CÁLCULO NUMÉRICO - IEC082-Módulo III

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1 
Motivação 
2 
}  Estudar métodos numéricos para a resolução de 
equações não lineares (determinar a(s) raiz(es) de uma 
função f(x)) 
 
!  Fundamentar a necessidade de uso de métodos 
numéricos para a resolução de equações não lineares 
!  Discutir o princípio básico que rege os métodos 
numéricos para a resolução de equações não lineares 
!  Apresentar uma série de métodos destinados à resolução 
de equações não lineares 
3 
}  Em diversas aplicações há a necessidade de 
se encontrar um número ξ tal que a função 
f(x) seja zero, ou seja, f(ξ)=0. 
}  À este número ξ atribui-se a denominação de 
raiz da equação f(x)=0 ou zero da função 
f(x). 
4 
}  Equação 
◦  Igualdade entre duas expressões matemáticas que 
se verifica para determinados valores das variáveis. 
}  Função 
◦  Relação entre dois conjuntos que abrange todos os 
elementos do primeiro e associa a cada elemento 
deste primeiro conjunto somente um elemento do 
segundo. 
5 
}  Graficamente 
f(x) 
6 
Equações 
Algébricas Transcendentes 
7 
}  Equação algébrica  
◦  São todas as equações que podem ser colocadas na 
forma : 
}  Equação Transcendentes 
◦  Todas as equações que não são algébricas. 
.,...,2,1,0, onde
,0...)( 01
2
2
1
1
nic
cxcxcxcxcxP
i
n
n
n
nn
=∀ℜ∈
=+++++= −−
8 
}  Calcule: 
◦  Solução: 
0562 =+− xx
( ) ( )
1,5
2
166
1.2
5.1.4)6()6(
2
4
21
22
==→
±
=
→
−−±−−
=→
−±−
=
xxx
x
a
acbb
x
9 
}  Para equação algébricas de grau até 4 existem 
métodos analíticos que encontram suas raízes. 
◦  Por exemplo para uma equação algébrica na forma 

 
}  Porém para equações algébricas com grau acima de 
4 são utilizados métodos numéricos para encontrar 
suas raízes. 
( )
a
acbbx
cbxax
2
4
,0
2
2
−±−
=
=++
10 
}  Princípio Básico dos Métodos Numéricos 
11 
 
VALOR 
INICIAL 
 
 
APRIMORAMENTO 
DOS VALORES 
 
 
MÉTODOS 
 
 
MINIMIZAÇÃO 
DOS ERROS 
 
 
VALOR ACEITÁVEL 
DE RAIZ 
 
}  Fases para a Determinação de Raízes a partir de 
Métodos Numéricos 
12 
FASE I 
Isolamento das 
raízes 
Determinação de um 
intervalo [a,b] (o menor 
possível) que contenha 
apenas uma raiz 
FASE II 
Refinamento das 
raízes 
Melhoramento do valor 
da raiz aproximada, 
convergindo para uma 
raiz exata (refinamento 
até a precisão desejada). 
 
MÉTODOS 
 
}  FASE I: ISOLAMENTO DAS RAÍZES 
◦  Realização de uma análise teórica e gráfica da 
função de interesse 
◦  Precisão das análises é relevante para o sucesso da 
fase posterior 
13 
}  TEOREMA 1: 
◦  Sendo f(x) contínua em um intervalo [a, b], se 
f(a).f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto 
 x = ξ entre a e b que é zero de f(x). 
14 
}  ANÁLISE GRÁFICA: 
15 
ξ1 ξ2 
f(x) 
x ξ3 
a b 
ξ b 
f(x) 
x 
a 
a ξ1 
f(x) 
x ξ2 b 
}  Graficamente 
f(x) 
| 
a 
| 
b 
| 
c 
| 
d 
| 
e 
| 
f 
Quais intervalos 
satisfazem a fase de 
isolamento de raiz 
dos métodos de 
Raízes de Equações? 
16 
}  Exemplo 01: f(x) = x3 – 9x +3 
17 
n  f(x) é contínua para ∀x ∈R. 
n  I1 = [-5, -3] 
n  I2 = [0, 1] 
n  I3 = [2, 3] 
Cada um dos intervalos contém 
pelo menos um zero . 
+ + + – – + + + – – – – f(x) 
5 4 3 2 1 0 -1 -3 -5 -10 -100 -∞ x 
}  OBSERVAÇÃO: 
◦  Se f(a)f(b) > 0, então se pode ter diversas 
situações no intervalo [a, b]. 
18 
b 
f(x) 
x a 
f(x) a ξ 
f(x) 
x b 
ξ1 ξ2 x a b 
19 
Construção dos gráficos de g(x) e 
h(x) no mesmo sistema cartesiano 
 
