Laboratorio de Fisica I - Aula Método dos Mínimos Quadrados

Prévia do material em texto

F129 
P
ro
f.
 J
o
n
h
so
n
 O
rd
o
ñ
e
z 
 v
e
rs
ão
 2
0
1
4
 
Método dos Mínimos 
Quadrados (MMQ) 
F129 
P
ro
f.
 J
o
n
h
so
n
 o
rd
o
ñ
ez
 v
e
rs
ão
 1
4
 
Ajuste visual MMQ 
 Depende de quem 
analisa 
 É difícil de ponderar 
dados com incertezas 
diferentes 
 Não é otimizado 
 Bom para estimativas 
 Independe de quem 
analisa 
 A incerteza dos dados 
é ponderada 
 É o ajuste que mais se 
aproxima dos dados 
 Mais cálculos 
F129 
P
ro
f.
 J
o
n
h
so
n
 o
rd
o
ñ
ez
 v
e
rs
ão
 1
4
 
 Qual é o ajuste que mais se aproxima dos dados? 
 Menor distância entre os pontos experimentais e os dados 
 
 
F129 
P
ro
f.
 J
o
n
h
so
n
 o
rd
o
ñ
ez
 v
e
rs
ão
 1
4
 
Descrição gaussiana de erros 
 N pontos (xi,yi) 
 yi tem um erro associado σi (não têm que ser iguais) 
 
)( iiy 
 Descrição gaussiana de erros, probabilidade Pi 













 

2
2
1
exp
i
ii
i
i
yyC
P

 
iy
 é o valor médio de yi 
),...,,,(x f 21i ni aaay 
 
F129 
P
ro
f.
 J
o
n
h
so
n
 o
rd
o
ñ
ez
 v
e
rs
ão
 1
4
 
 Definindo    2
1
212 ,...,,,






 

n
i i
nii aaaxfy














 

2
2
1
exp
i
ii
i
i
yyC
P

 
 
),...,,,(x f 21i ni aaay 
 
 Pi é máximo quando é mínimo 2
Descrição gaussiana de erros 
F129 
P
ro
f.
 J
o
n
h
so
n
 o
rd
o
ñ
ez
 v
e
rs
ão
 1
4
 
 é uma função!!! 
 
 
 
 Como achar o mínimo de uma função? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como minimizar ? 
x 
F(x) 
2  




 

n
i i
nii aaaxfy
2
212 ))...,,((

0
1
2



a

0
2
2



a

0
2



na

... 
2
F129 
P
ro
f.
 J
o
n
h
so
n
 o
rd
o
ñ
ez
 v
e
rs
ão
 1
4
 
 
  baxxf ii 
Melhor reta que descreve o conjunto de 
pontos experimentais, ou seja é ajustada 
uma reta aos pontos experimentais 
F129 
P
ro
f.
 J
o
n
h
so
n
 o
rd
o
ñ
ez
 v
e
rs
ão
 1
4
 
Qual é a melhor reta para σy diferentes? 
  
n
i
iii baxyw
22
baxxf ii )(
Resolvendo as derivadas parciais 
0
2



a

0
2



b

     



 wywxwxyw
a
     



 wxwxywxwy
b
2
    22   wxwxw
 


w
a
2
 


 22 wx
b
2
1
i
iw


F129 
P
ro
f.
 J
o
n
h
so
n
 o
rd
o
ñ
ez
 v
e
rs
ão
 1
4
 
baxxf ii )(
Se σi é constante e igual a σ 
    



 yxxyN
a
     



 xxyxy
b
2
   22   xxN
22 


N
a
 
2
2
2 


 x
b
Qual a melhor reta para valores iguais de σy ? 
F129 
P
ro
f.
 J
o
n
h
so
n
 o
rd
o
ñ
ez
 v
e
rs
ão
 1
4
 
