aula 07 - Sistemas de Potência - A2 (4)

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SISTEMAS DE POTÊNCIA
Aula 07
Prof.MSc.: Antonio Tavares de França Júnior
➢ Engº Eletricista (Bacharel)
➢ Engº de Segurança do Trab. (pós-graduado)
➢ Engº Mecânico (Mestrado)
Inspeção - Cabine de media tensão 13.800VProcedimento de ligação
Pedido de inspeção
•Durante esta vistoria a distribuidora pode exigir alguns relatórios de comissionamento,
bem como efetuar medições próprias a fim de verificar algumas informações.
Procedimento de ligação
Sistema de tarifação de uma ligação em AT
A tarifação é crescente do subgrupo A1 para o AS.
Procedimento de ligação
Sistema de tarifação de uma ligação em AT
A tarifação é mais cara para um consumidor de tensão menor porque a concessionária
gasta mais para fornecer a energia elétrica em tensões mais baixas pois a corrente
cresce com a redução da tensão.
Procedimento de ligação
Sistema de tarifação de uma ligação em AT
Ao mesmo tempo, o consumidor tem que investir mais para construir uma SE em nível
mais alto de tensão.
Procedimento de ligação
Sistema de tarifação de uma ligação em AT
Para as unidades consumidoras de BT (grupo B) a tarifa é monômia (único componente
– energia) e para aquelas unidades em AT (grupo A), a tarifa é binômia (energia e
demanda).
Procedimento de ligação
•A unidade consumidora do grupo A deve contratar uma demanda, que significa a
capacidade da rede de distribuição que está disponível para sua utilização.
Sistema de tarifação de uma ligação em AT
Elementos 
shunt
Geradores (G)
Cargas (L)
Reatores shunt (CSh)
Ligados entre um nó (barra) qualquer e o nó 
(barra) terra.
Linhas de Transmissão (LT)
Transformadores (TR)
Ligados entre dois nós (barras) quaisquer
Elementos 
série
Barra de carga
Elementos de uma rede Elétrica:
➢ Matriz que contém as admitâncias (que é o inverso da impedância = 1/Z) da rede
elétrica em questão muito utilizada na resolução de problemas de fluxo de potência e
curto circuito.
➢ É uma matriz quadrada (nxn) sendo “n” o número de barras da rede
➢ Pode ou não ser simétrica.
➢ Elementos da diagonal principal são a soma de todas admitâncias conectadas a
barra (inclui elementos shunt).
➢ Demais elementos são o negativo das admitâncias entre barras (não inclui elementos
shunt)
➢ É esparsa em redes elétricas de grande extensão
Matriz admitância de sequência Positiva
➢Elementos da diagonal principal são a
soma de todas admitâncias conectadas a
barra ( inclui elementos shunt).
➢Demais elementos são o negativo das
admitâncias entre barras (não inclui
elementos shunt)
➢É esparsa em redes elétricas de grande
extensão (muitos elementos nulos)
Matriz admitância de sequência Positiva
modelo π
Resistência série 
Reatância série
Suceptância shunt
Impedância série
(indutivo)
(capacitivo)
série shunt
admitância
condutância
suceptância
Impedâncias capacitivas 
shunt
Parte real
Parte 
imaginária
Parte real Parte imaginária
Diferença de potencial
Linhas de Transmissão:
Corrente saindo da barra (k):
modelo π
Resistência série 
Reatância série
Suceptância shunt
Impedância série
(indutivo)
(capacitivo)
série shunt
admitância
condutância
suceptância
Tanto Ikm quanto Imk se subdividem em 2 partes
Também conhecida como impedância de 
parâmetros concentrados
Corrente saindo da barra (m):
Linhas de Transmissão:
admitância
condutância
suceptância
1. Para um sistema de 3 barras abaixo calcule a matriz admitância (Y) da rede:
OBS.: Sendo um sistema de três barras minha matriz será 3x3
1. Receber a matriz em termos de impedâncias;
2. Transformar as impedâncias em admitâncias;
3. Elementos shunt que já foram dados em 
termos de suceptância (j0,2), ou seja, os dois 
capacitores tem sempre o mesmo valor
k m
1 2 0,03 – j0,1 0,2
2 3 0,01 – j0,2 0,0
- j0,05
Negativo (-) da admitância entre a 
barra 1 e barra 2 (item 2 da regra)
Y =
Seguindo as duas regras da matriz admitância:
1. Elementos da diagonal principal são a soma de todas admitâncias conectadas a
barra ( inclui elementos shunt).
