Indutância Mútua

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Indutância Mútua 
Considere um circuito indutivo com entrada 
de corrente I1 no indutor L1. Caso haja outro indu-
tor, L2, próximo a ele, o circuito terá este esquema: 
Quando a corrente que passa por L1 muda com o tempo, formam se fluxos 
magnéticos ao redor das bobinas. Pela lei de Faraday, 
eles podem passar pelo próprio indutor L1 e exercer 
influência no próprio circuito (Φ11) – a indutância 
própria L, também denominada autoindutância – ou pelo 
outro indutor L2, influenciando indiretamente o outro 
circuito (Φ12) – denominada indutância mútua M. 
A influência se dá ao acrescentar ao circuito uma parcela de tensão 
induzida, proporcional à indutância mútua, de modo que, para dois circuitos RL 
acoplados: 
 
O sinal de M a ser usado depende do sentido do fluxo magnético gerado. Nas 
provas, você pode encontrar dois casos: 
 Circuitos tridimensionais – adote o teorema do eletromagnetismo: 
 
Use o teorema da mão direita para encontrar o sentido de Φ1 e Φ2 pelas 
correntes correspondentes. Se Φ1 for no mesmo sentido de Φ2, o sinal de M na 
equação será positivo – segue o mesmo sinal que L. Se forem contrários, será 
negativo, se opondo a L. A equação do caso acima é: 
 
Nós podemos tratá-la como um indutor em série especial, que “capta” o 
comportamento da outra corrente. 
 Circuitos planos: 
Nesse caso, use o método dos pontos. Ele indica o direcionamento do 
rolamento da bobina, tornando desnecessários o uso da regra da mão direita e 
conhecimento do formato da bobina. Considere a equivalência abaixo: 
 
Estabelecendo a referência no ponto de entrada de corrente no trecho 1 da 
bobina, segue–se o caminho do fluxo magnético até atingir o trecho 2 da mesma. 
Nele, marca–se em que ponto a corrente deveria entrar para produzir o mesmo 
fluxo. 
Na convenção dos pontos, a tensão a ser calculada nos terminais do indutor 
será aquela mesma soma; Para definir como mexer com os sinais, devem–se 
analisar três características no circuito: Localização dos pontos, Polarização dos 
indutores e Entrada das correntes. 
- O sinal de L deve ser o mesmo do polo pelo qual a corrente de seu circuito 
entra no indutor, seguindo a convenção; 
- Se a corrente entrar pelo lado com ponto, a indutância mútua do outro 
circuito segue o sinal do seu polo com ponto; se for sem ponto, segue o sinal do polo 
sem ponto. Por exemplo: 
 
Nos dois casos, a corrente i2 entra no polo com ponto, positivo. Assim, o valor 
da parcela de autoindutância (L*di/dt) é positiva. 
Para o caso da parcela de indutância mútua, os dois casos possuem 
correntes no indutor primário entrando no polo do ponto – portanto, seus sinais 
seguirão o sinal de polo que possui ponto no secundário, isto é, positivo no caso da 
esquerda e negativo no da direita. 
 
Nesses casos, diferenciei o sinal de entrada da corrente i2 para comparar a 
parcela de autoindutância. Deve–se notar que este termo não tem relação alguma 
com o sistema de pontos, para qualquer caso. 
Para o caso da parcela de indutância mútua, os dois casos possuem 
correntes no indutor primário entrando no polo sem ponto – portanto, seus sinais 
seguirão o sinal de polo que não possui ponto no secundário, isto é, negativo no caso 
da esquerda e positivo no da direita. Esta parcela de tensão induzida no secundário 
não tem relação nenhuma com a corrente no indutor secundário, e o mesmo 
corresponde no primário, para qualquer caso. 
 Sempre modele tensão induzida como indutores em série sem acoplamento, 
tal que sua indutância tenha o valor mútuo e “capte” o valor da corrente no outro 
circuito. Usemos um exemplo para transformadas de Laplace: 
 
 Transformando o circuito para o equivalente de Laplace, temos 1/s de 
impedância (“resistência”) capacitiva, 7s e 6s de impedâncias autoindutivas e 2s de 
impedância mutuamente indutiva. 
Analisando as malhas, deparamos com um problema em I1: como calcular a 
corrente de indutância mútua? Para isso, devemos verificar o referencial positivo 
de corrente na malha estudada – se tem ou não tem ponto onde a corrente (I1 – I2) 
entra. Se tiver, como o caso, analisar qual o referencial no ponto do outro indutor. 
Se entra I3 e também sai I2, o referencial será (I3 – I2) – que será a corrente de 
indutância mútua. Assim, a primeira equação será: 
 
 O mesmo caso em I2, e temos dois indutores nessa malha. No indutor de 7H, 
a corrente (I2 – I1) entra no polo sem ponto. Então, o referencial de corrente positivo 
no polo sem ponto do outro indutor é (I2 – I3). Para o indutor de 5H, o processo é o 
mesmo – a corrente (I2 – I3) entra no polo sem ponto, cujo referencial positivo no 
outro indutor é (I2 – I1). Em conjunto com a tensão I2/s no capacitor, a equação vale: 
 
Na terceira malha, a corrente (I3 – I2) entra no polo com ponto, com 
referencial positivo no outro indutor (I1 – I2). Portanto: 
 
 De modo que, resolvendo por Cramer: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E, destas equações, tomar qualquer função de transferência comparada a V1. 
Por exemplo, para a corrente que passa pelo indutor de 7H entrando no ponto: 
 
 
 
 
 
 
 
 E para a tensão no capacitor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS: 
EDMINISTER, J. A. Circuitos Elétricos – Coleção Schaum. McGraw-Hill, 1991. 
HAYT Jr., W. H.; KEMMERLY, J. C. Análise de Circuitos em Engenharia, 
McGraw-Hill, 1975.