Prévia do material em texto

Sistemas de controle
Capítulo 1 – INTRODUÇÃO 
Introdução
• Leitura recomendada → exemplos do livro “engenharia de controle moderno”
• Teoria da realimentação → uma informação da saída é reutilizada na entrada
◦ Usada além do sistema de controle
◦ exemplo ar condicionado → ar fica sendo coletado e repassado a 
informação até que se atinja a temperatura desejada
• Entrada → ações
• Processo (planta) → modifica a entrada (trabalho) para que saída saia como o 
solicitado
• Saída → reações
• Estado → sistema atual do sistema 
• Variáveis de estado → exemplo: desligado ou ligado
• Sistema estático → sistema que se mantêm constante em relação ao tempo
• Sistema dinâmico → sistema que se adapta conforme o tempo
• planta → todo processo que é controlado por um conjunto de sistemas
◦ Exemplos de sistemas em uma turbina eólica → Resfriamento, Gerador, 
Freios, Interconexão, Operação, Iluminação
◦ sistema de controle é dividido em processos e subsistemas
• Perturbação → ação não desejada que afeta a planta, e consequentemente, a 
saída
◦ Exemplo na turbina eólica → falta de água para o sistema de resfriamento 
que desencadeia efeitos negativos na turbina
• Erro na resposta → Exemplo: elevador não ficando no mesmo nível do andar
• Vantagens dos sistemas de controle
◦ Amplificação de potência → Aumento da potencia elétrica necessária
▪ Exemplo → Antena de radar, posicionada pela rotação de baixa potência 
de um botão de girar na entrada, requer uma grande quantidade de 
potência para a rotação de sua saída. Um sistema de controle pode 
produzir a amplificação de potência, ou ganho de potência, necessária. 
◦ Controle remoto → mais conforto e segurança
◦ Conveniência da forma de entrada → propiciar conveniência alterando a 
forma da entrada 
▪ Exemplo → Em um sistema de controle de temperatura a entrada é uma 
posição em um termostato, a saída é o calor. (entrada de posição 
conveniente produz uma saída térmica desejada)
◦ Compensação por perturbações → saída deve ser a mesma, mesmo com a 
presença de perturbações, a partir de compensações
Configurações de sistemas
• Sistemas/controladores em malha aberta → não pode realizar compensações 
para quaisquer perturbações que sejam adicionadas ao sinal de acionamento 
do controlador (não utiliza da saída para atuar)
◦ Ar condicionado resfria mesmo após atingir a temperatura desejada
◦ A torradeira não mede a cor da torrada; ela não efetua correções pelo fato 
de a torrada ser de pão de centeio, pão branco ou pão sourdough, e nem 
efetua correções pelo fato de as torradas terem espessuras diferentes. 
• Controle realimentado ou em malha fechada → Utiliza a saída para atuar 
◦ Exemplo → Ar condicionado resfriando até a temperatura solicitada e após 
isto diminuindo sua intensidade
◦ Malha de realimentação → caminho de retorno da saída para a junção de 
soma (Caminho antes da saída para ajuste da entrada para que a saída saia
como o solicitado mesmo com perturbações)
▪ Sinal de atuação → sinal resultante entre a saída e a entrada(utilizado 
para ajuste) 
◦ Permite:
▪ Aumento da precisão
▪ Rejeita efeito de perturbações externas
▪ Controlados de modo mais conveniente e com maior flexibilidade
• Pelo simples ajuste de um ganho (amplificação) na malha e, algumas 
vezes, ajustando-se o projeto do controlador
▪ Diminui a sensibilidade do sistema a variações dos parâmetros do 
processo 
• Ex: maquina de lava-roupas operando abaixo de 110V
◦ Compensação do sistema → ajuste de projeto 
◦ Compensador → dispositivo resultante
Objetivos de análise e de projeto
• Resposta transitória → Tempo para efetuação da atividade solicitada na entrada
◦ Exemplo elevador → Resposta transitória lenta deixa os passageiros 
impacientes, enquanto uma resposta excessivamente rápida os deixa 
desconfortáveis 
• Resposta em regime permanente → Ajuste da exatidão da resposta após 
terminar o processo de resposta transitória
◦ Exemplo elevador → deve ficar suficientemente nivelado com o andar para 
que os passageiros possam sair
• Estabilidade → respostas naturais devem decair para zero à medida que o 
tempo tende a infinito, ou oscilar 
◦ Para um sistema linear 
▪ Resposta total = resposta natural + resposta forçada
• Resposta natural → Modo como o sistema dissipa ou obtém energia 
e não depende da entrada (solução homogênea)
• Resposta forçada → Depende da entrada (solução particular)
• Para sistema ser útil resposta natural deve tender a zero
▪ Instabilidade → resposta natural cresce mais rápido que a forçada
• Exemplo elevador → colidir com o piso ou sair pelo telhado 
O processo de projeto
• Transformar requisitos em um sistema físico
◦ Requisitos → Objetivo do sistema de controle e características dos 
componentes deste
◦ Utilizar destes requisitos para a determinação das especificações do projeto 
(tais como resposta transitória e exatidão em regime permanente desejadas)
• Desenhar um diagrama de blocos funcional
• Representar o sistema físico como um esquema 
• Utilizar o esquema para obter um modelo matemático, como um diagrama de 
blocos 
• Reduzir o diagrama de blocos 
• Analisar e projetar o sistema para atender os requisitos e as especificações, que 
incluem estabilidade, resposta transitória e desempenho em regime permanente. 
Tipos de sistemas de controle
• Modelos de sistemas → representação que permite demonstrar a causa e efeito
do sistema 
◦ Modelos físicos → representa de forma mais simples o modelo, destacando 
as características mais importantes
◦ Modelos matemáticos → Representa por meio de equações matemáticas 
(iremos utilizar este)
• Sistemas contínuos no tempo → possível conhecer o estado deste em qualquer
instante do tempo
◦ Lineares → descritos por equações lineares
◦ não lineares → descritos por equações não lineares
• Sistemas monovariáveis → dependem apenas de uma variável de estado para 
o funcionamento
• Sistema multivariável → depende de mais de uma variável de estado
◦ Ex → carro depende da ignição, combustível, óleo, etc
--------||----------------------------------||---------------------------------------||----------------------------------
Capítulo 2 - Modelagem no domínio da frequência
• Modelo → descrição do funcionamento de sistema de controle a partir de funções 
matemáticas
• Modelos externos → função de transferência
◦ “Conheço a entrada e saída”
• Modelos internos → função de transferência
◦ “Conheço a equação de funcionamento”
• Usadas para desenvolver equações preciso dos princípios físicos, químicos, 
biológicos, etc.
