1LMAT2ADMUFAL (2015.2)

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Universidade Federal de Alagoas
Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade
Maceió, fevereiro de 2016.
Disciplina: Matemática 2
Professor: Felipe F. P. Souza
E-mail: felipef.souza@gmail.com
1a Lista de Exercícios
1 Questões
Questão 1 Um empresário pode produzir gravadores digitais por R$ 50,00 a unidade. Estima-
se que, se os gravadores forem vendidos por p reais a unidade, os consumidores comprarão
q = 120− p gravadores por mês.
a) Expresse o lucro L do empresário em função de q.
b) Qual é a taxa de variação média do aumento do lucro quando o nível de produção passa de
q = 0 para q = 20?
Questão 2 Um produto, quando comercializado, apresenta as funções custo e receita dadas
respectivamente por C = 3q + 90 e R = 5q, onde q é a quantidade comercializada que se supõe
ser a mesma para custo e receita.
a) Encontre numericamente o valor de C ′(1) e C ′(5) e compare tais valores. O que você pode
concluir a respeito de tais derivadas? Justifique.
b) Encontre algebricamente a função derivada R′(q). Na prática, qual o significado de tal fun-
ção?
Questão 3 Dada a função custo C(x) = 0, 3x3 − 2, 5x2 + 20x+ 200, obtenha:
a) o custo marginal Cmg = C
′(x);
b) Cmg(5) e Cmg(10).
Questão 4 Os registros mostram que x anos após 2005, o imposto predial que incidia sobre
um apartamento de três quartos em um certo município era T (x) = 20x2 + 40x+ 600 reais.
a) Qual era a taxa de aumento do imposto predial com o tempo no início de 2005?
b) Qual foi a taxa de variação média do imposto predial entre os anos de 2005 e 2009?
Questão 5 A função de produção de Cobb-Douglas é dada por:
P (K,L) = 5L
1
2K
1
2
1
Assumindo que o capital, K, é fixado em 100, escreva uma fórmula para P somente em termos
de L. Calcule o produto marginal do trabalho (P ′(L)) quando L = 1, L = 9, L = 10.000.
Verifique se a lei da produtividade marginal decrescente se aplica nesse caso.
Questão 6 Considere a função de produção P (L) = 500
√
L − 6L, sendo que P é a produção
mensal (em toneladas) e L o número de homens-hora empregados.
a) Calcule P ′(L);
b) Calcule P ′(1) e P ′(100).
Questão 7 O produto interno bruto (PIB) de um certo país é dado por N(t) = t2 + 5t + 106
bilhões de dólares, onde t é o número de anos após 1998.
a) Qual a taxa de variação do PIB em 2008?
b) Qual a taxa de variação percentual do PIB em 2008?
taxa de variação percentual de N(t) =
100N ′(t)
N(t)
Questão 8 A elasticidade de f com respeito a x é
Elxf(x) =
x
f(x)
f ′(x)
Ache a elasticidade das funções definidas pelas seguintes fórmulas:
a)
√
x
b)axb (a e b são constantes e a 6= 0)
Questão 9 A demanda para um certo produto é dada por q = 1000− 20p, onde o preço varia
no intervalo 0 ≤ p ≤ 50.
a) Obtenha a função que dá a elasticidade-preço da demanda para cada preço.
b) Obtenha a elasticidade para os preços p = 20, p = 25 e p = 30 e interprete as respostas.
Questão 10 O lucro mensal de uma empresa é dado por L(x) = −x2 + 10x− 16, em que x é
a quantidade mensal vendida. Para que valor de x a empresa apresenta lucro máximo?
Questão 11 Um fabricante produz papel para impressora a um custo de R$ 2,00 a resma. O
papel vem sendo vendido a R$ 5,00 a resma; por este preço, são vendidas 4.000 por mês. O
fabricante pretende aumentar o preço do papel e calcula que para cada R$ 1,00 de aumento do
preço, menos 400 resmas serão vendidas por mês.
a) Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço de venda das resmas.
b) Faça um gráfico da função que expressa o lucro mensal. Para que preço o lucro é máximo?
Qual o lucro máximo?
Questão 12 Certa companhia que oferece serviços de Internet estima que, com q milhares de
assinaturas, o faturamento e o custo (em milhares de reais) são dados, respectivamente, por:
2
R(q) = 33q− 0, 2q2 e C(q) = 10(q+10). Qual valor de q (em milhares) torna o lucro máximo?
