Calculo Diferencial e Integral II

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Capítulo 1 – FUNÇÕES VETORIAIS 
1.1 Cálculo vetorial: funções a valores vetoriais 
 No Cálculo Diferencial e Integral I, trabalhamos, de forma exclusiva, com 
quantidades, tais como deslocamento (distância), tempo, velocidade, intensidade 
de corrente elétrica, resistência elétrica, força, potência, ângulo, entre tantas 
outras, e que são todas possíveis de se representar como pontos em uma escala 
numérica. Essas quantidades são denominadas escalares. 
 Mas em diversas aplicações dos mais variados setores do conhecimento, 
nos deparamos com grandezas que não são representadas apenas como um ponto 
em uma escala. São grandezas que além de serem expressas por uma quantidade, 
também apresentam direção e sentido. Essas grandezas são denominadas vetores 
ou grandezas vetoriais. 
 Alguns dos exemplos citados no primeiro parágrafo podem também ser 
reprentados como vetores. O deslocamento de um móvel, por exemplo, pode ser 
dado por um valor que indica o quanto esse móvel percorreu (medida de 
comprimento, que é escalar), mas também por uma seta indicando a direção e o 
sentido do deslocamento. Na Figura 1.1 há alguns exemplos de ilustração do 
deslocamento dos móveis A, B, C e D. Note que os móveis A e B deslocaram-se 
em direção e sentido diferentes, mas o espaço percorrido foi o mesmo, pois as 
setas que indicam seus deslocamentos têm o mesmo tamanho. Já os móveis C e D 
deslocaram-se na mesma direção (setas paralelas), mas em sentidos opostos e, 
além disso, percorreram distâncias diferentes (setas de tamanhos diferentes). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1 
 
 
 Um vetor é um segmento orientado que possui uma origem (ponto inicial) 
e uma extremidade (ponto terminal). Neste livro, para diferenciar um vetor de um 
escalar, utilizaremos uma seta acima da letra para representar que a grandeza 
representada é um vetor. Por exemplo, para reprentar escalares utilizamos a, b, c, 
etc. Para representar vetores, fazemos a! , b
!
, c! . Quando a indicação do vetor se 
A 
B 
C 
D 
dá pelos seus pontos de origem e terminal, A e B, por exemplo, então a 
representação tema a forma AB. 
 Da mesma forma que conseguimos realizar operações com escalares, 
também é possível realizar algumas delas com os vetores. A seguir, 
apresentaremos situações em que as operações com vetores podem ser aplicadas, 
além de definir tais operações. 
 Considere uma partícula que se desloca do ponto A até o ponto B. 
Podemos representar esse deslocamento através do vetor AB, que tem origem em 
A e termina em B, como mostra a Figural 1.2. A magnitude desse vetor representa 
a distância percorrida pela partícula. 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2 
 
 Mas, se antes de chegar ao ponto B, essa partícula passa pelo ponto C, 
então o trajeto pode ser mostrado pelos vetores AC e CB , como na Figura 1.3. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.3 
 
 Afirmar que a partícula sofre deslocamento de A para B significa que ela 
parte de A e chega a B, não importanto seu trajeto. Mesmo passando por C, o 
deslocamento dessa partícula será representado pelo vetor AB. Dizemos, nesse 
caso, que o vetor AB é igual à soma dos vetores AC e CB. 
 Como a representação dos vetores ocorre a partir de pontos do plano ℝ! , 
então convém que representemos os vetores no sistema de eixos cartesianos. 
Considere, portanto, os seguintes pontos do plano: 
 
A = (1,2), B = (6,7) e C = (2,5). 
 
 Vimos que uma partícula que parte de A, passa por C e chega a B tem 
deslocamento representado pelo vetor AB, como mostrado na Figura 1.4. 
Podemos, então, escrever: 
A 
B 
A 
B 
C 
CBACAB += . 
 
 
Figura 1.4 
 
Para facilitar a representação e as operações com vetores, costumamos 
representá-los utilizando apenas uma letra com uma seta sobreposta, tal como v! . 
Mas, nesse tipo de representação, como podemos identificar os pontos de origem 
e terminal do vetor? Sim, podemos. Veja como, a seguir. 
Vamos considerar novamente os pontos A=(1,2), B=(6,7) e C=(2,5). Se 
subtrairmos uma unidade da abscissa do ponto A e duas unidades de sua 
ordenada, obtemos o ponto A’=(0,0). Fazendo as mesmas operações com as 
coordenadas dos pontos B e C, teremos B’=(6–1,7–2)=(5,5) e C’=(2–1,5–
2)=(1,3). Na Figura 1.5, temos a representação dos pontos A, B, C, A’, B’ e C’ e 
dos vetores B'C' e C'A' ,B'A' ,CB ,AC ,AB . Note que cada um dos pares 
C'A' e AC , B'C' e CB , B'A' e AB apresentam vetores que são paralelos, com 
mesma direção e mesmo sentido. 
Compare as Figuras 1.4 e 1.5 e veja que há pares de vetores paralelos e o 
triângulo ABC é congruente e está na mesma posição que o triângulo A’B’C’. 
Vetores que possuem mesma direção, sentido e magnitude são 
considerados vetores iguais. Portanto, se representarmos todos os vetores com 
origem no ponto (0,0) teremos facilitada a representação vetorial e tornaremos os 
cálculos vetoriais muito mais rápidos e eficientes. Se considerarmos que todos os 
vetores com os quais trabalharemos terão origem em (0,0), então podemos 
representá-los somente por suas extremidades (pontos terminais). 
 
 
 
 
 
 
 
 Podemos representar os vetores 
 AC
! "!!
, CB
! "!!
 e AB
! "!!
 
, respectivamente, como: 
 
)3,1(=u! , )2,4(=v! e )5,5(=w! . 
 
 Veja, na Figura 1.6, os vetores u! , v! e w! e seus respectivos vetores 
equivalentes AB e CB ,AC . 
 
 
Figura 1.6 
 
Se uma partícula sai do ponto A e chega ao ponto B, seu deslocamento tem 
a mesma magnitude, direção e sentido do deslocamento de uma partícula que sai 
do ponto (0,0) e chega ao ponto (5,5). Então, podemos considerar que tais 
deslocamentos são iguais. 
Dado um vetor ),( yxu =! , a sua magnitude, que a partir de agora iremos 
denominar módulo, é dada por: 
 
22 yxu +=! . (1.1) 
Box explicativo 
 Para obter a fórmula do módulo de um vetor ),( yxu =! só precisamos 
aplicar o Teorema de Pitágoras. Considere a representação desse vetor no plano xy 
e as suas projeções nos eixos x e y. 
 
 
 
 No triângulo retângulo formado pelo vetor, a sua projeção no eixo x e o 
segmento que une a extremidade do vetor ao eixo x, temos: 
 
222 yxu +=! . 
 
 Daí é que resulta a fórmula apresentada em (1.1). 
 
 
 Considerando, portanto, a representação de um vetor apenas por sua 
extremidade, a soma de dois vetores ),( 11 yxu =
! e ),( 22 yxv =
! é dada por 
 
u!
x
y
),(
),(),(
2121
2211
yyxx
yxyxvu
++=
+=+
!!
 
 
 Graficamente, podemos utilizar a regra do paralelogramo para obter o 
vetor soma. Dados dois vetores u! e v! , trace uma linha paralela ao vetor v! que 
passe pela extremidade de u! e, depois, trace outra linha paralela ao vetor u! e que 
passe pela extremidade de v! . A interseção dessas duas linhas é a extremidade do 
vetor soma vu !! + . Veja a representação da Figural 1.7 
 
 
Figura 1.7 
 
 
Exemplo 1.1 
 Determine, algebricamente, a soma dos )6,2(−=u! e )4,3( −=v! . Em 
seguida, represente graficamente vuvu !!!! e , + . 
 
 A soma é dada por: 
)2,1(
))4(6,32(
)4,3()6,2(
=
−++−=
−+−=+ vu !!
 
 
 A representação gráfica dos vetores e de sua soma é mostrada na Figura 
1.8. 
 
u!
v!
vu !! +
 
Figura 1.8 
 
 Outra operação elementar que pode ser realizada com vetores é a 
multiplicação por escalar. Dado um vetor ),( 11 yxu =
! e um escalar real a a 
multiplicação ua ! é dada por: 
),( 11 ayaxua =
! . 
 
