Transformadas em Sinais e Sistemas -Aula 20 2019

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Transformadas em Sinais e 
Sistemas (BC1509) 
Aula 20 
Professor: Alain Segundo Potts 
alain.segundo@ufabc.edu.br 
Sala 742-1 
Bibliografia 
• LATHI, B. P.; Sinais e Sistemas Lineares, 
Bookman, 1a Ed., 2007. 
• ROBERTS, M. J.; Fundamentos em Sinais 
e Sistemas, McGraw-Hill, 1a Ed., 2009. 
• HAYKIN, S.; VAN VEEN, B.; Sinais e Sistemas, 
Bookman, 1a Ed., 2001. 
• OPPENHEIN, A.; WILLSKY, A.; NAWAB, S.; Sinais 
e Sistemas, 2ª ed., São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010 
 
Objetivos 
• Análises de sistemas lineares. 
• Estabilidade de sistemas. 
• Respostas de sistemas a sinais padrão. 
• Diagramas de pólos e zeros e Cálculo gráfico da 
respostas em frequência. 
Análises de Sistemas Lineares 
• Um dos grandes poderes da Transformada de 
Laplace reside em seu uso na hora de analisar 
sistemas lineares. 
• Sistemas lineares contínuos no tempo são 
descritos por equações diferenciais lineares e 
após a Transformação de Laplace as equações 
diferenciais passam a ser equações algébricas. 
• Além disso, a TL (unilateral) é muito útil na 
hora da analisar transitórios de sinais cuja 
excitação começa num tempo t=t0. 
Exemplos 
• Resolva a seguinte equação diferencial usando 
a Transformada de Laplace 
 
 
• para instantes de tempo t>0, e sujeita às 
seguintes condições iniciais: 
     
2
2
7 12 0
d d
x t x t x t
dt dt
        
   
0
0 2, 4
t
d
x x t
dt



    
Exemplos 
• Solução 
       
            
 
 
  
     
2
2
2
0
2
1 1
3 4
7 12 0
0 7 0 12 0
2 10
7 12
4 2
3 4
4 2
3 4
4 2
t
t t
d d
L x t x t x t L
dt dt
d
s X s sx x t sX s x X s
dt
s
X s
s s
X s
s s
L X s L
s s
x t e e u t

 

 
 
 
         
 
       


 
 
 
 
  
  
 
Exemplos 
• Seja o filtro passa-baixa mostrado na figura 
determine sua resposta quando excitado por 
um impulso de tensão unitária no instante t=, 
>0. 
Exemplos 
• Solução 
 
   
  
   
         
     
 
   
 
  
 
 
1 1
1
0
1 1
0
0 1
1 1
0 1
1 1
in out
out
in out
out
out out in out
out in out
out in s
out in
s
out
out
out out
v t v t
Cv t
R
v t v t
L Cv t L
R
C sV s v V s V s
R
V s s V s v
RC RC
v V s
V s V s e
RC
s s
RC RC
v e
L V s L
RC
s s
RC RC
v t v






 
 


 
  
 
  
 
   
 
   
 
 
 
  
  
 
      
1
0
t t
RC RCe u t e u t
RC



 
  
 
 
 
0 1
0 0
1 1lim
s
out
out out
s
v e
v s v
RC
s s
RC RC
 
 

 
 
   
  
 
Estabilidade de Sistemas 
• Como já foi visto em aulas anteriores de 
acordo ao critério BIBO um sistema é estável 
se sua resposta ao impulso é absolutamente 
integrável. 
• A transformada de Laplace da resposta ao 
impulso é a função de transferência do 
sistema. 
 
1 1
1 1 0
1 1
1 1 0
M M
M M
N N
N N
b s b s b s b
H s
a s a s a s a




   

   
Estabilidade de Sistemas 
• O denominador desta função de transferência 
sempre pode ser factorado, 
 
 
e caso a fração seja própria ela pode ser 
expandida em frações parciais. 
 
    
1 1
1 1 0
1 2
M M
M M
N
b s b s b s b
H s
s p s p s p

   
  
  1 2
1 2
N
N
KK K
H s
s p s p s p
   
  
Estabilidade de Sistemas 
• Logo a resposta ao impulso seria: 
 
• Onde ps são os pólos finitos da função de 
transferência. 
• Para que h(t) seja absolutamente integrável 
cada um dos termos deve ser absolutamente 
integrável de maneira individual. 
  1 21 2 N
p tp t p t
Nh t K e K e K e   
Estabilidade de Sistemas 
• A integral da magnitude de um termo típico é: 
 
 
 
 
• Para esta integral convergir a parte real do 
pólo Re(p) tem que ser negativa. 
         
