Lista de exercícios de integrais

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Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Ceara´
Cieˆncias da Computac¸a˜o e Engenharia Ambiental - 2015.2
Ca´lculo II - 1a Lista de Exerc´ıcios
Professor: Enio Romagnome
Integrais Indefinidas
1. Calcule as integrais abaixo
(a)
∫
x3 − 2√x
x
dx
(b)
∫
cosx
sen2 x
dx
(c)
∫
sen 2x
senx
dx
(d)
∫ −3 + tet
t
dt
(e)
∫
3 tg θ − 4 cos2 θ
cos θ
dθ
(f)
∫
1
1 + 1
x2
dx
2. O ponto (3,2) esta´ numa curva e em qualquer ponto (x, y) sobre essa curva, a inclinac¸a˜o da reta
tangeˆnte e´ dada por 2x− 3. Ache uma equac¸a˜o da curva.
3. Sejam f(x) = |x| e F (x) =

x2
2
, se x ≥ 0
−x2
2
, se x < 0
. Mostre que F e´ uma primitva de f em (−∞,∞).
Integrais Definidas
4. Calcule as integrais abaixo
(a)
∫ 8
0
3
√
x dx
(b)
∫ √3/2
1/2
6√
1− t2 dt
(c)
∫ 2
1
1− t2
t4
dt
(d)
∫ pi/4
0
sec θ tg θ dθ
(e)
∫ 1
0
eu+1 du
(f)
∫ 1
0
1
1 + x2
dx
5. (a) Sejam f uma func¸a˜o integra´vel em [a, b], m e M constantes reais. Se m ≤ f(x) ≤M , para todo
x em [a,b], prove que
m(b− a) ≤
∫ b
a
f(x) dx ≤M(b− a).
(b) Estime o valor de
∫ 1
0
e−x
2
dx.
Ca´lculo de A´reas
6. Calcule a a´rea do conjunto A sendo que:
(a) A e´ o conjunto do plano limitado pelas retas x = −1, x = 3, pelo eixo 0x e pelo gra´fico de
y = x3.
(b) A e´ o conjunto de todos os (x, y) tais que 0 ≤ y ≤ | senx|, com 0 ≤ x ≤ 2pi.
(c) A e´ o conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, x =
pi
2
e pelos gra´ficos de y = cosx e
y = 1− cosx.
(d) A e´ o conjunto de todos os (x, y) tais que x2 ≤ y ≤ √x.
7. Ache a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas y = x3 − 6x2 + 8x e y = x2 − 4x.
1
Aplicac¸o˜es na F´ısica
8. Mostre que para um movimento em linha reta com acelerac¸a˜o constante a, velocidade inicial v0, tempo
inicial t0 = 0 e deslocamento inicial s0, o deslocamento, depois de um tempo t e´ s =
1
2
at2 + v0t+ s0.
9. Uma pedra e´ atirada verticalmente para cima, partindo do solo, com uma velocidade inicial de 15
m/s. Determine por quanto tempo ela subira´ e a altura ma´xima atingida pela pedra.
10. Qual a acelerac¸a˜o necessa´ria para aumentar a velocidade de um carro a
125
9
m/s para
200
9
m/s em
5s?
11. Uma pedra e´ largada de um penhasco e atinge o solo com uma velocidade de 40 m/s. Qual a altura
do penhasco?
12. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t) = 2t−3, t ≥ 0. Sabe-se que no instante
t = 0 a part´ıcula encontra-se na posic¸a˜o x = 5. Determine o instante em que a part´ıcula estara´ mais
pro´xima da origem.
Exerc´ıcios Diversos
13. As fronteiras da regia˜o sombreada sa˜o o eixo y a reta y = 1 e a curva y = 4
√
x. Ache a a´rea dessa
regia˜o escrevendo x como uma func¸a˜o de y e integrando em relac¸a˜o a y.
14. Determine se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas. Justifique!
(a) Se f for cont´ınua em [1, 3] enta˜o
∫ 3
1
f ′(x) dx = f(3)− f(1).
(b)
∫ 2
0
x− x3 dx representa a a´rea sob a curva y = x− x3.
(c) Se uma func¸a˜o f e´ integra´vel segundo Riemann, enta˜o f e´ cont´ınua.