 Vê-se claramente que multiplicar o vetor por uma escalar implica em 
multiplicar suas coordenadas por esse escalar. Mas, graficamente, qual é o efeito 
disso? Uma coisa é certa: sempre que multiplicamos um vetor por um escalar não 
nulo, o resultado é um outro vetor de mesma direção. O sentido do vetor 
resultante depende do valor de a. Veja: 
 
• Se 0>a , então
ua ! tem o mesmo sentido de u! . 
• Se 0<a , então ua ! tem sentido oposto ao de u! . 
 
Além disso: 
 
• Se 1=a , então ua ! tem módulo igual ao de u! . 
• Se 10 << a , então ua ! tem módulo menor que o de u! . 
• Se 1>a , então ua ! tem módulo maior que o de u! . 
 
No exemplo a seguir, você verá como obter algébrica e graficamente o 
produto de um vetor por escalar. 
 
Exemplo 1.2 
vu !! +
u!
v!
 A Figura 1.9 apresenta o vetor )2,3(=u! e o seu produto com cada um dos 
escalares 2 e 
2
1
− . 
 Para obtê-los algebricamente, basta efetuar as multiplicações seguintes: 
 
• )4,6()22,32()2,3(22 =⋅⋅==u! ; 
• ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅−⋅−=−=− 1,
2
32
2
1,3
2
1)2,3(
2
1
2
1 u! . 
 
 
 
Figura 1.9 
 
 Observe que o vetor u!2 tem mesma direção e mesmo sentido que u! e seu 
módulo é o dobro. Já o vetor u!
2
1
− tem a mesma direção, mas sentido contrário e 
seu módulo é igual à metade do módulo de u! . 
 Se multiplicarmos um vetor qualquer u! pelo inverso de seu módulo, 
obteremos o seu versor, que é um vetor unitário (tem módulo igual a 1) que possui 
a mesma direção e sentido de u! . O versor do vetor u! é, portanto, dado por: 
 
u
u
!
!
. 
 
Exemplo 1.3 
 Dado o vetor )3,4(=u! , determine: 
a) um vetor unitário que tenha a mesma direção e o mesmo sentido de u! ; 
b) um vetor unitário que tenha a mesma direção e sentido oposto ao de u! ; 
u!
u!2
u!
2
1
−
c) um vetor de módulo igual a 3 e que tenha mesma direção e sentido que u! . 
 
Todos os vetores solicitados nos itens acima podem ser obtidos a partir do 
versor de u! . Para responder ao item (a), basta calcular o seu versor que é: 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
+
=
5
3,
5
4
5
)3,4(
34
)3,4(
22u
u
!
!
. 
 
 No item (b), o vetor solicitado é exatamente o oposto do versor de u! . 
Então basta multiplicar o versor obtido em (a) por –1. O resultado é: 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=−
5
3,
5
4
5
3,
5
4)1()1(
u
u
!
!
. 
 
 No item (c), para se obter o vetor solicitado, temos que multiplicar o 
versor de u! por 3, como mostrado a seguir: 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
5
9,
5
12
5
3,
5
433
u
u
!
!
. 
 
 
 Se escolhermos dois vetores não nulos e não paralelos ),( 11 yxu =
! e 
),( 22 yxv =
! , podemos escrever qualquer vetor do ℝ! como combinação linear 
desses dois vetores, isto é, qualquer que seja o vetor ),( yxw =! , existem os 
escalares a e b tais que: 
vbuaw !!! += . 
 
 Dizemos, então, que o conjunto de vetores u! e v! constitui uma base do ℝ!. Veja como escrever um vetor com combinação linear dos vetores de uma base 
no exemplo seguinte. 
 
Exemplo 1.4 
 Escreva o vetor )2,1(−=w! como combinação linear dos vetores )3,0(=u! 
e )5,2( −=v! , que constituem uma base do plano ℝ!. 
 
 Precisamos determinar os escalares a e b tais que: 
 
vbuaw !!! += , (1.2) 
ou seja, 
)5,2()3,0()2,1( −+=− ba . 
 
 Daí, obtemos: 
),53,2()2,1(
)5,2()3,0()2,1(
)5,2()3,0()2,1(
bab
bba
ba
−=−
−+=−
−+=−
 
 
que resulta no sistema 
 
⎩
⎨
⎧
=−
−=
253
12
ba
b
 
 
 Portanto, os valores de a e b que satisfazem a igualdade (1.2) são 
 
6
1
−=a e 
2
1
−=b . 
 
 Dizemos que esses valores, nessa ordem, são as coordenadas do vetor w! 
em relação à base { }vu !!, . 
 
 Para definirmos uma função vetorial (como veremos mais adiante) é 
preciso considerar os vetores do plano escritos em relação a uma base. E há uma 
que torna extremamente fácil essa representação. Ela é denominada base 
canônica do ℝ! e é composta pelos vetores: 
 
)0,1(=i
!
 e )1,0(=j
!
. 
 
 Se considerarmos um vetor qualquer do ℝ!, como ),( yxw =! , suas 
coordenadas em relação à base canônica serão os próprios valores x e y. 
 
Exemplo 1.5 
 Vamos representar o vetor )3,2(=u! a partir dos vetores da base canônica 
do ℝ!. 
 
 
Figura 1.10 
 
 Na Figura 1.10, temos a representação desse vetor a partir da base 
canônica. Note que o vetor )3,2(=u! é a soma dos vetores 
 
)0,2()0,1(22 ==i
!
 
e 
)3,0()1,0(33 ==j
!
, 
 
isto é, podemos escrever o vetor u! como ji
!!
32 + , o que significa dizer que suas 
coordenadas, em relação à base canônica { }ji !!, , são 2 e 3, nessa ordem. 
 
 Outra operação que utilizaremos com vetores é denominada produto 
vetorial. O produto vetorial de ),( 11 yxu =
! e ),( 22 yxv =
! , representado por vu !! ⋅
, é dado por 
 
θcosvuvu !!!! =⋅ , (1.3) 
 
em que θ é o ângulo formado pelos vetores vu !! e , com πθ ≤≤0 . 
 O produto escalar vu !! ⋅ também pode ser calculado somente a partir das 
coordenadas dos vetores u! e v! : 
 
2121 yyxxvu ⋅+⋅=⋅
!! . (1.4) 
 
u!
i
!
j
!
j
!
3
i
!
2
 Considerando que 0
2
cos =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π e comparando as fórmulas (1.3) e (1.4), 
podemos concluir que se os vetores vu !! e formarem entre si um ângulo igual 
2
π 
(90o), então 0=⋅vu !! , o que implica em dizer que 02121 =⋅+⋅ yyxx . Da mesma 
forma, se 0=⋅vu !! , então os vetores são ortogonais entre si. 
 
Exemplo 1.6 
 Dados os vetores )1,2(−=u! e )6,3(=v! , vamos calcular o produto escalar 
vu !! ⋅ e verificar que eles forma entre si um ângulo reto. 
 Como temos as coordenadas dos vetores u! e v! , então podemos obter o 
produto escalar aplicando a fórmula (1.4): 
 
.06132 =⋅+⋅−=⋅vu !! 
 
Veja, na Figura 1.11, a representação dos vetores vu !! e e observe que eles 
formam entre si um ângulo reto. 
 
 
Figura 1.11 
 
 
Um vetor pode também ser representado de forma tridimensional, isto é, 
no espaço ou no ℝ!. Nesse caso, sua representação contará com mais uma 
coordenada. As operações de soma entre vetores e multiplicação de vetor por 
escalar são feitas de forma análoga, como veremos no próximo exemplo. Para 
calcular seu módulo, a fórmula é semelhante à apresentada em (1.1). Dado um 
vetor ),,( zyxu =! , o seu módulo, é dado por: 
u!
v!
 
222 zyxu ++=! . (1.3) 
 
 
Exemplo 1.5 
 Considere os vetores )3,2,1(=u! e )1,1,2( −−=v! , cujas representações 
gráficas estão na Figura 1.12. 
 
 
 
Figura 1.12 
 
 Vamos, primeiramente, obter o módulo de cada um deles, utilizando a 
fórmula (1.3): 
 
• 14321 222 =++=u! 
 
• 61)1()2( 222 =+−+−=v! 
 