2. Demais elementos são o negativo das admitâncias conectadas a barra (NÃO inclui
elementos shunt);
Tudo que está 
conectado na 
barra 1
Tudo que está 
conectado na 
barra 2
Tudo que está 
conectado na 
barra 3
Como não tem 
elementos conectados a 
barra 1 e 3 a admitância 
é nula, ou seja, elas não 
são vizinhas Y13 = 0 =Y31
Obs.: como é uma matriz
simétrica, ou seja, todo o lado
de baixo da matriz principal é
igual a todo o lado de cima,
Y21 = Y12, Y13 = Y31, Y23 = Y32
Negativo (-) da 
admitância entre a 
barra 2 e barra 3
Algumas considerações antes da Resolução
admitância condutância
suceptância
1. Para um sistema de 3 barras abaixo calcule a matriz admitância (Y) da rede:
OBS.: Sendo um sistema de três barras minha matriz será 3x3
1. Receber a matriz em termos de impedâncias;
2. Transformar as impedâncias em admitâncias;
3. Elementos shunt que já foram dados em termos de suceptância (j0,2), ou seja, os
dois capacitores tem sempre o mesmo valor
k m
1 2 0,03 – j0,1 0,2
2 3 0,01 – j0,2 0,0
- j0,05
Negativo (-) da admitância entre a 
barra 1 e barra 2 (item 2 da regra)
Y =
Seguindo as duas regras da matriz admitância:
1. Elementos da diagonal principal são a soma de todas admitâncias conectadas
2. Demais elementos são o negativo das admitâncias conectadas a barra (NÃO inclui elementos shunt);
Tudo que está 
conectado na barra 1
Tudo que está conectado na barra 2
Tudo que está conectado na barra 3
Como não tem elementos conectados a barra 1 e 3 
a admitância é nula, ou seja, elas não são vizinhas 
Y13 = 0 =Y31
Obs.: como é uma matriz simétrica, ou seja, todo o lado de baixo da matriz principal é igual a todo
o lado de cima, Y21 = Y12, Y13 = Y31, Y23 = Y32
Negativo (-) da admitância entre a barra 2 e barra 3
Algumas considerações antes da Resolução
k m
1 2 0,03 – j0,1 0,2
2 3 0,01 – j0,2 0,0
Y11 = tudo que está conectado na barra 1
Ramo série = não se
considera os elementos
shunt
impedância suceptância
Negativo (-) da admitância entre a barra 1 e a barra 2
Admitância y12 + suceptância capacitiva (shunt)
Y21 = Y12
Y13 = Y31 =0
Y22= tudo que está conectado na barra 2
- j0,05
Reator shunt
Tudo que está 
conectado na barra 3
Y33 = 1/z23 = (0,25+J4,99) pu
k m
1 2 0,03 – j0,1 0,2
2 3 0,01 – j0,2 0,0
impedância suceptância
Ramo série = não se
considera os elementos shunt
Negativo (-) da admitância entre a barra 2 e a barra 3
Y23 = Y32
y12 y23+
k m
1 2 0,03 – j0,1 0,2
2 3 0,01 – j0,2 0,0
Y22= tudo que está 
conectado na barra 2
- j0,05
Ramo série = não se
considera os elementos shunt
Reator shunt
impedância suceptância
Tudo que está 
conectado na 
barra 3
Y33 = 1/z23 = (0,25+J4,99) pu