Exemplo 1 
 
Em um experimento foram obtidos os dados mostrados na tabela 
com os valores de x, y e σy. Encontre a reta que melhor se ajusta 
aos dados usando o método dos mínimos quadrados. 
n x y σy 
1 0,05 7,1 2,6 
2 0,10 9,6 1,8 
3 0,15 16,9 1,5 
4 0,20 21,0 1,5 
5 0,25 25,4 1,2 
6 0,30 28,1 1,2 
7 0,35 35,7 1,2 
8 0,40 39,0 1,2 
F129 
P
ro
f.
 J
o
n
h
so
n
 o
rd
o
ñ
ez
 v
e
rs
ão
 1
4
 
Exemplo 1 
Deve-se montar uma tabela da seguinte forma: 
n x y σy w wx
2 wx wy wxy 
1 0,05 7,1 2,6 0,14 0,0004 0,007 0,994 0,0497 
2 0,10 9,6 1,8 0,31 0,0031 0,031 2,976 0,2976 
3 0,15 16,9 1,5 0,44 0,0099 0,066 7,436 1,1154 
4 0,20 21,0 1,5 0,44 0,0176 0,088 9,240 1,8480 
5 0,25 25,4 1,2 0,69 0,0431 0,173 17,53 4,3815 
6 0,30 28,1 1,2 0,69 0,0621 0,207 19,39 5,8167 
7 0,35 35,7 1,2 0,69 0,0845 0,242 24,63 8,6215 
8 0,40 39,0 1,2 0,69 0,1104 0,276 26,91 10,764 
Σ 1,80 182,8 12,2 4,09 0,3311 1,090 109,11 32,894 
     
98,93
1661,0
11,109090,1894,3209,4







a
a
wywxwxyw
a
    
1661,0
1881,13311,009,4
22


  wxwxw
     
63,1
1661,0
090,1894,323311,011,109
2







b
b
wxwxywxwy
b
96,4
1661,0
09,4




aa
w 
41,1
1661,0
3311,0
2




bb
wx    12594  xy
F129 
P
ro
f.
 J
o
n
h
so
n
 o
rd
o
ñ
ez
 v
e
rs
ão
 1
4
 
Exemplo 2 
 
Em um experimento foram obtidos os dados mostrados na tabela 
com os valores de x, y. Encontre a reta que melhor se ajusta aos 
dados usando o método dos mínimos quadrados sabendo que 
σ=1,2 é o mesmo para todos os valores de y . 
n x y σy 
1 0,05 7,1 1,2 
2 0,10 9,6 1,2 
3 0,15 16,9 1,2 
4 0,20 21,0 1,2 
5 0,25 25,4 1,2 
6 0,30 28,1 1,2 
7 0,35 35,7 1,2 
8 0,40 39,0 1,2 
F129 
P
ro
f.
 J
o
n
h
so
n
 o
rd
o
ñ
ez
 v
e
rs
ão
 1
4
 
Exemplo 2 
Deve-se montar uma tabela da 
seguinte forma: 
n x y x2 xy 
1 0,05 7,1 0,0025 0,355 
2 0,10 9,6 0,0100 0,960 
3 0,15 16,9 0,0225 2,535 
4 0,20 21,0 0,0400 4,200 
5 0,25 25,4 0,0625 6,350 
6 0,30 28,1 0,0900 8,430 
7 0,35 35,7 0,1225 12,495 
8 0,40 39,0 0,1600 15,600 
Σ 1,80 182,8 0,51 50,93 
    
33,93
84,0
8,18280,193,508







a
yxxyN
a
   
84,0
24,351,08
22


  xxN
     
85,1
84,0
80,193,5051,08,182
2







b
xxyxy
b
70,32,1
84,0
8
2,1 

 aa
N 
94,02,1
84,0
51,0
2,1
2




bb
x 
   9,09,1493  xy
F129 
P
ro
f.
 J
o
n
h
so
n
 o
rd
o
ñ
ez
 v
e
rs
ão
 1
4
 
Exemplo 2 
A reta de mínimos quadrados obtida por computador