A soma de vetores tridimensionais ocorre de forma semelhante ao caso 
bidimensional. Dados dois vetores, ),,( 111 zyxu =
! e ),,( 222 zyxv =
! é dada por 
 
),,(
),,(),,(
212121
222111
zzyyxx
zyxzyxvu
+++=
+=+
!!
 
 
u!
v!
 A soma dos vetores )3,2,1(=u! e )1,1,2( −−=v! é dada por: 
 
)4,1,1(
)1,1,2()3,2,1(
−=
−−+=+ vu !!
 
 
Figura 1.13 
 
 A Figura 1.13 mostra o vetor soma vu !! + e os vetores vu !! e . Note que, no 
caso da representação gráfica da soma de vetores tridimensionais também vale a 
regra do paralelogramo, considerando que os três vetores estão no mesmo plano. 
 
Também é semelhante ao caso bidimensional a multiplicação de um 
escalar por um um vetor tridimensional. Dado um vetor ),,( 111 zyxu =
! e um 
escalar real a a multiplicação ua ! é dada por: 
 
),,( 111 azayaxua =
! . 
 
 Aqui também valem as mesmas considerações quanto ao valor do escalar 
que multiplica o vetor: 
 
• Se 0>a , então ua ! tem o mesmo sentido de u! . 
• Se 0<a , então ua ! tem sentido oposto ao de u! . 
• Se 1=a , então ua ! tem módulo igual ao de u! . 
• Se 10 << a , então ua ! tem módulo
menor que o de u! . 
• Se 1>a , então ua ! tem módulo maior que o de u! . 
 
vu !! +
v!
u!
A Figura 1.14 mostra os vetores )3,2,1(=u! e ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2
3,1,
2
1
2
1 u! . 
 
Figura 1.14 
 
 A base canônica do ℝ! é o conjunto de vetores { }kji !!! ,, em que: 
 
).1,0,0( e )0,1,0( ),0,0,1( === kji
!!!
 
 
 Assim como acontece com os vetores no ℝ!, todos os vetores do ℝ! 
podem ser expressos como combinação linear dos vetores da base canônica 
{ }kji !!! ,, do ℝ!. Nosso próximo passo será definir funções vetoriais e esse 
tipo de representação vetorial como combinação linear da base canônica tornará 
nosso trabalho fácil. 
 Considere que, se uma partícula movimenta-se no espaço, então suas 
coordenadas (pelo menos uma delas) está variando com o tempo. Então, podemos 
definir cada uma delas como uma função do tempo: 
 
)(tx , )(ty e )(tz . 
 
 Vamos chamar de )(tr! uma função que associa, a cada valor real t, uma 
tripla ordenada ( ))(),(),( thtgtf . Como os “valores” que a função )(tr! assume 
são pontos do espaço, então, podemos escrevê-la na forma vetorial como: 
 
ktzjtyitxtr
!!!! )()()()( ++= , ∈t ℝ. 
 
u!
u!
2
1
 Nesse caso, a função )(tr! é denominada função vetorial ou função a 
valores vetoriais. 
 
Exemplo 1.6 
 Uma partícula movimenta-se em forma de círculo de acordo com a função: 
 
kjtittr
!!!! 0)sen ()(cos)( ++= , π20 ≤≤ t . 
 
 Como a função que define a coordenada z é fixa e igual a zero, então 
concluímos que a partícula desloca-se apenas no plano xy. A figura 1.15 mostra a 
trajetória dessa partícula, que é um círculo de raio igual a 1. 
 
 
Figura 1.15 
 
 Agora vamos inserir uma função variável para a coordenada z. Considere a 
função 
 
ktjtittr
!!!!
++= )sen ()(cos)( , π20 ≤≤ t . 
 
 Seu gráfico está representado na Figura 1.16. 
 
 
t
)(tr
)(sen t
)( cos t
 
Figura 1.16 
 
Exemplo 1.7 
 Se quisermos uma curva semelhante à do exemplo anterior, mas cuja 
projeção no plano seja um círculo de raio igual a 2, por exemplo, e que “suba” de 
forma mais lenta, podemos fazer as seguintes alterações na função dada: 
• multiplicamos as expressões que determinam as coordenadas x e y por 2 
(ou pelo valor que se deseja para a medida do raio); 
• dividimos a expressão que determina a coordenada z por um valor real 
maior que zero. 
 
Essas são apenas sugestões para se obter uma outra função nas condições 
desejadas. 
Então, podemos obter uma função na forma: 
 
ktjtittr
!!!!
2
)sen 2()cos2()( ++= , π40 ≤≤ t . 
 
 
 
Figura 1.17 
 
 Compare os gráficos das Figuras 1.16 e 1.17 para verificar o efeito, na 
representação gráfica, das alterações feitas na função. O intervalo de variação da 
variável t foi alterado para que tivéssemos dois gráficos com a mesma amplitude 
em relação ao eixo z. 
 
Exemplo 1.8 
 Podemos ter diversas formas de expressões na definição das coordenadas, 
e não somente funções trigonométricas. Veja, por exemplo, na Figura 1.18, a 
representação gráfica da função 
 
ktjtittr
!!!! 23 )( ++−= , 44 ≤≤− t . 
 
 A projeção do gráfico da função )(tr! sobre o plano xy é mostrada pela 
linha preta pontilhada. 
 Para obter um ponto qualquer da função, basta atribuir um valor arbitrário 
à variável t e, a partir dele, calcular os valores de x, y e z. Considere, por exemplo, 
2=t . Então, 
 
.42 e 82 ;2 23 ====−= zyx 
 
 Portanto, o ponto (–2,8,4) é um dos pontos da função )(tr! . 
 
 
Figura 1.18 
 
Box de conexão 
 No endereço www.geogebra.org você encontra o aplicativo Geogebra que, 
entre diversas possibilidades, possui recursos para confeccionar gráficos de duas 
ou três dimensões. Basta digitar a expressão que define a função, indicar a 
variável e seu campo de variação, que o aplicativo mostra tanto a sua 
representação bidimensional como tridimensional. É uma ferramenta 
extremamente útil para lhe auxiliar no estudo do Cálculo Diferencial e Integral. 
 
1.2 Equações paramétricas, derivadas e integrais de funções vetoriais 
 Uma função vetorial 
 
ktzjtyitxtr
!!!! )()()()( ++= , ∈t ℝ. 
 
tem como funções componentes as funções reais (ou funções escalares) as 
funções: 
 
).( e )( ),( tztytx 
 
 Para cada valor t, conseguimos calcular os valores de )( e )( ),( tztytx , isto 
é, obtemos um ponto da função )(tr! . Vamos, então, considerar o caso em que a 
função )(tr! tem a forma de uma reta no espaço. Para obter um ponto dessa reta, 
atribuímos um valor t0 específico de t, obtendo 
 
).( e )( ),( 000000 tzztyytxx === 
 
 Portanto, o ponto ( )000 ,, zyx é um ponto da reta (função) )(tr
!
. 
 Quando estudamos as funções que são representadas no plano, podemos 
obtê-la a partir de um ponto qualquer pertencente a ela e o seu coeficiente angula 
m. No caso de uma reta no espaço, é possível determiná-la conhecendo um de 
seus pontos e um vetor paralelo a ela. 
 
 Vamos considerar uma reta que passa pelo ponto ( )000 ,, zyx e é paralela ao 
vetor kpjnimv
!!!!
++= . Então, existe um escalar a que faz com que va! seja um 
vetor sobre a reta r(t). Dessa forma, podemos afirmar escrever a função )(tr! na 
forma: 
 
( ) vazyxtr !! += 000 ,,)( . (1.4) 
 
 Como kpjnimv
!!!!
++= e ( )zyx ,, é um ponto genérico da função )(tr! , 
então podemos reescrever a função a expressão em (1.4) na forma: 
 
( ) )(,,),,( 000 kpjnimazyxzyx
!!!
+++= . (1.5) 
 
 Desenvolvendo a expressão em (1.5), teremos: 
 
. , , , 000 ∞<<∞−+=+=+= aapzzanyyamxx (1.6) 
 
 As equações em (1.6) são chamadas de equações paramétricas da reta no 
espaço. 
 
Exemplo 1.9 
 Vamos obter as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto
)3,1,2( − e é paralela ao vetor )5,4,1( −−=v! . 
 
 Aplicando os valores dados na equação (1.5), teremos: 
 
( ) ( )kjiazyx !!! )5( 4 )1(3,1,2),,( −++−+−= . 
 
