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� n)dS =
ZZZ
div (F) dV = 3
ZZZ
(x2 + y2 + z2)dxdydz:
Usando as coordenadas cilíndricas x = r cos �, y = r sen � e z = z; cujo Jacobiano é J(r; �; z) = r,
obtemos
F = 3
ZZZ
(x2 + y2 + z2)dxdydz
= 3
Z 3
0
Z 2�
0
Z 2
0
(r2 + z2)rdrd�dz = 180�: �
Exemplo 6.49 Seja r = xi + yj + zk o vetor posição do ponto P (x; y; z) e sobre a região sólida
 : a2 � x2 + y2 + z2 � b2, considere o campo radial
F (P ) =
r
r3
:
Calcular o ‡uxo do campo F; através da fronteira da região 
: Qual o ‡uxo do campo F através de
uma esfera de centro na origem e raio R?
262 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A. A. e SILVA & M. P. MATOS
Solução Considerando que o campo F é de classe C1 e que div (F) = 0 em 
 , segue do Teorema de
Gauss que o ‡uxo de F; através da fronteira de 
; é igual a zero. Aliás, o ‡uxo do campo F; através
de qualquer superfície S; simples, fechada, regular, que não contenha a origem no seu interior, é igual
a zero. Se representarmos por Sa e Sb as esferas de centro na origem e raios a e b, respectivamente,
veremos que os ‡uxos do campo F; através de Sa e Sb; são simétricos, já que o ‡uxo total é zero (note
que as normais exteriores têm sentidos opostos); ressaltamos, contudo, que os ‡uxos através de Sa e
Sb, nas direções radiais, partindo da origem, são iguais.
Figura 6.25: Fluxo na direção radial.
O ‡uxo através de uma esfera SR, de centro na origem e raio R, não pode ser calculado pela fórmula
de Gauss, porque o campo F não está de…nido na origem (ele torna-se ilimitado quando r ! 0) e,
neste caso, o ‡uxo deve ser calculado diretamente. Temos:ZZ
SR
(F � n)dS =
ZZ
SR
xi+ yj+ zk
R3
� xi+ yj+ zk
R
dS
=
1
R4
ZZ
SR
�
x2 + y2 + z2
�
dS =
1
R4
ZZ
SR
R2dS
=
1
R2
ZZ
SR
dS =
1
R2
A(SR) =
1
R2
�
4�R2
�
= 4�:
O resultado seria o mesmo, caso a esfera SR fosse substituída por qualquer superfície S; simples,
fechada, regular, contendo a origem no seu interior. �
Exemplo 6.50 Seja S a fronteira do sólido 
; delimitado pelo cilindro z = 4 � x2 e pelos planos
y = 5, y = 0 e z = 0. Calcular o ‡uxo do campo F = (x3 + sen z)i + (x2y + cos z)j + exp(x2 + y2)k,
através de S.
Solução Primeiro faça um esboço da superfície e de sua orientação. O cálculo direto da integral de
superfície é bastante trabalhoso, e ele torna-se mais simples quando usamos Teorema de Gauss. Como
L = x3 + sen z; M = x2y + cos z e N = exp(x2 + y2);
temos que
divF = Lx +My +Nz = 3x
2 + x2 + 0 = 4x2
e do Teorema de Gauss, resultaZZ
S
(F � n)dS = 4
ZZZ
x2dxdydz
= 4
Z 2
�2
Z 4�x2
0
Z 5
0
x2dydzdx =
512
3
: �
CAPÍTULO 6 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE 263
Exemplo 6.51 Calcular o volume do elipsoide sólido 
 :
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
� 1; a; b; c > 0:
Solução Se considerarmos L =M = 0 e N = z, obteremos
vol(
) =
ZZZ
dxdydz =
ZZZ
(Lx +My +Nz) dxdydz
=
ZZ
S
(F � n)dS =
ZZ
S
Ldydz +Mdzdx+Ndxdy
=
ZZ
S
zdxdy;
sendo S a superfície do elipsoide. Parametrizando o elipsoide S por
r(�; �) = (a cos � sen�)i+ (b sen � sen�)j+ (c cos�)k; 0 � � � 2� e 0 � � � �;
obtemos
@(x; y)
@(�; �)
= �ab sen� cos�
e de (6.17) resulta,
vol(
) =
ZZ
S
zdxdy = c
Z 2�
0
Z �
0
cos�
����@(x; y)@(�; �)
���� d�d�
= abc
Z 2�
0
Z �
0
cos2 � sen�d�d� =
4
3
�abc: �
Exemplo 6.52 (volume da esfera n-dimensional) Segue do Exemplo 6:51, com a = b = c = �;
que o volume da esfera sólida S3� : x
2 + y2 + z2 � �2; de centro na origem e raio � > 0; é
vol(S3�) =
4
3��
3 = �3 vol(S31)
e, se representarmos por S21 o disco x
2 + y2 � 1; e por S1� o segmento vertical de z = �� até z = �,
com � =
p
1� x2 � y2, teremos
vol(S1� ) =
Z
S1�
dz = � vol(S11);
e, portanto,
vol(S31) =
ZZZ
S31
dxdydz =
ZZ
S21
"Z
S1�
dz
#
dxdy
=
