos Numéricos | MatemáticaGABARITO: 
−
𝟏𝟎
𝟑
 ; -1 ; −
𝟑
𝟏𝟎
 ; −𝟎, 𝟑 ; 
𝟏
𝟏𝟎
 ; 
𝟐
𝟓
 ; 𝟔 ; 
𝟓
𝟐
 
QUESTÃO 12 
O número 
𝟔
𝟑
 é o dobro de qual número real? 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
GABARITO: 
𝟔
𝟔
 
QUESTÃO 13 
Seja 
𝒑
𝒒
 a fração geratriz da dízima periódica 𝟎, 𝟓𝟔. A fração irredutível 
equivalente a 
𝟐𝒑
𝟑𝒒
 representa uma dízima periódica? 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
GABARITO: 
Sim 
QUESTÃO 14 
Desenvolva os produtos notáveis: 
 
a) 𝟏 + 𝟑
𝟐
 
 
 
b) 𝟐 − 𝟐
𝟐
 
 
 
c) 𝟑 + 𝟐 𝟑 − 𝟐 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
GABARITO: 
a) 𝟐 𝟐 + 𝟑 
b) 𝟐 𝟑 − 𝟐 
c) 7 
QUESTÃO 15 
Sendo 𝐲 =
𝟏
𝟎,𝟏
 e 𝐱 =
𝟐
𝟎,𝟏
, mostre que 𝐀 =
𝐱
𝐲
 e 𝐁 =
𝐱(𝐲−𝟏)
𝐲
 são irracionais, 
mas que 𝐀 ∙ 𝐁 é racional. 
Conjuntos Numéricos | Matemática 
GABARITO: 
A= 𝟐 e B=𝟑 𝟐, portanto são 
irracionais. 
 
A.B=6, que é racional.