 Desenvolvendo a equação obtida, podemos escrever as equações 
paramétricas: 
 
. , 53 , 41 , 2 ∞<<∞−−−=+=−= aazayax 
 
 Na Figura 1.19, temos a representação dessa reta. 
 
 
Figura 1.19 
 
 
Limites, continuidade, derivadas e integrais de uma função vetorial 
 
 Há muita similiaridade entre os cálculos que serão aqui apresentados e 
aqueles que você já anteriormente no Cálculo Diferencial e Integral referente ao 
estudo de funções escalares de uma variável. Por esse motivo, dos tópicos que 
desenvolveremos, muitos serão abordados de forma mais direta e objetiva, apenas 
destacando as adaptação que será necessárias por tratarmos de funções na forma 
vetorial. 
 
Dada uma função vetorial 
 
ktzjtyitxtr
!!!! )()()()( ++= , ∈t ℝ, (1.7) 
 
se quisermos determinar o limite )( lim
0
tr
tt
!
→
, é obtido calculando-se o limite de cada 
uma das suas funções componentes quando 0tt→ . Portanto, podemos escrever: 
 
ktzjtyitxtr
tttttttt
!!!!
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛=
→→→→
)(lim)(lim)(lim)(lim
0000
 (1.8) 
 
 Vê-se que é uma forma de cálculo semelhante a que você utilizou no 
Cálculo Diferencial e Integral I. 
 
Exemplo 1.10 
 O limite da função kejtittr t
!!!!
+−+= )1()( 2 quando 0→t é dado por: 
( ) ( ) ( )
kji
keji
kejtittr t
tttt
!!!
!!!
!!!
+−=
+−+=
+−+=
→→→→
0
)10(0
 lim)1(lim lim)(lim
02
00
2
00
 
 
O resultado indica que, à medida que o parâmetro t se aproxima de zero, a 
curva (função) aproxima-se de 0 em relação ao eixo x, de –1 em relação ao eixo y 
e de 1 em relação ao eixo z. A Figura 1.20 mostra a representação gráfica da 
função )(tr! . 
 
 
 
Figura 1.20 
 
 Com relação à continuidade,
dizemos que a função )(tr! é contínua em 
0tt = se as suas funções componentes forem contínuas em 0tt = . Isso equivale a 
dizer que 
 
).()(lim 00 trtrt
!"
=
→
 
 
Já sabemos que a derivada )(' xf de uma função )(xf é definida por 
 
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
−+
=
→
 (1.9) 
 
sempre que esse limite existe, e que ela representa a taxa de variação instantânea 
da função f(x) para qualquer x de seu domínio. 
 Considerando a definição de derivada apresentada em (1.9), podemos 
concluir que a derivada da função vetorial )(tr! é: 
 
h
trhtrtr
h
)()(lim)('
0
!!
! −+
=
→
 (1.10) 
 
 Aplicando a definição de função vetorial apresentada em (1.7) na 
expressão (1.10), temos: 
 
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
h
ktzhtzjtyhtyitxhtx
h
ktzkhtzjtyjhtyitxihtx
h
ktzjtyitxkhtzjhtyihtx
h
trhtrxr
h
h
h
h
!!!
!!!!!!
!!!!!!
!!
!
)()()()()()(lim
)()()()()()(lim
)()()()()()(lim
)()(lim)('
0
0
0
0
−++−++−+
=
−++−++−+
=
++−+++++
=
−+
=
→
→
→
→
 
 
 Agora, considerando a igualdade em (1.8), podemos concluir: 
 
[ ] [ ] [ ]
h
ktzhtz
h
jtyhty
h
itxhtxr
hhh
!!!
! )()(lim)()(lim)()(lim'
000
−+
+
−+
+
−+
=
→→→
 
 
 Portanto, a derivada da função vetorial 'r! é dada por: 
 
)(')(')('' tztytxr ++=! (1.11) 
 
A seguir são apresentadas as regras de derivação de funções escalares que 
poderão ser utilizadas na determinação de derivadas de funções vetoriais e de 
funções com mais de uma variável (que estudaremos nas seções seguintes). Essas 
regras foram desenvolvidas e apresentadas no livro de Cálculo Diferencial e 
Integral I. 
 
Regras de derivação (revisão) 
 
 Sendo c uma constante real e u e v funções escalares (ou reais) de uma 
variável x, temos: 
 
• ')(cos)sen ( uuu
dx
d
= 
• ')sen () cos( uuu
dx
d
−= 
• ')(sec) tg( 2 uuu
dx
d
= 
• ') cotg csc() csc( uuuu
dx
d
⋅−= 
• ') tg(sec) sec( uuuu
dx
d
⋅= 
• ')csc() cotg( 2 uuu
dx
d
−= 
• 
21
')sen arc(
u
uu
dx
d
−
= 
• 
21
') cos arc(
u
uu
dx
d
−
−
= 
• 21
1) tgarc(
u
u
dx
d
+
= 
• 
1
') csc arc(
2 −
−
=
uu
uu
dx
d 
• 
1
') sec arc(
2 −
=
uu
uu
dx
d 
• 
21
') cotg arc(
u
uu
dx
d
+
−
= 
• ')ln()( uaaa
dx
d uu ⋅= 
• ')()( uee
dx
d uu = 
• 
au
uu
dx
d
a ln
')(log
⋅
= 
• 
u
uu
dx
d ')(ln = 
 
 
 
Exemplo 1.11 
 Vamos determinar a derivada da função vetorial 
 
( ) kejtittr t
!!!! )6()(cossen )( ++= . 
 
 De acordo com a definição apresentada em (1.11) e aplicando as regras 
elementares de derivação, temos: 
 
( ) kejtittr t
!!!! )6()sen ( cos)( +−+= . 
 
 
Assim como ocorrre com os limites e as derivadas de funções vetoriais, as 
integrais também são calculadas de forma similar às integrais de funções 
escalares. 
A integral indefinida da função vetorial )(tr! é dada por 
 
,)( )( CtRdttr +=∫
!! 
 
em que )(tR
!
é uma primitiva de )(tr! e C é a constante de integração. 
Podemos, portanto, concluir que a integral indefinida da função vetorial 
ktzjtyitxtr
!!!! )()()()( ++= para ∈t ℝ, é dada por 
 
( ) ( ) ( )kdttzjdttyidttxdttr !!!! )( )( )( )( ∫∫∫∫ ++= . (1.12) 
 
 Como as regras elementares de integração serão necessárias para 
determinar as integrais de funções vetoriais (e mais adiante de funções de mais 
que uma variável), elas serão apresentadas a seguir. Lembrando que todas elas 
foram apresentadas no livro de Cálculo Diferencial e Integral I. 
 
Regras elementares de integração (revisão) 
 
 Considere a, n, k e C constantes, com a > 0. 
• Ckxdxk +=∫ 
• C
n
xdxx
n
n +
+
=
+
∫ 1
1
, para todo n real diferente de – 1. 
• Cxdxx +−=∫ cos sen 
• Cxdxx +=∫ sen cos 
• Cxdxx +=∫ tg sec 2 
• Cxdxx +−=∫ cotg csc 2 
• Cxdxxx +−=⋅∫ csc cotg csc 
• Cxdxxx +=⋅∫ sec tgsec 
• Cxdx
x
+−=
+∫ cotg 1
1
2
 
• Cxdx
x
+=
−
∫ sen arc 1
1
2
 
• Cxdx
x
+−=
−
∫ cos arc 1
1
2
 
• Cxdx
x
+=
+∫ tgarc 1
1
2
 
• Cxdx
xx
+−=
−
∫ csc arc 1
1
2
 
• Cxdx
xx
+=
−
∫ sec arc 1
1
2
 
• Cxdx
x
+−=
+∫ cotg arc1
1
2
 
• Cadxaa xx +=⋅∫ ln 
• Cedxe xx +=∫ 
• Cxdx
ax a
+=
⋅∫ log ln
1 
• Cxdx
x
+=∫ ln 
1 
 
 
Exemplo 1.12 
 Calcule a integral indefinida da função 
 
ktzjtittr
!!!! )(cos)12()1()( 2 +++−= . 
 
