triangulo retangulo vestibular

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QUESTÃO 1   trigonometria
Uma pessoa subiu uma rampa que possui um comprimento de e inclinação de em relação ao solo.
 
 
Quantos metros a pessoa se deslocou verticalmente?
 
Dado: . 
 
QUESTÃO 2  trigonometria
Os triângulos e são congruentes e seus ângulos internos medem e .
 
 
Se , calcule os valores, em centímetros, de e . 
 
QUESTÃO 3  
Em um triângulo retângulo, o maior e o menor lado medem, respectivamente, e . Qual é a área desse triângulo?
1. .
1. .
1. .
1. .
1. .
 
 
QUESTÃO 4  
Um triângulo retângulo isósceles possui área igual a . A altura do triângulo, relativa a sua hipotenusa, é igual a
 
1. .
1. .
1. .
1. .
1. .
 
 
QUESTÃO 5  trigonometria
Antes de solicitar a usinagem de uma peça metálica, o projetista deve analisar rigorosamente os desenhos técnicos que a definem para, então, ter em mente os processos pelos quais a matéria prima deve passar para ser transformada. Ciente disso, um projetista experiente precisa solicitar a usinagem de uma peça triangular, de espessura e que atenda às seguintes especificações:
 
 os ângulos internos do triângulo devem ser diretamente proporcionais a e ;
 
 a bissetriz do segundo maior ângulo interno do triângulo deve medir .
 
Diante dos dados apresentados, o projetista concluiu que os lados que definem a peça solicitada medem, em :
1. e 
1. e 
1. e 
1. e 
1. e 
 
 
QUESTÃO 6  
Uma folha de papel de dimensões é dobrada de modo que dois vértices diagonalmente opostos coincidam. Determine o comprimento do vinco (dobra). 
 
Utilize o conteúdo a seguir para responder à questão 7 
Na figura, e são triângulos retângulos em e , com e . O ponto pertence a e o ponto pertence a , que é reta suporte de . O ponto pode mover-se ao longo de , e o ponto pode mover-se ao longo de , como mostra a figura.
 
 
A partir dessas condições, demonstra-se facilmente que será mínimo na circunstância em que o triângulo é isósceles de base . 
 
QUESTÃO 7  
A medida de , em centímetros, é igual a
1. 
1. 
1. 
1. 
1. 
 
 
QUESTÃO 8  
Um avião está voando paralelo ao solo, conforme ilustra a figura a seguir. Ao avistar a pista de pouso, inclina-se trinta graus em direção ao solo e percorre seis mil metros até tocá-la.
 
 
Antes de se inclinar para iniciar o pouso, a altura desse avião em relação ao solo é de
 
Dados:
 
 
 
1. 
1. 
1. 
1. 
1. 
 
 
QUESTÃO 9  
Um ponto está a e , respectivamente, de duas retas de seu plano que se cortam em um outro ponto . A distância entre e é de . O ângulo entre as retas mede:
1. 
1. 
1. 
1. 
1. 
 
 
QUESTÃO 10  
Dá-se um triângulo retângulo que tem um ângulo de e cuja hipotenusa mede .
 
Institua a fórmula para o cálculo da sua área em função de . 
 
QUESTÃO 11  
Uma escada de de comprimento se apoia num muro do qual seu pé dista . Se o pé da escada de afastar mais do muro, qual o deslocamento verificado pela extremidade superior da escada? 
 
QUESTÃO 12  
Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua casa, de forma que o topo da escada ficou a uma altura de aproximadamente . Enquanto Roberto subia os degraus, a base da escada escorregou por , indo tocar o muro paralelo à parede, conforme ilustração ao lado. Refeito do susto, Roberto reparou que, após deslizar, a escada passou a fazer um ângulo de com a horizontal.
 
 
Pergunta-se:
 
 Qual é a distância entre a parede da casa e o muro?
 
 Qual é o comprimento da escada de Roberto? 
 
QUESTÃO 13  
Disponível em: https://shre.ink/r2V5. Acesso em: 01 mar 2024.
 
Os Simpsons, uma série de animação americana criada por Matt Groening, diverte uma legião de fãs em todo o mundo há mais de anos.
 
