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8.68 Para a barra e carregamento mostrados na figura, determine as tensões normal e de cisalhamento (a) no ponto a e (b) no ponto b. 19,05 mm 20,32 mm b a 101,6 mm 60° 4448 N Fig. P8.68 Problem 8.68 For the bracket and loading shown, determine the normal and shear- ing stresses at (a) point a, (b) point b. Draw free body diagram of portion below section ab. P V From statics. 18 P = 4000 = 2000 N 20 V = 4000 sin 60° = 3464 N M = 100 4KN = 346.4 Nm Section properties. A = 720 I = = 9600 (a) Point a 6 = - A P - - 2000 720 - 96000 = - 74.9 MPq (b) Point b = - P/A P A = - 2000 720 = 2.8 MPa A = (20)(18) 360 y = 10mm Q = = (360)(10) 3600 3 mm3 = VQ It = (3464)(3600) (96000) (18) = 7.2 MPay 1829 mm 914 m 8.69 painel mostrado na figura pesa 35,6 kN e é sustentado por um tubo 2743 mm estrutural que tem um diâmetro externo de 381 mm e uma espessura de parede de 12,7 mm. No instante em que a resultante da pressão do vento for de 13,3 kN localizada no centro C do painel, determine as tensões normal e de cisalhamento no ponto 914mm 914 mm H 2438 mm 60 mm X Fig. P8.69 Problem 8.69 8.69 The billboard shown weights 32 and is supported by a strue- tural tube that has a 380-mm outer diameter and a 12-mm wall thickness. At y a time when the resultant of the wind pressure is 12 kN located at the center 1.8 C of the billboard, determine the normal and shearing stresses at point H. m 32 At section containing point P = 32KN (compression) T = = H = M₂ = - 28.8 KN V = Section properties. do = 380mm = do = mm = Co = couples A = 13873 I : = J = 2I = H Q = 812832 mm3 6 = - A P - Mc = - 13873 = = - = J + It VQ = + = MPqy B D 8.73 Uma força de 12,45 kN é aplicada, conforme mostra a figura, a um poste de ferro fundido ABD de 61 mm de diâmetro. No ponto H, determine (a) as tensões e os planos principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima. mm A E 152,4 mm 127 mm Fig. P8.73 Problem 8.73 8.73 A 12-kN force is applied as shown to the 60-mm-diameter cast- iron post At point H, determine (a) the principal stresses and principal planes, (b) the maximum shearing y B D DE = 3002 = 325 mm 300 At point D Fx = Fy - (12) 11. 08 KN 100 E F2 = - 325 125 (12) = - 4.615 125 min 150 Moment of equivalent force. couple system at the of the section containing point H i 1 0.15 0.2 = + - -11.08 -4.615 0.692 Section properties d=60mm = = 0.923 A = = 2827 H H I = = 0.6362 J = For a Q = = At point H A P I = = 82.29 TH J It VQ = + = 82.29 (a) = 2 = 41.145 MPa 18.49 Y R= = 2 + H B A 6 6a = + R = = R - 8613 MPa 1 X tan 10ml 12. = 102.1° (b) R = 45.1 1152,4 mm kN 2,67 kN kN 8.75 Sabendo que tubo estrutural mostrado tem parede de espessura cons- 127 mm tante de 6,35 mm, determine as tensões, normal e de cisalhamento, nos três pontos kN indicados. 69,9 mm 508 mm 6,35 mm a b Fig. P8.75 Problem 8.75 8.75 Knowing that the structural tube shown has a uniform wall thick- ness of 6 mm, determine the normal and shearing stresses the three points 75 150 mm 6kN 120 mm KN 69 500 mm Shear Bending moment 6 min y b. = 150 mm = 2t = 138 mm. X = hi = = Ix = - = 2.4 = - = 7.3 Normal stresses = -108-5 6 = - Ix 2.48106 = -46.9 MPa Shearing stresses Point a is an outside = Direction of shearing stresses 6 Due to Vx 4.8 Due to At point to At point b 34.5 3. Qzb = = Qxb = (69)(6)(34.5) 14283 = VxQ2 = (12000)(16200) = = 4.76 At point At point (symmetry = + (69) (6) (34.5) = 30483 (12000)(30483) = Net shearing stress at points b and Tb= 4.44 = = 8.48.76 A viga em balanço AB será instalada de modo que 0 lado de 60 mm for- B me um ângulo entre 0 e 90° com a vertical. Sabendo que a força vertical de 600 N é a aplicada no centro da extremidade livre da viga, determine a tensão normal no ponto 300 mm b a quando (a) = (b) = 90°. (c) Determine também valor de para qual a tensão normal no ponto a é máxima, e 0 valor correspondente daquela tensão. 