 Aplicando a fórmula (1.12) e as fórmulas de integração necessárias, temos: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )kCtjCttiCtt
kdttjdttidttdttr
!!!
!!!!
 sen 
3
 )(cos )12( )1( )(
32
2
1
3
2
+++++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=
+++−= ∫∫∫∫
 
 
 Tomando kCjCiCC
!!!
321 ++= , podemos, então, concluir que 
 
( ) ( ) Cktjttittdttr ++++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=∫
!!!! sen 
3
 )( 2
3
. 
 Na resolução de integrais de funções vetoriais também podem ser 
utilizadas as técnicas de integração abordadas no livro de Cálculo Diferencial e 
Integral I, tais como integral por substituição, integral por partes e integral por 
frações parciais. 
 
Se a função ktzjtyitxtr
!!!! )()()()( ++= for integrável no intervalo [ ]ba, , 
então a sua integral definida, nesse intervalo, será dada por 
 
kdttzjdttyidttxdttr
b
a
b
a
b
a
b
a
!!!! )( )( )( )( ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛= ∫∫∫∫ . (1.13) 
 
 
Exemplo 1.13 
 Vamos retomar a função ktzjtittr
!!!! )(cos)12()1()( 2 +++−= do exemplo 
anterior para calcular o valor de sua integral definida de 0=t a π=t . 
 Temos: 
 
[ ] [ ]
( )[ ] [ ]
[ ] kji
kji
ktjttitt
kdttjdttidttdttr
!!!
!!!
!!!
!!!!
 0 
3
3
 sen sen 00 0
3
0
3
 sen 
3
 )(cos )12( )1( )( 
2
3
22
33
00
2
0
3
000
2
0
+++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
−++−++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−−=
+++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ++⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −= ∫∫∫∫
ππ
ππ
πππππ
π
ππ
π
ππππ
 
 
1.3 Curvas no espaço: vetor tangente, velocidade e aceleração, curvatura e 
vetor normal 
 Se uma partícula movimenta-se no espaço de acordo com a função vetorial 
 
ktzjtyitxtr
!!!! )()()()( ++= , 
 
e se )(tr! é derivável em todos os pontos de seu domínio, a curva que define a sua 
trajetória é considerada lisa se dtrd /! for contínua e diferente de zero. Isso 
equivale a dizer que as derivadas primeiras )(' e )('),(' tztytx de suas funções 
componentes existem e não são todas iguais a zeros, concomitantemente. 
 Se a função )(tr! é o vetor posição dessa partícula, que se movimenta no 
espaço, então seu vetor velocidade é dado por: 
 
)(')( trtv !! = . (1.14) 
 
 O vetor )(tv! é tangente à curva )(tr! . Além disso, a magnitude de )(tv! é o 
módulo da velocidade da partícula. 
 O versor de )(tv! , que é um vetor unitário com mesma direção e sentido de 
)(tv! , indica a direção do movimento da partícula. Esse vetor é denominado vetor 
tangente unitário é dado por: 
 
v
vT !
!!
= . (1.15) 
 
Ele é um dos vetores utilizados para descrever o movimento de objetos no espaço. 
 Da mesma forma que )(tv! é a derivada de )(tr! pelo fato da velocidade ser 
a taxa de variação da posição em relação ao tempo, podemos concluir que o vetor 
aceleração )(ta! é dado por:
)(')( tvta !! = , (1.16) 
 
se )(' tv! existir, pelo fato da aceleração ser definida como a taxa de variação da 
velocidade (em relação ao tempo). 
 
Exemplo 1.14 
 Uma partícula inicia seu movimento no ponto (0,1,0) e tem vetor posição 
dado por 
 
( ) ( ) ktjtittr
!!!!
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛++=
2
cossen )( . 
 
 A representação gráfica dessa função vetorial é mostrada na Figura 1.21, 
para t variando de 0 a 4π. 
 
 
 
 
 
Figura 1.21 
 
 O seu vetor velocidade )(tv! é dado por: 
 
( ) ( ) .
2
1sen cos
)(')(
kjtit
trtv
!!!
!!
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−+=
=
 
 
 Considere, por exemplo, um instante π=t em que a partícula encontra-se 
no ponto 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
,1,0
2
,cos,sen ππππ . 
 
 Nesse ponto, o vetor tangente unitário T
!
 será dado por: 
 
.
2
,1,0
4
1
1
4
1
2
,1,0
2
)1(0
2
,1,0
)(
)()(
2
2
2
22
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
=
π
π
π
π
π
π
π
π
π
v
vT !
!!
 
 
 O vetor aceleração dessa partícula será dado por: 
 
( ) ( ) .0 cossen 
)(')(
kjtit
tvta
!!!
!!
+−+−=
=
 
 
 
 Outro elemento importante no estudo do movimento de partículas no 
espaço é a curvatura. Para entendê-la, considere que quando uma partícula move-
se ao longo de uma curva lisa, o vetor tangente unitário T
!
 vai mudando de 
direção. Por se tratar de um vetor unitário, seu módulo não se altera. A taxa, por 
unidade de comprimento, na qual o vetor T
!
 vira ao longo da curva é que é 
denominada curvatura. Ela é representada pela letra grega κ (lê-se “capa”) e sua 
fórmula é: 
 
dt
Td
v
!
!
1
=κ (1.17) 
 
em que 
dt
rdv
!
!
= é o vetor velocidade da partícula e T
!
 é o seu vetor tangente 
unitário. 
 Para cada vetor T
!
, podemos obter o vetor normal N
!
, que é ortogonal a T
!
 
e pode ser obtido por: 
 
)('
)('
tT
tTN !
!
!
= . (1.18) 
 
 O vetor N
!
 também é conhecido por normal unitária principal. 
 
Exemplo 1.15 
 Vamos considerar a partícula do exemplo anterior para determinar sua 
curvatura e o vetor normal N
!
. 
 
 Conforme visto na igualdade (1.15), 
 
v
vT !
!!
= . 
 
Então, 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
.
5
5sen 
5
52cos
5
52
2
1sen cos
5
52
2
1sen cos
4
11
1
2
1sen cos
4
1 sencos
1
2
1sen cos
2
1sen cos
22
2
22
kjtit
kjtit
kjtit
kjtit
tt
tt
kjtit
T
!!!
!!!
!!!
!!!
!!!
!
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−+=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−+
++
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−+
=
 
 
 Portanto, a curvatura κ , segundo a igualdade em (1.17), será dada por: 
 
( ) ( )
( )
5
4
5
4
5
52
 cos sen 
5
4
5
52
 cos
5
4 sen 
5
4
4
11
1
0 cos
5
52sen 
5
52
4
1 sencos
1
0 cos
5
52sen 
5
52
2
1sen cos
1
1
22
22
2
22
22
=
=
+=
+
+
=
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
++
=
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−+
=
=
tt
tt
tt
tt
kjtit
kjtit
dt
Td
v
!!!
!!!
!
!κ
 
 
 Portanto, sua curvatura é igual a 
5
4 unidades de comprimento por unidade 
de tempo. 
 
 A equação (1.18), que define o vetor normal N
!
, nos permite escrever: 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )[ ].0 cossen 5
0 cos5sen 5
0 cos
5
52sen 
5
52
2
5
 
5
4
0 cos
5
52sen 
5
52
 cos sen 
5
4
0 cos
5
52sen 
5
52
 cos
5
4 sen 
5
4
0 cos
5
52sen 
5
52
0 cos
5
52sen 
5
52
0 cos
5
52sen 
5
52
0 cos
5
52sen 
5
52
0 cos
5
52sen 
5
52
)('
)('
22
22
2
22
kjtit
kjtit
kjtit
kjtit
tt
kjtit
tt
kjtit
tt
kjtit
kjtit
kjtit
tT
tTN
!!!
!!!
!!!
!!!
!!!
!!!
!!!
!!!
!!!
!
!
!
++−=
+−+−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
+
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
+
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
=
 
 
1.4 Coordenadas polares 
 Até o momento, todas as representações gráficas de vetores ou de funções 
foram feitas utilizando coordenadas cartesianas do tipo (x,y) ou (x,y,z), 
respectivamente, no ℝ! e no ℝ!. Mas uma outra forma, que muitas vezes torna a 
representação mais simples, ocorre através da utilização de coordenadas polares. 
 Para defini-las, primeiro precisamos fixar uma origem, que é um ponto 
denominado polo e iremos representá-lo por O. A partir desse ponto 
determinamos uma semirreta orientada, chamada de eixo polar. Assim, para cada 
ponto P do plano definimos um par de coordenadas (r,θ) em que r é a distância do 
ponto O ao ponto P e θ é a medida do ângulo formado entre o segmento OP e o 
eixo polar. 
 