 
Re Im Re Im
0 0
1
Re
0
p t p t p t p tpt
p t
I Ke u t dt K e e dt K e e dt
I K e dt
  


  

  

Estabilidade de Sistemas 
• Desta forma temos que para que um sistema 
seja BIBO estável, todos os pólos finitos da sua 
função de transferência devem estar 
localizados no semiplano esquerdo aberto do 
plano complexo. 
• Note que quando falamos do semiplano 
esquerdo aberto não são incluídos os pontos 
sob o eixo j. 
Estabilidade de Sistemas 
• No caso em que existam pólos finitos não 
repetidos sob o eixo j o sistema é dito 
marginalmente estável. 
• A resposta ao impulso não vai decair com o 
tempo, mas também não aumentará. 
• A estabilidade marginal é um caso especial da 
estabilidade de acordo ao critério BIBO pois neste 
caso é possível encontrar sinais de entrada 
limitados que produzam respostas ilimitadas. 
Estabilidade de Sistemas 
• Caso existam pólos repetidos deve-se cumprir 
a mesma regra: a parte real dos pólos deve 
estar situada no semiplano esquerdo aberto. 
• Não entanto, se há pólos repetidos sob o eixo 
j e não há pólos no semiplano direito ó 
sistema é dito instável. 
Estabilidade de Sistemas 
Estabilidade Estabilidade Marginal Instabilidade 
Todos os pólos finitos no 
semiplano esquerdo 
aberto. 
Um ou mais pólos finitos 
singulares sobre o eixo j, 
mas nenhum pólo finito 
repetido no eixo j e 
nenhum pólo finito no 
semiplano direito aberto. 
Um ou mais pólos finitos 
no semiplano direito 
aberto ou pólos repetidos 
sobre o eixo j. 
Exemplos 
• Avalie a estabilidade dos sistemas associados 
a cada uma das funções de transferência 
dadas a seguir. 
 
 
 
 
 
 
2
2
100
200
80
4
6
1
15
4 4
1
64
H s
s
H s
s
H s
s s
s
H s
s s
H s
s
 





 
 


 
 
 
2
2
2
3 2
10
3
4 29
4
3
4 29
10
4 29
s
H s
s s
s
H s
s s
H s
s s s


 


 

 
E 
I 
ME 
E 
ME 
E 
I 
ME 
Respostas de sistemas a sinais padrão 
• Ao longo deste curso vimos que um sistema 
LTI é completamente caracterizado por sua 
resposta ao impulso. 
• Porém, em testes de sistemas reais a aplicação 
de um impulso para analisar a resposta ao 
impulso não é algo pratico. 
• Em vez disto utilizam-se outro tipo de sinais 
como o degrau unitário e as senóides. 
Resposta ao degrau unitário 
• Seja a função de transferência de um sistema 
LTI: 
 
• Para condições inicias nulas a TL do sistema 
para um sinal de entrada do tipo degrau 
unitário é: 
 
 
 
   , grau de grau de 
N s
H s N s D s
D s
 
   
 
 
 
 
 1 0N s N s H
Y s H s
sD s D s s
   
• Se o sistema é estável segundo o critério BIBO, 
as raízes de D(s) encontram-se todas no SEA e 
a TL do termo N1(s)/D(s) é chamada de 
resposta transitória, porque decai a zero à 
medida que o tempo t. 
• A resposta forçada corresponde à TL inversa 
de H(0)/s que é H(0)u(t). 
Resposta ao degrau unitário 
• Suponha um sistema de primeira ordem com 
 
• A TL da resposta ao degrau seria então: 
 
 
• Aplicando a TL inversa temos: 
 
1
A
H s
s p


   
1
1
A A A
Y s H s
s p s s s p
   
 
     1 pty t A e u t 
Resposta ao degrau unitário 
• Se p>0 o sistema será instável e a magnitude 
da resposta decrescerá exponencialmente. 
Resposta ao degrau unitário 
• A velocidade do aumento exponencial 
depende do valor da magnitude de p. 
• O recíproco de p, =-1/p é chamado de 
constante de tempo do sistema e para um 
sistema estável a resposta atinge o 63,2% de 
seu valor final em um tempo igual a . 
Resposta ao degrau unitário 
• Considere agora um sistema de segunda 
ordem com função de transferência igual a: 
 
 
• Observe que esta função de transferência 
possui três parâmetros, o ganho em baixas 
frequências A, a relação de amortecimento , 
e a frequência angular natural n. 
 