40 mm A 60 mm B 600 N Fig. P8.76 Problem 8.76 8.76 The cantilever beam AB will be installed so that the 60-mm side forms an angle between 0 and 90° with the vertical. Knowing that the 600-N vertical force is applied at the center of the free end of the beam, determine the normal stress at point a when (a) = 0, (b) (c) Also, determine the value of B for which the normal stress at point a is a maximum and the corresponding value of that stress. 300 y a b Sx = 3 40 A = 60 X 60 = m³ 600 N 40 y a M = = = 180 N.m My M B Mx = M = 180 Mx My= B = 180 B Ga = + My 180 B + 180 = (7.5 B + B) Pa = 7.5 B) MPa (a) B=0 = 7.50MPa B = 90° = MPa MPa (c) = 7.5 = = = = 6a = 7.5 4 =8.71. apoio está sujeito à carga de compressão P. Determine as tensões normais absolutas máximas e mínimas que agem no material. P P N/A N/A 2 N/O 2 M N 2 Figura 8.71 : N=P ; :. ; 12 Para que a tensão normal de compressão seja máxima, 0, portanto: d P 3Px resolvendo a derivada, obtemos: X sendo assim: dx a(x P 3Px P (3P)(0,5a) = 1,33P a² 1,33P 501 Resolução: Steven Róger Duarte Cargas Combinadas 12 Para que a tensão normal de tração seja mínima, 0, portanto: dx d a(x P + 3Px resolvendo a derivada, obtemos: X 2a, sendo assim:bloco está sujeito às três cargas axiais mostradas na figura. Determine a tensão normal desenvolvida nos pontos A e B. Despreze peso do bloco. 500 N 1250 N 250 N 50 mm 100 mm 125 mm 50 mm 75 mm 125 mm A Figura 8.64 y A : : = A + 2.000 0,04 + 2,8958333 X 10⁻⁴ = 0,1703 MPa (C) OB = A + ly = 2.000 0,04 + 2,8958333 10⁻⁴ = 0,0977 MPa (C) 4978.37. A viga suporta a carga mostrada na figura. Determine 0 estado de tensão nos pontos E e F na seção a-a e represente resultados em um elemento de volume diferencial localizado em cada um desses pontos. B 3.30m a D 300 mm 1 m m 2m a 10 mm 150 mm F 100 E 15 mm 100 10 mm Figura 8.37 P TD Ax 473 Resolução: Steven Róger DuarteCargas Combinadas = 0,6 = 0,8 : ; Seção a-a 10KN a 15,4545KN M N > 1m ; ; M = 10,454 kN.m QE QF + = - 1,01 MPa = 1,01 MPa (C) = 27,7 MPa = 27,7 MPa (C) = 1,96 MPa = 5,92 MPa ( ( OF=7.5 até 7.8 Para estado de tensão dado, determine (a) os planos principais e (b) as tensões principais. 41,4 MPa 30 MPa 27,6 MPa 62,1 MPa 6 MPa 9 MPa Figs. P7.11 Figs. P7.8 e P7.12 Problem 7.3 7.1 through 7.4 For the given state of stress, determine the normal and shearing stresses exerted on the oblique face of the shaded triangular element shown. Use a method of analysis based on the equilibrium of that element, as was done in the derivations of Sec. 7.2. 60 MPa 45 MPa 70° 6A 120 MPa 120 MPa A 20° 120A A 45 MPa Asin20° 45A 20" Stresses 60 MPa Areas Forces 60A EF = GA -120A 20° 45A -60A sin 20° sin = = 20° sin + 45sin 20° 20° + 20° σ= 14. MPa F = TA 45Acos 20° -60A sin =0 = sin 20°- 20") + Problem 7.4 7.1 through 7.4 For the given state of stress, determine the normal and shearing stresses exerted on the oblique face of the shaded triangular element shown. Use a method of analysis based on the equilibrium of that element, as was done in the derivations of Sec. 7.2. 84 MPa 84 MPa 84 42 Acos 55° 55° 42 A in 42 A 6 Stresses Areas Forces = - 84 A 55° 55° + 42 A sin 55° 55° = 84 cos' 55° - 42 55° = - 0.546 MPa = - 84 Acas 55° 55° - 42 A 55° 55° = 126 cas 55° sin 55° = 59.2 MPay 7.23 Uma força de 19,5 kN é aplicada no ponto D do suporte de ferro fundido B mostrado. Sabendo que o suporte tem um diâmetro de 60 mm, determine as tensões principais e a máxima tensão de cisalhamento no ponto H. D 300 mm H K E 100 mm A 125 mm : 150 mm X Figs. P7.23 e P7.24 Problem 7.23 7.23 A force is applied at point D of the cast-iron post shown. Knowing that the post has a diameter of 60 mm, determine the principal stresses and the y maximum shearing stress at point H. = + = 325 mm D Resolve the 19.5 kN force F at point D into x, y, and components. 