5 - Gravitação universal

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Gravitação Universal
01. Dois satélites A e B orbitam em torno de um planeta de 
raio R. A está a uma altitude de 3R e B a uma altitude de 
5R. Sendo T o período de A, determine o período de B.
Sol
B
A
DC
Resolução:
RA = 4R
RB = 6R
TA = T
Da 3a Lei de Kepler: 
T2
R3 = constante
TA
2
RA
3 = 
TB
2
RB
3 Þ 
TA
2
(4R)3 = 
TB
2
(6R)3
TB
2 = (6R)3 . 
T2
(4R)3 Þ TB
2 = 
63
43 T2 Þ TB = 
63
43 T
TB @ 1,83 T
R BA
3 R
5 R
02. (UFOP-MG) A 2a Lei de Kepler (Lei 
das Áreas) estabelece que a linha 
traçada do Sol a qualquer planeta 
descreve áreas iguais em tempos 
iguais.
 Determine em qual trecho, AB ou 
CD, da órbita do planeta a velocidade 
dele é maior, justificando a resposta 
com base na lei citada.
Resolução:
A velocidade é maior no trecho CD, pois como a distância até 
o Sol é menor, o arco percorrido deve ser maior para que a área 
seja a mesma.
03. (UF-RN) A figura representa a órbita de um planeta em 
torno do Sol. O planeta varre a área A num tempo tA, 
com velocidade média VA; e a área B num tempo tB, com 
velocidade média VB.
 Sendo a área A igual à área B, podemos afirmar que:
 a) VA > VB e tA = tB
 b) VA VB e tA > tB
 d) VA tB
Sol
A B
Resolução:
Áreas iguais em tempos iguais
Mais próximo Þ maior força Þ maior velocidade
\ tA = tB e VA > VB Alternativa A
Resolução:
No periélio o planeta está mais próximo do Sol e, portanto, tem 
velocidade maior. Alternativa A
04. A Segunda Lei de Kepler permite concluir que:
 a) o movimento de um planeta é acelerado quando ele se 
desloca do afélio ao periélio.
 b) o movimento de um planeta é acelerado quando ele se 
desloca do periélio ao afélio.
 c) a energia cinética de um planeta é constante em toda 
a sua órbita.
 d) quanto mais afastado estiver o planeta do Sol maior a 
sua velocidade de translação.
 e) a velocidade de translação de um planeta é mínima no 
ponto mais próximo do Sol.
05. (MACK-SP) Dois satélites de um planeta têm períodos de 
revolução de 32 dias e 256 dias, respectivamente.
 Se o raio da órbita do primeiro satélite vale 1 unidade, então 
o raio da órbita do segundo será, em unidades:
 a) 4
 b) 8 
 c) 16
 d) 64
 e) 128
Resolução:
T1
2
R1
3 = 
T2
2
R2
3 Þ R2
3 = R1
3 . 
T2
2
T1
2 Þ R2 = R1 . 
T2
2
T1
2
3
R2 = 1 . 
2562
322
3 Þ R2 = 4 unidades
Alternativa A
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06. (UF-MA) No sistema solar, um planeta em órbita circular 
de raio R demora dois anos terrestres para completar uma 
revolução.
 Em anos terrestres, qual o período da revolução de outro 
planeta, em órbita de raio 2 R?
 a) 5,6 b) 8 c) 3,1 d) 7
07. (UF-PA) Dois satélites, 1 e 2, de um mesmo planeta têm 
períodos que satisfazem à relação T2 = 2T1.
 Então, a razão R1/R2 entre os raios das órbitas desses 
satélites é igual a:
 a) 1/2 
 b) 3 1/4
 c) 1/2 2
 d) 2 2
 e) 4
08. (MED Itajubá-MG) De quantos anos seria, aproxima-
damente, o período de um planeta, girando em torno do 
Sol, se sua distância ao centro de gravitação fosse de 
8 vezes a distância Terra-Sol?
