Aula 5 - Amortização de dívidas

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7. Amortização de dívidas 
 
 
 
7.1. Introdução 
A restituição de um empréstimo F considera duas frações: o principal (P) e os juros (J). 
Se esta restituição é feita em parcelas, deve-se considerar um sistema de amortização, 
que seja capaz de fornecer, a qualquer momento, o estado da dívida (saldo devedor ou 
quanto ainda devo) ou quanto já foi amortizado. 
 
Sistema de amortização → Forma de pagamento do principal mais os juros. 
 
Existem diferentes sistemas de amortização, dentre os quais, no Brasil, três se destacam: 
• Sistemas de prestação constante 
• Sistema de amortização constante e 
• Sistema de amortização da Caixa Econômica Federal 
 
 
7.2. Sistema de Prestação Constante (PRICE) 
Também conhecido por Sistema Francês de Amortização. O pagamento de uma 
prestação corresponde a um pagamento de uma parcela do capital emprestado 
(amortização) e uma parcela de juros associados ao saldo devedor, ou seja, 
 
Prestação (p) = Amortização (a) + Juros (J) 
 
Sendo a prestação constante, ela pode ser associada a uma série uniforme A. Assim, 
 
A = a + J 
 
Exemplo: 
Empréstimo de R$ 100.000,00, com pagamento em 20 prestações semestrais, com taxa 
de juros (efetivo) = 50% a.a. 
a. Valor das prestações? 
b. Na primeira prestação quanto é amortizado? Quanto é relativo a juros? 
(is + 1)2 = 1 + ia 
(1 + ia)1/2 – 1 = 1s 
is = 0,0225 = 22,5 % a.s. 
 
a) A = P (A/P; is; 20) 
A = 22.895,39 (valor das prestações) 
 
b) Prestação (A) = Amortização (a) + Juros (J) 
Juros da primeira prestação 
J = P.i 
J = 100000 x 0,225 
J = 22.500,00 (juros relativos à primeira prestação) 
 
A = a + J 
a = A – J 
a = 22.895,39 – 22.500,00 
a = 395,39 (amortização relativa à primeira prestação) 
 
Assim sendo, após o pagamento da primeira prestação de 22.895,00, abateu-se R$ 
395,39 do principal emprestado (100.000,00). Os juros da segunda prestação incidirão 
agora sobre 99.604,61 (100.000,00 – 395,39) que é o novo saldo devedor. 
 
 
Cálculo de amortização e juros 
Para um valor P o cálculo da prestação A é igual a P(A/P; i; n) 
A parcela de juros da 1ª prestação será J1 = i.P0 
A primeira amortização, a1 será: a1 = A – J1 = P(A/P; i; n) – i.P0 
 
i P
i
ii
Pa
n
n
 
1)1(
)1(
 1 −





−+
+
= 
 
1)(
)1)( ( )1(
1
−+
−+−+
=
n
nn
ii
i PiiiPi
a 
 






−+
++−+
=
1)1(
)1()1(
 1 n
nn
i
iiiii
Pa 
 






−+
=
1)1(
 1 ni
i
Pa 
 
a1 = P (A/F; i; n) 
 
A segunda prestação será: A = a2 + J2 
A segunda amortização, a2, por sua vez será: 
 
A = a1 + J1 = a2 + J2 
a2 = a1 + (J1 – J2) 
 
No tocante aos juros, tem-se que J1 = iP0 e J2 = iP1, onde P1 = P0 – a1. Portanto, 
J2 = J1 – a1i 
 
onde: a1i = Juros da parcela amortizada 
a1i = J1 – J2 
a2 = a1 + a1i 
a2 = a1(1 + i) 
 
 
Na sequência, 
A = a2 + J2 = a3 + J3 
a3 = a2 + (J2 – J3), como J2 = iP1 e J3 = iP2, onde P3 = P2 – a3. Portanto, 
J3 = J2 – a2i 
 
a3 = a2 (1 + i) pois, 
a3 = a2 + a2i 
a3 = a1 (1 + i)(1 + i) 
a3 = a1(1 + i)2 
 
an = an-1(1 + i) 
an = a1(1 + i)n-1 
 
Juros: 
Jn = iPn – 1 = A - an 
Jn = A – a1(1 + 1)n-1 
n > 1 
 
Observações: 
No sistema PRICE, sendo a prestação constante, a fração de amortização aumenta e a de juros 
diminui; 
Os juros são cobrados sobre o saldo devedor. 
 