• Revisão da Transformada de Laplace
Definição transformada de Laplace:
em que [s = σ + jω] é uma variável complexa
Tabela utilizada para transformação F → f
Transformada inversa de Laplace
permite obter f(t) a partir de F(s)
◦ Função degrau unitário [u(t)] → u(t) = 1 quando t > 0 & u(t) = 0 quando ta potência deste em -1
▪ Ex:
◦ Repetir o processo utilizado no caso 1 para achar os resíduos, porém 
para o resíduo repetido com ordem de denominador menor, devemos 
derivar a equação utilizada para achar o resíduo com denominador de
ordem original
▪ Obs: caso houver ordem superior a 2, derivar consecutivamente 
para achar o resíduo
▪ Ex:
Para achar o K3 derivamos a equação utilizada para achar K2, ficando assim com:
 
◦ Fazer o s tender ao inverso do valor que estava somando-se (ou 
subtraindo-se) com s no denominador do K procurado (como no caso 
1)
◦ Aplicar os resíduos (K’s) nas equações iniciais e, com a tabela, 
aplicar a inversa de Laplace dos valores descobertos
• Caso 3: Raízes do denominador de F(s) são complexas ou imaginárias
◦ Denominador aparecerá na forma de equação de 2° grau
◦ Deverá ser colocado como numerador um Kn multiplicado por s, 
somado com Kn+1 
▪ Ex:
 
◦ Os K’s com denominador fora da forma de equação de 2° grau são 
encontrados de forma usual
◦ Para encontrar os K’s que se encontram com denominador na forma 
de equação de 2° grau deve-se multiplicar tudo pelo denominador da 
F(s) inicial e aplicar o valor dos K’s já encontrados de forma usual
▪ Ex: 
• Para o exemplo como a igualdade não permite a presença de 
s, [K2 + 3/5 = 0] e [K3 + 6/5 = 0]
◦ Aplicar os resíduos (K’s) nas equações iniciais e, com a tabela, 
aplicar a inversa de Laplace dos valores descobertos
▪ Se N(s) ≥ D(s) → N(s) deve ser dividido por D(s) sucessivamente até que o 
resultado tenha um resto cuja ordem do numerador seja inferior à ordem do 
denominador 
• Função de transferência
◦ Relação entre a Transformada de Laplace da saída e da entrada
▪ G(s) → Função de transferência
▪ C(s) → Saída (Função de Laplace em condições iniciais nulas)
▪ R(s) → Entrada(Função de Laplace em condições iniciais nulas)
◦ Variável de entrada será transferida a variável de saída
◦ Rearranjando podemos obter a saída por:
◦ Polo → será apresentado no capitulo 4 porém citado aqui
▪ Quando conheço comportamento do polo da função de transferência 
conheço o comportamento do sistema
◦ Na função de transferência aparece a equação caraterística
▪ Equação característica → denominador da equação
▪ determina os polos
▪ polos → são as raízes da equação característica
• Ditam o comportamento natural do sistemas
▪ São intrínsecas ao sistema
• Tudo que se encontra a direita → Entrada [R(s)]
• Tudo que se encontra a esquerda → Saída [C(s)]
• Maioria dos casos aplica-se entrada do tipo degrau unitário (1/s)
• Lei de Kirchoff → irá ser utilizado bastante
◦ Aplicar nos circuitos para achar função de transferência
◦ Entrada será tensão da fonte de tensão
◦ Saída sera a tensão do componente solicitado
• Impedância → tudo que vai impedir a passagem de corrente
Aplicar estas equivalências ao circuito (para condições iniciais nulas)
• Lembrar que → i(t)=dq(t)/dt
• Tensão-corrente na transformada de Laplace:
Capacitor Resistor Indutor
• Função de transferência particular de impedância
• Circuito transformado → circuito que já passou pela transformação de Laplace 
(substituindo cada elemento pela sua impedância [Z])
◦ Ex:
◦ Desenhar o circuito transformado e, após isto, aplicar a lei das malhas para 
obtenção da saída, entrada ou função de transferência
▪ Também pode ser aplicado a lei dos nós
• Para esta forma, normalmente é mais conveniente representar os 
elementos do circuito por suas admitâncias
◦ Admitância (Y) → condutância (G) complexa
◦ É o inverso da indutância
◦ São fornecidos na tabela 2.3
◦ Lembrar → quando utilizado a admitância ao invés da impedância na 
lei dos nós, está estará multiplicando as tensões (ou diferenças de 
tensões) para fornecer o valor da corrente, e não dividindo como 
quando utilizamos a impedância
▪ Também pode ser aplicado a divisão da tensão
• Tensão do objeto procurado é uma fração da tensão de entrada, assim, a
tensão no objeto procurado é a impedância deste objeto dividido pela 
soma das impedâncias, e tudo isto multiplicado pela tensão de entrada
• Para o exemplo anterior:
• Teorema de Thevenin/Norton → Fonte de tensão em série com uma impedância 
pode ser substituído por uma fonte de corrente em paralelo com a impedância (e 
vice-versa)
• Para cálculo da impedância de capacitor (C) e indutor (L) [ou resistor (R)] em 
paralelo → utilizar divisor de tensão dado por:
• Amplificador operacional → equipamento que amplifica a entrada em relação a 
saída
◦ Representado por → A (ganho)
◦ Utilizado para implementação de funções de transferência
◦ Características:
◦ Saída vs(t) dada por:
v2 → tensão ligada ao polo positivo
v1 → tensão ligada ao polo negativo
◦ No livro de Norman Nise → Apresenta 2 entradas e 1 saída
• Amplificador operacional inversor (AOI)
◦ Amplificador quando v2 (polo positivo) é aterrado
◦ Equação da saída dada por:
◦ Caso duas impedâncias sejam conectadas ao AOI
▪ Ex: 
▪ Assumimos que:
• Amplificador Operacional Não Inversor
◦ Ex:
◦ Utilizamos a equação:
• Funções de transferência de sistemas eletromecânicos
◦ Eletromecânica → apresenta variáveis mecânicas e elétricas
◦ Motor → Componente eletromecânico que produz uma saída de deslocamento 
para uma entrada de tensão 
▪ Entrada → tensão
▪ Saída → movimento
◦ Função de transferência para motor cc (controlado pela armadura)
Servomotor cc controlado por armadura
Função de transferência
θm → Ângulo girado no motor (saída)
Ea → Tensão aplicada a armadura (entrada)
Kt → Constante de torque do motor (depende das características do motor e do campo
magnético) (dado de fábrica)
Ra → Resistência da armadura
Jm e Dm → Constantes mecânicas
Kce → Constante de força contraeletromotriz (fcem)
Força contraeletromotriz → Toda energia elétrica que um receptor converte em outras
formas de energia que não o calor
▪ Quando estiver buscando θC/Ea → Multiplicar função de transferência pela 
relação N1/N2
▪ Cálculo das constantes mecânicas [Jm e Dm]
• Jm → Inércia equivalente, dividida em Ja e JC
◦ Ja → Inércia do motor (Força que tende o motor a continuar em seu 
estado atual de movimento ou repouso)
◦ JC → Inércia refletida para a armadura
• Dm → Amortecimento equivalente, dividido em Da e DC
◦ Da → Amortecimento do motor
◦ DC → Amortecimento refletido para a armadura
▪ Cálculo das constantes elétricas
• Torque desenvolvido pelo motor (Tm)
◦ Para motor operando em regime permanente com uma tensão cc de 
entrada:
ωm(t) = dθm(t)/dt → Velocidade angular do motor
ea → Tensão aplicada a armadura
▪ Equação gera a curva torque-velocidade
Tbloqueado → Torque com rotor bloqueado (Quando a velocidade angular [ωm] é zero)
ωvazio → Velocidade em vazio (velocidade angular quando o torque [Tm] é nulo)
◦ Tbloqueado e ωvazio → Determinadas a partir de um ensaio do motor com um 
dinamômetro
• Circuitos elétricos análogos
◦ Transformar circuitos mecânicos em circuitos elétricos equivalentes
◦ Dispositivo pode ser representado por um indutor estando em serie ou em 
paralelo
◦ Análogo em série
▪ Comparação realizada com a equação das malhas
Parâmetros para o análogo em série
▪ Não entendi o exemplo 2.24
◦ Análogo em paralelo
▪ .