 
Figura 1.22 
 
 As coordenadas polares serão definidas considerando o eixo polar como 
sendo o eixo x. 
 
Exemplo 1.16 
 Vamos determinar as coordenadas polares do ponto ( )3,1 . 
 
 
Figura 1.23 
 
polar eixo
θ
r
r
θ
 Na Figura 1.23, temos a representação do ponto P utilizando suas 
coordenadas cartesianas e a indicação das coordenadas polares ( )θ,r . Para 
determinar a coordenada polar r, podemos utilizar o teorema de Pitágoras, como a 
seguir: 
 
( ) .231 222 =⇒+= rr 
 
 Com relação à coordenada polar θ , podemos determiná-la a partir de 
alguma razão trigonométrica, tal como seno ou cosseno. Utilizando o seno, temos: 
 
.
2
3sen =θ 
 
 Como 
32
3sen arc π= , no intervalo [ ]π2,0 , então concluímos que 
3
π
θ = . 
 Portanto, a representação do ponto P utilizando coordenadas polares é 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
,2 π . 
 
 Uma característica interessante das coordenadas polares é que um ponto 
possui infinitas representações, enquanto sua representação em coordenadas 
cartesianas é única. Veja, no exemplo a seguir, como isso acontece. 
 
Exemplo 1.17 
 Obtenha todas as coordenadas polares do ponto ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
,2 π , representado na 
Figura 1.24. 
 
 
Figura 1.24 
 
 O ponto ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
3
,2 πP também pode ser representado por ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
3
2,2 πP , 
quando invertemos o sentido do segmento orientado que une os pontos P e O e, 
nesse caso, a medida do ângulo entre a reta suporte desse segmento e o eixo x é 
representada considerando-se o sentido horário (negativo). 
 O ângulo de medida 
3
π
θ = possui infinitos
ângulos equivalentes que são: 
 
... ,6
3
 ,4
3
 ,2
3
π
π
π
π
π
π
±±± 
 
 De forma semelhante, para o ângulo de medida 
3
2π
θ −= , temos as 
seguintes medidas equivalentes: 
 
... ,6
3
2 ,4
3
2 ,2
3
2
π
π
π
π
π
π
±−±−±− 
 
 Portanto, considerando a representação do ponto P na forma ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
,2 π , 
podemos estabelecer como equivalentes as representações: 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
± π
π n2
3
,2 , para n ∈ℕ. 
 
 Quanto à representação na forma ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
3
,2 π , temos as seguintes 
representações para o ponto P: 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±−− π
π n2
3
2,2 , para n ∈ℕ. 
 
 
 As coordenadas polares ( )θ,r podem ser relacionadas com as coordenadas 
cartesianas ( )yx, das seguintes formas: 
 
θcosrx = 
θsen ry = 
 222 ryx =+ (teorema de Pitágoras) 
 
 Dessa forma, é possível realizar substituições em equações ou funções 
expressas em relação às coordenadas cartesianas, transformando-as em equações 
ou funções polares (ou expressas em relação às coordenadas polares). 
 
Exemplo 1.18 
 A equação do círculo de raio igual a 4, com centro em (0,0), representada 
com coordenadas cartesianas, é: 
 
422 =+ yx . (1.19) 
 
 Considerando que θcosrx = e θsen ry = , então podemos escrever a 
equação (1.15) na forma: 
 
4 sen cos 2222 =+ θθ rr . (1.20) 
 
 Mas, como é possível colocar o termo r2 em evidência e a soma 
1 sen cos 22 =+ θθ , então podemos simplificar a expressão (1.20) como mostrado 
a seguir: 
 
( )
4
4 sen cos
4 sen cos
2
222
2222
=
=+
=+
r
r
rr
θθ
θθ
 
 
 Observe como a representação na forma polar ficou bem mais simples. 
Contudo, isso nem sempre acontece. Há situações em que é melhor trabalhar com 
coordenadas polares e outras em que o trabalho é facilitado se as coordenadas 
forem cartesianas. 
 
Exemplo 1.19 
 Agora, vamos converter uma equação polar para a forma cartesiana. A 
equação 
 
θθ cos2sen 3
5
+
=r , 
 
que está na forma polar, pode ser escrita na forma cartesiana considerando as 
substituições: 
 
θcosrx = e θsen ry = . 
 
 Mas, antes, é preciso alguns procedimentos algébricos para que os termos 
θcosr e θsen r apareçam na equação. Veja: 
 
( )
.523
5cos2sen 3
5cos2sen 3
cos2sen 3
5
=+
=+
=+
+
=
yx
rr
r
r
θθ
θθ
θθ
 
 
 No caso deste exemplo, a equação apresentada é mais simples na forma 
cartesiana. 
 
 No próximo capítulo, trataremos das funções de várias variáveis e suas 
derivadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E SUAS 
DERIVADAS 
 As aplicações de funções reais (ou escalares) que dependem de apenas 
uma variável são inúmeras. No Cálculo Diferencial e Integral I, estudamos 
exclusivamente esse tipo de função. Vimos aplicações de seus limites, derivadas e 
integrais. No entanto, há outras incontáveis aplicações em que necessitamos do 
auxílio de funções que dependem de duas ou mais variáveis. Podemos citar 
diversos exemplos na Física, Química, Engenharia, Computação, Biologia, 
Ciências Econômicas, Contábeis ou Sociais, entre tantas outras áreas. A seguir, 
alguns exemplos que serão apenas citados, com o intuito apenas de dar uma noção 
da gama de aplicações do assunto que veremos neste capítulo. 
A lei de Gay – Lussac ou lei de um gás ideal confinado é dada pela 
equação 
 
kTPV = (1.1) 
 
em que P é a pressão (em Newton/unidade cúbica), V é o volume (em unidades 
cúbicas), k é uma constante (que depende do gás) e T é a temperatura (em graus) a 
que está submetido o gás. A partir da equação em (1.1) podemos expressar a P em 
função das variáveis V e T, ou V em função de T e P, ou, ainda, T em função de P 
e V. Essas representações podem ser simbolizadas utilizando a notação de 
funções, respectivamente, como: 
 
V
kTVTP =),( , 
P
kTTPV =),( e 
k
PVVPT =),( . 
 
 No estudo sobre a demanda de um produto, geralmente, a relacionamos 
com o seu preço apenas, permitindo realizar análises através de uma função de 
uma única variável. Isso ocorre para que se verifique o efeito da variação do preço 
sobre a demanda ou, da mesma forma, o efeito da variação da demanda sobre o 
preço. No entanto, se o objetivo for estimar a demanda a partir de fatores que têm 
influência sobre ela, convém destacar outras variáveis além do preço. Nesse caso, 
podemos ter uma função que relaciona a quantidade demandada do produto (y) 
com variáveis tais como preço ( )1x , taxas de juros ( )2x e índice inflacionário ( )3x
, por exemplo, que nos leva a determinação de uma função que será representada 
por ( ).,, 321 xxxf Logicamente, podemos destacar outras inúmeras variáveis que 
podem afetar a demanda de um produto (tais como renda média da população, 
preços dos produtos similares, etc), mas destacamos somente algumas para 
ilustrar. 
 No estudo de circuitos elétricos, a potência instantânea P desenvolvida por 
um dispositivo de dois terminais é o produto da diferença de potencial U entre os 
terminais e a corrente elétrica I que passa através do dispositivo. Podemos 
escrever a potência P em função das variáveis U e I da seguinte forma: 
UIUIP ⋅=),( , 
 
e, da mesma forma, podemos escrever I em função de P e U, ou U em função de P 
e I. 
 Segundo a lei gravitacional universal de Newton uma partícula de massa 
m0 na origem de um sistema de coordenadas x, y e z, o módulo da força F exercida 
sobre uma outra partícula, de massa m, localizada em um ponto ( )zyx ,, é dada 
por: 
 
( ) 222 00,,,, zyx
gmmmmzyxF
++
⋅⋅
= , 
 
em que g é a constante de gravitação universal. 
 Os índices de mortalidade infantil de certas regiões também podem ser 
tratados de forma funcional em relação a várias variáveis independentes como 
taxa de subnutrição, renda média, pesos (massas) ao nascer, entre outras. 
 Um tipo muito utilizado de aplicação diz respeito à construção de sólidos 
espaciais que têm aplicação em diversas áreas do conhecimento. E esses sólidos 
são descritos matematicamente através de funções de duas variáveis. Alguns deles 
serão tratados nas seções seguintes. 
 As funções de várias variáveis têm algumas propriedades que se 
assemelham às das funções de uma variável. Isso acontece, por exemplo, com o 
cálculo de limites e com as propriedades referentes à continuidade. Com relação 
ao cálculo de derivadas, apesar da necessidade de utilização das regras já 
utilizadas com as funções de uma variável, você notará diferenças um pouco mais 
significativas. Mas, certamente, o conhecimento das regras e procedimentos vistos 
no cálculo de funções de uma variável serão de suma importância para o 
desenvolvimento deste e dos próximos capítulos. 
 