Considerando os personagens dessa série e aspectos a eles relacionados, julgue os itens de a em Verdadeiro ou Falso .
 
   Considere que, em determinado episódio, o personagem Homer tenha enunciado a seguinte proposição: nos triângulos isósceles, a soma das raízes quadradas de quaisquer dois lados é igual à raiz quadrada do outro lado. Nesse caso, a proposição de Homer só seria válida se o triângulo fosse isósceles e retângulo.
 
   Considere que, em , a soma das idades dos personagens Homer, Lisa e Bart era igual a anos e que, em , Homer completou anos de idade. Nessa situação, se Lisa nasceu dois anos depois de Bart, então, em , ela teria mais de anos de idade.
 
   Sabe-se que, na abertura clássica do seriado, os membros da família, sendo um deles uma bebê, correm para se sentar em um sofá de lugares diante da . Nesse caso, se a bebê sempre sentará no colo de um dos outros quatro membros da família, a quantidade de fotografias distintas que poderão ser tiradas da família sentada no sofá é inferior a . 
 
QUESTÃO 14  
O pau-de-sebo é uma atividade muito comum em festas de arraial, que consiste em um poste comprido, que é untado de sebo, que é montado perpendicularmente ao solo, e o desafio é subir até o topo apenas utilizando o corpo. Suponha que para um arraial, foi montado um pau-de-sebo de acordo com a figura a seguir:
 
 
O segmento representa o pau-de-sebo, enquanto os segmentos e são cabos de suporte, que formam um ângulo reto em . Após a montagem, os organizadores esqueceram de medir a altura do pau-de-sebo, e precisavam saber sua altura para poder realizar o desafio. As medidas que eram possíveis de serem feitas são dos segmentos e , que valem e , respectivamente.
 
Assim, a altura do pau-de-sebo é, em metros, igual a
1. 
1. 
1. 
1. 
1. 
 
 
QUESTÃO 15  
Se o triângulo da figura abaixo é equilátero de lado , então a medida de em função de e é
 
1. 
1. 
1. 
1. 
 
 
QUESTÃO 16  
O mapa abaixo mostra o posicionamento de três cidades – nomeadas de A, B e C - e as rodovias que as ligam e se cruzam perpendicularmente na cidade A. Em uma rodovia, a de distância de A, encontra-se a cidade B; na outra, a de A, encontra-se a cidade C. Um posto policial deve ser construído na rodovia que liga a cidade B até a C, conforme o desenho. Qual deve ser a distância do posto policial até a cidade B?
 
1. 
1. 
1. 
1. 
 
 
QUESTÃO 17  
Seja o paralelogramo abaixo:
 
 
Sabendo-se que o triângulo é retângulo, a área do canteiro é igual a
1. .
1. .
1. .
1. .
 
 
QUESTÃO 18  
O triângulo é retângulo, com ângulo reto em . A hipotenusa mede . A área do triângulo é . Qual é o perímetro do triângulo ?
1. 
1. 
1. 
1. 
1. 
 
 
QUESTÃO 19  
Um ciclista partindo do ponto , percorre para Norte; a seguir, fazendo um ângulo de , percorre para leste, chegando ao ponto .
 
 
Qual a distância, em linha reta, do ponto ao ponto ?
1. 
1. 
1. 
1. 
1. 
 
 
QUESTÃO 20  
A área de um triângulo retângulo é . Sabendo que um dos catetos mede , quanto vale a hipotenusa?
1. .
1. .
1. .
1. .
1. .
 
 
GABARITO 1 
Resposta 
 
 
Resolução 
Seja o triângulo retângulo que representa a rampa que essa pessoa subiu:
 
 
Utilizando a relação do seno, encontramos a altura da seguinte maneira:
 
 
 
Portanto a pessoa se deslocou verticalmente . 
 
GABARITO 2 
Resposta 
 
 
Resolução 
Inserindo as medidas dos ângulos que foram dados no enunciado, temos a figura geométrica:
 
 
No triângulo retângulo , temos as seguintes relações trigonométricas:
 
 
Agora pelo triângulo retângulo , encontramos a medida de pela relação do cosseno:
 
 
 
Agora podemos encontrar o valor de :
 
 
 
Então os valores de e são e , respectivamente. 
 