• Não linearidades
◦ Sistemas lineares apresentam as propriedades de superposição e 
homogeneidade
▪ Superposição → Entradas somadas devem gerar como saída total a soma 
de suas saídas geradas de forma individual
• Ex: interruptor de luz em aula ligando a primeira lampada, depois a 
segunda, e depois as 2 juntas
▪ Homogeneidade → Entrada multiplicada por um escalar gerará a saída, 
gerada sem a presença do escalar, multiplicado por este mesmo escalar
• Tudo que se aplicar na entrada será refletido na saída (não afetara o 
processo [“meio”])
◦ Projetistas analisam sistemas não lineares com aproximação destes em 
sistemas lineares
• Linearização
◦ 1° passo → Identificar componente não linear e escrever a equação diferencial 
não linear
◦ 2° passo → Linearizar para pequenas variações do sinal de entrada em torno 
da solução em regime permanente quando a variação do sinalde entrada é 
igual a zero 
• Tarefa → refazer penúltimo exemplo slide via analise de nos e divisão de tensão 
explicando passo a passo
• Até metade do capítulo 4 fazer todas contas passo a passo
• Tarefa→ fazer exercícios de aplicação capitulo 2
• Tarefa exemplo 2.15 no livro
-------------\\----------------------\\---------------------------\\---------------------------------\\------------------
Capítulo 4 – Resposta no domínio do tempo
• Polos, zeros e a resposta do sistema
◦ Iremos representar em gráficos a representação matemática da função de 
transferência, podendo assim ajustar o comportamento que se deseja a partir 
da manipulação dos polos e zeros
◦ Conhecimento de polos e zeros simplifica o cálculo da resposta de um sistema
◦ C(t) [Resposta de um sistema] = Cforçada [Resposta forçada] + Cnatural [Resposta 
natural]
▪ Resposta forçada (resposta em regime estacionário ou solução particular)
• Ex: No ar condicionado, controle remoto, termômetro, etc
▪ Resposta natural (solução homogênea)
• Intrínseca ao sistema (aparece com a exponencial na FT)
• Ex: No ar condicionado alterar a temperatura do ambiente
◦ Polos de uma função de transferência
▪ É polo se satisfaz uma destas condições:
• Valores de s (função de Laplace) que façam com que esta (função de 
transferência) tenda ao infinito (estabilidade)
• Raízes do denominador da função de transferência que são iguais as 
raízes do numerador
▪ Representado no gráfico complexo como um X
◦ Zeros de uma função de transferência
▪ É zero se satisfaz uma destas condições:
• Valores de s que fazem com que a função de transferência se torne zero
◦ Anula algum tipo de comportamento (eliminar comportamento 
indesejado)
• Raízes do numerador da função de transferência que são iguais às 
raízes do denominador 
▪ Representado no gráfico complexo como um O
◦ Polos e Zeros de um Sistema de Primeira Ordem: um Exemplo 
▪ Polo da função de entrada gera a forma da resposta forçada
▪ Polo da função de transferência gera a forma da resposta natural
▪ Polo no eixo real gera uma resposta da forma e–αt, em que –α é a posição do
polo no eixo real
• Quanto mais à esquerda um polo estiver no eixo real negativo, mais 
rápido a resposta transitória exponencial decairá para zero
▪ Zeros e os polos geram as amplitudes para ambas as respostas, forçada e 
natural 
▪ Exemplo:
• Sistemas de primeira ordem
◦ Tempo se encontra em variáveis de a, presente na resposta forçada
◦ Variações dos parâmetros alteram a velocidade de resposta
◦ Constante de tempo
▪ Basicamente onde estou analisando (localização do meu polo)
▪ Frequência exponencial → a [1/segundo]
▪ Constante de tempo → 1/a
▪ Polo está localizado no inverso da constante de tempo
• Quanto mais o polo estiver distante do eixo imaginário, mais rápida sera 
a resposta transitória (menos apresenta frequências)
◦ Contrario valido também (mais demora para estabilizar-se)
◦ Tempo de subida (Tr)
▪ Tempo necessário para que a resposta atinja 90% de seu valor final, porem 
começando em 10 % de seu valor inicial
• Nos primeiros últimos 10% não são considerados pois tem muitas 
perturbações
▪
◦ Tempo de acomodação (Ts)
▪ Tempo para resposta alcançar faixa de valor de 2% em torno do seu valor 
final
▪
◦ Funções de transferência de primeira ordem a partir de ensaios
• Sistemas de segunda ordem: introdução
◦ Variações dos parâmetros alteram a forma de respostas
▪ Mexe na amplitude, frequência e escalares
◦ Qualquer equipamento que varia no tempo é um sistema de 2ª ordem
◦
▪ Localização dos polos dependem do valor de a e b
◦ Divididas em tipos de respostas que descrevem as principais características 
das curvas
◦ Resposta superamortecida
▪ Polos: dois reais em –σ1 e –σ2 
▪
• Onde, 
▪ Polo na origem → advindo da entrada degrau unitário → resposta forçada 
constante
▪ 2 polos no eixo real → advindos do sistema → resposta natural exponencial
▪ Resposta no tempo:
•
◦ Resposta subamortecida
▪ Polos: dois complexos em –σd ± jωd 
▪
▪ 1 polo na origem (degrau unitário) e 2 polos do tipo complexo (sistema)
• polo do tipo complexo → parte real e parte imaginaria
▪ Parte real influencia na frequência de decaimento exponencial da amplitude 
da senoide 
• Decaimento exponencial → diminuição na frequência de oscilação
◦ constante de decaimento → inverso da parte real do polo do sistema
▪ Parte imaginaria influencia na frequência de oscilação senoidal
• Frequência de oscilação amortecida (ωd) → frequência com que o 
sistema vai se estabilizando
▪ Resposta no tempo:
•
◦ Resposta não amortecida
▪ Polos: dois imaginários em ±jω1 
▪
▪ Não irá ter a parte real do polo (=0) (Equação de segundo grau do 
denominador da função de transferência com b=0) → não tem decaimento 
exponencial, ou seja, puramente senoidal (não estabiliza)
▪ duas partes imaginarias dos polos e iguais (um positivo e outro negativo 
sobre o eixo)
▪ Resposta no tempo:
•
◦ Resposta criticamente amortecida
▪ Polos: dois reais em –σ1 
▪
▪ Função de segundo grau da função de transferência pode ser escrita como 
função sem o b ao quadrado
• Ex: 
▪ 2 polos reais iguais
▪ Polos na mesma localização e sobre o eixo real
• Duas componentes reais dos polos iguais
• Ausência da componente imaginaria dos polos → nenhuma frequência 
de oscilação
▪ Mais rápida possível
▪ Resposta do tipo:
•
• Sistema de segunda ordem geral
◦ Frequência natural (ωn)
▪ Frequência de oscilação do sistema sem amortecimento
▪ Para resposta não amortecida → 
◦ Fator de amortecimento (ζ)
▪ Necessidade de uma descrição quantitativa da oscilação amortecida, sem a 
escala do tempo
• a partir deste valor são classificados os tipos de amortecimento
• Fração de amortecimento do sistema não amortecido é infinito
 
▪ Para sistema subamortecido → 
Utilizar para fazer a comparação com a FT para obtenção da frequência natural e a fração
de amortecimento
Resposta de segunda ordem em função do fator de amortecimento
• Sistemas de segunda ordem subamortecidos
◦ Mais empregado em sistemas de controle
◦ Tem polo complexo (partes reais e imaginárias)
◦ Quando manipulamos o fator de amortecimento e a frequencia natural 
alteramos as especificações
em que 
◦ Quanto menor o fator de amortecimento mais oscilatório é o sistema
◦ Tr → Tempo de subida
▪ Tempo necessário para que a forma de onda vá de 0,1 do valor final até 0,9 
do valor final
▪ Cálculo de Tr
• Utilizar tabela para achar tempo de subida normalizado (Tr normalizado) a 
partir do fator de amortecimento (ζ)
◦
• Tr = Tr normalizado / ωn
◦ Tp → Instante de pico
▪ Tempo necessário para alcançar o primeiro pico, ou pico máximo
▪ Cálculo de Tp
◦ %UP → Ultrapassagem percentual
▪ Valor pelo qual a forma de onda ultrapassa o valor em regime permanente, 
ou valor final, no Tp, expresso como uma percentagem do valor em regime 
permanente 
▪ Utilizado para definir quanto ira querer no máximo que ultrapasse o pico
• Ex: limitador de voltagem de uma lampada 127V definido para 140V
▪ Quanto menor %UP maior o fator de amortecimento (logo, menos 
oscilatório)
▪ Cálculo de %UP
Cálculo de ζ dado %UP 
◦ Ts → Tempo de acomodação
▪ Tempo necessário para as oscilações amortecerem e permanecerem dentro 
de uma faixa de ±2% em torno do valor em regime permanente
▪ Cálculo de Ts (aproximação)
Especificações da resposta subamortecida de segunda ordem 
Diagrama de polos para um sistema de segunda ordem subamortecido 
ωn = Distância radial da origem até o polo = √ ωd
2 + σd
2
ζ = cos θ = cos[arctg(ωd / σd)] → Obs: arctg = tg-1
Equações para o instante de pico (Tp) e o tempo de acomodação (Ts) em função da
posição do polo 
◦ Respostas ao degrau à medida que os polos são movimentados
▪ Verticalmente (parte real constante) → Frequência aumenta, porém a 
envoltória (amortecimento) permanece a mesma
•
▪ Horizontalmente (parte imaginária constante) → Resposta amortece mais 
rapidamente, enquanto a frequência permanece a mesma 
•
▪ Radialmente (fator de amortecimento constante) → Mais rápida será a 
resposta,porém a ultrapassagem percentual permanece a mesma
•
▪ Não entendi como foi deduzida a função de transferência do exemplo 4.7
• Resposta do sistema com polos adicionais
◦ Caso sistema possua dois polos ou possua zeros não sera possível utilizar as 
expressões apresentadas anteriormente para especificar o desempenho
◦ Possível, sob certas condições, fazer aproximações para um sistema de 2ª 
ordem com 2 polos complexos dominantes
▪ Polos dominantes → polos do sistema de 2ª ordem
▪ Polos não dominantes → polo da resposta adicional
◦ Oque 1 polo adicional altera na resposta?
