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19:06 4G urvelo.souionica.com.br 11 Matemática - 2° ano Etapa 1 T Posições relativas Entre circunferências Por muitos anos, estudo da Matemática se baseou em situações e necessidades co- tidianas e em como implementar técnicas desenvolvidas com esse conhecimento para a resolução de problemas diversos. Se observarmos com cuidado mundo que nos cerca, encontramos diversas situações que podem ser descritas matematicamente, como encontro de duas ondas produzidas sobre a superfície de um líquido. Uma perturbação sobre a superficie de um lago como uma pedra que caia nele provoca frentes de onda que podem ser modeladas como circunferências. Ao considerarmos duas circunferências coplanares, de centros A e B e raios de medidas e respectivamente, com > podemos ter os cinco casos indicados a seguir. Externas: as circunferências não têm pontos em comum e não compartilham a mesma região do plano. as circunferências não têm pontos em comum, mas uma está contida na região do plano determinada pela outra. A Observação: Nos casos em que as circunferências são concêntricas, pois têm mesmo centro. Observe: A=B Secantes: as circunferências se intersectam em dois pontos, compartilhando uma re- gião do plano. Observação: a reta que liga os centros das circunferências sempre perpendicular à corda formada pelos pontos de intersecção. 197 / 25619:05 4G 24 urvelo.souionica.com.br 11 Matemática 2° ano Etapa 1 T Elementos do círculo Observe círculo de centro Oe raio Podemos identificar nessa figura os seguintes elementos: D Setor é uma fração do círculo determinada por dois raios e pelo arco formado pelas duas extremidades. Na figura, setor circular laranja corresponde a do circulo, com em 360° B Segmento quando desenhamos uma corda menor que diâmetro em um círculo, a região que não contém centro é um segmento circular. Na figura, a região lilás é um segmento circular. AMPLIE Tampas de bueiro Você já pensou por que a maioria dos bueiros tem tampa redonda? E por que diversas tubulações têm formato ou seja, com cortes transversais circulares? Já percebeu que muitos reservatórios, como caixas-d'água, caminhões-tanque e tonéis industriais, também apresentam essa forma? No caso dos bueiros, 0 raio constante da tampa permite que a criação de uma saliência na borda do buraco, que tem raio menor que o da tampa, garanta que a tampa possa ser colocada em qualquer posição, sem correr risco de cair pela passagem aberta. COM na borda A evita que a tampa circular caia no bueiro. No caso de tampas retangulares, há necessidade de cuidados porque, do estudo do sabemos que 0 maior lado é sempre oposto ao maior ângulo e, assim, a diagonal de um retângulo é sempre maior que seus lados. Desse modo, a tampa pode cair pela passagem, dependendo de sua posição. Nesse caso, para garantir a segurança, cálculo da saliência fica mais complexo e pode diminuir bastante a passagem. Na fabricação de tubos, as indústrias podem usar diferentes processos, de acordo, principalmente, com os materiais empregados. No caso de tubos de aços-carbono, aços- -liga, aços inoxidáveis ou ferros forjados, um dos processos é chamado de costura sol- dada. Nesse processo, rolos conformadores aplicam pressão na chapa metálica, primeiro para baixo e, depois, lateralmente, dando a forma cilíndrica ao tubo, como vemos nos esquemas a 195 / 25619:05 4G 24 urvelo.souionica.com.br 11 Matemática - 2° ano Etapa 1 T DEFINIÇÕES E ELEMENTOS ante: que está à Damos nome de circunferência ao conjunto de todos os pontos do plano equidistantes de determinado ponto. Na figura a seguir, observe que qualquer ponto P da circunferência tem a mesma dis- tância do ponto O. OP, de medida é um raio da circunferência. ponto 0 é o centro da circunferência. ponto P pertence à circunferência. ponto A é interno à circunferência, mas não pertence a ela. ponto é externo à circunferência, mas não pertence a ela. Damos nome de círculo à união de uma circunferência com a região interior do plano limitada por ela. Elementos da circunferência Observe a circunferência de centro e raio D Podemos identificar nessa figura os seguintes elementos: Corda: é segmento de reta