GABARITO 3 
Resposta 
D 
 
Resolução 
Se num triângulo retângulo, o maior e o menor lado medem, respectivamente, e , podemos aplicar o teorema de Pitágoras e encontrarmos o cateto desconhecido, pois o maior lado certamente é a hipotenusa:
 
 
 
 
Assim a área desse triângulo é dada por:
 
 
 
GABARITO 4 
Resposta 
A 
 
Resolução 
Seja o triângulo isósceles de lados , e , conforme a figura:
 
 
A área do triângulo retângulo isósceles é dada por:
 
 
Como é um triângulo retângulo, por Pitágoras, podemos encontrar o valor de :
 
 
Como a altura do triângulo, relativa a sua hipotenusa, é igual a , podemos usar o valor da base encontrar esse valor:
 
 
Portanto, o valor da altura do triângulo é . 
 
GABARITO5 
Resposta 
A 
 
Resolução 
Como os ângulos internos do triângulo devem ser diretamente proporcionais a e e a soma é , então os ângulos podem ser representados por 
 
 
Assim, o triângulo possui ângulos internos dados por: .
 
 
Pelas relações trigonométricas no , temos:
 
 
Portanto, aplicando Pitágoras no , temos
 
 
 
 
Logo, os três lados são dados por: e . 
 
GABARITO 6 
Resposta 
 
 
Resolução 
Seja a folha retangular de dimensões e , veja que a diagonal dessa folha é igual a , pois temos uma variação do triângulo retângulo .
 
 
Juntando os vértices e temos a seguinte situação, considerando o vinco (dobra):
 
 
Analisando o triângulo retângulo , pelo teorema de Pitágoras:
 
 
 
Observe os triângulos semelhantes , pois temos o caso , portanto . Observando o triângulo retângulo isoladamente:
 
 
Pelo teorema de Pitágoras, encontramos o valor de :
 
 
 
 
 
 
GABARITO 7 
Resposta 
B 
 
Resolução 
 
Prolongando o segmento até o ponto e ligando o ponto com o ponto , temos o triângulo retângulo em .
 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras nesse triângulo, temos:
 
 
 
GABARITO 8 
Resposta 
E 
 
Resolução 
Sabemos que o avião está voando paralelo ao solo e que ao avistar a pista de pouso, inclina-se trinta graus em direção ao solo e percorre até tocá-la. Para resolver a questão, consideremos as seguintes relações trigonométricas:
 
 
Seja a altura . Utilizando o seno de , obtemos:
 
 
 
Portanto, antes de se inclinar para iniciar o pouso, a altura desse avião em relação ao solo é de . 
 
GABARITO 9 
Resposta 
C 
 
Resolução 
Seja o ponto a e , respectivamente, das retas e , concorrententes em com , assim teremos:
 
 
Sejam os valores das razões trigonométricas para os ângulos notáveis:
 
 
 No , temos:
 
 
 No temos:
 
 
Portanto, o ângulo entre as retas mede:
 
 
 
GABARITO 10 
Resposta 
VEJA A RESOLUÇÃO 
 
Resolução 
Dado um triângulo retângulo que tem um ângulo de e cuja hipotenusa mede . Dessa forma, podemos representar:
 
 
Consideremos as seguintes relações trigonométricas:
 
 
Aplicando a relação do seno e do cosseno no triângulo , temos que:
 
 
 
 
 
Portanto, a fórmula para o cálculo da sua área em função de é dada por:
 
 
 
GABARITO 11 
Resposta 
 
 
Resolução 
Temos uma escada de de comprimento que se apoia num muro do qual seu pé dista , assim se o pé da escada se afastar mais do muro, temos as duas situações abaixo, em que teremos um deslocamento para cima da extremidade superior da escada:
 
 
Temos dois triângulos retângulos: e , ambos com hipotenusa de medida . Olhando cada um dos triângulos separadamente:
 
:
 
Pelo teorema de Pitágoras, encontramos :
 
 
 
:
 
 
Também pelo teorema de Pitágoras, encontramos a medida do segmento :
 
 
 
Logo, o deslocamento verificado pela extremidade superior da escada foi de:
 
 
 
GABARITO 12 
Resposta 
 
 
Resolução 
 A figura abaixo ilustra as duas situações mencionadas no texto onde é o comprimento da escada.
 