▪ Caso 1: polo adicionado esta próximo aos polos complexos (αr não muito 
maior que ζωn)
•
• Não pode ser aproximado por um sistema de segunda ordem, pois, curva
de decaimento influencia bastante na resposta
▪ Caso 2: polo adicionado esta distante aos polos complexos
•
• Curva de decaimento influencia pouco na resposta
▪ Caso 3: polo adicionado esta muito distante aos polos complexos
•
• Curva de decaimento não influencia na resposta
◦ Questão normalmente pedida → em que distancia dos polos complexos esta 
curva de decaimento para de influenciar na resposta?
▪ Se o polo real for 5 vezes mais afastado para a esquerda do que os polos 
dominantes
• Resposta do sistema com zeros
◦ Zero altera a amplitude (resíduo) de uma componente da resposta
◦ Quanto mais perto dos polos dominantes, maior a amplitude da resposta
◦ Exemplo de adição de zero em um sistema com dois polos localizados em (–1 ±
j2,828)
▪
◦ Zero se comporta como um fator de ganho
◦ Quanto maior o valor de a, mais as componentes do sistema de 2ª ordem 
influenciam na resposta (maior amplitude)
◦ Sistema de fase não mínima → resposta começa indo no sentido negativo, 
embora o valor final seja positivo
▪
▪ Ex: avião que quando ordenado ir para esquerda, ir para a direita
◦ Transformada de Laplace da resposta caso adicionado um zero a FT
◦ Cancelamento de polos com zeros
▪ Utiliza-se para fazer aproximação de sistema com zeros para um sistema de
segunda ordem
▪ Sempre deverá ser feito com o polo mais próximo do zero
▪ Pode-se fazer o cancelamento após fazer seguintes passos:
• Realizar a expansão em frações parciais da resposta de saída
• Avaliar se o numerador (resíduo) da fração parcial do polo qual sera 
cancelado com o zero apresenta pelo menos uma ordem de grandeza 
menor que o numerador com valor mais próximo
◦ Se sim → Pode ser feito o cancelamento
◦ Se não → Não é possível fazer o cancelamento e portanto não é 
possível fazer a aproximação do sistema
Acaba no capitulo 4.8
----------------------------\\-------------------------------------------\\--------------------------------------\\------
Capítulo 5 – Redução de subsistemas multiplos
• Diagrama de blocos
◦ Subsistema é representado como um bloco
▪ Apresenta entrada, saída e FT
◦ Um diagrama de blocos perde as entradas e saídas tidas em meio aos blocos, 
apresentando assim apenas a entrada inicial e saída finalidade
◦ Ponto de ramificação (aquisição) → distribui o sinal de entrada, R(s), inalterado,
para vários pontos de saída
▪
◦ Ponto (junção) de soma → onde se tem inúmeras entradas e inúmeras saídas
▪
▪ Normalmente → 2 a 3 entradas para 1 saída
▪ Tomar cuidado com sinais representados no ponto de soma (saída deve se 
ter os mesmos)
▪ Quando apresentadas consecutivamente uma atrás da outra, podem ser 
juntadas em apenas um único ponto de soma
◦ Forma em cascata
▪
▪ Saída de um deve ser a entrada de outro 
▪ Sem pontos de derivação ou soma
▪ Diagrama de blocos é obtido pelo produto dos blocos
•
• Válido caso não ocorra uma alteração na saída 
◦ Forma em paralelo
▪
▪ Possuem uma entrada em comum
▪ Saída é obtida pela soma dos blocos presentes na associação
•
◦ Forma com realimentação
▪
▪ O que mais vamos utilizar
▪ Transdutor → bloco/sistema que recebe uma informação e sai um comando
▪ Função de transferência equivalente (malha fechada)
•
◦ G(s)H(s) → Função de transferência em malha aberta ou ganho de 
malha
◦ Lembrar que sinal da entrada da realimentação na junção deve ser 
escrita com sinal trocado na equação
▪ Quando apresentado varias realimentações → Juntar utilizando o principio 
da forma em paralelo em uma só
◦ Movendo Blocos para Criar Formas Familiares
▪ Funções de transferência movidas para a esquerda ou para a direita 
passando uma junção de soma 
•
▪ Funções de transferência movimentadas para a esquerda ou para a direita 
passando um ponto de ramificação
•
• Análise e Projeto de Sistemas com Realimentação 
◦ Sempre que o sistema apresentar uma realimentação unitária, sua função de 
transferência completa sera dada pelo bloco multiplicado por (1/numerador do 
bloco), chamado fator de ganho
◦
• Diagramas de Fluxo de Sinal
◦ Ramos → representam sistemas
◦ Nós → representam sinais
◦
▪ V(s) = R1(s)G1(s) − R2(s)G2(s) + R3(s)G3(s)
▪ C2(s) = V(s)G5(s) = R1(s)G1(s)G5(s) − R2(s)G2(s)G5(s) + R3(s)G3(s)G5(s)
◦ Forma em cascata, paralelo e com realimentação
▪
• Obs: Realimentação deve ser denotada com o sinal inverso
◦ Pois é um ramo H(s), seguido de um nó V(s) e outro ramo unitário 
inverso (-1)
• Obs2: Ponto de junção → Ramo unitário positivo (1)
• Regra de Mason
◦ Redução do diagrama de fluxo de sinal a uma única função de transferência a 
partir da aplicação de uma fórmula 
◦ Ganho do caminho à frente → Produto dos ganhos encontrados ao se percorrer
um caminho, no sentido do fluxo do sinal, a partir do nó de entrada até o nó de 
saída do diagrama de fluxo de sinal
◦ Laços que não se tocam → Laços que não possuem nenhum nó em comum
◦ Ganho de laços que não se tocam → Produto dos ganhos de laço, dos laços 
que não se tocam tomados dois a dois, três a três, quatro a quatro, e assim por 
diante, de cada vez
◦ Regra de Mason
▪ 
• k → número de caminhos à frente
• Tk → ganho do k-ésimo caminho à frente
• Δ → 1 − Σ ganhos de laço + Σ ganhos de laços que não se tocam 
tomados dois a dois de cada vez – Σ ganhos de laços que não se tocam 
tomados três a três de cada vez + Σ ganhos de laços que não se tocam 
tomados quatro a quatro de cada vez – […]
• Δk → Δ − Σ termos de ganhos de laços em Δ que tocam o k-ésimo 
caminho à frente. Em outras palavras, Δk é formado eliminando-se de Δ 
os ganhos de laço que tocam o k-ésimo caminho à frente
---------------------//------------------------------//------------------------------//------------------------------//--
Capítulo 6 – Estabilidade
• Introdução
◦ Para sistemas lineares invariantes no tempo
▪ Quanto a resposta natural
• Estável → resposta natural tende a zero à medida que o tempo tende a 
infinito
• Instável → resposta natural aumenta sem limites à medida que o tempo 
tende a infinito
• Marginalmente estável → resposta natural não decai nem aumenta, mas 
permanece constante ou oscila à medida que o tempo tende a infinito
• Sistema é estável para algumas entradas limitadas e instável para outras
▪ Quanto a resposta total
• Estável → toda entrada limitada gera uma saída limitada
• Instável → alguma entrada limitada gera uma saída ilimitada 
◦ Métodos para determinar a estabilidade
▪ Sistemas estáveis → possuem funções de transferência em malha fechada 
com polos apenas no semiplano da esquerda (parte real negativa)
•
▪ Sistemas instáveis → possuem funções de transferência em malha fechada 
com pelo menos um polo no semiplano da direita (parte real positiva) e/ou 
polos com multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário
•
▪ Sistemas marginalmente estáveis → possuem funções de transferência em 
malha fechada apenas com polos no eixo imaginário com multiplicidade 1 e 
polos no semiplano da esquerda
▪ Se potências de s estiverem faltando no denominador da função de 
transferência, o sistema é instável ou, na melhor das hipóteses, 