Questão 13 O lucro L (em centenas de reais) relativo a certo produto em função da quantidade
q vendida é representado pela função L(q) = −(q − 2)(q − 16).
a) Qual a quantidade vendida que torna o lucro máximo?
b) Qual o lucro máximo?
Questão 14 Uma lata cilíndrica tem capacidade para 65pi mL de suco de laranja. O custo por
centímetro quadrado para fazer a tampa e o fundo de metal é duas vezes maior que o custo por
centímetro quadrado para fazer o lado de papelão. Quais são as dimensões da lata mais barata?
Questão 15 Uma companhia recebeu uma encomenda do departamento de esportes de uma
prefeitura para fabricar 8000 pranchas de isopor. A companhia possui várias máquinas, cada
uma das quais é capaz de produzir 30 pranchas por hora. O custo de programar as máquinas
para produzir este tipo de prancha é R$ 20,00 por máquina. Depois de programadas as máqui-
nas, a operação é totalmente automática e pode ser supervisionada por um único funcionário,
que ganha R$ 19,20 por hora para fazer este trabalho. Expresse o custo de fabricação das 8000
pranchas em função do número de máquinas utilizadas, desenhe o gráfico associado e estime o
número de máquinas que a companhia deve usar para minimizar o custo.
Questão 16 Seja u(x) = −(100− x)2 para x ∈ I = [0, 100].
a) A função u(x) é crescente ou decrescente no intervalo considerado?
b) A função u(x) é côncava ou convexa no intervalo considerado?
c) Esborce o gráfico de u(x).
d) Considere a medida de aversão absoluta ao risco de Arrow-Pratt definida por
r(x) = −u
′′(x)
u′(x)
.
Verifique que r(x) é crescente no intervalo I.
Questão 17 Seja C(q) = 2q3+5 para q ∈ (0,∞). Encontre o valor de q que minimiza a função
de custo médio definida por A(q) = C(q)/q. Certifique-se que este, de fato, é um ponto de
mínimo.
Questão 18 Dada a função custo C(x) = 0, 3x3 − 2, 5x2 + 20x+ 200. Mostre que C(x) é uma
função sempre crescente no intervalo [0,+∞).
Questão 19 Dada a função de custo anual de uma empresa C(x) = 40x− 10x2 + x3:
a) Ache a função de custo médio
Cme(x) =
C(x)
x
b) Ache os intervalos de crescimento e decrescimento do custo médio.
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Questão 20 Suponha que a função receita seja R(x) = 30x − x2 e a função custo seja
C(x) = 20 + 4x.
a) Obtenha a quantidade x que deve ser vendida para maximizar o lucro.
b) Qual o valor do lucro máximo?
Questão 21 Em Microeconomia, a função de utilidade de um consumidor é aquela que dá o
grau de satisfação de um consumidor em função das quantidades consumidas de um ou mais
produtos. A função utilidade de um consumidor é u(x) = −5x2+100x+3, em que x é o número
de barras de chocolate consumidas por mês. Quantas barras ele deve consumir por mês para
maximizar sua utilidade (satisfação)?
Questão 22 Um monopolista (único produtor de determinado produto) tem uma função
custo mensal dada por C(x) = 2x + 0, 01x2. A função de demanda mensal pelo produto é
p = −0, 05x+ 400. Que preço deve ser cobrado para maximizar o lucro, sabendo-se que:
a) a capacidade máxima de produção é de 2 mil unidades por mês.
b) a capacidade máxima de produção é de 4 mil unidades por mês.
Questão 23 Suponha que não houvessem incertezas e o preço de determinada ação em função
do tempo fosse dado por
p(t) =
√
t− 1
2
t t ∈ [0, 3]
a) Qual a hora de vender a ação?
b) Qual o valor de venda?
Questão 24 Um estudo de eficiência realizado no turno da manhã (das 8h ao meio-dia) revela
que um operário que chega para trabalhar às 8h produziu Q(t) = −t3+6t2+15t receptores de
rádio t horas mais tarde.
a) Em que instante do turno da manhã a produtividade do operário é máxima?
b) Em que instante do turno da manhã a produtividade do operário é mínima?
Questão 25 A produção P de um funcionário é dada por P (t) = −t3 + 12t2, onde P é dada
em unidades e t é dado em horas, com 0 ≤ t ≤ 12.
a) Determine o ponto de inflexão para P (t).
b) Analisando o crescimento/decrescimento e as concavidades de P (t) em relação à inflexão,
interpreteo significado de tal ponto.