ZZ
S21
�
� vol(S11)
�
dxdy
= vol(S11)
ZZ
S21
p
1� x2 � y2dxdy:
Agora, usando coordenadas polares x = r cos � e y = r sen �, chegamos a
vol(S31) = vol(S
1
1)
Z 2�
0
Z 1
0
r
p
1� r2drd� = 2�
3
vol(S11):
Ressaltamos que S21 é o disco unitário, cujo volume (área) é vol
�
S21
�
= �; e que S11 é o segmento
vertical de extremidades A (0; 0;�1) e B (0; 0; 1), cujo volume (comprimento) é vol �S11� = 2: Em
dimensão n � 3, temos a seguinte fórmula de recorrência:
vol(S11) = 2; vol(S
2
1) = � e vol(S
n
1 ) =
2�
n
vol(Sn�21 ); n � 3: �
264 CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS A. A. e SILVA & M. P. MATOS
6.4.1 Considerações Físicas
Interpretação do Divergente
Para interpretar …sicamente o divergente, representemos por 
� a esfera sólida compacta, com
centro no ponto P0 e raio � > 0; com fronteira S�. Dado um campo vetorial F, de classe C1 sobre 
�;
segue, do Teorema da Média para integrais triplas, que existe um ponto P na bola 
�; tal queZZZ
�
div (F) dV = div (F) (P ) vol (
�) ;
e, usando a Fórmula da Divergência, resulta
div (F) (P ) =
1
vol (
�)
ZZZ
�
div (F) dV
=
3
4��3
ZZ
S�
(F � n)dS:
Como a função P 7! div (F) (P ) é contínua em P0; temos que div (F) (P0) = limP!P0 [div (F) (P )] e,
sendo assim,
div (F) (P0) = lim
P!P0
[div (F) (P )]
= lim
�!0+
3
4��3
ZZ
S�
(F � n)dS:
Poderíamos ter usado essa última expressão para de…nir o divergente do campo F, no ponto P0; como
sendo o ‡uxo limite de F em P0. Destacamos as seguintes situações:
1. As linhas de campo são paralelas
As linhas de campo de F são as curvas 
; cujo vetor tangente no ponto P é F (P ). Quando as
linhas do campo forem paralelas e jF (P )j for constante em 
, teremos div (F) (P0) = 0 e, neste caso,
o ‡uxo positivo em uma parte da fronteira, é compensado pelo ‡uxo negativo na outra parte, como
indica a Figura 6.26(a).
2. As linhas de campo são divergentes ou convergentes
Quando as linhas de campo forem divergentes (Figura 6.26(b)) ou convergentes (Figura 6.26(c)),
então div (F) (P0) 6= 0:
Figura 6.26: Linhas de campo: paralelas (a), divergentes (b) e convergentes (c).
CAPÍTULO 6 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE 265
Equação de Conservação da Massa
Seja 
 uma região compacta do R3; inserida em um meio contendo um ‡uido em movimento. A
Fórmula da Divergência de Gauss estabelece queZZZ
div (�v) dV =
ZZ
S
(�v � n)dS;
onde S é a fronteira da região 
; v é a velocidade e � é a densidade de massa do ‡uido. A integral
tripla ZZZ
�dV
representa a quantidade de massa ‡uida presente em 
, em um dado instante, e a variação de massa
contida em 
 por unidade de tempo é, portanto,
d
dt
ZZZ
�dV =
ZZZ
@�
@t
dV:
Admitindo que a redução de massa contida em 
 ocorra apenas pelo seu ‡uxo através de S, resulta
da conservação da massa que
�
ZZZ
@�
@t
dV =
ZZ
S
(�v � n)dS =
ZZZ
div (�v) dV
e, consequentemente, ZZZ
�
@�
@t
+ div (�v)
�
dV = 0: (6.20)
Considerando em (6.20) 
 = 
� = fP 2 R3; jP � P0j � �g, a bola de centro P0 e raio �, e usando o
Teorema da Média para integral tripla, encontramos�
@�
@t
+ div (�v)
�
(P0)
= lim
�!0
1
vol (
�)
ZZZ
�
�
@�
@t
+ div (�v)
�
dV = 0 (6.21)
e de (6.21) resulta a equação de continuidade ou equação de conservação da massa:
@�
@t
+ div (�v) = 0:
Equação de Conservação da Carga Elétrica
Consideremos uma distribuição de carga elétrica sobre uma superfície S e representemos por � a
densidade de carga elétrica, v a velocidade das cargas e J = �v o vetor densidade de corrente elétrica.
De forma similar ao que foi feito para a conservação da massa, chegamos à equação de conservação da
carga elétrica
@�
@t
+ div (J) = 0:
O ‡uxo de J através de S é a intensidade de corrente elétrca I; e esta é dada por
I =
ZZ
S
(J � n)dS
Equação