marginalmente estável
• Critério de Routh-Hurwitz
◦ Diz quantos polos do sistema em malha fechada estão no semiplano da 
esquerda, no semiplano da direita e sobre o eixo jω
◦ Construindo uma Tabela de Routh Básica
▪ É necessário ter todas as potencias etodos os coeficientes
• Se coeficiente estiver faltando uma potencia → há dois coeficientes à 
direita
▪ Equação característica deve estar na forma mínima
 
Exemplo para 4 coeficientes
◦ Interpretando a Tabela Básica de Routh
▪ Número de raízes do polinômio que estão no semiplano direito é igual ao 
número de mudanças de sinal na primeira coluna
• É estável se não apresentar trocas de sinais na primeira coluna
• Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais
◦ Zero Apenas na Primeira Coluna
▪ Zero aparece em algum primeiro elemento de uma linha
▪ Deve se admitir 0 sendo épsilon
• Deve-se admitir um valor pequeno para épsilon (tendendo a 0 pelo lado 
positivo ou negativo)
▪ Admiti-lo como sendo um valor pequeno (tendendo a 0) negativo e positivo
▪ Se aparecer trocas de sinais → instável
◦ Uma Linha Inteira de Zeros 
▪ Criar um polinômio auxiliar formado pela linha de cima (potencias do s 
devem ir pulando pelos pares) → derivar este em relação a s (polinômio par)
→ substituir na linha completa de zeros pelos coeficientes do polinômeio 
derivado 
▪ Caso linha de zeros aparecer → Haverá polinômio par (polos simetricos 
sobre 2 ou 4 quadrantes)
•
▪ Raízes sobre o eixo imaginário (jω) só são possíveis caso apareça linha de 
zeros
▪ A partir da linha acima da linha de zeros até a ultima é teste do polinômio 
par
• Polinômio par deve ter o mesmo número de raízes no semiplano da 
esquerda e no semiplano da direita
• Contabilizado as raízes nos semiplanos da direita e da esquerda, 
sabemos que as demais raízes devem estar sobre o eixo jω 
◦ Caso não apresente troca de sinais → todos os polos estão sob o 
eixo imaginário (jω)
• Critério de Routh-Hurwitz: Exemplos Adicionais 
• Estabilidade no Espaço de Estados 
-------------------//--------------------------//---------------------------//--------------------------//---------------
Capítulo 7 – Erros em regime permanente
• Introdução
◦ relacionado ao regime estacionário (sempre)
▪ Iremos tentar controlar estes erros
◦ Erro quando é regime estacionário → é a diferença entre a entrada e a saida
◦ Definição e entradas de teste
▪ 3 tipos → degrau, rampa e parábola
◦
◦
◦ Aplicação a sistemas estaveis
▪ Nosso estudo não abordará sistemas instaveis
▪ Na entrada em degrau → pode apresentar erro nulo (impossível) ou finito 
▪ Na entrada em rampa → pode apresentar erro nulo (impossível), finito e 
infinito (quando a inclinação da curva de saída for diferente da curva de 
entrada)
◦ Calculando erros em regime permanente
▪
▪
◦ Fontes de erro em regime permanente
▪ Normalmente provenientes de engrenagens
• Engenagens devem apresentar folgas minimas, e conforme o tempo 
passa, vao se acentuando, fazneod com que devam passar por reajustes
(calibragem)
• Outra fonte de erro é a calibragem inadequada
• Outra fonte de erro é a não-linearidade (porem não sera estudada aqui)
▪ Quanto maior o fator de ganho (K), menor o erro
• Erro em Regime Permanente para Sistemas com Realimentação Unitária 
◦ Erro em Regime Permanente em Função de T(s) (malha fechada)
▪ Pelo teorema → e(inf.) = lims→0sR(s)[1-T(s)]
• Aplicado a sistemas estáveis
• Caso apresente polo no semiplano da direita ou sobre o eixo imaginario 
(instavela), não é valido
• Observar que primeiro s normalmente é cortado com o s presente em 
R(s)
◦ Erro em Regime Permanente em Função de G(s) (malha aberta)
▪ Tem-se um maior controle sobre a sensibilidade
▪ Deve-se verificar a estabilidade, e se for estavel, aplicar a equação acima
Para entrada R em degrau unitario (1/s)
Para erro tender a 0, limite de G deve tender ao infinito
Para entrada em rampa
Para entrada parabólica
• Constante de Erro Estático e Tipo do Sistema
◦ Constantes de Erro Estático
▪ Sistemas (fabricantes) utilizam as seguintes nomenclaturas para informar as
constantes, utilizadas nos calculos de erro
▪ Para diminuir o erro aumenta-se as constantes
◦ Tipo do Sistema 
▪ Se n = 0 → tipo 0
▪ Se n = 1 → tipo 1
▪ Se n = 2 → tipo 2
• Especificações de Erro em Regime Permanente
• Erro em Regime Permanente para Perturbações 
◦ Utiliza-se perturbações para compensar entradas indesejáveis
Erro proveniente da entrada
Erro proveniente da perturbação
Quando a realimentação apresenta forma de degrau-unitário
• Erro em Regime Permanente para Sistema com Realimentação Não Unitária
◦ Erro não é a diferença entre a entrada e a saída
◦ Sinal de atuação [Ea(s)] → Sinal de saída da junção de soma
◦ Quando a realimentação apresenta função
▪ Ex → 
◦ Deve ser realizado processo para unir bloco da FT com realimentação não 
unitária (dado pela figura [b]), resultando em um diagrama com bloco de FT 
com realimentação unitária (figura [e])
◦ Para sistemas com perturbação
▪ Ex → 
▪ Erro em regime permanente
•
• Para entrada e perturbação sendo degrau unitário [R(s) = D(s) = 1/s]
◦
▪ Quando é apresentado erro nulo, significa que
•
◦ Sinal de atuação em regime permanente para sistema com realimentação não 
unitária
▪ É a diferença em regime permanente entre sinais na junção de soma 
▪ 
•
• Sensibilidade 
◦ Grau segundo o qual variações nos parâmetros do sistema afetam as funções 
de transferência de um sistema e consequentemente o desempenho 
◦ Sensibilidade igual a 0
▪ Variações nos parâmetros do sistema não tem efeito sobre a função de 
transferência
▪ Não existe (representa condição ideal)
◦ Realimentação → confere sensibilidade reduzida a variações de parâmetros 
◦ Quanto menor a sensibilidade → Mais caro o equipamento (maior possibilidade 
de variação dos parâmetros)
▪ Exemplo ar condicionado podendo operar em maior variação de voltagem
◦
▪ S → sensibilidade
▪ F → função
▪ P → Parâmetro que esta utilizando
-------------//----------------------//------------------------//------------------------//-----------------------//------
Capítulo 8 – Técnicas do lugar geométrico das raízes
• Introdução
◦ Representação gráfica utilizada para descrever qualitativamente o desempenho
de um sistema (em malha fechada) à medida que diversos parâmetros são 
alterados
◦ Com esta técnica gráfica podemos saber se o sistema é estável
◦ Fornece: resposta transiente, estabilidade do sistema, faixa de valores de 
estabilidade e instabilidade, e fatores que causam oscilações (perturbações, 
etc)
◦ O Problema do Sistema de Controle
▪ Quando é malha aberta → Facilmente identificado por inspeção e não varia 
com as mudanças de ganho (K)
▪ Malha fechada → mais difícil de determinar a FT e polos variam com 
alterações no ganho do sistema (K)
N e D são respectivamente numerador e denominador de G e H
Numerador → Zero
Denominador → Polo
• Zeros de T(s) → consistem nos zeros de G(s) e nos polos de H(s)
• Polos de T(s) → Não são conhecidos imediatamente (necessário fatorar) 
e são alterados com K
◦ Resposta transitória e a estabilidade do sistema dependem deste 
dado
▪ Lugar geométrico das raízes será utilizado para nos dar uma representação 