Localização dos pontos x nos 
quais g(x) e h(x) se interceptam 
(f(ξ) = 0 ⇔ g(ξ) = h(ξ) ) 
 
Localização das abscissas dos 
pontos nos quais a curva intercepta 
o eixo ox 
 
Construção do gráfico de f(x) 
 
I 
Obtenção da equação equivalente g(x) = 
h(x) a partir da equação f(x) = 0 
 
II 
Uso de programas para traçado de 
gráficos de funções 
III 
ANÁLISE GRÁFICA 
}  Estudo Detalhado do Comportamento de uma 
Função a partir de seu Gráfico 
◦  Domínio da função 
◦  Pontos de descontinuidade 
◦  Intervalos de crescimento e decrescimento 
◦  Pontos de máximo e mínimo 
◦  Concavidade 
◦  Pontos de inflexão 
◦  Assíntotas da função 
}  (Vide LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica) 
20 
}  Exemplo 02: f(x) = x3 – 9x +3 (Uso do método I ) 
21 
n  ξ1 ∈[-4, -3] 
n  ξ2 ∈[0, 1] 
n  ξ3 ∈[2, 3] 
3 3 
-7 2 
-5 1 
3 0 
11 -1 
3 -3 
-25 -4 
f(x) x 
ξ3 
f(x) 
x -4 1 -3 -2 -1 2 3 4 
ξ2 ξ1 
}  MATLAB: ezplot('x^3-9*x+3',[-4,4]) 
22 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-20
-10
0
10
20
30
x
x^3-9*x+3
}  Exemplo 02: f(x) = x3 – 9x +3 (Uso do método II ) 
23 
n  ξ1 ∈ (-4, -3) 
n  ξ 2 ∈ (0, 1) 
n  ξ 3 ∈ (2, 3) 
n  g(x) = x3 
n  h(x) = 9x -3 
 
ξ3 
g(x) 
x -4 1 -3 -2 -1 2 3 4 ξ2 
ξ1 
h(x) 
y 
}  MATLAB: ezplot('9*x-3',[-4,4]) 
24 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
x
9*x-3
}  Exemplo 03: f(x) = x logx – 1 
25 
n  xlog(x) – 1 = 0 !log(x) = 1/x 
n  g(x) = log(x) 
n  h(x) = 1/x 
 
