Sistema de Amortização: Tabela Price

Prévia do material em texto

Bacharelado em Administração 
 
Matemática Financeira 
Profª. Marilia Vasconcellos 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO (TABELA PRICE E SAC) 
 
1. EMPRÉSTIMOS: 
O empréstimo é uma modalidade de dívida e surge quando uma determinada quantia é emprestada 
por um período de tempo determinado. Quem contraiu a dívida é obrigado a devolver (restituir) o valor 
tomado (principal) acrescidos dos juros devidos. Os 
empréstimos podem ser de curto, médio ou longo prazo. As 
formas de cálculo são na maioria das vezes semelhantes, mas nas 
operações de longo prazo temos algumas características 
específicas que os diferenciam das características de curto e 
médio prazo. 
 O principal tópico de diferença entre os prazos dos empréstimos reside na forma de reembolso 
adotado e a forma de determinação dos juros efetivamente cobrados nos empréstimos de longo prazo. Vale 
ressaltar que tratamos aqui de juros compostos e os juros sempre serão calculados sobre o saldo devedor. 
Por fim é importante ressaltar que os juros sempre serão calculados sobre o saldo devedor. 
Vejamos o seguinte exemplo: 
 
Máquina de Lavar Roupas ABC por 𝑹$ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 a vista ou em 2 vezes sem entrada com juros de 
𝟏𝟎% 𝒂. 𝒎. 
 
E aí o vendedor diz seguinte: 
“Como a máquina custa R$1.000,00 e os juros são de 10% ao mês, logo, R$100,00 do 1º mês com 
R$100,00 do 2º dá R$200, somado ao preço da máquina fica R$1.200,00. Porém, como são dois pagamentos, 
você terá que pagar duas de R$600,00.” 
Na maioria das vezes isso convence. Ou não? Mas como sabemos como se calcula a questão vemos que: 
𝐶 = 𝑃𝑀𝑇 [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖(1 + 𝑖)𝑛
] 
1000 = 𝑃𝑀𝑇 [
(1 + 0,1)2 − 1
(1 + 0,1)2. 0,1
] 
1000 = 𝑃𝑀𝑇. 1,735537 
𝑃𝑀𝑇 =
1000
1,735537
 
𝑃𝑀𝑇 = 576,19 
Vimos então que tem uma grande diferença entre o cálculo que realizamos e a proposta do vendedor. 
Mas qual a diferença entre as duas? 
Observe o quadro a seguir: 
 
 
 
Bacharelado em Administração 
 
Matemática Financeira 
Profª. Marilia Vasconcellos 
Mês Saldo Inicial Juros Saldo Principal Prestação Saldo Final 
0 1000 1000 
1 1000 100 1100 576,2 523,80 
2 523,80 52,40 576,20 576,2 0,00 
 
Em linguagem financeira, a dívida foi amortizada após o 1º pagamento. 
 
 
 
 
 
 
Amortizar é liquidar, pagar uma dívida. 
Em termos genéricos, amortização é a parte da prestação que não corresponde aos juros, ou seja, é 
parte real que diminui a dívida, neste exemplo teríamos, mês a mês. 
 
Amortização = Prestação – Juros 
 
Como a dívida inicial era de R$1000,00 e o saldo devedor após o 1º pagamento de R$523,80, 
podemos dizer que essa dívida foi amortizada em R$476,20, ou seja, a prestação de R$ 576,20 menos o juro 
de R$ 100,00 temos uma amortização sobre o capital inicial de R$ 476,20. 
No 2º mês o capital devido é de R$523,80, sobre ele que a taxa de 10% vai incidir, logo teremos um 
juro de R$ 52,40 resultando na última prestação de R$ 576,20, ou seja, a prestação de R$ 576,20 menos o 
juro de R$ 52,40 temos uma amortização sobre o capital devido de R$ 523,80 que seria o nosso saldo devedor 
final. Quitada a dívida. 
 
Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes sistemas de amortização: 
a) Sistema de Amortização Constante - SAC; 
b) sistema francês de amortização - PRICE 
c) Sistema de Amortização Americano - SAA; 
d) Sistema de Amortização Crescente – SACRE 
 
 
 
 
 
Mas o que é AMORTIZAÇÃO? 
 
 
Bacharelado em Administração 
 
Matemática Financeira 
Profª. Marilia Vasconcellos 
2. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS – TABELA PRICE 
A denominação Sistema de Amortização Francês origina-se do fato de esse sistema ter sido 
utilizado inicialmente na França no século XIX. O sistema caracteriza-se por pagamentos do principal em 
prestações iguais, periódicas e sucessivas. É o mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comercio 
em geral. Como os juros incidem sobre o saldo devedor que, por sua vez, decresce à medida que as 
prestações são pagas, eles são decrescentes e, consequentemente, as amortizações do principal são 
crescentes. 
Suas principais características: 
• Parcelas iguais (fixas) 
• Amortização crescente 
• Juros decrescentes 
 
Sabe o que isso significa? Você vai pagar o mesmo valor em cada parcela, mas, no decorrer dos meses, 
os juros diminuem e a amortização aumenta. 
A Tabela Price tem esse nome em homenagem ao economista inglês Richard Price, que incorporou 
a teoria do juro composto às amortizações de empréstimos, no século XVIII. A tabela Price é um caso 
particular do Sistema de Amortização Francês, em que a taxa de juros é dada em termos nominais (na 
prática é dada em termos anuais) e as prestações tem períodos menor que aquele que a taxa de juros se 
refere (em geral, as amortizações são pagas mensalmente). Nesse sistema, o cálculo das prestações é feito 
usando a taxa proporcional ao período a que se refere a prestação, calculada a partir da taxa nominal. 
Aproveitando o exemplo da oferta da máquina de lavar trabalhada anteriormente, vamos constituir 
uma tabela que mostra os valores de amortização, juros e saldo devedor na tabela Price. 
No período 0, ou seja, no momento da compra, o único dado disponível é o saldo devedor da dívida 
(R$ 1.000,00). 
 
Período Prestação Juros Amortização Saldo 
0 1.000,00 
 
No final do período 1, lançamos o valor da prestação, R$ 576,20 e o valor dos juros, que é o saldo 
devedor (R$ 1.000,00) multiplicado pela taxa de 10% a.m. 
 
Período Prestação Juros Amortização Saldo 
0 1.000,00 
1 576,20 100 
 
O valor a ser amortizado é a diferença entre o valor da prestação e os juros. Tal valor corresponde a 
redução que ocorrerá no saldo devedor. 
 
 
 
Bacharelado em Administração 
 
Matemática Financeira 
Profª. Marilia Vasconcellos 
Período Prestação Juros Amortização Saldo 
0 1.000,00 
1 576,20 100 476,20 523,80 
 
O mesmos procedimentos são executados para o cálculo da próxima parcela. 
 
Período Prestação Juros Amortização Saldo 
0 1.000,00 
1 576,20 100 476,20 523,80 
2 576,20 52,40 523,80 0,00 
 
 
 
 
 
Exercício 1: Um emprestimo de R$ 200.000,00 será pago pela tabela Price em quatro prestações 
mensais postecipadas a juros efetivos de 10% a.m.Construir a planilha de amortização. 
 
a) Calcule primeiro o valor da prestação: 
 
 
 
 
 
 
b) Agora vamos construir a planilha. 
 
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
 Saldo Devedor × taxa Prestação - Juros Saldo devedor – Amortização 
0 
1 
2 
3 
4 
 
 
 
 
 
 
 
Bacharelado em Administração 
 
Matemática Financeira 
Profª. Marilia Vasconcellos 
 
Exercício 2: Utilizando as informações do exemplo anterior porém agora considerando um período de 
carência de 3 meses, em que serão pagos os juros devidos. Construir a planilha de amortização 
considerando prestações antecipadas. 
 