09. (UF-MG) Tendo em vista as leis de Kepler sobre o movimento 
dos planetas, pode-se afirmar que:
 a) a velocidade de um planeta, em sua órbita, aumenta à 
medida que ele se afasta do Sol
 b) o período de revolução de um planeta é tanto maior 
quanto maior for sua distância do Sol
 c) o período de revolução de um planeta é tanto menor 
quanto maior for a sua massa
 d) o período de rotação de um planeta, em torno do seu 
eixo, é tanto maior quanto maior for seu período de 
revolução
 e) o Sol se encontra situado exatamente no centro da 
órbita elíptica descrita por um dado planeta
Resolução:
T1
2
R1
3 = 
T2
2
R2
3 T2
2 = 
4 . 8 R3
R3
 T2
2 = 32
22
R3 = 
T2
2
(2R)3 T2 = 32
 T2 = 5,6 anos
Alternativa A
Resolução:
T1
2
R1
3 = 
T2
2
R2
3 Þ 
R1
3
R2
3 = 
T1
2
T2
2 Þ 
R1
R2
 = 
T1
2
T2
2
3
R1
R2
 = 
T1
2
(2T1)2
3 = 
T1
2
4T1
2
3 Þ 
R1
R2
 = 
1
4
3
Alternativa B
Resolução:
TP
2
RP
3 = 
TT
2
RT
3 Þ TP
2 = TP
2 . 
RP
3
RT
3 Þ TP = TT . 
RP
3
RT
3
mas RP = 8RT Þ TP = 1 . 
(8RT)3
RT
3 = 
83RT
3
RT
3 = 83
TP @ 22,63 anos
Resolução:
a) É o contrário. Quanto mais distante, menor a força de atração.
c) O período de revolução de um planeta não depende de sua massa.
d) Não existe relação entre o dia e o ano de um planeta.
e) O Sol está num dos focos da elipse, deslocado do centro.
Obs.: Mesmo que alguma dessas alternativas fosse correta, nenhuma 
delas seria descrita pelas Leis de Kepler.
1a Lei: Órbitas elípticas com o Sol num dos focos.
2a Lei: Áreas iguais em tempos iguais.
3a Lei: T2 = k . R3
Alternativa B
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10. O satélite Intelsat III, usado pela Embratel, tem um 
período T.
 Se sua massa fosse duplicada, seu período seria:
 a) T' = 1/3 T 
 b) T'= 3T 
 c) T' = T
 d) T' = 9T
 e) T' = 1/9 T
12. (UF-PA) A Terra, ao descrever sua órbita em torno do Sol, 
passa pelos pontos A, B, C e D, conforme mostra a figura 
abaixo.
 Se o tempo gasto pelo nosso planeta para ir de A a B 
é igual ao tempo que ele gasta para se deslocar de C a D, 
podemos afirmar que as áreas, A1 e A2, hachuradas na 
figura, satisfazem a relação:
 a) A1 = 2A2
 b) A1 = 2 A2
 c) A1 = 2
3
A2
 d) A1 = A2
 e) A1 = 
A
2
2
C
D
B
A1
A2 A
Resolução:
O período não depende da massa, e sim do raio de órbita.
Alternativa C
Resolução:
a) Absurdo! Força gravitacional é uma força de campo.
b) g não tem nada a ver com Patm.
c) Isso só ocorre num único ponto do espaço. Não é necessário 
haver equilíbrio de forças para que haja imponderabilidade.
d) Absurdo! Força centrífuga é uma força fictícia, um artifício 
matemático para se aplicar as Leis de Newton num referencial 
não inercial.
Alternativa E
Resolução:
Áreas iguais são varridas em tempos iguais (Segunda Lei de Kepler).
Alternativa D
Resolução:
(2a Lei de Kepler) Þ Alternativa B
11. (FUVEST-SP) Dentro de um satélite em órbita em torno 
da Terra, a tão falada “ausência de peso”, responsável pela 
flutuação de um objeto dentro do satélite, é devida ao fato 
de que:
 a) a órbita do satélite se encontra no vácuo e a gravidade 
não se propaga no vácuo.
 b) a órbita do satélite se encontra fora da atmosfera, não 
sofrendo assim os efeitos da pressão atmosférica.
 c) a atração lunar equilibra a atração terrestre e, 
consequentemente, o peso de qualquer objeto é nulo.
 d) a força de atração terrestre, centrípeta, é muito menor 
que a força centrífuga dentro do satélite.
 e) o satélite e o objeto que flutua têm a mesma aceleração, 
produzida unicamente por forças gravitacionais.