ξ ∈[2, 3] 
ξ 
g(x) 
x 1 2 3 4 
h(x) 
y 
5 6 
}  MATLAB: ezplot('1/x',[0,5]) 
26 
0 1 2 3 4 5
0.5
1
1.5
2
2.5
x
1/x
}  FASE II: REFINAMENTO 
◦  Aplicação de métodos numéricos destinados ao 
refinamento de raízes 
–  Diferenciação dos métodos ð Modo de refinamento 
–  Método Iterativo ð Caracterizado por uma série de 
instruções executáveis sequencialmente, algumas das 
quais repetidas em ciclos (iterações) 
27 
}  CRITÉRIOS DE PARADA 
◦  Teste: xk suficientemente próximo da raiz exata? 
◦  Como verificar tal questionamento? 
◦  Interpretações para raiz aproximada 
–  x é raiz aproximada com precisão ε se: 
i. |x - ξ | < ε 
 ou 
ii. |f( x )| < ε 
28 
Como proceder se não se 
conhece ξ ? 
}  Redução do intervalo que contém a raiz a 
cada iteração 
◦  Obtenção de um intervalo [a,b] tal que: 
– ξ ∈ [a,b] 
 e 
–  b – a < ε 
29 
|x - ξ | < ε , ∀ x ∈ [a,b] 
∀x ∈ [a,b] pode ser 
tomado como x 
ξ b 
f(x) 
x 
a 
b – a < ε 
30 
Nem sempre é possível 
satisfazer ambos os critérios 
|f( x )| < ε 
|x - ξ | < ε 
Métodos numéricos são 
desenvolvidos de modo a satisfazer 
pelo menos um dos critérios 
31 
PROGRAMAS 
COMPUTACIONAIS 
Teste de Parada Estipulação do número máximo 
de iterações 
Prevenção contra loopings 
"  erros do programa 
"  inadequação do método ao problema 
Isolamento de Raiz 
Refinamento de Raiz 
Fase de 
Isolamento de 
Raiz 
Equações 
Algébricas 
Equações 
Transcendentes 
}  A fase de Isolamento de Raiz das Equações 
Algébricas é facilitada pela existência de 
Teoremas referentes a limites e números de 
raízes. 
}  Teorema 1: Uma equação algébrica de grau n, 
tem exatamente n raízes, contando cada raiz 
de acordo com a sua multiplicidade. 
◦  Demonstração: J.V. Uspensky. Theory of Equations. Tata 
McGraw-Hill Pub.,Nova Deli, 1948. 
}  Definição: Uma raiz tem multiplicidade m se 
.,...,3,2,1;
1
)()( Sendo
0)(
e 0)(...)('')(')(
mix
i
i
i
m
m
dx
xPdP
P
PPPP
==
−
=
≠
=====
ξ
ξ
ξ
ξξξξ
}  Exemplo: Para a equação algébrica dada 
abaixo, qual a multiplicidade da raiz ξ=1 
}  Logo a multiplicidade de ξ=1 é m=3. 
036)1('''1224)('''
0)1(''241212)(''
0)1('142464)('
0)1(514122)(
2
23
234
≠=→+=
=→−+=
=→+−+==→−+−+=
PxxP
PxxxP
PxxxxxP
PxxxxxP
Raízes de equações 
}  Teorema 1: Uma equação algébrica de grau n 
tem n raízes reais e/ou complexas. 
}  Teorema 2: Se os coeficientes de uma 
equação algébrica forem complexos, então 
suas raízes complexas serão complexos 
conjugados em pares, ou seja, se ξ=a+bi for 
uma raiz de multiplicidade m, então ξ=a-bi 
também será uma raiz com a mesma 
multiplicidade. 
}  Exemplo: Calcule as raízes da seguinte 
equação algébrica. 
( )
ii
xxxP
32
2
64
2
364
2
52164
0134)( 2
±=
±
=
−±
=
−±
=
=+−=
ξ
ξ
}  Teorema 1: Uma equação algébrica de grau n 
tem n raízes reais e/ou complexas. 
}  Teorema 2: As raízes complexas de uma 
equação algébrica aparecem em pares. 
}  Corolário 1: Uma equação algébrica de grau 
ímpar com coeficientes reais, tem ... 
 pelo menos uma raiz real. 
}  Teorema 1: Uma equação algébrica de grau n 
tem n raízes reais e/ou complexas. 
}  Teorema 2: As raízes complexas de uma 
equação algébrica aparecem em pares. 
}  Corolário 1: Uma equação algébrica de grau 
ímpar tem pelo menos uma raiz real. 
}  Teorema 4 (Regra de Sinal de Descartes): O 
número de raízes reais positivas n+ de 
P(x)=0 é igual ao número de variações de 
sinais na sequencia de coeficientes ou é 
menor que este número por um inteiro par, 
sendo as raízes contadas de acordo com a 
sua multiplicidade e não sendo considerados 
os coeficientes nulos. 
}  Qual é o número de raízes reais positivas de 
P(x)=0? 
02414132)( 234 =+−−+= xxxxxP
2 1 
0 ou 2=+n
}  Corolár io 2 Se P (x )=0 não possui r 
coeficientes nulos, então o número de raízes 
reais negativas é igual ao número de 
permanências de sinais na sequencia de 
coeficientes ou é menor que este número por 
um inteiro par. 
}  Qual é o número de raízes reais positivas de 
P(x)=0? 
02414132)( 234 =+−−+= xxxxxP
2 1 
0 ou 2=−n
}  A Regra de Sinal de Descartes consegue 
discernir entre raízes reais positivas e 
negativas, mas não consegue separar raízes 
reais de complexas, por isso os valores de n+ 
e de n- são iguais o número encontrado ou 
menores que este número por um inteiro par. 
}  Propriedades importantes : 
◦  P1 - Toda equação algébrica de grau n possui 
exatamente n raízes: 
–  Exemplo: a equação x3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: 
–  x = 0 ou x = 1 ou x = -1. 
–  Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto 
solução da equação dada é S = {0, 1, -1}. 
}  Propriedades importantes : 
◦  P2 - Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível 
por x – b: 
–  Esta propriedade é muito importante para abaixar o 
grau de uma equação , o que se consegue dividindo 
P(x) por x – b. 
}  Propriedades importantes : 
◦  P3 - Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , 
então o conjugado a - bi também será 

