Condução Transiente - Final

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TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM ESTADO TRANSIENTE
Ana Claudia de Mello¹, André Andrejewski¹, Breno de La Cruz¹, Daniel Ravazzani¹, Guilherme Iodice Gervasio¹.
Prof. Marcelo Kaminski Lenzi
Fenômenos de Transporte Experimental II – TQ084
Universidade Federal do Paraná
Grupo B1
Resumo: No presente trabalho se aplica o método de parâmetros condensados para a ponta de dois termopares de diâmetros diferentes de forma a obter o coeficiente convectivo nas situações de aquecimento e resfriamento. A análise é validada pelo número de Biot pequeno encontrado.
Abstract: In this paper the lumped capacitance model is applied to two different size thermocouples’ tip to find the convective heat transfer coefficient in the situations when they were under heating or cooling down. The analysis is validated by the small Biot’s number found.
Graduandos do curso de Engenharia Química na Universidade Federal do Paraná
INTRODUÇÃO
Reconhecendo que muitos problemas de transferência de calor são dependentes do tempo, temos que o estudo da condução em estado transiente desempenha um papel importante devido à frequência com que situações deste tipo se apresentam e à solução não trivial.
A condução é o transporte de energia em um meio devido à existência dum gradiente de temperatura e o mecanismo físico envolvido é a atividade atômica (ou molecular) aleatória. Tal fenômeno é governado pela lei de Fourier, apresentada na Equação 01
	(01)
Apesar de ser uma função da temperatura, k, a condutividade térmica do material, pode ser aproximada por uma constante em inúmeras situações e fornece uma indicação da taxa na qual a energia é transferida pelo processo de difusão (Incropera apud Flik, 2007).
Para encontrar a variação da temperatura de um corpo sólido com o tempo, dependemos de considerações a serem tomadas na modelagem do processo de transferência de calor entre um sólido e sua vizinhança em regime transiente. Se o gradiente de temperatura no interior do sólido for desprezível, o método da capacitância global, também conhecido como método de parâmetros condensados pode ser aplicado. Caso contrário, deve-se recorrer a soluções aproximadas.
A forte preferência pelo método da capacitância global, explicado pela praticidade, deve ser validada, e a forma mais comum é conferindo se o número adimensional de Biot (Equação 02) é suficientemente pequeno para considerar o sólido numa temperatura uniforme.
 (02)
A dimensão característica para avaliação Lc, é tomada como a razão entre o volume do corpo e sua área superficial. Para que o método apresente erros irrisórios, Bi < 0,1.
OBJETIVOS
Avaliar os perfis de temperatura num corpo sólido (solda da ponta do termopar) durante o aquecimento e resfriamento do corpo, encon-trando de forma experimental os coeficientes convectivos para ambas as situações e verificando a validade do método de parâmetros condensados através da análise do número de Biot.
METODOLOGIA EXPERIMENTAL
Os seguintes materiais foram utilizados no experimento: Banho termostático e banho de gelo, termopares com diâmetros de solda de 1,5 mm e 3,0 mm, termômetro e câmera digital.
A metodologia adotada tem como base a obtenção de perfis de temperatura para dois corpos de geometria igual, mas de dimensões diferentes. Para isso foi criado um banho de gelo, necessário à etapa de resfriamento dos sólidos e se regulou um banho termostático com agitação para uma temperatura alguns graus maior do que a ambiente.
Tomando a solda da ponta do termopar como o corpo sólido, aproximado por uma esfera constituída de prata pura, mergulhava-se a mesma no banho de gelo e assim que a temperatura registrada no visor se estabilizasse, o termopar era posto no banho quente, com a variação de temperatura crescente indicada no visor sendo acompanhada por uma câmera.
Quando a temperatura novamente se estabilizava, o processo inverso era feito e então se filmavam as temperaturas decres-centes indicadas no visor. O procedimento descrito acima foi aplicado para ambos os termopares e posteriormente, com o auxílio de um editor de vídeo, se obteve as temperaturas em cada tempo para se plotarem gráficos dos valores, necessários para as análises sub-seqüentes.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
As gravações de vídeo obtidas durante a execução do experimento foram analisadas quadro a quadro através de um editor de vídeo livre (VSDC video editor), sendo tomado nota do tempo necessário para que o visor do termopar indicasse outro valor para a temperatura. Esta tática foi empregada devido ao fato da temperatura variar de forma muito rápida com o tempo, que se fosse verificado da forma usual acarretaria num somatório de erros que comprometeriam os resultados.
As temperaturas encontradas para o termopar com solda de diâmetro de 1,5 mm constam na Figura 1. A característica marcante é a temperatura de equilíbrio ser obtida quase que instantaneamente.