2,75 +j9,37 -2,75 –j9,17
-2,75 –j9,17Y =
0
0
3 +j14,31 -0,25 -j4,99
-0,25 -j4,99 0,25 +j4,99
0
Passar para coordenadas polares
Montando a matriz em coordenadas retangulares
2,75 +j9,37 -2,75 –j9,17
-2,75 –j9,17Y =
0
0
3 +j14,31 -0,25 -j4,99
-0,25 -j4,99 0,25 +j4,99
Passar para coordenadas 
polares
Y =
Como não tem elementos conectados a barra 1 e 3 a
admitância é nula, ou seja, elas não são vizinhas Y13 = 0 =Y31
Y =
9,76 ∠73,64º 9,57 ∠-106,69º 0 ∠0º
9,57 ∠-106,69º
0 ∠0º
14,62∠78,16º 4,99 ∠-92,87º 
4,99 ∠-92,87º 4,99 ∠87,13º 
Y =
Tudo que está 
conectado na barra 1
1.Montar a matriz Admitância
Ramo série da barra 
Y =
-5
1.Montar a matriz Admitância
Como não tem elementos
conectados a barra 1 e 3 a
admitância é nula, ou seja, elas
não são vizinhas Y13 = 0 =Y31
Y13 = Y31 =0
1.Montar a matriz Admitância
Y =
Ramo série da barra 
1.Montar a matriz Admitância
Y =
Tudo que está
conectado na barra 2
1.Montar a matriz Admitância
Y =
Ramo série da 
barra 
1.Montar a matriz Admitância
1.Montar a matriz Admitância
Tudo que está
conectado na
barra 3
1.Montar a matriz Admitância
Y =
Como não tem elementos conectados a barra
3 e 4 a admitância é nula, ou seja, elas não
são vizinhas Y34 =0 =Y43
1.Montar a matriz Admitância
Y =
Tudo que está
conectado na barra 4
1.Montar a matriz Admitância
Y =
8,33 -5 0 -3,33
-5 12,5 -5 -2,5
0 -5 5 0
-3,33 -2,5 0 5,83
1.Montar a matriz Admitância
Y =
8,33 -5 0 -3,33
-5 12,5 -5 -2,5
0 -5 5 0
-3,33 -2,5 0 5,83
= B
1.Montar a matriz Admitância
Y =
8,33 -5 0 -3,33
-5 12,5 -5 -2,5
0 -5 5 0
-3,33 -2,5 0 5,83
= B =
8,33 -5 0 -3,33
-5 12,5 -5 -2,5
0 -5 5 0
-3,33 -2,5 0 5,83
1.Montar a matriz Admitância
Matriz de fase-Ângulos. Me
indica o Ângulo em cada barra
θ1
θ2
θ3
θ4
θ =
1
pg =
pg1
pg2
2
Vetor das potências geradas
3
Função custo dos geradores linearizado
Avisa a incidência de
geração. cada linha
representa uma barra e cada
coluna representa um
gerador. Ag = (GxB) = (4x2)
Ag =
4
PL =
5
Vetor que indica as
potências consumidas.
(PL)
G1B1 G2B1
G1B2 G2B2
G1B3 G2B3
G1B4 G2B4
PLB1
PLB2
PLB3
PLB4
4 barras = 4 linhas da matriz
Barra 1
Barra 2
Barra 3
Barra 4
Função custo dos geradores linearizado
1 0 
0 0
0 0
0 1
Ag =
4
G1B1 G2B1
G1B2 G2B2
G1B3 G2B3
G1B4 G2B4
Se o gerador 1 (G1) está conectado na barra 1 (B1) = 1
O gerador 1 (G1) NÃO está conectado na barra 2 (B2) = 0
O gerador 1 (G1) NÃO está conectado na barra 3 (B3) = 0
O gerador 1 (G1) NÃO está conectado na barra 4 (B4) = 0
O gerador 2 está conectado a barra 4
1
2
3
4
PL =
5
PLB1
PLB2
PLB3
PLB4
0 
2
1
0 
Qual é a potência consumida na barra 1 (B1)? PL = 0
Qual é a potência consumida na barra 2 (B2)? PL = 2 p.u.