que liga dois pontos distin- tos quaisquer de uma circunferência. Na figura, EF e AB são cordas da circunferência. Dada uma corda qualquer A 0 de uma circunferência, sempre é possível desenhar um raio perpendicular a ela. F Diâmetro: é a maior corda de uma circunferência, ou E seja, é a corda que passa pelo centro da Na figura, AB é um Sua medida é igual a 2r, isto é, dobro da medida do raio. diâmetro divide a circunferência em duas semicircunferências. Arco: uma fração da circunferência limitada por dois de seus Na figura anterior, os pontos Ce D estão ligados por um arco da circunferência, cuja notação é CD. Observação: Existem duas medidas que estão sempre associadas a um arco: uma medida linear, em unidade de comprimento, e uma medida angular, referente ao ángulo central correspondente. Na figura, ângulo central CÔD e arco CD têm medidas iguais, 194 / 25619:06 4G 24 urvelo.souionica.com.br 11 Matemática - 2° ano Etapa 1 T Tangentes: têm um único ponto em comum (ponto de tangência). A distância do centro à reta é igual ao Observação: 0 raio da circunferência que contém o ponto de tangência é sempre per- pendicular à reta tangente. Comprimento da circunferência ENEM EM FOCO As propriedades da geometria são aplicáveis a várias situações do cotidiano. Por isso, duas das sete competências do Enem se dedicam a essas habilidades. Como as formas circulares têm apli- cações diversas no cotidiano, são comuns questões que combinam esse objeto do conhecimento com outras áreas da Matemática ou com outros componentes curriculares, como veremos a seguir. 1. (Enem/MEC) A manchete demonstra que o transporte de grandes cargas representa cada vez mais preocupação quando feito em vias urbanas. Caminhão entala em viaduto no Centro Um caminhão de grande porte entalou embaixo do viaduto no cruzamento das avenidas Borges de Medeiros e Loureiro da Silva no sentido Centro-Bairro, próximo à Ponte de Pedra, na capital. Esse veículo vinha de São Paulo para Porto Alegre e transportava três grandes tubos, conforme ilustrado na foto. em: www.caminhoes-e-carretas.com. Acesso em: 21 maio 2012 (adaptado). Considere que raio externo de cada cano da imagem seja 0,60 m e que eles estejam em cima de uma carroceria cuja parte superior está a 1,30 m do solo. desenho representa a vista traseira do empilhamento dos canos. 1 199 / 25619:06 4G 24 urvelo.souionica.com.br 11 Matemática - 2° ano - Etapa 1 T ALAN Rolos conformadores Para soldagem Rolos conformadores Após esses dois processos, a soldagem pode ocorrer de dois modos distintos: com solda simples no topo ou com solda por sobreposição. Ambos ilustram bem a vantagem de se trabalhar com a forma redonda, pois uma poligonal precisaria de soldas entre todas as faces (ou, considerado o corte, em todos os vértices). solda simples solda por no topo sobreposição Para tubos de outros materiais, um processo pode ser a liquefação do material e sua colocação em moldes Considerando reservatórios diversos, a escolha de formas cilíndricas pode ser da tanto à menor quantidade de emendas e soldas quanto à ausência ou diminuição de cantos que possam acumular além da distribuição mais regular da pressão do conteúdo interno exercido sobre as paredes do reservatório. COM esquerda, reservatórios de petróleo; à direita, caminhão-tanque com gasolina. 196 / 25619:06 4G 24 11 Matemática - 2° ano - Etapa 1 T Para determinar comprimento de CD, como 120° corresponde a um terço da circunferência, podemos dividir comprimento da circunferência por 3: Portanto, os arcos AB e CD medem, respectivamente, cm e cm. 6 RESOLVIDOS 1. Qual é comprimento de uma circunferência de 12 m de raio? Use π = 3,14. Aplicando na expressão = temos: = 2 3,14 12 m = 75,36 75,36 cm 2. Calcule a medida do comprimento de um arco de 120° em uma circunferência de raio 30 cm. Use = 3,14. Montando uma regra de três simples: 360° 2π 30 120° 360x = 2 3,14 30 120 = 62,8 62,8 cm PRATIQUE 1. (OBMEP) Um triângulo equilátero ABC gira uma vez em torno do vértice Ce outra vez em torno do vértice sempre se apoiando em uma reta, como na figura abaixo. B A A B A B A Qual das alternativas representa a trajetória descrita pelo ponto A? a) c) e) b) d) 20 201 / 256