DERIVADAS E INTEGRAIS IMEDIATAS

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FACULDADE CAMPO REAL – ENGENHARIA DE PRODUÇÃO – CÁLCULO II – PROF. TAÍS ROOS MATTE
FORMULÁRIO DE DERIVADAS E INTEGRAIS IMEDIATAS:
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INTEGRAL DEFINIDA:
Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a,b]. A integral definida de 
f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:
Onde:
- a é o limite inferior da integração;
- b é o limite superior de integração;
- f(x) é o integrando.
Se f(x) 0, representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para :
Se f(x) g(x), representa a área entre as curvas, para :
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Se f(x) 0 para e f(x) 0 para , então a área entre f(x) e o eixo 
x, para , é dada por:
Se f(x) , , e f(x) g(x), , então a área entre f e g, 
é dada por:
A integral definida representa uma área. De forma geral, para f(x) 0, a área limitada 
por f(x) e o eixo dos x, , é dada por , que pode representar a soma das 
áreas de infinitos retângulos de largura ∆x → 0 e cuja altura é o valor da função num ponto do 
intervalo da base:
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Subdividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos através das abscissas x0 = a, x1, 
x2, ...., xn = b, obtemos os intervalos (a, x1), (x1, x2), ..... (xn-1, b). Em cada intervalo (xi-1, x) 
tomemos um ponto arbitrário hi. Seja ∆xi = xi – xi-1, 1 i . De acordo com a figura, os 
retângulos formados tem área f(h1) ∆x1, f(h2) ∆x2, .... f(hn)∆xn.
Então a soma das áreas de todos os retângulos é:
que nos fornece um valor aproximado da área considerada.
Aumentando o número n de subintervalos ∆xi, tal que ∆xi tenda a zero (∆xi→ 0) e o 
número n de subintervalos tenda a infinito (n → ∞), temos as bases superiores dos retângulos e 
a curva praticamente se confundindo e, portanto, temos a área considerada.
Simbolicamente escrevemos:
CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA:
Consideremos as figuras a seguir:
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Se a área é dada por A(x), então A(a) = 0, pois não há área alguma.
Já A(x) dá a área da figura 1, A(b), a área da figura 2, e a área entre x + ∆x é 
A(x + ∆x) – A(x), ou seja:
•
•
•
•
Logo, o cálculo da área entre uma curva e o eixo dos x pode ser expresso por:
Exemplos:
a)
b)
c)
d)
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA
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EXERCÍCIOS:
1) Calcular:
a)
b)
c)
2) Calcular a área limitada por:
a) y= 2x – x² e o eixo x, acima do eixo x;
b) y=x² e y=2-x
c) y=sem x e o eixo x, para 0 
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5) Calcule a área das regiões indicadas nas figuras:
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