raiz: 
–  Exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, 
sabendo-se que três de suas raízes são os 

números 5, 3 + 2i  e 4 - 3i: 
–  Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 
2i e 4 + 3i são também raízes. 
–  Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é 
igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes. 
}  Propriedades importantes : 
◦  P4 - Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m 
então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade 
k: 
–  Exemplo: a equação (x - 4)10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4. 
–  Portanto 4 é raiz de multiplicidade 10 . 
–  Outro exemplo: a equação x3 = 0, possui três raízes iguais a 0 
ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3. 
–  A equação do segundo grau x2  - 8x + 16 = 0, possui duas 
raízes reais iguais a 4, (x’ = x’’ = 4). 
–  Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de 
multiplicidade dois. 
}  Propriedades importantes : 
◦  P5 - Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica 
P(x) = 0 for nula , então a unidade é raiz da equação (1 é 
raiz). 
–  Exemplo: 1 é raiz de 40x5 -10x3 + 10x - 40 = 0 , pois a soma 
dos coeficientes é igual a zero. 
}  Propriedades importantes : 
◦  P6 - Toda equação de termo independente nulo, admite um 
número de raízes nulas igual ao menor expoente da 
variável . 
–  Exemplo: a equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes nulas. 
–  A equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são 
nulas! 
}  Propriedades importantes : 
◦  P7 - Se x1 , x2 , x3 , ... , xn são raízes da equação aoxn + a1xn-1 + 
a2xn-2  + ... + an  = 0 , então ela pode ser escrita na forma 
fatorada : ao (x - x1) . (x - x2) . (x - x3) . ... . (x - xn) = 0 
–  Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º 
grau, então podemos escrever: 
–  (x+1) . (x-2) . (x-53) = 0, 
–  que desenvolvida fica : x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0 . 
59 
}  Os procedimentos de Refinamento de Raiz 
são procedimentos iterativos e portanto são 
constituídos dos seguintes elementos: 
◦  Fórmula de Iteração 
◦  Solução Inicial (x0) 
◦  Critério de Parada 
◦  Condição de Convergência 
}  A fórmula de Iteração, cálculo da solução 
inicial (x0) e a condição de convergência são 
os elementos que diferem os métodos 
}  Os Critérios de Parada são comuns a todos os 
métodos. 
}  Os procedimentos de Refinamento de Raiz 
recebem como parâmetros: 
◦  A equação f(x)=0 
◦  Um intervalo [a,b] onde a raiz de f(x)=0 é única. 
◦  O parâmetro ε (precisão ou tolerância) 
◦  O valor kmax indicando o máximo de iterações 
}  Quanto menor o intervalo [a,b] melhor será o 
desempenho dos métodos de refinamento. 
Refinamento 
de Raiz 
Método da 
Bissecção 
Métodos 
Baseados em 
Aproximação 
Linear 
Métodos 
Baseados em 
Tangente 
}  Métodos Iterativos para a Obtenção de Zeros 
Reais de Funções 
◦  Bissecção 
◦  Falsa Posição 
64 
Método da Bissecção 
65 
}  O Método da Bisseção baseia-se no seguinte 
teorema: 
◦  “Seja f uma função contínua em um intervalo 
[a,b]. Se f(a) × f(b) < 0 então existe pelo menos 
um ponto ξ ∈ [a,b] → f(ξ) = 0.” 
}  Dada uma função f(x) contínua no intervalo 
[a,b] onde existe uma raiz única, é possível 
determinar tal raiz subdividindo sucessivas 
vezes o intervalo que a contém pelo ponto 
médio de a e b. 
67 
}  Divide o intervalo [a,b] na metade. 
}  Estima como raiz o ponto médio do intervalo. 
}  Repete o procedimento para a metade do 
intervalo onde a função tem sinais contrários. 
}  Executa o método até que um critério de 
parada seja atendido. 
}  Definição do Intervalo Inicial 
◦  Atribui-se [a,b] como intervalo inicial 
–  a0 = a 
–  b0 = b 
–  x1 = ( a0 + b0 ) / 2 
◦  Condições de Aplicação 
–  f(a)*f(b) < 0 
69 
}  Definição de Novos Intervalos 
◦  Determina-se qual o subintervalo – [a , x1] ou [x1 , 
b] – que contém a raiz 
–  Calcula-se o produto f(a)*f(x1) 
–  Verifica-se se f(a)*f(x1) < 0 
–  Se verdadeiro ð ξ ∈ (a, x1) 
(Logo a = a e b = x1) 
–  Caso contrario " ξ ∈ (x1 , b) 
(Logo a = x1 e b = b) 
70 
◦  Repete-se o processo até que o valor de x atenda 
às condições de parada. 
}  Análise Gráfica 
71 
x 
a = a0 ξ 
f(x) 
b = b0 
x1 = (a + b)/2 
x1 
x 
a = a1 
ξ 
f(x) 
x1 = b1 
x2 = (a + x1)/2 
x2 
x 
ξ 
f(x) 
x1=b2 
x3 = (x2 + x1)/2 
x2=a2 
x3 Repete-se o processo até que o 
valor de x atenda às condições de 
parada. 
}  Generalização 
◦  Após n iterações, a raiz estará contida no 
intervalo: , 
 de modo que ξ é tal que: 
72 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −− n
00
nn
2
abab
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛++
−
<−ξ
1n
00
1n
2
abx
}  Tolerância (ε ) 
◦  Aproximação de zero, dependente do equipamento 
utilizado e da precisão necessária para a solução do 
problema 
73 
A tolerância é uma estimativa para o 
erro absoluto desta aproximação. 
}  Tolerância (ε ) 
◦  Considerando : : 
 