2.1 Funções de várias variáveis 
Definição: 
 
Uma função :f ℝ!⟶ ℝ, que relaciona cada valor real w de um 
conjunto D ∈ ℝ com um n-upla ordenada ( )nxxx ,...,, 21 ∈ ℝ! é denominada 
uma função de várias variáveis. 
Podemos representá-la na forma: 
 
( )nxxxfw ,...,, 21= 
 
 
 O conjunto D é o domínio da função e o conjunto de todas as n-uplas 
ordenadas ( )nxxx ,...,, 21 que se relacionam com os elementos do domínio D é 
denominado imagem da função. 
 Funções desse tipo são utilizadas na representação de superfícies, planos e 
sólidos espaciais, além de diversas outras situações em que o número de variáveis 
independentes não nos permite realizar uma representação no sistema 
tridimensional de eixos cartesianos. A seguir, veremos alguns exemplos em que 
são apresentadas funções com duas (n = 2) variáveis independentes. Para evitar
que tenhamos que indexar as variáveis independentes, vamos, geralmente, denotá-
las por x e y (ou outras letras quaisquer), enquanto que a variável dependente será 
representada pela letra z. Isso também facilita a associação da função com sua 
representação gráfica no sistema de eixos xyz. Sendo assim, podemos considerar 
que z é uma função de x e y ou, em símbolos, 
 
( )., yxfz = 
 
Exemplo 2.1 
 A representação gráfica da função 
 
2+−= yxz 
 
é um plano que está representado na Figura 2.1. Para uma melhor visualização, 
foram consideradas as seguintes variações para x e y: 
 
22 ≤≤− x e 22 ≤≤− y . 
 
 Na verdade, da forma como a função foi apresentada, não há restrições 
para os valores de x e de y o que torna o plano ilimitado. 
 Para determinar pontos dessa função (ou do plano), podemos seguir as 
sugestões abaixo: 
 
• atribuímos valores arbitrários para x e y; 
• a partir desses valores, calculamos o valor de z utilizando a expressão
( )yxfz ,= ; 
 
Isso é bem simples. Considere, por exemplo, as escolhas 1=x e 1−=y . 
Então, temos: 
 
( )
4
2)1(1
1,1
=
+−−=
−= fz
 
 
 Portanto, o ponto )4,1,1( − pertence ao plano representado pela função 
2+−= yxz . Costumamos dizer que o ponto )1,1(),( −=yx é um ponto do 
domínio da função e o valor 4=z é a imagem relativa a esse ponto. 
 
 
 
Figura 2.1 
 
 Procedendo dessa forma, é possível obter quantos pontos forem 
necessários. A Figura 2.2 mostra novamente o plano gerado pela função 
2+−= yxz com a inclusão do ponto )2,1,1( − . 
 
 
Figura 2.2 
 O domínio da função definida por 2+−= yxz é composto por todos os 
pares ordenados ),( yx ∈ ℝ!, pois não há nenhuma combinação de valores de x e 
de y que não permita o cálculo da variável z. Como a representação dessa função é 
um plano ilimitado, se considerarmos as projeções ortogonais de todos os seus 
pontos no plano definido pelos eixos x e y, teremos o próprio plano xy. 
 
Exemplo 2.2 
 A função 
 
22 2yxz += 
 
está representada graficamente na Figura 2.3. O seu domínio também é 
constituído por todos os pares ordenados ),( yx ∈ ℝ!. Não há nenhuma restrição 
quanto aos valores que ambos podem assumir. A representação gráfica é limitada, 
mas nota-se que se continuarmos ampliando os intervalos de variação tanto de x 
como de y, os valores de z também crescerão e o gráfico se expandirá nos dois 
sentidos em relação aos valores de x e de y. Portanto, as projeções ortogonais de 
todos os pontos da função tomarão todo o plano xy. 
 Com relação à imagem desta função, nota-se, tanto gráfica como 
algebricamente que z assume somente valores não negativos. Não há nenhuma 
combinação de valores x e y que resultem em um valor negativo para a variável 
dependente z. 
 
 
 
Figura 2.3 
 
Exemplo 2.3 
 A função 
 
4
2
2 yxz += 
 
tem representação gráfica apresentada na Figura 2.4 
 
 
Figura 2.4 
 
 A expressão 
 
4
2
2 yx + 
 
que aparece no interior de uma raiz quadrada não pode assumir valor negativo. 
Portanto, devemos ter valores x e y tais que 
 
.0
4
2
2 ≥+
yx 
 
 Então o domínio da função 
 
4
2
2 yxz += 
 
é definido pelo conjunto real 
 
( )
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≥+∈= 0
4
/R,
2
22 yxyxD . 
 
 Como a raiz quadrada nunca resulta em valor negativo, concluímos que z 
não assume somente valores positivos ou nulos. Se x e y forem, ambos, iguais a 
zero, z também será. Podemos ver isso no gráfico e, com seu auxílio, podemos 
concluir que a imagem da função é dada por Im = ℝ. 
 
Exemplo 2.4 
 A função 
 
yxz cossen 1 ++= 
 
tem como domínio todo o plano xy. Como a variação tanto da função seno como 
da função cosseno ocorre somente no intervalo [ ]1,1− , então podemos concluir 
que a variável y assume qualquer valor real no intervalo [ ]3,1− . 
 O gráfico desta função é apresentado sob duas perspectivas diferentes nas 
Figuras 2.5 e 2.6. 
 
 
Figura 2.5 
 
 
 
 
Figura 2.6 
 
 Os conceitos de limite e continuidade são facilmente estendidos para as 
funções de várias variáveis. Para limites, utilizaremos a seguinte notação 
 
( ) ( )
( )naaaxxx xxxfL nn ,...,,lim 21,...,,,...,, 2121 →=
 
 
Vamos ver alguns exemplos com funções de duas e três variáveis. 
 
Exemplo 2.5 
 Calcule o limite 
 
( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=
→ yx
L
yx
111lim 23,2, . 
 
 Aqui, valem as mesmas propriedades já estudadas no Cálculo para funções 
de uma variável. Podemos realizar as substituições das variáveis e calcular os 
valores resultantes. Portanto: 
 
( ) ( )
12
5
3
11
2
1
111lim
2
2,03,2
−=
+−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=
∞→ yx
L
 
 
 Quando há descontinuidade da função para, pelo menos, um dos valores 
indicados no limite, podemos recorrer aos mesmos artifícios que utilizamos com 
as funções de uma variável. Veja dois exemplos a seguir. 
 
Exemplo 2.6 
 O limite 
( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
−→ 1
lim
2
2,1, x
yL
yx
 
 
apresenta uma função que é descontínua para o valor ao qual x tende. No entanto, 
sabemos que expressões na forma 
0
1 
 
tendem ao infinito. Portanto, podemos escrever 
 
( ) ( )
∞=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
−→ 1
lim
2
2,1, x
yL
yx
 
 
 
Exemplo 2.7 
 O limite 
( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
→ xyyx
yxL
yx 3
32
0,1,
lim 
 
não pode ser calculado diretamente, pois, se atribuirmos valor 0 (zero) para y a 
função assumirá a forma indeterminada 0/0. No entanto, é possível fatorar as 
expressões do numerador e denominador e realizar uma simplificação algébrica 
que permitirá o cálculo do limite de forma fácil. Veja a seguir. 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
10
00
1
lim
)1(
lim
lim
2
2
2
2
0,1,
2
32
0,1,
3
32
0,1,
=
+
⋅
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
→
→
→
x
xy
xxy
yx
xyyx
yxL
yx
yx
yx
 
 
 
 Com relação à continuidade, para uma maior facilidade e clareza nas 
explanações, vamos considerar uma função genérica de duas variáveis ),( yxf , 
pois, de forma intuitiva, podemos considerar os resultados obtidos extensivos às 
funções de várias variáveis. 
 