Qual é a potência consumida na barra 3 (B3)? PL = 1 p.u.
Qual é a potência consumida na barra 4 (B4)? PL = 0
θ1
θ2
θ3
θ4
θ =
1
pg =
pg1
pg2
2
8,33 -5 0 -3,33
-5 12,5 -5 -2,5
0 -5 5 0
-3,33 -2,5 0 5,83
B =
3
Ag =
1 0 
0 0
0 0
0 1
4
PL =
0 
2
1
0 
5
1
2
3
4
y =5
y =5
y =2,5
y =3,33
y =1/z ou y=1/x
1
2
3
4
y =5
y =5
y =2,5
y =3,33
LT1 0 0 0
0 LT2 0 0
0 0 LT3 0
0 0 0 LT4
T =
6
É uma matriz diagonal representando
as Linhas de transmissão. Em cada
linha da sua diagonal uma das linhas
de transmissão LT1 = Y11
Linha de transmissão 1
Linha de 
transmissão 2
Linha de 
transmissão 3
y =1/z ou y=1/x
5 0 0 0
0 3,33 0 0
0 0 5 0
0 0 0 2,5
T =
6
LT1 = Y11 = 5
LT2 = Y22 = 3,33
LT3 = Y33 = 5
LT4 = Y44 = 5
1
2
3
4
y =5
y =5
y =2,5
y =3,33
7
A =
L1B1 L1B2 L1B3 L1B4
L2B1 L2B2 L2B3 L2B4
L3B1 L3B2 L3B3 L3B4
L4B1 L4B2 L4B3 L4B4
Comunica o sentido das linhas
de transmissão e a incidência
das LTs em relação as barras.
Quando é uma linha que sai da
barra + e quando é uma linha
que chega na barra (-)
Linha
Barra
Sai da barra 1 +
Chega na barra 4 (-)
Sai da barra 1 +
Chega na barra 2 (-)
A =Linhas
1 -1 0 0
1 0 0 -1
0 1 -1 0
0 1 0 -1
Sai da barra 1 + Chega na barra 2 (-)
7
A =
L1B1 L1B2 L1B3 L1B4
L2B1 L2B2 L2B3 L2B4
L3B1 L3B2 L3B3 L3B4
L4B1 L4B2 L4B3 L4B4
Sai da barra 1 +
Chega na barra 4 (-)
Sai da barra 2 +
Chega na barra 3 (-)
Sai da barra 2 +
Chega na barra 4 (-)
Obs.: Primeiro passo pronto
2º passo – Escolher uma barra para referência.
Para calcular o fluxo é necessário escolher uma barra para
referência.
Obs.: Essa barra que for escolhida será eliminada nas matrizes ângulo (θ)
(matriz 1), matriz B (matriz 3), matriz Ag (matriz 4), matriz PL (matriz 5) e matriz
A (matriz 7).
θ2
θ3
θ4
12,5 -5 -2,5
-5 5 0
-2,5 0 5,83
Se a barra 1 for a escolhida eliminamos as linhas e colunas referentes a essa 
barra
θ1
θ2
θ3
θ4
θ =
1 3
-1 0 0
0 0 -1
1 -1 0
1 0 -1
7
A =
L1B1 L1B2 L1B3 L1B4
L2B1 L2B2 L2B3 L2B4
L3B1 L3B2 L3B3 L3B4
L4B1 L4B2 L4B3 L4B4
Ag =
1 0 
0 0
0 0
0 1
4
0 0
0 0
0 1
PL =
0 
2
1
0 
5
2
1
0 
3º passo - efetuar o calculo
θ2
θ3
θ4
17
-1 0 0
0 0 -1
1 -1 0
1 0 -1
5 0 0 0
0 3,33 0 0
0 0 5 0
0 0 0 2,5
T =
6
X
6 7 1
Xt =
t =
5.(-θ2)
-3,33.(θ4)
5. (θ2 - θ3)
2,5.(θ2 - θ4)
Matriz do Fluxo t
A matriz do fluxo “t” representa os ângulos como
incógnita, exatamente por que são esses
ângulos que a gente vai buscar no processo de
otimização.