vívida dos polos de T(s) à medida que K varia 
◦ Representação Vetorial de Números Complexos
▪ Números complexos (σ + jω) podem ser descrito graficamente por um vetor
•
◦ Obs: Atentar-se que o ângulo (θ) está iniciado no eixo real positivo
▪ Números complexos (σ + jω) também podem ser descritos na forma polar 
com magnitude M e ângulo θ, como [M θ] ∠
▪ (s + a) é um número complexo e pode ser representado por um vetor 
traçado a partir do zero da função até o ponto s
• Ex: (s + 7)|s→5+j2 
◦
▪ Magnitude (M) de F(s) em qualquer ponto (s) 
•
◦ m → número de zeros
◦ n → número de polos
◦ |(s + zi)| → Distância até um zero
▪ Magnitude do vetor traçado a partir do zero de F(s) em –zi até o 
ponto s
◦ |(s + pj)| → Distância até um polo
▪ Magnitude do vetor traçado a partir do polo de F(s) em –pj até o 
ponto s 
▪ Ângulo/argumento (θ) de F(s) em qualquer ponto (s)
•
◦ Ângulo até um zero → Medido a partir da extensão positiva do eixo 
real, do vetor traçado do zero de F(s) em –zi até o ponto (s)
◦ Ângulo até um polo → Medido a partir da extensão positiva do eixo 
real, do vetor traçadodo polo de F(s) em –pi até o ponto (s) 
▪ Com estas equações dadas na representação vetorial podemos gerar o 
lugar geométrico das raízes
• Definindo o Lugar Geométrico das Raízes
◦ Lugar Geométrico das Raízes → representação dos caminhos dos polos em 
malha fechada à medida que o ganho (K) é variado
◦ Demonstra variações na resposta transitória à medida que o ganho (K) varia 
◦ 
▪ Neste exemplo,
• K 25 → Polos com parte real e imaginária (sistema subamortecido)
◦ Discussão será limitada a ganho positivo (K ≥ 0)
• Propriedades do Lugar Geométrico das Raízes
◦ Objetivo → Fazer um esboço rápido do lugar geométrico das raízes para 
sistemas de ordem elevada sem ter que fatorar o denominador da função de 
transferência em malha fechada
◦ Função de transferência em malha fechada para o sistema 
▪
◦ Polo (s) existe quando o polinômio característico no denominador se anula 
▪
◦ Valor de s é um polo para algum valor de ganho (K) em malha fechada se:
▪
▪
• Ângulos dos zeros menos os ângulos dos polos, direcionados para o 
ponto analisado, devem ser iguais a um múltiplo ímpar de 180° 
◦ Valor específico do ganho (K) que resulta o ponto s como polo (caso ângulo do 
número complexo for um múltiplo ímpar de 180°)
▪
• Esboçando o Lugar Geométrico das Raízes
◦ Regras a seguir nos permitem esboçar o lugar geométrico das raízes utilizando 
um mínimo de cálculos 
▪ Número de ramos → O número de ramos do lugar geométrico das raízes é 
igual ao número de polos em malha fechada
• Ramo → caminho que um polo percorre à medida que o ganho é variado
(um ramo para cada polo em malha fechada)
▪ Simetria → O lugar geométrico das raízes é simétrico em relação ao eixo 
real
• Polos complexos em malha fechada ocorrem em pares conjugados
▪ Segmentos do eixo real → No eixo real, para [K>0], o lugar geométrico das 
raízes existe à esquerda de um número ímpar de polos e/ou zeros finitos em
malha aberta sobre o eixo real
▪ Pontos de início e de término → O lugar geométrico das raízes se inicia nos 
polos finitos e infinitos de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos e infinitos de 
G(s)H(s)
• Obs: Lembre-se de que esses polos e zeros são os polos e zeros em 
malha aberta
• Ex: 
◦
▪ Lugar geométrico das raízes se inicia nos polos em –1 e –2 e 
termina nos zeros em –3 e – 4
• Polos saem de –1 e –2 e se movem ao longo do trecho de eixo
real entre eles
• Se encontram em algum lugar entre os dois polos e saem para
o plano complexo, se movendo como complexos conjugados
• Retornam ao eixo real em algum lugar entre os zeros em –3 e 
–4, e terminam respectivamente nos dois zeros do sistema em 
malha aberta em –3 e – 4
▪ Comportamento no infinito
• Toda função de s possui um número igual de polos e zeros se incluirmos 
os polos e os zeros infinitos
◦ Ex: Caso FT em malha aberta apresente 3 polos e nenhum zero, 
haverá 3 zeros no infinito
• O lugar geométrico das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar 
geométrico tende a infinito. Além disso, a equação das assíntotas é dada
pela interseção com o eixo real (σa) e o ângulo (θa), como se segue:
◦
▪ # → “quantidade de”
◦
▪ k = 0, +1, +2, +3
▪ Ângulo expresso em radianos em relação à extensão positiva do 
eixo real 
• Refinando o Esboço
◦ Objetivo → Cálculos necessários para obter pontos específicos do lugar 
geométrico das raízes
◦ Pontos de Saída e de Entrada sobre o Eixo Real 
▪
• Ponto de saída (σ1) → Ponto em que o lugar geométrico deixa o eixo real
• Ponto de entrada (σ2) → Ponto em que o lugar geométrico retorna ao 
eixo real
▪ Ganho (K) deve ser máximo sobre o eixo real entre os 2 polos no ponto 
onde ocorre a saída
• Ganho aumenta além desse valor quando os polos se movem para o 
plano complexo
▪ Ganho (K) no ponto de entrada é o ganho mínimo encontrado sobre o eixo 
real entre os dois zeros
▪ Como encontrar o ganho (K) e pontos de entrada e saída
• Primeiro método (Via derivação)
◦ → dará a curva de K versus σ
◦ Devemos então derivar K (equação acima) em relação a σ, e igualar 
a função à 0
• Segundo método (método de transição)
◦ Pontos de saída e de entrada satisfazem à relação 
▪
• zi → negativos (inversos) dos valores dos zeros
• pi → negativos (inversos) dos valores dos polos
◦ Os Cruzamentos do Eixo jω
▪ Objetivo → Determinar os cruzamentos do eixo imaginário
▪ Cruzamento do eixo jω é um ponto do lugar geométrico das raízes que 
separa a operação estável do sistema da operação instável
▪ Valor de ω no cruzamento do eixo fornece a frequência de oscilação
▪ Utilizar o critério de Routh-Hurwitz como se segue:
• Descobrir a FT em malha fechada [T(s)] e fazer a tabela de Routh com 
esta
• Forçando uma linha de zeros na tabela de Routh obtém-se o ganho
• Retornando uma linha para a equação do polinômio par e resolvendo 
para as raízes obtém-se a frequência no cruzamento do eixo imaginário
• Ex: 
◦ Para valores positivos do ganho somente a linha s1 pode resultar em 
uma linha de zeros
◦ → 
◦ Formando o polinômio par utilizando a linha s2 com K=9,65
◦ → s = ±j1,59
◦ Lugar geométrico das raízes cruza o eixo jω em ±j1,59, com um 
ganho de 9,65
◦ Concluímos que o sistema é estável para 0≤K≤9,65
◦ Ângulos de Partida e de Chegada
▪ Soma dos ângulos traçados a partir de todos os polos e zeros finitos até 
este ponto é um múltiplo ímpar de 180°
▪ Passo a passo:
• Traçar retas dos polos e zeros até o polo ou zero que deseja encontrar o 
ângulo de saída ou chegada
• [somatório de ângulos dos zeros] - [somatório de ângulos dos polos] = 
180°
◦ Incluir na conta á variável que deseja encontrar (ângulo de entrada ou
saída)
◦ Traçando e Calibrando o Lugar Geométrico das Raízes
▪ Objetivo → Localizar com exatidão pontos sobre o lugar geométrico das 
raízes, bem como determinar seus ganhos associados
▪ Para localizar com exatidão pontos sobre o LGR
• Procurar ao longo de uma reta dada pelo ponto que resulta em uma 
soma de ângulos ([ângulos dos zeros] - [ângulos dos polos]) igual a um 
múltiplo ímpar de 180°
▪ Para determinar seus ganhos associados
