Aula1-Cálculo Numérico_Erros_parte2_Manoel

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Erros
 Aritmética de ponto flutuante
 Erros
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Os computadores representam números na forma de ponto flutuante. Na aritmética de ponto flutuante o número é representado na forma: 
onde b é a base;
	 t é o número de dígitos na mantissa
	 e é o chamado expoente no intervalo [l,u].
1.3 - Aritmética de ponto flutuante
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Exemplo: Numa máquina que opera no sistema
os números são representados na forma
Nesta máquina, em módulo, o
menor número, em módulo:
maior número, em módulo: 
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Considere um número real tal que
Então temos que:
	i) o número nesta máquina (que opera com três dígitos) será representado por , se for usado o truncamento e , se for usado o arredondamento. 
	ii) (underflow). Exemplo:
	iii) (overflow). Exemplo:
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Undeflow/overflow
UNDERFLOW é o contrário de OVERFLOW. Flow é (literalmente) fluxo. Over é acima e under é abaixo. Ou seja: “deu pau” no programa porque alguma coisa ficou muito menor que o esperado. Talvez um conflito entre programas que manipularam a mesma área de memória.
Overflow é a situação na qual a mantissa é muito grande, não sendo possível mantê-la de forma normalizada. Underflow é a situação inversa, a mantissa é tão pequena (muito próxima a zero) que é impossível armazená-la.
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Comentário: Precisão Dupla
Note que em algumas linguagens de programação é possível declarar uma variável em dupla precisão.
Neste caso, esta variável será representada no sistema de aritmética da máquina, aproximadamente, com o dobro de dígitos disponíveis na mantissa.
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Exemplos:
Considere 
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Erros
Erro absoluto: diferença entre o valor exato de um número x e de seu valor aproximado :
Erro relativo: erro absoluto dividido pelo valor aproximado
Normalmente não temos o valor de x !!!! 
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Exemplos
Sabendo-se que , então uma estimativa do erro absoluto é:
Seja um número representado por tal que ,isto é, e seja um número representado por tal que , isto é, 
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Note que os erros absolutos são iguais.
Os erros relativos nos dois caso são:
Portanto, o número x é representado com maior precisão. Portanto, apesar dos erros absolutos serem iguais, a precisão das medidas não o são!!!
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1.4 - Erros de arredondamento e Truncamento
Sabemos que a representação de um número depende da máquina utilizada, pois seu sistema definirá a base numérica adotada, o total de dígitos na mantissa etc... Vimos também que algumas linguagens de programação permitem dupla precisão.
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Considere uma aritmética de ponto flutuante com t dígitos, na base 10. Seja o número x representado na forma: 
Por exemplo, se t=4 e x=234.57, então
Aritmética de ponto flutuante
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Note que não pode ser incorporado à mantissa!!!!!!!!!
Existem dois procedimentos:
Truncamento 
Arredondamento
 
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Truncamento: é desprezado e 
 
Erro Absoluto:
Erro Relativo:
Menor valor que fx pode assumir
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Arredondamento: é modificado para levar em consideração parte de .
Arredondamento simétrico: 
 
Se somamos 1 no último dígito de 
Se desprezamos 
Erro Absoluto:
Erro Relativo:
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Propagação de Erros
Dada uma seqüência de operações
como dá-se a propagação de erros?
O erro total é composto pelo erro dos fatores e pelo erro no resultado da operação.
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Bibliografia:
Ruggiero, Márcia A. Gomes e Lopes, Vera Lúcia da Rocha Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais 2 ed., São Paulo: Makron Books, 1996.