completar quadrado

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0.1 Completando Quadrado
Podemos resolver a equação x2 + bx = c por meio do procedimento de completar o quadrado.
Adicionamos
(
b
2
)2
em ambos os lados da equação e fatoramos o lado esquerdo da nova equação.
x2 + bx+
(
b
2
)2
= c+
(
b
2
)2
(
x+
b
2
)2
= c+
b2
4
x+
b
2
= ±
√
c+
b2
4
x = − b
2
±
√
c+
b2
4
Exemplo:
Resolva as seguintes equações pelo procedimento de completar quadrado.
a) x2 − 4x− 5 = 0
x2 − 4x− 5 = 0
x2 − 4x = 5
x2 − 4x+
(
−4
2
)2
= 5 +
(
−4
2
)2
(x− 2)2 = 5 + 4
(x− 2)2 = 9
�2
√
(x− 2)�2 = ±√9
x− 2 = ±3
x = 2± 3
Portanto, as raízes da equação são x′ = 5 ou x′′ = −1.
b) 4x2 − 20x+ 17 = 0
4x2 − 20x+ 17 = 0
4x2
4
− 20x
4
+
17
4
=
0
4
x2 − 5x+ 17
4
= 0
x2 − 5x = −17
4
x2 − 5x+
(
−5
2
)2
= −17
4
+
(
−5
2
)2
(
x− 5
2
)2
= 2
x− 5
2
= ±√2
x =
5
2
±√2
Portanto, as raízes da equação são x′ =
5
2
+
√
2 ou x′′ =
5
2
−√2.
Bibliografia
MENEGHETTI, André; et al. Pré-Cálculo 2a Edição. Rio Grande, Editora e Gráfica da FURG,
2012.
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