Questão 26 Uma pequena indústria de conservas está planejando fabricar geleias de morango
em recipientes de 500g. Para isso, realizou uma pesquisa de mercado determinando uma de-
manda anual em torno de 60.000 unidades com crescimento uniforme. O custo de encomenda
de cada pedido de recipientes junto ao fornecedor é de R$ 300, 00, dado que o custo anual de
estoque de cada recipiente vazio é de R$ 0, 60.
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a) Qual a quantidade ótima a ser pedida em unidades por vez (LEC)?
b) Quantos pedidos devem ser realizados ao longo de um ano para efeito de planejamento?
c) Qual deveria ser a estimativa de custo anual do projeto?
d) Expresse a função Custo Total anual em função da variável Q e calcule o custo mínimo anual.
2 Trabalho no Excel
2.1 Orientações para o trabalho
• Formar equipes de até 04 integrantes;
• Preparar toda resolução em uma única planilha no Excel;
• Cada aba da planilha deve corresponder a um problema;
• As equipes devem preparar a planilha de resolução de forma organizada. A organização
será levada em conta;
• O nome de arquivo da planilha entregue deve conter: o nome da disciplina, A (manhã)
ou N (noite), semestre 2015.2 e o nome e sobrenome de todos os membros da equipe;
• O arquivo deve ser enviado para felipef.souza@gmail.com até a meia-noite do dia da
realização da AB1.
2.2 Problemas
Problema 1 O gerente de uma joalheria modela o total de vendas usando a função
S(t) =
2000t
4 + 0, 3t
onde t é o tempo (em anos) após o ano de 2006 e S está expresso em milhares de reais.
a) Com que taxa as vendas estão variando em 2008?
b) O que acontece com as vendas �a longo prazo�(ou seja, quando t→∞)?
Problema 2 Uma certa locadora de automóveis cobra R$ 75,00 por dia mais 70 centavos por
quilômetro rodado.
a) Expresse o custo para alugar um carro nesta locadora por 01 dia em função do número de
quilômetros rodados e desenhe o gráfico associado.
b) Quanto custa alugar o carro por 01 dia para uma viagem de 50 quilômetros?
c) Qual a taxa de variação média do custo quando passamos de uma viagem 50 quilômetros
para uma de 90 quilômetros?
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d) A locadora também aluga automóveis por uma quantia fixa de R$ 125,00 por dia. Quantos
quilômetros você precisa rodar em 01 dia para que esta opção seja mais vantajosa?
Problema 3 Um fabricante de motocicletas estima que, se gastar x milhares de reais por ano
em publicidade, conseguirá vender
M(x) = 2300 +
125
x
− 517
x2
3 ≤ x ≤ 18
motocicletas. Qual será a taxa de variação das vendas com a quantia gasta se o fabricante in-
vestir R$ 9.000,00 em publicidade? Para este nível de investimento em publicidade, as vendas
aumentam ou diminuem com o aumento da quantia investida?
Problema 4 A tabela de dados está relacionando a produção (P ) em unidades/mêse o número
de trabalhadores (q) em homens/mês em uma certa fábrica de embalagens de médio porte.
q 0 2 4 6 8 10
P 0 40 128 216 256 200
Com base nos dados tabelados, pede-se:
a) Construa o sistema de dispersão para P = f(q).
b) Estabeleça a regressão do tipo potência, ou seja, encontre uma função do tipo P (q) = Kqn
que se aproxime dos dados.
c) Construa, em um mesmo sistema de eixos, a dispersão e a curva potência ajustada no item
(b).
d) Calcule a taxa de variação média da produção se o número de trabalhadores passar de 3
para 7.
e) Utilizando a função da regressão potência obtida em (b), faça uma estimativa da derivada
da produção em relação ao número de trabalhadores/ mês para q = 4 (ou x = 4) e obtenha a
equação da reta tangente à curva P = f(q) no ponto q = 4.
f) Faça uso da equação da reta tangente estimada do item anterior, estabelecendo estimativas
de produção para q = 7, q = 9 e q = 11.
g) O que você poderia dizer a respeito das estimativas calculadas no item (e) em termos de
confiabilidade?
Bom trabalho!
�Não se preocupe muito com as suas dificuldades em Matemática, posso assegurar-lhe que as
minhas são ainda maiores.� Albert Einstein
�
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