 
Como a escada faz um ângulo de com a horizontal na posição final veja que os catetos possuem tamanhos iguais a . Deste modo, usando o teorema de Pitágoras, chegamos ao sistema:
 
 
Igualando a primeira equação com a segunda, temos:
 
 
Resolvendo essa equação pela fórmula de Bhaskara:
 
 
 
Desprezando a raiz negativa, concluímos que a distância é de metros.
 
 Como temos que , podemos encontrar o comprimento da escada :
 
 
 
GABARITO 13 
Resposta 
 
 
Resolução 
Analisemos cada uma das proposições:
 
 Falsa
 
A proposição é falsa, pois mesmo considerando num triângulo retângulo isósceles, a sentença somente estaria correta se falasse que o maior lado (no caso a hipotenusa) ao quadrado corresponde á soma dos quadrados dos outros dois lados, no caso os catetos.
 
 
 
 Verdadeira
 
Sejam as variáveis: as idades de Homer, Lisa e Bart em dadas por e , respectivamente, assim teremos:
 
 
Como Homer fez anos em , logo sua idade em era de:
 
 
Substituindo em obtemos:
 
 
Como foi dito que Lisa nasceu dois anos depois de Bart, então, , portanto concluímos:
 
 
 
Assim no ano de Lisa terá:
 
 
 Falsa
 
Se os membros da família , sendo um deles uma bebê , correm para se sentar em um sofá de lugares e o bebê sempre sentará no colo de um dos outros quatro membros da família, então a quantidade de fotografias distintas que poderão ser tiradas da família sentada no sofá, de acordo com o , será a permutação de quatro elementos vezes quatro posições em que o bebê poderá estar no colo de cada um dos quatro participantes, para cada posição escolhida, assim teremos:
 
 
 
 
GABARITO 14 
Resposta 
E 
 
Resolução 
Como e medem e , respectivamente, temos:
 
 
O é retângulo então podemos encontrar a medida de utilizando a relação:
 
 
 
Pelo teorema de Pitágoras no podemos obter a altura do pau de sebo:
 
 
 
Portanto a altura do pau-de-sebo é de . 
 
GABARITO 15 
Resposta 
D 
 
Resolução 
Seja o triângulo equilátero de lado , assim no triângulo retângulo , temos:
 
 
Consideremos as seguintes relações trigonométricas:
 
 
Utilizando a relação seno no triângulo , temos que:
 
 
 
No triângulo retângulo , podemos escrever:
 
 
 
Com os dados já obtidos, temos que as medidas dos lados do triângulo são:
 
 
No triângulo retângulo , teremos:
 
 
 
 
 
GABARITO 16 
Resposta 
B 
 
Resolução 
 
 
GABARITO 17 
Resposta 
D 
 
Resolução 
Como o triangulo é retângulo, vale o teorema de Pitágoras, seja o cateto , temos que:
 
 
 
 
Assim o triângulo , possui base de valor e altura , logo sua área é dada por:
 
 
 
GABARITO 18 
Resposta 
C 
 
Resolução 
Como o triângulo é retângulo, temos uma equação dada pelo teorema de Pitágoras e a outra da área , ambas envolvendo os catetos e , conforme desenho abaixo:
 
 
 
Utilizando produtos notáveis para resolver o sistema acima, temos:
 
 
 
Assim, o perímetro do triângulo é dado por:
 
 
 
GABARITO 19 
Resposta 
A 
 
Resolução 
Como o problema se trata de um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar a distância entre e . Logo:
 
 
 
 
Portanto, a distância entre os pontos e é de  
 
GABARITO 20 
Resposta 
D 
 
Resolução 
Dado o triângulo:
 
 
Pelo enunciado, temos que a área do triângulo é igual a . Seja a hipotenusa e a altura :
 
 
Pelo teorema de Pitágoras:
 
 
 
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