2
2 2
, 0
2
n
n
n n
A
H s
s s


 
 
 
Resposta ao degrau unitário 
• A resposta ao degrau deste sistema é:• Expandindo em frações parciais para   1 
temos: 
 
     
2 2
2 2
2 2
1
2 1 1
n n
n n
n n
A A
H s
s s s s s s
 
       
 
       
 
 
 
 
 
2 2 2 2
2 2
1 1
2 1 1 2 1 11
1 1n n
H s A
s s s
     
     
 
 
      
   
      
 
 
Resposta ao degrau unitário 
• A resposta no domínio do tempo é: 
 
 
• Para o caso especial em que  = 1 tem-se: 
 
 
• E a resposta no domínio do tempo é: 
 
 
 
 
 
 
2 21 1
2 2 2 2
1
2 1 1 2 1 1
n nt t
e e
h t A u t
     
     
      
   
 
       
 
     
2
2 2
1 1n n
nn n
A
H s A
s ss s s
 
 
 
    
  
 
     1 1 ntnh t A t e u t
    
Resposta ao degrau unitário 
• Analisemos o comportamento de h(t) para A e 
n constantes: 
1. <0. O sistema é instável. Para <-1 a resposta é 
uma exponencial em crescimento e para -1<<0 
uma oscilação com amplitude crescente. 
2. >0. O sistema é estável. 
a) >1: Sistema chamado de superamortecido. 
b) 0<<1: Sistema denominado subamortecido. 
c) =1: Sistema com amortecimento crítico. 
Resposta ao degrau unitário 
Resposta ao degrau unitário 
• Observe agora o caso em que a frequência 
natural n varia enquanto A e  são 
constantes (A=1, =0.5). 
• 
Resposta ao degrau unitário 
Diagramas de Pólos e Zeros 
• Para um sistema estável a resposta em 
frequência pode ser obtida diretamente da 
função de transferência no domínio de 
Laplace fazendo sj. 
• Como a função de transferência é formada por 
dois polinômios e estes podem ser factorados 
temos: 
 
    
    
1 2
1 2
M
N
s z s z s z
H s A
s p s p s p
  

  
Diagramas de Pólos e Zeros 
• Para elaborar o gráfico da resposta em 
frequência devemos admitir que s esteja 
restrito a j. Graficamente isto significaria que 
s somente varia ao longo do eixo imaginário. 
• Logo a resposta em frequência do sistema fica 
como: 
 
    
    
1 2
1 2
M
N
j z j z j z
H j A
j p j p j p
  

  
  

  
Diagramas de Pólos e Zeros 
• A partir da resposta em frequência na forma 
fatorada em pólos e zeros podem ser obtidos 
os gráficos da magnitude e da fase do sistema. 
• Magnitude 
 
 
• Fase 
 
     
     
1 2
1 2
M
N
j z j z j z
H j A
j p j p j p
  

  
  

  
       
     
1 2
1 2 
M
N
H j A j z j z j z
j p j p j p
   
  
       
      
Diagramas de Pólos e Zeros 
• Os gráficos de magnitude e fase podem ser 
entendidos como gráficos que descrevem a 
distância e a orientação dos polos e zeros com 
relação ao eixo j. 
 
3
3
s
H s
s


Diagramas de Pólos e Zeros 
• Exemplo obtenha os gráficos de magnitude e 
de fase da seguinte função de transferência: 
 
• Magnitude: 
 
3
3
s
H s
s


 
2
22
3 3 3 9
3 99
j
H j
j
   

 

  
 
 
 
2
2
0 0
2
2
3 9
0
9
3 9
3
9
lim lim
lim lim
H j
H j
 
 
 


 


 
 

 


 

Diagramas de Pólos e Zeros 
• Fase: 
   
 
 
0 0
3 3 atan
2 3
atan
2 3 2
atan 0
2 3
lim lim
lim lim
H j j j
H j
H j
 
 
 
  
  

 

 
 
 
        
 
 
   
 
 
   
 
Diagramas de Pólos e Zeros 
• Exemplo calcule a resposta em frequência do 
seguinte sistema: 
 
 
• Solução: 
 
2
2
2 17
4 104
s s
H s
s s
 

 
 
  
  
1 4 1 4
2 10 2 10
s j s j
H s
s j s j
   

   
 
  
  
1 4 1 4
2 10 2 10
j j j j
H j
j j j j
 

 
   

   
Diagramas de Pólos e Zeros 
• Magnitude: 
 
   
   
   
   
     
     
2 2
2 2
2 2 22
2 2 22
1 4 1 4
2 10 2 10
4 1 4 1
 
10 4 10 4
16 4 4 1
 
100 4 10 4 10 16
j j j j
H j
j j j j
 

 
 
 
  
  
   

   
   

   
     

     
Diagramas de Pólos e Zeros 
• Fase: 
         
   
1 4 1 4 2 10 2 10
10 10
 atan 4 atan 4 atan atan
2 2
H j j j j j j j j j    
 
 
           
    
        
   
Diagramas de Pólos e Zeros 
• Diagrama de Bode para o sistema. 
-30
-20
-10
0
10
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
45
90
135
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Trabalho extraclasse 
• Estudar capítulo 15, epigrafes 15.5 até 15.11 
• Exercícios com respostas 16-18 e 24. 
• Exercícios sem respostas 40-56.