Saldo Devedor 
Após o pagamento de k prestações o saldo devedor será o seguinte: 
SD = A(P/A; i, n-k) k varia de 0 até n 
 
Ou seja, o saldo devedor é o Valor Presente das prestações futuras. 
 
 
Exercícios 
 
1. Montar a planilha financeira para um financiamento de 1.000,00 a 42% a.a. nominais 
(capitalização mensal), com prazo de 6 meses para pagamento. 
a. Taxa efetiva mensal: 
i = 42/12 = 3,5 % ou 0,035 
Juros do 1º mês: 
Ji = 0,035 x 1000 = 35 
 
b. Prestação; 
A = P(A/P ; 3,5; 6) 
6 7,1 8 7 
1)1(
)1(
1 0 0 0 =
−+
+
=
n
n
i
ii
A 
 
 
 
c. Amortização (1o mês) 
a1 = A – J1 
a1 = 187,67 – 35 
a1 = 152,67 
 
Desenvolver a planilha: 
Mês Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 1000,00 
1 187,67 35 152,67 847,33 
2 187,67 
3 187,67 
4 187,67 
5 187,67 
6 187,67 
Total 1000,00 0 
 
2. Um imóvel foi vendido por um valor a ser pago parte no ano e o saldo pela tabela 
Price de 10 % a.a. com capitalização mensal, em 60 prestações de R$ 1.000,00. Ao 
pagar a prestação do 15o mês, o comprador desejou liquidar o saldo devedor de uma 
só vez. Quanto deverá pagar? 
10/12 = 0,83% a.m. 
SD = 37.550,00 
 
 
 
 
Resposta R$ 37.397,29. 
 
3. Você é proprietário(a) de uma loja que pretende vender em três vezes sem entrada 
e sem acréscimo ou à vista com Y% de desconto. Após um estudo das demais variáveis 
envolvidas na transação você chegou à conclusão de que a taxa de juros deve ser de 
10% ao mês. Qual deverá ser o valor de Y (desconto)? 
 






+
−+
=
n
n
ii
iP
XP
)1(
1)1(
3
 






+
−+
=
n
n
ii
i
X
)1(
1)1(
3
1 
 
X = 0,828 
 
Y (Desconto) = 1 – 0,828 = 17,20% 
 
4. Valor financiado: RS 50.000,00 taxa de Juros: 10,5% a.a. com capitalização 
mensal 
Prazo: 180 meses (15 anos) 
Qual o Saldo Devedor e Total de amortização após o pagamento de 4 prestações e o 
valor da 4ª prestação? 
 
A= R$ 566,98 
SD = R$ 49.475,24 
Amortização = 524,76 
 
 
 
5. Qual a TIR real de uma operação de venda a prazo que pressupõe cinco pagamentos 
mensais de R$ 1.000,00, com a primeira prestação a ser desembolsada 60 dias após a 
entrega da mercadoria. Sabe-se que o valor desta mercadoria a vista é de R$ 3.000,00. 
Resposta: TIR= 11,38% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.3. Sistema de Amortização Constante (SAC) 
Neste sistema, as amortizações são constantes e iguais ao valor principal (P) dividido 
pelo número de pagamentos (n), ou seja: 
n
P
a = 
Prestação = amortização (a) + Juros (J) onde a = constante 
 
Juros1 = iP 
 
Juros2 = iP – ia onde, a = P/n 
 
n
Pi
 i P Juros −=2 onde Pi/n = juros da parcela amortizada 
n
Pi
iP
n
Pi
n
Pi
iPJuros
2
 3 −=−−= 
n
Pi
iP
n
Pi
n
Pi
n
Pi
iPJuros
3
 4 −=−−−= 
n
Pik
i PJur osx
)1(
 