X
θ2
θ3
θ4
+ X pg =
pg1
pg2
2
2
1
0 
-12,5 +5 +2,5
+5 -5 0
+2,5 0 -5,83
X
θ2
θ3
θ4
+
0 0
0 0
0 1
X
pg1
pg2
=
Os dados são os encontrados anteriormente. Agora é fazer a 
seguinte resolução: 
12,5 -5 -2,5
-5 5 0
-2,5 0 5,83
0 0
0 0
0 1
2
1
0 
resultado
-12,5 5 2,5
5 - 5 0
2,5 0 -5,83
X
θ2
θ3
θ4
( 3 X 3 ) . ( 3 X 1 )
( 3 X 1 )
O resultado da multiplicação vai 
ser uma Matriz 3x1
Fazer o Tabuleiro:
resultado
θ2
θ3
θ4
( 3X1 )
O resultado da multiplicação vai ser uma Matriz 3x1 
(3 linhas 1 coluna)
-12,5 5 2,5
5 -5 0
2,5 0 -5,83
Fazer: Linha x Coluna
( 3 X 1 )
pg1
pg2
( 3 X 2 ).( 2 X 1 )
Fazer: Linha x Coluna
( 3 X 1 )
( 3 X 1 )
=
0 0
0 0
0 1
0
0
Pg2
0
0
Pg2
0
0
Pg2
+
+
( 3 X 1 ) ( 3 X 1 )+
=
= ( 3 X 1 )
As ordens das
matrizes devem
ser iguais para
uma adição.
0
0
Somar linha com
linha.
=
0
0
Pg2
2
1
0 
2
1
0 
=
Sendo:
pg =
2 pg1
pg2
≤
2
1,5
=
Temos então um 
sistema de 
equações:
2
1
0 
2
1
0 
Ɵ4 = 0,26+0,43 Ɵ2
Ɵ4 = 0,26 +0,43 *(-0,366)
Ɵ4 = (1,5 + 2,5 Ɵ2)/5,83
-12,5Ɵ2 +5Ɵ3 +2,5 (0,26+0,43 Ɵ2) = 2 -12,5Ɵ2 +5Ɵ3 +0,65 +1,075Ɵ2 = 2 -11,425Ɵ2 +5Ɵ3 = 1,35
-11,425Ɵ2 +5Ɵ3 = 1,35
5Ɵ2 -5Ɵ3 = 1
-6,425Ɵ2 = 2,35 Ɵ2 = 2,35/ -6,425 Ɵ2 = -0,366 rad Substituir Ɵ2
Ɵ4 = 0,26 -0,157 = 0,103 rad
Substituir Ɵ4
5*(-0,366) -5Ɵ3 = 1 -1,83 -5Ɵ3 = 1
Ɵ3 = 2,83/ -5 Ɵ3 = -0,566 rad
t =
5.(-θ2)
-3,33.(θ4)
5. (θ2 - θ3)
2,5.(θ2 - θ4)
Substituir os valores dos ângulos na matriz t
θ2 = - 0,366 rad
θ1 = 0 ( barra de referência)
θ3 = - 0,566 rad
θ4 = 0,103 rad
5.(-θ2) → 5.[-(-0,366)] = 1,83
-3,33.(θ4) → -3,33.0,103 = -0,3429≈ -0,34
5. (θ2 - θ3) → 5.[-0,366 – (-0,566)] = 1
2,5.(θ2 - θ4) → 2,5.[(-0,366 - 0,103) = - ≈ -1,17
t =
1,83MW 
-0,34MW
1MW
-1,17MW
P12 = 1,83MW 
P14 = -0,34MW
P23 = 1MW
P24 = -1,17MW
P12 = 1,83MW 
P14 = -0,34MW
P23 = 1MWP24 = -1,17MW
PL3 =1,0 p.u.
PL2 = 2,0 p.u
2MW
1,5MW
TERMINOU DE ESTUDAR?
QUE BOM