Figura 1 – Temperaturas encontradas experimentalmente para o corpo de menor dimensão. As linhas não possuem significado. 
Fazendo o mesmo com as temperaturas encontradas para o termopar com o dobro de diâmetro (Figura 2), percebe-se uma variação mais gradual, que lembra a função exponencial.
 Figura 2 – Temperaturas encontradas experimentalmente para o termopar de 3,0 mm de diâmetro. Os valores serão apresentados na sequência.
Ao aplicar o balanço de energia ao volume de controle de um sólido sujeito à convecção na superfície e realizar a integração sujeita a condição de contorno de T(t=0) = Ti, obtemos a equação de parâmetros condensados (Equação 03) que será aplicada aos dados experimentais.
 	(03)
Essa equação, já adaptada para o corpo esférico, despreza a variação de temperatura com a posição radial, como já comentado na introdução. Ela ainda considera as propriedades físicas e volumétricas como constantes, no entanto, para ajustá-la aos dados experimentais é necessária uma linearização, o que resulta na Equação 04:
 	 (04)
A letra α é o coeficiente angular da reta e é a partir dela que obteremos o valor de h médio, nosso objetivo principal. Se compararmos a Equação 04 com a equação da reta no plano cartesiano, esperaremos que o coeficiente linear seja nulo.
Sendo assim, o logaritmo natural necessário à linearização foi calculado para os pontos experimentais do termopar de menor diâmetro. Os resultados são apresentados na Tabela 1. Devido ao primeiro e ao último ponto serem os com maior dúvida no tempo, os mesmos foram excluídos do procedimento.
	Aquecimento
	Resfriamento
	t (s)
	T (°C)
	ln (θ/θ)
	t (s)
	T (°C)
	ln (θ/θ)
	0,00
	1,9
	0,00
	0,00
	27,1
	0,00
	0,36
	2,4
	-0,02
	0,73
	26,9
	-0,01
	0,73
	3,2
	-0,05
	1,10
	26,3
	-0,03
	1,10
	22,7
	-1,75
	1,47
	15,1
	-0,68
	1,26
	26,2
	-3,33
	1,80
	6,2
	-1,94
	1,83
	26,8
	-4,43
	2,17
	4,0
	-2,93
	2,20
	27,0
	-5,53
	2,53
	3,1
	-4,11
	2,56
	27,1
	indtr
	2,90
	2,9
	-4,80
	-
	-
	-
	3,27
	2,8
	-5,50
	-
	-
	-
	3,63
	2,7
	indtr
Tabela 1 – Dados para linearização. D = 1,5 mm.
Como a variação de temperatura ocorreu de forma brusca, ao se realizar a linearização, optou-se por não incluir os pontos referentes aos dois primeiros tempos e o último, que gerou uma indeterminação matemática. Fato é que ao deixar de lado os dois primeiros pontos, o valor de r² das retas se tornou mais próximo de 1. A fuga dos dois primeiros pontos da tendência pode ser explicada visto que num tempo tão curto a camada limite poderia não estar comple-tamente desenvolvida.
Os dados experimentais do outro termopar constam na Tabela 2, a seguir:
	Aquecimento
	Resfriamento
	t (s)
	T (°C)
	ln (θ/θ)
	t (s)
	T (°C)
	ln (θ/θ)
	0,00
	2,1
	0,00
	0,00
	26,9
	0,00
	0,33
	2,4
	-0,01
	0,36
	26,0
	-0,04
	0,70
	4,7
	-0,11
	0,73
	23,1
	-0,17
	1,06
	8,5
	-0,30
	1,10
	19,5
	-0,36
	1,43
	12,3
	-0,53
	1,46
	16,1
	-0,58
	1,80
	15,5
	-0,78
	1,80
	13,3
	-0,82
	2,16
	18,0
	-1,02
	2,20
	11,1
	-1,04
	2,53
	19,9
	-1,26
	2,539,5
	-1,25
	2,90
	21,4
	-1,51
	2,90
	8,1
	-1,47
	3,26
	22,5
	-1,73
	3,46
	7,1
	-1,67
	3,63
	23,3
	-1,93
	3,63
	6,3
	-1,86
	4,00
	23,9
	-2,11
	4,00
	5,6
	-2,06
	4,36
	24,4
	-2,29
	4,36
	5,2
	-2,20
	4,73
	24,8
	-2,47
	4,73
	4,7
	-2,41
	5,10
	25,1
	-2,62
	5,06
	4,4
	-2,55
	5,46
	25,4
	-2,81
	5,46
	4,1
	-2,72
	5,83
	25,6
	-2,95
	5,80
	3,8
	-2,93
	6,20
	25,8
	-3,12
	6,20
	3,5
	-3,19
	6,56
	26,0
	-3,32
	6,53
	3,3
	-3,42
	6,90
	26,2
	-3,57
	6,93
	3,1
	-3,71
	7,26
	26,3
	-3,72
	7,26
	3,0
	-3,89
	7,63
	26,4
	-3,90
	7,63
	2,9
	-4,11
	8,00
	26,5
	-4,13
	8,00
	2,8
	-4,40
	8,36
	26,6
	-4,41
	8,73
	2,7
	-4,80
	9,10
	26,7
	-4,82
	9,43
	2,6
	-5,50
	9,46
	26,8
	-5,51
	11,30
	2,5
	indtr
	10,6
	26,9
	indtr
	-
	-
	-
Tabela 2- Dados experimentais referentes a linearização do termopar de diâmetro de 3,0 mm.