deve-se escolher n tal que: 
74 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
++
−
<−ξ 1n
00
1n
2
abx
ε<−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+1n
00
2
ab
}  Condições de Parada 
◦  Se os valores fossem exatos 
–  f(x) = 0 
–  (xk – xk+1)/xk = 0 
◦  Uma vez que são aproximados 
–  |f(x)| ≤ tolerância 
–  |(xk – xk+1)/xk| ≤ tolerância 
75 
}  Vantagens: 
◦  Facilidade de implementação; 
◦  Estabilidade e convergência para a solução 
procurada; 
◦  Desempenho regular e previsível. 
76 
O número de interações é dependente 
da tolerância considerada 
77 
}  Desvantagens: 
◦  Lentidão do processo de convergência (requer o 
cálculo de f(x) em um elevado número de iterações); 
◦  Necessidade de conhecimento prévio da região na 
qual se encontra a raiz de interesse (o que nem 
sempre é possível); 
◦  Complexidade da extensão do método para 
problemas multivariáveis. 
78 
}  Exemplo: f(x) = xlogx - 1 
79 
h(x) y 
ξ 
g(x) 
x 1 2 3 4 5 6 
ξ 2 3 
n  Verificou-se que ξ ∈ [2, 3] 
}  Exemplo: f(x) = xlogx - 1 
◦  Considerando o método da bissecção com tol = 0,002 e 
adotando [a0 ,b0] = [2, 3] como intervalo inicial, tem-se: 
◦  Cálculo da 1ª aproximação 
–  x1 = (a0 + b0)/2 = (2,00000 + 3,00000)/2 ⇒ x1 = 2,50000 
–  f(x1) = f(2,50000) = -0,00510 
–  f(a0) = f(2,00000) = -0,39794 
◦  Teste de Parada 
–  |f(x1)| =|-0,00510| = 0,00510 > 0,002 
80 
}  Exemplo: f(x) = xlogx – 1 
◦  Cálculo da 2ª aproximação 
–  Novo Intervalo 
–  f(a0).f(x1) = (-0,39794).(-0,00510) > 0 
–  logo: a1 = x1 = 2,50000 e b1 = b0 = 3,00000 
–  x2 = (2,50000 + 3,00000)/2 = x2 = 2,75000 
–  f(2,50000) = -0,05100 < 0 
–  f(3,00000) = 0,43140 > 0 
–  f(2,75000) = 0,20820 > 0 
–  ξ ∈ [2,5 ; 2,75] 
a2 = a1 = 2,50000 e b2 = x2 = 2,75000 
81 
Exemplo: 
82 
n  x3 = (2,50000 + 2,75000)/2 = 2,62500 
!  f(2,50000) = -0,05100 < 0 
!  f(2,75000) = 0,20820 > 0 
!  f(2,62500) = 0,10020 > 0 
n  x4 = (2,50000 + 2,62500)/2 = 2,56250 
!  f(2,50000) = -0,05100 < 0 
!  f(2,62500) = 0,10020 > 0 
!  f(2,56250) = 0,04720 > 0 
!  ξ ∈ [2,5 , 2,625] 
 a3 = a2 = 2,50000 
 b3 = x3 = 2,62500 
!  ξ ∈ [2,5 , 2,5625] 