−
−= 
 
 
Cálculo dos valores das prestações 
 
i P
n
P
 Pr e s t a ç ã o1 += 
n
P i
i P
n
P
 P r e s t a ç ã o2 −+= 
n
Pi
Pi
n
P
n
Pi
n
Pi
iP
n
P 2
 Prestação3 −+=−−+= 
 
n
Pik
iP
n
P )1(
 Prestaçãok
−
−+= 
 
****** 
 
Cálculo do Saldo Devedor 
 
SD0 = P 
n
P
P DS 1 −= 
n
P
P DS 2
2
−= 
n
P
P DS 3
3
−= 
n
kP
 P DS k −= 
 
Ainda, 
Jurosk = iSDk-1 
Exemplo: 
1. Montar planilha financeira para um financiamento de R$ 1000,00 a 42% a.a. nominais 
(capitalização mensal), com pagamento em 6 mensalidades. 
Taxa mensal: ma .%5,3
12
42
= 
Amortização: 6 7,1 6 6
6
1 0 0 0
= 
Juros1 = 0,035 x 1000 = 35,00 
 
Observações 
Quanto à comparação dos dois sistemas: 
Ambos os sistemas são corretos e equivalentes. No SAC as prestações no início são 
maiores, e depois de um certo tempo o valor no PRICE passa a ser maior. 
Em geral a tabela PRICE é utilizada para financiamentos curtos (até 12 meses). 
A tabela SAC é utilizada para financiamentos em longo prazo. 
 
 
Exercícios 
1. Um imóvel foi financiado em 60 prestações mensais. Ao pagar a 5a prestação o 
comprador decidiu liquidar o saldo devedor. Quanto ele deverá pagar pelo SAC e pelo 
Price? A taxa de juros envolvida na transação é de 16% a. a. com capitalização trimestral 
e primeira prestação (SAC) foi de R$ 1200,00. 
 
im = 1,316% a.m 
Prestação (SAC) = P/n + P.i = 1200 = P/60 + P.0,01316 → P = 40.232,5 
Prestação (Price) = 973,94 (cálculo pela equação A em relação P) 
 
SAC 
Mês Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 - - - 40232,5 
1 1200 529,46 670,54 39561,96 
2 670,54 38891,42 
3 670,54 38220,88 
4 670,54 37550,34 
5 670,54 36879,80 
Total 
 
Price 
Mês Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 - - - 40232,50 
1 973,94 529,46 444,48 39788,02 
2 973,94 523,61 450,32 39337,69 
3 973,94 517,68 456,25 38881,44 
4 973,94 511,68 462,25 38419,185 973,94 505,59 468,34 37950,83 
Total 
 
2.Com um investimento inicial de R$ 100.000,00 um empreendimento foi financiado 
com quatro meses de carência e 12 meses para amortizar a dívida. Durante o prazo de 
carência, o empresário paga apenas os juros, sendo a taxa de 2% a.m. 
Quais os valores uniformes a serem pagos (Price)? (dos juros nos primeiros 4 meses e 
das prestações nos 12 meses seguintes); 
Qual o valor das prestações (Price), admitindo que durante o prazo de carência não se 
é obrigado a pagar os juros; 
Se o empresário quiser terminar com a dívida no mês dez das amortizações, qual deve 
ser o saldo devedor? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
Período de carência é o prazo no qual o devedor paga somente os juros da dívida, sendo 
que o valor emprestado (P) permanece constante. 
É possível também que neste período os juros não sejam pagos. Trata-se de uma 
carência total. Neste caso, os juros serão serão incorporados ao principal (capitalização 
dos juros). 
A amortização, por sua vez, consiste em abater efetivamente o valor emprestado. 
 
 
	7. Amortização de dívidas
	7.1. Introdução
	7.2. Sistema de Prestação Constante (PRICE)
	7.3. Sistema de Amortização Constante (SAC)