300 Fx = 0 = - 325 300 (19.5) = =-18 = N E 100 A F2 = - 325 125 (19.5) = N 125 150 Determine the force-couple system the point on the y-axis where it intersects the plane containing elements H and K. N, 7.5 103 N (7.5 (300 100 mm) = - 1.5 H K (7.5 KN = (18 = Properties of section. (Circle) C= = 30 mm = 30 m A = = = 2.8274 mm² = 2.8274 I = = 4 = = 636. J = = = = (Semicircle) = = = t=d = = 60mm = m Stresses at 6 = A - M.C I = - = Pa = 64.37 MPa H FxQ It + = Pa = 26.526 MPa continuedProblem 7.23 continued Principal stresses = 6x+6y 2 + ± 2 + = 2 + 2 + = - 32.185 + MPa 73.9 MPa = - 9.52 MPa Maximum shearing stress = 2 + = 41.7 MPa7.63 Para 0 estado de tensão mostrado, sabe-se que as tensões normal e de cisa- lhamento estão direcionadas conforme mostra a figura e que σ₁ = 96,5 = 62,1 MPa e = 34,5 MPa. Determine (a) a orientação dos planos principais, (b) a tensão principal e (c) a tensão de cisalhamento máxima no plano das tensões. Fig. P7.63 Problem 7.63 7.63 For the state of stress shown it is known that the normal and shear- ing stresses are directed as shown and that 98 MPa, = 63 MPa, and 35 MPa. Determine (a) the orientation of the principal planes, (b) the principal stress (c) the in-plane shearing Gx = 98MPa, = = 1/2 )= = Gave R R = 6min = 80.5 - 35 = R = 2 + = + R - = ± - = ± 42 MPa But it is given that is positive, thus = + 42 (MPa) Y (a) tan = (2)(6) 5 = 2.4 B AG (MPa) = 67.38° 38° 20a = = 123.69° X (b) = + R 35 45.5 45.5 = (c) = R 45.5 MPa9.10. Determine 0 estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a 30° em sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado. Use as equações de transformação de tensão. 300 kPa y' 950 kPa y' x' 50° 30° 30° Figura 9.10 σₓ = 0 kPa -300 kPa Txy 950 kPa 2 2 2 2 = 2 + 2 + = 2 300 + 2 = 1.047,72 kPa = 1,048 MPa = 2 + = 2 sen(2 30°) + 950cos(2 X 30°) = 345,096 kPa = 0,345 MPa 515 Resolução: Steven Róger DuarteTransformação da Tensão 9.5. estado de tensão em um ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine as componentes da tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva 0 problema usando método de equilíbrio descrito na Seção 9.1. A 50 MPa 28 MPa 30° 60 MPa B Figura 9.5 - + - = 0 = 33,3 MPa - - + + = 0 = 18,3 MPay 7.160 tubo de aço AB tem 102 mm de diâmetro externo e uma espessura de 6 mm A 51 mm parede de 6 mm. Sabendo que 0 braço CD está rigidamente fixado ao tubo, determine 200 mm as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto D 10 kN C 150 mm H K B Fig. P7.160 e P7.161 Problem 7.160 7.160 The steel pipe AB has a 102-mm outer diameter and a 6-mm wall thickness. Knowing that arm CD is rigidly attached to the pipe, determine the principal stresses and the maximum shearing stress at point H. 6 mm A 51 mm = do 2 = 102 = 51 = r. t = 45 200 D to kN J = = 4.1855 = C 150 = = Force-couple system at center of tube in the plane containing points H and K. Fx = 10 N I My = = 2000 N.m = - = -1500 N-m y Torsion y T My = 2000 C = ro = m H 1 H K Tc J = = Pa Transverse Shear For semicirele = = Q= = H - = - = = Fx = N t = = y = It VQ = = 11.02 H X Bending: Point H lies on neutral axis. Total stresses at point H: 6x = by = + 11.02 = 35.39 Pa = = 2 + = Pa = + R = Pa = 35.4 MPa 6min = - Pa 35.4 = R = MPa7.161 0 tubo de aço AB tem 102 mm de diâmetro externo e uma espessura de parede de 6 mm. Sabendo que 0 braço CD está rigidamente fixado ao tubo, determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no ponto K. Problem 7.161 7.161 The steel pipe AB has a 102-mm outer diameter and a 6-mm wall thickness. Knowing that arm CD is rigidly attached to the pipe, determine the principal stresses and the maximum shearing stress at point K. y 6 A 51 mm do 2 = 102 2 51mm = r.- t 45 200 mm D J= = = 4.1855 10 kN = 2.0927 C 150 Force. couple system at center of tube in the plane containing points H and K Fx = 10 = N 2000 N.m = = N.M y Torsion: At point K, place local X-axis in negative global 2- direction K X T = My 2000 = = m Txy = Tc J = 4.1855 = Pa = 24.37 MPa Transverse Shear: Stress due to transverse shear V= = Fx is zero at K. Bending: = 2.0927 = 36.56 Pa 36.56 MPa Point K lies on compression side of neutral axis: = 36.56 MPa Total stresses at point K: 6x=0 0 = 36.56 MPa, Try = 24.37 MPa = 18.28 MPa + = 30.46 MPa = + R = - 18.28 + 30.46 = 12.18 MPa = Gave - 18.28 30.46 = R 30.5 MPa