Discussão: Como existe carência, onde neste período existe o pagamento do juros, o capital 
devedor inicial se matém até o final da carência. A prestação paga no período de carência nada mais 
é que o valor dos juros.Como o saldo devedor se matém o mesmo, a prestação vai permanecer o 
mesmo valor do problema anterior 
 
 
 
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
 Saldo Devedor × taxa Prestação – Juros Saldo devedor - 
Amortização 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
 
 
 
 
Exercício 3: Ainda utilizando as informações do primeiro exemplo, porém agora considerando um período 
de carência de 3 meses, em que os juros serão capitalizados e incorporados ao principal. Construir a 
planilha de amortização considerando prestações antecipadas. 
 
Discussão: Como existe carência, sendo que neste período não existe o pagamento dos juros, os 
mesmos são incorporados ao saldo devedor a cada mês até o final da carência. Este saldo devedor 
final, com a incorporação dos juros é que vai servir de base para o cálculo do valor da prestaçãoa ser 
paga. Até o final da carência não há pagamento nenhum. Lembre-se que as prestações são 
antecipadas, isso significa que não vai haver incorporação de juros no tercero mês pois a prestação é 
paga no inicio do período. 
 
 
 
 
 
Bacharelado em Administração 
 
Matemática Financeira 
Profª. Marilia Vasconcellos 
CARÊNCIA 
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 
1 
2 
 
Calculando o valor da prestação agora com o saldo devedor atualizado 
 
 
 
 
 
 
 
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
 Saldo Devedor × taxa Prestação - Juros Saldo devedor - Amortização 
2 
3 
4 
5 
6 
 
 
 
 
3. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC 
Pelo sistema de Amortização Constante (SAC), o principal é reembolsado em quotas de amortização 
iguais. Dessa maneira, diferentemente da Tabela Price, em que as prestações são iguais, no sistema SAC as 
prestações são decrescentes, já que os juros diminuem a cada prestação. A amortização é calculada dividindo-
se o valor do principal pelo número de períodos de pagamento. 
Suas principais características: 
• Parcelas decrescentes 
• Amortização constante 
• Juros variáveis 
 
 
Bacharelado em Administração 
 
Matemática Financeira 
Profª. Marilia Vasconcellos 
Assim, nos primeiros meses, a parcela inicial costuma ser bem alta por conta dos juros, mas ela diminui 
a cada prestação. 
Esse tipo de sistema às vezes é usado pelos bancos comerciais em seus diferentes financiamentos 
imobiliarios e também, em certos casos, em empréstimos a empresas privadas, por meio de entidades 
governamentais. Largamente usado em operações junto a agentes financeiros como a FINEP (Financiadora 
de Estudos e Projetos) e o BNDES (Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social). 
Vamos constituir uma tabela que mostra os valores de amortização, juros e saldo devedor na tabela 
SAC, utilizando como exemplo uma operação de $1.000, a ser paga em 4 parcelas mensais postecipadas no 
SAC, a uma taxa de 5% ao mês. 
Primeiramente precisamos dividir o valor do financiamento pelo número de parcelas, pois as 
amortizações terão sempre valor constante. 
 
𝑨𝒎𝒐𝒓𝒕𝒊𝒛𝒂çã𝒐 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 ÷ 𝟒 → 𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎 
 
A partir deste valor passar-se-á a construção da planilha: 
 
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
 Amortização + Juros Saldo Devedor × Taxa Juros Valor Fixo Saldo Devedor - Amortização 
0 1.000,00 
1 250,00 
 
Como a taxa é juros é de 5% ao mês, então os juros do primeiro período serão iguais a R$50,00 (taxa 
de juros aplicada sobre o saldo devedor). Dessa forma, a prestação será igual a R$300,00 (soma dos valores 
de amortização e de juros), e o saldo devedor cai para R$750,00 (o saldo devedor anterior menos o valor 
amortizado). 
 
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
 Amortização + Juros Saldo Devedor × Taxa Juros Valor Fixo Saldo Devedor - Amortização 
0 1.000,00 
1 250+50=300,00 1.000× 0,05 = 50 250,00 750,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bacharelado em Administração 
 
Matemática Financeira 
Profª. Marilia Vasconcellos 
E assim sucessivamente para os demais períodos. 
 