 a3 = a2 = 2,50000 
 b3 = x4 = 2,56250 
 k ak bk f(ak) f(bk) xk+1 f(xk+1) 
0 2,50000 3,00000 -0,39794 0,43136 2,50000 -0,00510 
1 2,50000 3,00000 -0,00515 0,43136 2,75000 0,20820 
2 2,50000 2,75000 -0,00515 0,20816 2,62500 0,10021 
3 2,50000 2,62500 -0,00515 0,10021 2,56250 0,04720 
4 2,50000 2,56250 -0,00515 0,04720 2,53125 0,02090 
5 2,50000 2,53125 -0,00515 0,02094 2,51563 0,00790 
6 2,50000 2,51563 -0,00515 0,00787 2,50781 0,00140 
83 
Exemplo: f(x) = xlogx - 1 
ε = 0,002 
84 
Método Falsa Posição 
85 
}  Método da Bissecção 
◦  Calcula a média aritmética dos limites do 
intervalo que contém a raiz ([a, b] ) 
}  Método da Falsa Posição 
◦  Calcula a média ponderada dos limites do 
intervalo que contém a raiz ([a, b] ) 
86 
}  Método da Falsa Posição 
◦  Calcula a média ponderada dos limites do 
intervalo que contém a raiz ([a, b] ) 
87 
X = a∗ f (b)− b∗ f (a)f (b)− f (a)
x a ξ 
f(x) 
b X 
f(b) 
f(a) 
}  Definição do Intervalo Inicial 
◦  Atribui-se [a,b] como intervalo inicial 
–  a0 = a 
–  b0 = b 
◦  Condições de Aplicação 
–  f(a)*f(b) < 0 
88 
}  Definição dos Subintervalos 
◦  Subdivide-se o intervalo pelo ponto de 
intersecção da reta que liga f(a) a f(b) e o eixo 
das abscissas 
◦  Verifica-se se, através do teste de parada, se x1 
é uma aproximação da raiz da equação (ξ) 
–  Se verdadeiro ð x1 é a raiz procurada 
–  Caso contrário ð define-se um novo intervalo 
89 
}  Definição do Novo Intervalo 
◦  Determina-se qual subintervalo - [a0 , x1] ou 
[x1 , b0] - contém a raiz ξ 
–  Calcula-se o produto f(a)*f(x1) 
–  Verifica-se se f(a)*f(x1) < 0 
–  Se verdadeiro ð ξ ∈ (a0, x1) 
 Logo: a1 = a0 e b1 = x1 
–  Caso contrario ð ξ ∈ (x1, b0) 
 Logo a1 = x1 e b1 = b0 
90 
! Repete-se o processo até que o valor de x 
atenda às condições de parada. 
}  Análise Gráfica 
91 
Repete-se o processo até 
que o valor de x atenda às 
condições de parada. 
x3 = (x2 x f(x1) + x1 x f(x2) ) 
/ (f(x1) - f(x2)) 
x a = a0 ξ 
f(x) 
b = b0 
x1 = (a x f(b) + b x f(a) ) 
/ (f(b) - f(a)) 
x1 
x a = a1 ξ 
f(x) 
x1 = b1 
x2 = (a x f(x1) + x1 x f(a) ) 
/ (f(x1) - f(a)) 
 