15. Encontre f .
(a) f ′′(t) = 2et + 3 sen t, f(0) = 0, f(pi) = 0.
(b) f ′′′(x) = cos x, f(0) = 1, f ′(0) = 2, f ′′(0) = 3.
16. Um objeto e´ lanc¸ado para cima com velocidade inicial v0 a partir de um ponto s0 acima do solo.
Mostre que
[v(t)]2 = v20 − 20[s(t)− s0].
2
17. Suponha que os coeficientes do polinoˆmio p(x) =
n∑
i=0
aix
i satisfac¸am a equac¸a˜o
n∑
i=0
ai
i+ 1
= 0.
Mostre que a equac¸a˜o p(x) = 0 tem uma raiz entre 0 e 1.
18. Sejam p e q func¸o˜es cont´ınuas em um intervalo (a, b), t0 um ponto qualquer nesse intervalo e o
Problema de Valor Inicial, PVI,
u′(t) + u(t)p(t) = q(t) para a < t < b
u(t0) = u0.
(a) Determine uma func¸a˜o η tal que
(η(t)u(t))′ = η(t)(u′(t) + u(t)p(t)).
(b) Mostre que a soluc¸a˜o do PVI e´ dada da seguinte forma:
u(t) = exp
(
−
∫ t
t0
p(ξ) dξ
)[∫ t
t0
q(ξ)exp
(∫ ξ
t0
p(τ) dτ
)
dξ + u0
]
.
19. Mostre pelo me´todo das somas de Riemann que I =
∫ 1
0
x2 dx =
1
3
. Se necessa´rio, use:
n∑
k=1
k2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
.
20. (a) Se f for cont´ınua em [a, b], mostre que:∣∣∣∣∫ b
a
f(x) dx
∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a
|f(x)| dx.
(b) Mostre que
∣∣∣∣∫ 2pi
0
f(x) sen 2x dx
∣∣∣∣ ≤ ∫ 2pi
0
|f(x)| dx.
21. Calcule a derivada das func¸o˜es abaixo
(a) g(x) =
∫ x
1
1
t3 + 1
dt
(b) f(x) =
∫ pi
x
√
1 + sec t dt
(c) f(x) =
∫ 3x
2x
u2 − 1
u2 + 1
du
(d) y =
∫ 0
ex
sen3 t dt
22. Seja r(t) a taxa de consumo mundial de petro´leo em que t e´ medido em anos comec¸ando em t = 0
em 1o de janeiro de 2000 e r(t) e´ a medida de barris por ano. O que representa
∫ 8
0
r(t) dt?
23. Ache o intervalo em que a curva y =
∫ x
0
1
1 + t+ t2
dt e´ coˆncova para cima.
24. A Func¸a˜o Erro dada por
erf(x) =
2√
pi
∫ x
0
e−t
2
dt
e´ muito usada em engenharia, probabilidade e estat´ıstica.
3
(a) Mostre que
∫ b
a
e−t
2
dt =
1
2
√
pi[erf(b)− erf(a)].
(b) Mostre que a func¸a˜o satisfaz a equac¸a˜o diferencial y′ = 2xy +
2
pi
.
25. (a) Mostre que 1 ≤ √1 + x3 ≤ 1 + x3
(b) Mostre que 1 ≤
∫ 1
0
√
1 + x3 dx ≤ 1, 25
26. Mostre que 0 ≤
∫ 10
5
x2
x4 + x2 + 1
dx ≤ 0, 1
27. Se f for uma func¸a˜o cont´ınua tal que
∫ x
0
f(t) dt = xe2x +
∫ x
0
e−tf(t) dt, para todo x, ache ma
fo´rmula expl´ıcita para f(x).
28. Se w′(t) for a taxa de crescimento de uma crianc¸a em quilogramas por ano, o que
∫ 10
0
w′(t) dt
representa?
29. Calcule lim
h→0
(
1
h
∫ 2+h
2
√
1 + t3 dt
)
30. Sejam g(x) =
∫ cosx
0
[1 + sen(t2)] dt e f(x) =
∫ g(x)
0
1√
1 + t3
dt. Encontre f ′(pi/2).
4