Cálculo 2 - Lista de exercícios - Conteúdo P2

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UNISANTA – Lista de Exercícios de Cálculo II – 1.º sem/2015 Prof. Sérgio 
 
1. Calcule as integrais abaixo: 
a) 2(3 1) 3 2 1x x x dx+ ⋅ + +∫ b) 
cos(ln(5 ))x
dx
x∫ 
c) 2( 1) ln( )x x dx+ ⋅∫ d) 5(3 1) xx e dx− ⋅∫ 
e) 
3
2
2 1
6 25
x x
dx
x x
+ +
− +∫ f) 2
5 2
8 7
x
dx
x x
+
+ +∫ 
g) 
2
7 9
4 4 1
x
dx
x x
+
+ +∫ h) 
5
6 2
3x x
dx
x x π
+
+ +
∫ 
 
2. Calcule a área da região R, em cada caso: 
a) R é compreendida (limitada) entre os gráficos de 2( ) 6 2f x x x= − + e 
( ) 2 5g x x= − : 
 
 
b) R é limitada pelos gráficos de ( ) ln(2 1)f x x=− − , ( ) 1g x x= − e pela vertical 
4x = : 
 
 
 
0 2 4 6 8
10−
5−
5
10
10
10−
f x( )
g x( )
91− x
3. Calcule o volume gerado pela revolução (em torno do eixo x) da região R 
compreendida entre os gráficos de 2( ) 5f x x x= − e ( ) 2g x x= : 
 
4. Um engenheiro pretende construir várias colunas de sustentação em sua obra e 
precisa calcular o volume de cada uma. Ele supõe que a coluna (quando deitada) seja a 
revolução (em torno do eixo x) do gráfico da função 10
x
y e= , no intervalo de x de 0 a 6. 
Calcule o volume de cada coluna, para o engenheiro. (medidas em metros) 
 
5. A área superficial gerada pela revolução em torno do eixo x de uma curva y = f(x) 
num intervalo [a, b] é, de forma geral,
 
22 1 ( ')
b
x a
S y y dxπ= +∫ . Ajude o engenheiro 
do exercício anterior e calcule a área superficial de cada coluna – elas serão tratadas, 
pintadas, e este tratamento é custoso. Use o Método dos Trapézios, com n = 10, para 
avaliar a integral proposta. 
6. Filetes de ouro (cinco deles) serão adicionados a cada coluna do exercício 5, descendo 
do topo até sua base em formato retilíneo. Calcule o comprimento total de filete de 
ouro que será usado em cada coluna. Use o Método dos Trapézios, com n = 10, para 
avaliar a integral proposta. 
 
 
 
 
 
 
0 2 4 6
10−
5−
5
10
10
10−
f x( )
g x( )
61− x
0 2 4 6
1−
1
2
3
3
1−
f x( )
71− x
Respostas: 
1) 
2 3(3 2 1)
3
x x
k
+ +
+ sin(ln(5 ))x k+ 
3 3
( ) ln( )
3 9
x x
x x x k+ ⋅ − − + 5
15 8
( )
25
x xe k
−
+ 
2
255 3 136 ( ) ln( 6 25)
2 2 4 2
x x
x arctg x x k
−
+ − + − + + 
25 1ln | 8 7 | 3 ln | |
2 7
x
x x k
x
+
+ + − +
+
 
7 11
ln | 2 1 |
4 8 4
x k
x
+ − +
+
 6 2
1
ln | |
2
x x kπ+ + + 
2) 36; 
7 ln(7) 3
8, 3107
2
+
≅ 3) 
351
110,2702
10
π ≅ 
4) 5 35 ( 1) 36, 4443e e mπ − ≅ 5) 252,1980m 
6) 30,2888m 
 (Espero não ter errado nenhuma delas.) 
 
 
Caros Alunos 
Queiram resolver esta singela lista de exercícios a título de treino para P2. Não se 
esqueçam de verificar o que comentamos em sala de aula (nossas notas de aula) – tudo 
é conteúdo de P2 .... 
Entreguem esta lista resolvida no dia da P2, em papel sulfite ou almaço, como trabalho 
Prático (TP) deste bimestre. 
Espero que vocês curtam ... 
 Prof. Sérgio