Para o primeiro corpo no aquecimento, a equação da reta encontrada ao se plotarem os logaritmos em função do tempo foi de y = -3,579x + 2,078, com r² de 0,940. No caso do resfriamento a equação de reta foi y = -2,651x + 2,916 e r² = 0,989.
O mesmo procedimento foi aplicado ao termopar com solda de diâmetro igual a 3,0 mm e as mesmas opções quanto à exclusão de pon-tos foi feita. Os valores dos pontos experimenta-is e do cálculo do logaritmo constam na Tabela 2 (acima). Para este corpo, no aquecimento a equação de reta encontrada foi y = -0,542x + 0,159 com r² = 0,996 e no resfriamento a reta obtida foi -0,567x + 0,246 e r² = 0,997.
Os valores do coeficiente linear seriam supostamente nulos, e seus valores são portanto, indicativo de erros experimentais. Da passagem da Equação 03 para a Equação 04, temos que o coeficiente angular engloba algumas constantes, então rearranjando os termos, encontramos a Equação 05, que possibilita a obtenção do coeficiente convectivo médio:
 	 (05)
Como a ponta dos termopares foi aproximada por uma esfera de prata, para o cálculo de nas 4 situações, foram empregados os valores de ρe = 10500 kg/m³ e Cp = 235 J/kg°C, assim um resumo dos valores encontrados é apresentado na Tabela 3:
	h médio [W/m²°C]
	1,5 mm
	3,0 mm
	Aquecimento
	4415,6
	1337,4
	Resfriamento
	3270,7
	1399,1
Tabela 3 – Coeficientes convectivos experimentais obtidos segundo hipótese de parâmetros condensados.
Os valores citados pela literatura são de 50 a 1000 W/m²°C para o processo de convecção natural em líquidos, que seria o caso do resfriamento, e de 100 a 20000 W/m²°C para o processo de convecção forçada (Incropera et alli, 2008), no caso do nosso aquecimento.
A explicação do porque os coeficientes experimentais no processo de resfriamento são maiores do que a faixa normal citada pode estar no fato do banho de gelo ter sido feito num recipiente muito pequeno. Assim a temperatura poderia não estar homogênea em toda a extensão, (diferente do banho termostático que com a agitação tenta assegurar a homoge-neidade) ou ainda possíveis movimentos do termopar quando submerso no banho de gelo, o que definiria uma convecção também forçada. Isso tudo considerando que a solda era realmente de prata pura, o que não temos certeza.
Percebe-se que para o corpo de menor dimensão, o coeficiente na convecção forçada é maior do que o coeficiente na convecção natu-ral, o que condiz com a teoria. Para o termopar maior não pode ser feita tal comparação, já que os valores são muito parecidos.
Se em posse do coeficiente convectivo dermos sequência agora com o cálculo do número de Biot, considerando k = 429 W/m°C, encontraremos os valores de 0,003 para a solda de 3,0 mm de diâmetro e 0,004-0,005 para o termopar com solda de 1,5 mm. Como os valo-res são menores do que 0,1, pode-se afirmar que o modelo de parâmetros condensados é válido nesta situação.
As equações empíricas para o cálculo do h médio em esfera encontradas não puderam ser aplicadas para comparação devido ao fato do RaD calculado não se adequar ao intervalo em que elas asseguram maior precisão, ou a desconhecermos a velocidade do fluido na convecção forçada do aquecimento.
CONCLUSÃO
Durante a execução do experimento foi possível discutir a maneira com que são conduzidos os cálculos de temperatura transiente em diversas situações e verificou-se que o método pela capacitância global é o mais simples e prático, por isso a importância do conhecimento do significado do número adimensional de Biot.
REFERÊNCIAS
INCROPERA, F. P., DEWITT, D. P. et alli. Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. 6ª. Ed. Rio de Janeiro, LTC, 2008. Capítulos 2, 7 e 9.