13. Assinale a proposição correta.
 a) Cada planeta se move numa trajetória elíptica, tendo 
o Sol como centro.
 b) A linha que liga o Sol ao planeta descreve áreas iguais 
em tempos iguais.
 c) A linha que liga o Sol ao planeta descreve, no mesmo 
tempo, áreas diferentes.
 d) A velocidade areolar de um planeta é variável.
 e) O período de revolução de cada planeta é diretamente 
proporcional ao semieixo maior da correspondente 
elipse.
14. (MED-ABC-SP) Marte tem dois satélites: Fobos, que 
se move em órbita circular, de raio 9 700 km e período 
2,75 x 104s, e Deimos, que tem órbita circular de raio 
24 300 km.
 O período de Deimos, expresso em segundos, é um valor 
mais próximo de:
 a) 2,2 x 104
 b) 8,2 x 104
 c) 1,1 x 105
 d) 2,2 x 106
 e) 1,1 x 107
Resolução:
TD
2
RD
3 = 
TF
2
RF
3 Þ TD
2 = TF
2 . 
RD
3
RF
3 Þ TD = TF . 
RD
3
RF
3
TD = 2,75 x 104 . 
24 3003
9 7003 = 2,75 x 104 . 3,97 = 10,9 x 104 s
\ TD @ 1,1 . 105 s
Alternativa C
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15. (PUC-SP) Considere um planeta hipotético em órbita circular 
em torno do sol. O raio da órbita do planeta é suposto quatro 
vezes maior que o raio da órbitaterrestre, também suposta 
terrestre.
 Qual é o período de translação do referido planeta, medido 
em anos terrestres?
16. (MED.Barbacena-MG) Dois satélites, (l) e (2), giram em 
torno da Terra em órbitas circulares idênticas, sendo que 
m1 > m2. Pode-se afirmar que: 
 a) a velocidade escalar de (l) é maior que a de (2).
 b) o período de (1) é maior que o de (2). 
 c) a força de atração entre a Terra e os satélites (1) e (2) 
tem a mes ma intensidade. 
 d) as acelerações de (l) e (2) são diferentes. 
 e) as velocidades e os períodos de (l) e (2) são 
respectivamente iguais.
Resolução:
TP
2
RP
3 = 
TT
2
RT
3 Þ TP
2 = TT
2 . 
RP
3
RT
3 Þ TP = TT
2 . 
RP
3
RT
3
 
mas RP = 4 RT
\ TP = TT
 . (4RT)3
RT
3 = TT . 
64 RT
3
RT
3 Þ TP = 8 TT
17. (UF-GO) Dois satélites artificiais descrevem uma mesma 
órbita circular de raio r em torno da Terra. Sendo m1 a 
massa do primeiro satélite e m2 = 2 m1 a massa do segundo 
satélite, qual a relação entre suas velocidades tangenciais 
v1 e v2?
 Considerando o raio da Terra R = 6,4 x 106 m e a aceleração 
da gravidade g = 10 m/s2, determine também a velocidade do 
primeiro satélite quando este estiver numa órbita r = 2 R.
Resolução:
As velocidades e os períodos não dependem da massa dos satélites.
Alternativa E
Resolução:
V1 = V2 = V, pois as velocidades não dependem da massa.
ac = g(h) Þ 
V2
R + r
 = 
GM
(R + r)2 Þ V2 = 
GM
(2R)2 (2R) = g . 
R
2
\ V = 
10 . 6,4 x 106
2
 = 
8 . 103
2
 = 5656,9 m/s
Resolução:
A aceleração é a mesma.
Alternativa B
18. (UCSal-BA) Um astronauta dentro de um satélite em 
órbita geoestacionária (parado em relação à Terra) tem a 
sensação de flutuar dentro do satélite porque:
 a) a posição do satélite é muito alta e a atração gravitacional 
é desprezível.
 b) tanto o satélite como tudo o que está em seu interior 
têm a mesma aceleração.
 c) tanto o satélite como o astronauta estão no vácuo, 
onde a força gravitacional não se propaga.
 d) a atração gravitacional terrestre é compensada pela 
atração gravitacional lunar.
 e) a atração gravitacional terrestre é compensada pela 
atração gravitacional solar.
19. O peso de um corpo em determinado planeta é P. 
Se duplicarmos a massa e triplicarmos o raio do planeta, 
qual será o novo peso do corpo, supondo este corpo na 
superfície?