x2 
x 
ξ 
f(x) 
x1 = b2 x2 = a2 x3 
}  Condições de Parada 
◦  Se os valores fossem exatos 
–  f(x) = 0 
–  (xk – xk+1)/xk = 0 
◦  Não o sendo 
–  |f(x)| ≤ tolerância 
–  |(xk – xk+1)/xk| ≤ tolerância 
92 
Exemplo: Considerando f(x) = xlogx - 1 
93 
h(x) y 
ξ 
g(x) 
x 1 2 3 4 5 6 
Intervalo inicial atribuído: [2, 3] 
Considerando-se ε = 0,002 
f(a0) = - 0,3979 
f(b0) = 0,4314 
 
f(a0) * f(b0) = - 0,017165< 0 
94 
Exemplo: 
n  Cálculo da 1ª aproximação: a0 = 2 b0 = 3 
 
 f(a0) = - 0,3979 < 0 
 f(b0) = 0,4314 > 0 
 
 x1 = [2.0,4314 – 3.(- 0,3979)] = 2,4798 
 
 [0,4314 – (- 0,3979)] 
 
! Teste de Parada 
l  |f(x1)| =|- 0,0219| = 0,0219 > tolerância 
! Escolha do Novo Intervalo 
l  f(a0).f(x1) = (- 0,3979).(- 0,0219) > 0 
 logo: a1 = x1 = 2,4798 e b1 = b0 = 3 
95 
Exemplo: 
n  Cálculo da 2ª aproximação: a1 = 2,4798 b1 = 3 
 
 f(a1) = - 0,0219 < 0 
 f(b1) = 0,4314 > 0 
 
 x2 = [2,4798.0,4314 – 3.(- 0,0219)] = 2,5049 
 
 [0,4314 – (- 0,0219)] 
 
!  Teste de Parada 
l  |f(x2)| =|- 0,0011| = 0,0011 < tolerância 
!  Escolha do Novo Intervalo 
l  f(a1).f(x2) = (- 0,0219).(- 0,0011) > 0 
 logo: a2 = x2 = 2,5049 e b2 = b1 = 3 
96 
Exemplo: 
n  Cálculo da 3ª aproximação a2 = 2,5049 b2 = 3 
 
 f(a2) = - 0,0011 < 0 
 f(b2) = 0,4314 > 0 
 
 x3 = [2,5049.0,4314 – 3.(- 0,0011)] = 2,5061 
 
 [0,4314 – (- 0,0011)] 
 
!  Teste de Parada 
l  |f(x3)| = |- 7,0118.10-5 | = 7,0118.10-5 < tol 
 
 (valor aceitável de raiz) 
k ak bk f(ak) f(bk) xk+1 f(xk+1 ) 
0 2,000000 3,000000 -0,3979000 0,431400 2,4798000 -0,021900 
1 2,479800 3,000000 -0,0219000 0,431400 2,5049000 -0,001100 
2 2,504900 3,000000 -0,0011000 0,431400 2,5061000 -0,000070 
97 
Exemplo: f(x) = xlogx - 1 
 
ε = 0,002 
Vantagens: 
 
}  Estabilidade e convergência para a solução 
procurada; 
}  Desempenho regular e previsível; 
}  Cálculos mais simples que outros métodos (ex: 
Newton). 
98 
Desvantagens: 
 