• [Produto das distâncias dos polos até o ponto] / [produto das distâncias 
dos zeros até o ponto]
• Projeto da Resposta Transitória através do Ajuste de Ganho
◦ Condições que justificam uma aproximação de segunda ordem
▪ Polos de ordem superior estão muito mais afastados no semiplano esquerdo
do plano s que o par de polos de segunda ordem dominante (fator de cinco 
vezes mais afastado) 
▪ Zeros em malha fechada próximos do par de polos de segunda ordem em 
malha fechada são aproximadamente cancelados pela estreita proximidade 
de polos de ordem superior
▪ Zeros em malha fechada não cancelados pela estreita proximidade de polos 
de ordem superior em malha fechada estão muito afastados do par de polos 
de segunda ordem em malha fechada
◦ Procedimento de projeto para sistemas de ordem mais elevada
▪ Esboce o lugar geométrico das raízes para o sistema dado
▪ Admita que o sistema seja de segunda ordem sem zeros e determine o 
ganho para atender à especificação de resposta transitória
▪ Justifique sua hipótese de segunda ordem a partir das condições 
apresentadas anteriormente
▪ Se as hipóteses não puderem ser justificadas, sua solução terá que ser 
simulada
• Lugar Geométrico das Raízes Generalizado
◦
◦ Objetivo → obter um lugar geométrico das raízes para variações do valor de p1
◦ Devemos, por artifícios matemáticos, colocar p1 como um fator multiplicativo da 
função, como o ganho K foi em todos os problemas anteriores
◦ Passo a passo:
▪ Determinar a FT em malha fechada
▪ Isolar p1
• No exemplo → 
▪ Converter o denominador para a forma [1 + p1G(s)H(s)]
• Dividir o numerador e o denominador pelo termo não incluído com p1, 
(No caso do exemplo: [s2+2s+10])
▪ Conceitualmente implica que temos um sistema para o qual o termo 
[KG(s)H(s)] é igual ao termo resultante do denominador (tirando o 1) que é 
equivalente a [p1G(s)H(s)]
• Portandop1 é equivalente a K
• No exemplo → 
▪ O lugar geométrico das raízes pode agora ser esboçado como uma função 
de p1, admitindo o sistema em malha aberta
• Lugar Geométrico das Raízes para Sistemas com Realimentação Positiva
◦ FT em malha fechada dada por:
▪
◦ Critério de existência do polo
▪
◦ Regras para esboçar o lugar geométrico das raízes
▪ Número de ramos → Segue igual
▪ Simetria → Segue igual
▪ Segmentos do eixo real → No eixo real, o lugar geométrico das raízes para 
sistemas com realimentação positiva existe à esquerda de um número par 
de polos e/ou zeros finitos em malha aberta sobre o eixo real
▪ Pontos de início e de término → Segue igual
▪ Comportamento no infinito → Segue igual, porém equação para ângulo com 
o eixo real (θa) é alterada
•
◦ Para cruzamento do eixo imaginário (jω)
▪ Em uma busca sobre o eixo jω você estará procurando pelo ponto onde os 
ângulos totalizam um múltiplo de 360° ao invés de um múltiplo ímpar de 
180°
• Sensibilidade do Polo
◦ Objetivo → Descobrir em que extensão variações nos valores de um parâmetro 
afetam o desempenho de nosso sistema 
◦ Atrelado ao fator de ganho (K)
▪ K → Altera posição dos polos
▪ LGR mostra uma relação não-linear entre ganho e localização dos polos
• Alta sensibilidade → pequenas alterações em K gera grande mudança 
nas localizações dos polos
• Baixa sensibilidade → grandes alterações em K gera pequenas 
mudanças nas localizações dos polos (preferimos este)
◦
▪ Sensibilidade é a variação do polo em relação ao ganho
▪ s → posição atual do polo
▪ K → ganho atual
▪ Passo a passo:
• Derivar equação característica (denominador) da FT em malha fechada
◦ Ex: → s2+10s+K=0 → →
• Aplicar equação encontrada a equação da sensibilidade
◦
▪ Δs → alteração na posição do polo
▪ ΔK/K → variação relativa no ganho K 
▪ Resultado representa a movimentação dos polos
•
------------//---------------------//---------------------------//---------------------//--------------------//-----------
Capítulo 10 – Técnicas de resposta em frequência
• Introdução
◦ Apresenta vantagens em relação com a técnica LGR nas seguintes situações:
▪ Funções de transferência modeladas a partir de dados físicos 
▪ Compensadores de avanço de fase projetados para atender a um requisito 
de erro em regime permanente e a um requisito de resposta transitória
▪ Estudo focado em estabilidade de sistemas não lineares
▪ Solução de ambiguidades quando um lugar geométrico das raízes é 
esboçado 
◦ O Conceito de Resposta em Frequência
▪ Objetivo principal → determinar a estabilidade, resposta transitória e o erro 
em regime permanente de sistemas não-lineares
• Assim não é necessário o LGR
▪ RDF → resposta no domínio da frequência
▪ No regime permanente entradas senoidais aplicadas a sistemas lineares 
geram respostas senoidais de mesma frequência. Embora essas respostas 
tenham a mesma frequência das entradas, elas diferem em amplitude e em 
fase. Essas diferenças são funções da frequência.
▪
▪ Magnitude da resposta em frequência
• Amplitude
•
▪ Fase da resposta em frequência
• Ângulo de fase
•
▪ Resposta em frequência
•
▪ Se aplicam apenas à resposta senoidal em regime permanente do sistema 
◦ Expressões Analíticas para a Resposta em Frequência
▪ Resposta em frequência de um sistema cuja função de transferência é G(s) 
•
◦ Representando Graficamente a Resposta em Frequência 
▪ Não ira cair gráfico polar na P2 (apenas no exame)
▪ Curva de magnitude → decibéis (dB = 20log M) em função de log da 
frequência (log ω) 
▪ curva de fase → ângulo de fase em função de log da frequência (log ω)
▪ Magnitude da resposta em uma frequência específica
• Produto dos comprimentos dos vetores a partir dos zeros de G(s) 
dividido pelo produto dos comprimentos dos vetores a partir dos polos de
G(s) traçados até pontos sobre o eixo imaginário
▪ Fase da resposta em uma frequência específica
• Soma dos ângulos a partir dos zeros de G(s) menos a soma dos ângulos
a partir dos polos de G(s) traçados até pontos sobre o eixo imaginário
▪ Passo a passo:
• Substitua s=jω na função do sistema G(s) → Gerando G(jω)
• Magnitude da resposta em frequência → 
• Fase da resposta em frequência → 
• Esboce o gráfico de magnitude e fase separados colocando os valores 
da frequência (ω) na equação
◦ Ex → Magnitude de [20log(1/√ (ω2+4))] e fase de [ɸ(ω)=−tan−1(ω/2)]
◦ 
• Aproximações Assintóticas: Diagramas de Bode
◦ Diagrama de bode → curvas de logaritmo da magnitude e de fase da resposta 
em frequência em função de log ω 
◦ Para a resposta da fase → [somatório das curvas da fase dos termos relativos 
aos zeros] - [somatório das curvas da fase dos termos relativos aos polos]
◦ a → ponto de interesse (pode ser um polo ou zero)
◦ Diagramas de Bode para G(s) = (s + a)
▪ Normalizar → Função deve estar em relação a variável que deseja
▪ Para baixas frequências (0,01a ≤ ω ≤ a), quando ω tende a zero
•
• Magnitude [dB] → 20log(M) = 20log(a)
◦ Portanto sera aplicado 20log(a)
▪ Praticamente uma constante
▪ Para altas frequências (ω >> a) 
•
• Magnitude [dB] → 20 log (M) = 20log (ω)
◦ Em que, [a◦ Dedução do Critério de Nyquist
▪
▪ Mapeamento → substtituir numero complexo “s” em uma função F(s), tem-
se como resultado outro numero complexo (ponto)
• Ponto é mapeado por outro ponto quando jogado na função
▪ Como seria mapear contornos?