Resolução:
FG = 
GMm
R2 = P
Se R’ = 3R
 M’ = 2M temos:
F’G = 
G2Mm
(3R)2 = 
2GMm
9R2
F’G = 
2
9
P
R
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20. (FATEC-SP) Considere um satélite em órbita em torno da 
Terra pas sando pelos pontos A, B, C e D, nesta ordem.
 Quando o satélite está em: 
 a) A, a força sobre ele pode ser representada pelo vetor ®. 
 b) B, sua velocidade pode ser representada pelo vetor ¬.
 c) C, a força que ele exerce na Terra pode ser representada 
pelo ve tor ®.
 d) D, a força sobre ele pode ser representada pelo vetor ¬.
 e) B, a aceleração do satélite pode ser representada pelo 
vetor ¬.
AC
B
D
22. (MED Itajubá-MG) Qual dos gráficos abaixo melhor 
representa a variação da força de atração gravitacional F 
entre duas massas puntiformes, suficientemente distantes 
de qualquer outra massa, separadas por uma distância r?
 a) d)
 b) e)
 c)
F
r
F
r
F
r
F
r
F
r
Resolução:
A velocidade deve ser tangente à trajetória.
Alternativa B
Resolução:
Peso Þ força de campo (campo gravitacional).
Alternativa D
Resolução:
Quando r aumenta, F cai Þ hipérbole equilátera 
 (não é do 1o grau)
Alternativa E
21. (Santa Casa-SP) A força gravitacional com que a Terra atrai 
a Lua é:
 a) menor do que a força com que a Lua atrai a Terra.
 b) a mesma para todos os planetas.
 c) pouco maior do que a força com que a Lua atrai a 
Terra.
 d) de mesma natureza da força que faz uma fruta cair 
de uma árvore.
 e) uma força nuclear.
23. (UFOP-MG) O peso de um corpo ao nível do mar é P0. 
Supondo que a Terra é uma esfera de raio R, o peso P 
desse corpo, a uma altitude h = 
R
2 , é:
 a) P = 
P0
2
 b) P = 
4
9 . P0
 c) P = P0
 d) P = 2 P0
 e) P = 
9
4 . P0
Resolução:
P0 = 
GMm
(R2
P = 
GMm
(R + R
2 )2 = 
GMm
3R( )2
2 = 
4GMm
9R2 = 
4
9
 P0
Alternativa B
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24. (PUC-SP) A força exercida pela Terra sobre um objeto 
bastante distante de sua superfície é F.
 Se a distância desse objeto ao centro da Terra for dobrada, 
qual será o novo valor da força exercida pela Terra?
26. (MED Itajubá-MG) Se a massa da Lua é cerca de 1/81 da 
massa da Terra, e se a distância de seu centro ao centro da 
Terra é 60 vezes o raio terrestre, a que distância do centro 
da Terra a força gravitacional exercida pela Lua sobre uma 
nave espacial que vai em trajetória reta da Terra para a 
Lua (reta que une os centros dos dois corpos celestes) terá 
a mesma intensidade da força gravitacional exercida 
pela Terra sobre a referida nave?
Resolução:
F = 
GMm
d2
se d’ → 2d : F’ = 
GMm
(2d)2 = 
GMm
4d2 = 
1
4
 = 
GMm
d2
\ F’ = 
1
4
F Þ F’ = 
F
4
Resolução:
F = 
GMm
d2 F’ = 
G . 3M . 5m
(d/2)2 = 60 
GMm
d2 = 60 F
Alternativa D
Resolução:
g = 
G . M
R2
g
2
 = 
G . M
R’2
R’2 = 
2 . G . M
g
R’2 = 
2 . G . M . R2
G . M
25. (UF-MA) Seja F® a força de atração do Sol sobre um 
planeta. Se a massa do Sol se tornasse três vezes maior, 
a do planeta, cinco vezes maior, e a distância entre eles 
fosse reduzida à metade, a força de atração entre o Sol e o 
planeta passaria a ser:
 a) 3 F
 b) 15 F 
 c) 7,5 F 
 d) 60 F
Resolução:
G . 81m . M
x2 = 
G . m . M
(60R – x)2 Þ 81 . (3 600R2 − 120Rx + x2) = x2
291 600R2 − 9 720R . x + 81x2 − x2 = 0 Þ
80x2 − 9 720 R . x + 291 600 R2 = 0 (÷40)
2x2 − 243R . x + 7 290R2 = 0
Δ = (−243R)2 − 4 . 2 . 7 290R2 = 729R2
x = 
243R ± 27R 
4
 Þ x1 = 67,5 R (não convêm)
 x2 = 54R
60 R
m
60R – x
81 m
x
R
→
FL
→
FT M
27. (UNISA-SP) Seja g a intensidade da aceleração da gravidade 
na superfície terrestre. A que altura acima da superfície a 
aceleração da gravidade tem intensidade 1/2 g?