}  Lentidão do processo de convergência (requer 
o cálculo de f(x) em um elevado número de 
iterações); 
}  Necessidade de conhecimento prévio da região 
na qual se encontra a raiz de interesse (o que 
nem sempre é possível). 
99 
Comparação entre os métodos 
10
0 
101 
}  Bissecção e Falsa Posição 
◦  Convergência garantida, desde que a função seja 
contínua num intervalo [a,b] , tal que f(a)f(b)<0 
n  Garantias de Convergência dos Métodos 
102 
}  Convergência assegurada 
}  Ordem de convergência alta 
}  Cálculos por iteração simples 
n  Condições a Serem Satisfeitas pelo Método 
Ideal 
103 
}  Escolha do método ð Diretamente 
relacionada com a equaçãocuja solução é 
desejada 
◦  Comportamento da função na região da raiz 
exata 
 
◦  Critério de parada, etc. 
n  Conclusão 
104 
n  Exemplo: x2 + x – 6 = 0 
g(x) 
x 
y 
1 3 4 5 0 -1 -2 -4 
1 
2 
3 
4 
-4 
-3 
-2 
-1 
-6 
-5 
-3 2 
ξ ∈ [1,2,5], ε1 = ε2 = 10 -6 
105 
n  Exemplo: 
18182,450482 x 102,450482 x 10--77--2,397253 x 102,397253 x 10--662,0000002,000000[1;2,5][1;2,5]FPMFPM
559,798250 x 109,798250 x 10--66--4,230246 x 104,230246 x 10--882,0000002,000000
xx00 = 1,0= 1,0
xx11 = 1,2= 1,2
SecanteSecante
445,820766 x 105,820766 x 10--10105,820766 x 105,820766 x 10--992,0000002,000000xx00 = 1= 1NewtonNewton
11115,696906 x 105,696906 x 10--771,139381 x 101,139381 x 10--662,0000002,000000xx00 = 1= 1Ponto FixoPonto Fixo
42428,548295 x 108,548295 x 10--88--2,479001 x 102,479001 x 10--662,0000002,000000[1;2,5][1;2,5]Falsa PosiFalsa Posiççãoão
20207,152561 x 107,152561 x 10--772,384186 x 102,384186 x 10--662,0000002,000000[1;2,5][1;2,5]BissecBissecççãoão
# de # de 
iteraiteraççõesõesErro em xErro em xf(x)f(x)xx
Dados Dados 
iniciaisiniciais
18182,450482 x 102,450482 x 10--77--2,397253 x 102,397253 x 10--662,0000002,000000[1;2,5][1;2,5]FPMFPM
559,798250 x 109,798250 x 10--66--4,230246 x 104,230246 x 10--882,0000002,000000
xx00 = 1,0= 1,0
xx11 = 1,2= 1,2
SecanteSecante
445,820766 x 105,820766 x 10--10105,820766 x 105,820766 x 10--992,0000002,000000xx00 = 1= 1NewtonNewton
11115,696906 x 105,696906 x 10--771,139381 x 101,139381 x 10--662,0000002,000000xx00 = 1= 1Ponto FixoPonto Fixo
42428,548295 x 108,548295 x 10--88--2,479001 x 102,479001 x 10--662,0000002,000000[1;2,5][1;2,5]Falsa PosiFalsa Posiççãoão
20207,152561 x 107,152561 x 10--772,384186 x 102,384186 x 10--662,0000002,000000[1;2,5][1;2,5]BissecBissecççãoão
# de # de 
iteraiteraççõesõesErro em xErro em xf(x)f(x)xx
Dados Dados 
iniciaisiniciais
}  Pesquise sobre outro método para cálculo de 
raízes: 
◦  Apresente seus critérios de entrada, convergência 
◦  Apresente seu funcionamento com exemplos 
◦  Suas vantagens 
◦  Desvantagens 
◦  Compare-os aos demais métodos vistos em sala de 
aula 
106 
◦  Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Cálculo 
Numérico: Aspectos teóricos e computacionais. 
MAKRON Books, 1996, 2ª ed. 
◦  Asano, C. H. & Colli, E. Cálculo Numérico: 
Fundamentos e Aplicações. Departamento de 
 Matemática Aplicada – IME/USP, 2007. 
◦  Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Métodos Numéricos. 
DI/UFPR, 2006. 
107