•
• Exemplos de contornos com F(s) simples
◦ inserir figura 10.22
◦ R = produto dos vetores referentes aos zeros (modulo da distancia 
dos polos até o ponto Q) / produto dos vetores referentes aos zeros 
(modulo da distancia dos zeros até o ponto Q)
▪ R → magnitude resultante
◦ Se polo ou zero estiverem no eixo real, raio R sairá da origem (0,0)
◦ Se zero estiver dentro do contorno, contorno englobara o vetor R pós 
função
◦
▪ Z → numero de polos em malha fechada
▪ P → numero de polos em malha aberta
▪ N → numero de rotações no sentido anti-horário em torno de -1 do
mapeamento
◦ Aplicando o Critério de Nyquist para Determinar a Estabilidade
▪ Serve para estudo da estabilidade absoluta e relativa
▪ S vira jw (frequencia) e com este definimos o módulo versus o ângulo de 
fase
• Esboçando o Diagrama de Nyquist
◦ variando a frequencia de 0 a infinito obtemos contornos
◦ Angulo de fase (contraqrio do que aprendemos normalmente)
▪ Positivo → anti horario
▪ Negativo → horario
• Estabilidade via Diagrama de Nyquist 
◦ Estabilidade via Mapeamento Apenas do Eixo jω Positivo
• Margem de Ganho e Margem de Fase via Diagrama de Nyquist 
• Estabilidade, Margem de Ganho e Margem de Fase via Diagramas de Bode
◦ Determinando a Estabilidade
◦ Calculando Margens de Ganho e de Fase
• Relação entre a Resposta Transitória em Malha Fechada e a Resposta em 
Frequência em Malha Fechada
◦ Fator de Amortecimento e Resposta em Frequência em Malha Fechada 
-------------//-----------------------//-------------------------//---------------------------//---------------------//---
Capítulo 13 – Sistema de controle digital
• Introdução
◦ Objetivo → Análise e o projeto de estabilidade, erro em regime permanente e 
resposta transitória para sistemas controlados por computador.
◦ Computador digital pode executar duas funções
▪ Supervisão → externa à malha de realimentação
• Ex: escalonamento de tarefas, monitoramento de parâmetros e variáveis 
com relação a valores fora de faixa, ou inicialização do desligamento de 
segurança
▪ Controle → interno à malha de realimentação
• Principal interesse
• Ex: compensações com avanço e com atraso de fase
◦ Vantagens dos Computadores Digitais
▪ custo reduzido, flexibilidade na resposta a alterações de projeto e imunidade
a ruído
▪ diagrama de blocos mostrando o posicionamento do computador digital 
dentro da malha (antes da planta para produzir o sinal) e mostrando o 
posicionamento de conversores A/D e D/A 
•
◦ Conversor analógico-digital (A/D) → converte sinais analógicos em 
sinais digitais
◦ conversor digital-analógico (D/A) → converte sinais digitais em sinais 
analógicos
◦ Conversão Digital-Analógica
▪ Simples e realizada instantaneamente 
▪ Tensões adequadamente ponderadas são somadas para resultar na saída 
analógica
▪
• Ex → Se o número binário é 1102 as chaves do centro e inferior estão 
ligadas, e a saída analógica é 6 volts
◦ Conversão Analógica-Digital
▪ Processo de dois passos, e não instantânea
▪ Taxa de amostragem de Nyquist → taxa de amostragem deve ser pelo 
menos o dobro da faixa de passagem do sinal, caso contrário, haverá 
distorção
▪
• (a) → Sinal analógico
• (b) → Sinal analógico amostrado em intervalos periódicos e mantido 
durante o intervalo de amostragem por um dispositivo chamado de 
amostrador e segurador de ordem zero
◦ Amostrador e segurador de ordem zero → produz uma aproximação 
em degraus do sinal analógico
◦ Erro de quantização → Haverá um erro associado para cada valor 
analógico digitalizado, exceto para as tensões nos limites (M/8 e 
2M/8)
▪ Para qualquer sistema utilizando arredondamento, o erro de 
quantização será (1/2) 
• (c) → Conversor analógico-digital converte a amostrada em um número 
digital
▪ Diferença entre níveis de quantização é [M/2n] volts
• n → número de bits binários utilizados para a conversão analógica-digital
• Modelando o Computador Digital
◦ Objetivo → obter uma representação matemática do processo do amostrador e 
segurador
◦ Modelando o Amostrador
▪ Objetivo → deduzir um modelo matemático para o computador digital 
representado por um amostrador e segurador de ordem zero
▪ Transformada de Laplace → substituída por outra transformada relacionada,
chamada de transformada z
▪
• Produto da forma de onda no domínio do tempo com a forma de onda de
amostragem
▪ Resultado da amostragem com pulsos retangulares de um amostrador ideal 
[f*(t)] que não é dependente das características da forma de onda de 
amostragem (Tw)
•
• → Falta um [=] entre f*(t) e Σ
◦ δ(t − kT) → funções delta de Dirac
▪ Resultado da amostragem com pulsos retangulares de um amostrador 
[f*Tw(t)] que é dependente das características da forma de onda de 
amostragem (Tw)
•
◦ Depois de Tw ainda tem o segurador que não foi representado
•
◦ Modelando o Segurador de Ordem Zero
▪ Função → Manter o último valor amostrado de f(t) 
▪ Saída do segurador é uma sequência de funções degrau cuja amplitude é 
f(t) no instante de amostragem, ou f(kT)
▪ Função de transferência do segurador de ordem zero 
•
◦ T → tempo final
• A Transformada z
◦ Estabilidade e a resposta transitória de sistemas com dados amostrados 
dependem da taxa de amostragem
◦ Objetivo → desenvolver uma transformada que contém a informação da 
amostragem a partir da qual sistemas com dados amostrados podem ser 
modelados com funções de transferência, analisados e projetados com a 
facilidade e com a compreensão que desfrutamos com a transformada de 
Laplace
◦ Definição da Transformada z
◦
▪ Onde → 
▪ Onde → z = eTs 
▪ Para uma rampa unitária → f(kT)=kT
▪ Qualquer função de s, F*(s), que representa uma forma de onda amostrada 
no tempo pode ser transformada em uma função de z, F(z)
▪ Tabela parcial de transformadas z e s (F → f)
▪ Teoremas de transformada z (f → F)
▪
▪ Para funções que não estão na tabela → realizar um cálculo da 
transformada z inversa semelhante ao da transformada inversa de Laplace 
através de expansão em frações parciais
◦ A Transformada z Inversa
▪ Fornecerá apenas os valores da função do tempo nos instantes de 
amostragem 
▪ Via Expansão em Frações Parciais
• Funções exponenciais do tempo amostradas estão relacionadas com 
suas transformadas z da seguinte forma:
◦
• Expansão em frações parciais deve ter a seguinte forma:
◦
• Passo a passo:
◦ Caso a função apresente z no numerador → Dividir a função por z
◦ Realizar expansão em frações parciais
◦ Caso a função apresente z no numerador → Multiplicar a função 
expandida por z (para voltar a forma original)
◦ Utilizar a tabela para obter a transformada z inversa de cada fração 
parcial
▪ Ex: → 
◦ Para obter a função do tempo amostrada ideal → aplicar f(kT) na 
equação da função
▪ Via Método da Série de Potências
• Não produz expressões na forma fechada para f(kT)