 Considere a Terra como uma esfera de raio R. 
28. Admitindo que a aceleração da gravidade ao nível do mar 
seja g, pode-se dizer que, a uma altitude igual ao raio da 
Terra acima do nível do mar, um satélite de 4 kg, descrevendo 
uma órbita circular no plano equatorial, estaria sujeito a 
uma aceleração centrípeta igual a:
 a) g/4
 b) g/2
 c) 2g
 d) 4g
 e) n.d.a.
R’2 = 2R2
R’ = 2 R
R’ = R + h
2 . R = R + h
R = 2 . R – R
h = R . ( 2 – 1)
Resolução:
ac = 
GM
(R + h)2 = 
GM
(2R)2 = 
GM
4R2 = 
g
4
Alternativa A
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29. (Cesgranrio-RJ) O diâmetro de Urano é quatro vezes maior 
do que o diâmetro da Terra e sua massa é 14,7 vezes maior 
do que a massa terrestre. Assim, pode-se estimar que a razão 
entre a intensi dade do campo gravitacional na superfície 
de Urano (gU) e a intensi dade do campo gravitacional na 
superfície da Terra (gT) vale: 
 a) 
gU
gT
 = 0, 27
 b) 
gU
gT
 = 0,92
 c) 
gU
gT
 = 1,09
 d) 
gU
gT
 = 3,68
 e) 
gU
gT
 = 5,88
Resolução:
Ru = 4 RT
Mu = 14,7 MT
gu = 
GMu
Ru
2 = 
G . 14,7 MT
16 RT
2 @ 0,92 
GMT
RT
2 @ 0,92 gT
Alternativa B
Resolução:
g = 
GM
R2
se R’ → 
R
2
 : g’ = 
GM
R( )2
2 = 
GM
R2
4
 = GM . 
4
R2 = 4 
GM
R2
\ g’ = 4g como P = m . g
P’ = m . 4g
P’ = 4 . P
Alternativa E
30. (UF-RN) Se a massa da Terra não se alterasse, mas o seu 
raio fosse reduzido à metade, o nosso peso seria:
 a) reduzido à quarta parte
 b) reduzido à metade
 c) o mesmo
 d) dobrado
 e) quadruplicado
31. Um corpo de 6 kg encontra-se a uma altura igual ao dobro 
do raio terrestre.
 Considerando que na superfície terrestre a aceleração da 
gravidade seja de 10 m/s2, o peso desse corpo na altura 
citada é de aproximadamente:
 a) 60 N
 b) 6,6 N
 c) 600 N
 d) 66,6 N
 e) 60,6 N
Resolução:
P = 
GMm
(R + 2R)2 = 
GMm
9 R2 = g . 
m
9
 = 
60
9
 = 6,6 N
Alternativa B
32. Considerando RT o raio da Terra e g a aceleração dagravidade na superfície terrestre, qual a distância d entre 
o centro da Terra e uma partícula de massa m, para que 
esta tenha a metade de seu peso na superfície?
 a) d = RT 2
 b) d = 2RT
 c) d = RT 
 d) d = 
RT
2
 e) d = 2 RT
 
Resolução:
P0 = 
GMm
RT
2 Þ P = 
P0
2
 Þ 
GMm
d2 = 
GMm
2 RT
2
d2 = 2 RT
2 Þ d = 2RT
2
d = RT 2 Alternativa A
33. (UFOP-MG) Um objeto colo cado entre dois planetas fica 
em equilíbrio sob a ação das forças destes.
 Sabendo que a massa do planeta A é maior que a massa do 
planeta B, o ponto que pode repre sentar essa posição é:
 a) P1
 b) P2
 c) P3
 d) P4
 e) P5
P2P3P4
P5
P1
mBmA
Resolução:
Como mB