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
 Amortização + Juros Saldo Devedor × Taxa Juros Valor Fixo Saldo Devedor - Amortização 
0 1.000,00 
1 250+50=300,00 1.000× 0,05 = 50 250,00 750,00 
2 250+37,50=287,50 750× 0,05 = 37,50 250,00 500,00 
3 250+25,00=275,00 500× 0,05 = 25,00 250,00 250,00 
4 250+12,50=262,50 250× 0,05 = 12,50 250,00 0,00 
 
 
Exercício 4: Um emprestimo de R$ 200.000,00 será pago pela tabela SAC em quatro prestações 
mensais postecipadas a juros efetivos de 10% a.m.Construir a planilha de amortização. 
a) Calcule primeiro o valor da prestação: 
 
 
 
 
 
 b) Agora vamos construir a planilha. 
 
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
 Amortização + Juros Saldo Devedor × Taxa Juros Valor Fixo Saldo Devedor - Amortização 
0 
1 
2 
3 
4 
 
 
 
 
 
 
 
Bacharelado em Administração 
 
Matemática Financeira 
Profª. Marilia Vasconcellos 
Exercício 5: Um empréstimo de R$ 200.000,00 contratado a juros efetivos de 10% a.m., sera pago 
em 3 prestações mensais antecipadas com carência de três meses. Construir a planilha de amortização SAC. 
 
Discussão: Antes de calcular o valor a ser amortizado, precisamos saber qual será o saldo devedor 
acumulado ao longo do período de carência. Apartir deste valor é que saberemos qual será o valor da 
amortização. Lembrando que, sendo prestações antecipadas, o último período de carência não existe 
pois estaremos pagando a prestação no início do período, e por isso ele não demanada juros. 
a) A atualização do valor com o período de carência. 
 
Período de Carência 
 
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
0 
1 
2 
 
b) A partir de agora começam a serem pagas as prestações, lembrando que são antecipadas, logo não existirá 
o terceiro mês de carência pois estaremos pagando a primeira parcela no início deste mês. Passamos ao 
cálculo do valor da amortização: 
 
 
 
 
 
 
 
c) Agora passamos a construção do restante da planilha de amortização. 
 
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 
 Amortização + Juros Saldo Devedor × Taxa Juros Valor Fixo Saldo Devedor - Amortização 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
Bacharelado em Administração 
 
Matemática Financeira 
Profª. Marilia Vasconcellos 
EXERCÍCIOS: 
1) Um financiamento no valor de R$ 19.908,00 deve ser amortizado em 12 prestações mensais iguais, 
vencendo a primeira ao final de 30 dias e assim sucessivamente, a uma taxa de 3% a.m. Calcule o valor do 
saldo devedor do financiamento imediatamente após o pagamento da sexta prestação: 
 
2) Uma industria tomou emprestados R$ 200.000,00, concordando em saldar o débito em 8 pagamentos 
anuais postecipados a juros efetivos de 36% a.a. pela Tabela Price. Calcular: 
a) A prestação anual; 
b) O saldo devedor logo após o sexto pagamento; 
c) A amortização do quarto ano. 
 
3) Um financiamento de R$ 100.000,00 será pago pela tabela Price em cinco parcelas mensais a juros 
nominais de 120% a.a, capitalizados mensalmente. Calcular: 
a) A amortização do quarto mês; 
b) A soma dos juros pagos no segundo e terceiros meses; 
c) O saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação. 
 
4) Um financiamento de R$ 500.000,00 será pago pelo Tabela Price em cinco parcelas mensais a juros 
efetivos de 4% a.m. Calcular: 
a) A amortização do quarto mês; 
b) A soma dos juros pagos no segundo e terceiros meses; 
c) O saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação. 
 
5) Um financiamento de R$ 500.000,00 será pago pelo Sistema SAC em cinco parcelas mensais a juros 
efetivos de 4% a.m. Calcular: 
a) A amortização do quarto mês; 
b) A soma dos juros pagos no segundo e terceiros meses; 
c) O saldo devedor logo após o pagamento da terceira prestação.