 Uma função ),( yxf é contínua em um ponto ),( 00 yx se, e somente se, 
existe o limite 
( ) ( )
),(lim
00 ,,
yxf
yxyx →
 
e ele é igual a ),( 00 yxf . 
 
Exemplo 2.8 
 Podemos dizer que a função 
 
yx
yxf 111),( 2 +−= 
 
é contínua no ponto )3,2( , pois o limite 
 
( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=
→ yx
L
yx
111lim 23,2, 
 
e é igual a )3,2(f , como já vimos pelos cálculos apresentados no Exemplo 2.5. 
 
 
Exemplo 2.9 
 A função 
 
xyyx
yxyxf
+
= 3
32
),( 
 
não é contínua no ponto )0,1( , pois apesar do limite 
 
( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
→ xyyx
yxL
yx 3
32
0,1,
lim 
 
existir (como podemos constatar no Exemplo 2.7), o seu valor é diferente de 
).0,1(f 
 
 A seguir, algumas propriedades que podem auxiliar na análise da 
continuidade de funções. 
 
 Se um ponto ),( 00 yx pertence aos domínios de duas função ),( yxf e 
),( yxg e se ambas são contínuas nesse ponto, então: 
 
• ),(),(),( yxgyxfyxh ±= é contínua em ),( 00 yx ; 
• ),(),(),( yxgyxfyxh = é contínua em ),( 00 yx ; 
• 
),(
),(),(
yxg
yxfyxh = é contínua em ),( 00 yx se 0),( 00 ≠yxg . 
 
 Na próxima seção, começaremos a estudar as derivadas de funções de 
várias variáveis. 
 
2.2 Diferenciação parcial 
 O processo de diferenciação (ou derivação) de funções de várias variáveis 
pode ser
realizado considerando as já conhecidas regras de derivação de funções a 
uma variável. Basta aplicar essas regras a uma das variáveis independentes, 
mantendo fixas as demais. Esse método é denominado diferenciação parcial. 
 Inicialmente, vamos considerar funções com apenas duas variáveis 
independentes para mostrar como o realizar a diferenciação parcial, pois, para 
funções com mais variáveis, não há alterações significativas nesse processo. 
 
Exemplo 2.10 
 Considere a função 
 
yxyxyxf +−+= 22),( . 
 
 Começaremos considerando a variável y fixa (constante). Então, 
obteremos a derivada parcial ( )
x
yxf
∂
∂ , da função ( )yxf , em relação à variável x 
da seguinte forma: 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ).
,
22
22
y
x
x
x
y
x
x
x
yxyx
xx
yxf
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
+−+
∂
∂
=
∂
∂
 
 
 Como estamos (momentaneamente) considerando y constante, as derivadas 
 
( ) ( )y
x
y
x ∂
∂
∂
∂ e 2 
 
são ambas iguais a zero (a derivada de qualquer constante é nula). Então, voltando 
ao cálculo da derivada parcial em relação a x, temos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12
0102
, 22
−=
+−+=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
x
x
y
x
x
x
y
x
x
xx
yxf
 
 
 Agora, vamos considerar x constante para obter a derivada parcial dessa 
função em relação a y: 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ).
,
22
22
y
y
x
y
y
y
x
y
yxyx
yy
yxf
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
+−+
∂
∂
=
∂
∂
 
 
 Nesse caso, as derivadas nulas serão 
 
( ) ( )x
x
x
x ∂
∂
∂
∂ e 2 
 
pelo fato de estarmos considerando x constante. Portanto, voltando ao cálculo da 
derivada, temos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12
1020
, 22
+=
+−+=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
y
y
y
y
x
y
y
y
x
yy
yxf
 
 
Box explicativo 
 A notação que geralmente utilizamos para indicar uma derivada parcial, 
por exemplo, de uma função f em relação a x, é 
( )
x
yxf
∂
∂ , . 
 Podemos também indicá-la utilizando a letra “d ” no lugar do símbolo “∂
”, ou seja, na forma 
 
( )
dx
yxdf , . 
 
 Mas a utilização desse símbolo serve para dar ênfase ao fato de que se trata 
de uma derivação parcial. 
 
 
 De forma geral, para uma função f de duas variáveis definimos as suas 
derivadas parciais como mostrado a seguir. 
 
Definição de derivadas parciais para funções de duas variáveis 
 
 Considere uma função de duas variáveis ( )yxf , e um ponto ( )yx, de 
seu domínio. Então 
 
( ) ( ) ( )
h
yxfyhxf
x
yxf
h
,,lim,
0
−+
=
∂
∂
→
 
 
é a derivada parcial de f (x, y) em relação a x e 
 
( ) ( ) ( )
h
yxfhyxf
y
yxf
h
,,lim,
0
−+
=
∂
∂
→
 
 
é a derivada parcial de f (x, y) em relação a y, se esses limites existirem. 
 
 Note, pela definição apresentada, que a derivada parcial em relação a x 
reflete a taxa de variação instantânea da função ( )yxf , em relação somente à 
coordenada x. De forma análoga, a derivada parcial em relação a y reflete a taxa 
de variação instantânea de ( )yxf , em relação somente à coordenada y. 
 Para uma compreensão mais clara do que isso significa, veja o exemplo 
seguinte. 
 
Exemplo 2.11 
 Considere, novamente, a função do Exemplo 2.10. Vimos que 
 
( ) 12, −=
∂
∂ x
x
yxf e ( ) 12, +=
∂
∂ y
y
yxf . 
 
 Vamos calcular o valor da derivada parcial em relação a x para um ponto 
arbitrário do domínio da função ( )yxf , . Considere o ponto ( )1,1− . Então, temos: 
 
( ) 11121,1 =−⋅=
∂
−∂
x
f . 
 
 Esse resultado indica que, nesse ponto, a taxa de variação instantânea da 
função ( )yxf , em relação a x é igual a 1. Isso equivale a dizer que o coeficiente 
angular da reta tangente à superfície ( )yxf , no ponto ( )1,1− e paralela ao plano 
yz é igual a 1. Veja, na Figura 2.7, a representação do gráfico da função ( )yxf , e 
da reta tangente a ele no ponto ( )1,1− , bem como do plano em que a reta tangente 
está situada. 
 
 
Figura 2.7 
 
 
 A seguir, você vê a generalização da definição de derivada parcial para 
funções de várias variáveis. 
 
 
Definição de derivadas parciais para funções de várias variáveis 
 
 Considere uma função a n variáveis ( )nxxxf ,...,, 21 e um ponto 
( )nxxx ,...,, 21 de seu domínio. Para um valor inteiro k, de 1 a n, temos que 
 
( ) ( ) ( )
h
xxxfxhxxxf
x
xxxf nnk
h
k
n ,...,,,...,,...,,lim,...,, 2121
0
21 −+=
∂
∂
→
 
 
é a derivada parcial de ( )nxxxf ,...,, 21 em relação à variável kx , desde que 
esse limite exista. 
 
Box explicativo 
 Para indicar a derivada parcial de uma função ( )nxxxf ,...,, 21 em relação a 
uma variável kx , estamos (e vamos continuar) utilizando a notação 
 
( )
k
n
x
xxxf
∂
∂ ,...,, 21 . 
 
 Contudo, há outras notações que surgem em diversos livros e textos 
envolvendo o estudo de derivadas parciais. Todas as representações a seguir são 
equivalentes: 
 
( )
( )
( )
( )
( )nk
nx
nk
nx
kk
n
xxxfD
xxxfD
xxxf
xxxf
x
f
x
xxxf
k
k
,...,,
,...,,
,...,,
,...,,
,...,,
21
21
21
21
21
=
=
=
=
∂
∂
=
∂
∂
 
 
 
 
Exemplo 2.12 
 Encontre as derivadas parciais da função 
 
z
xyxyzyxzyxf +−+= ln3),,( 23 
 
em relação a cada uma das variáveis x, y e z. 
 
 Para determinar a derivada parcial em relação à variável x, vamos fixar 
(tornar, momentaneamente, constantes) as variáveis y e z. Sendo assim, em todos 
os termos em que estiverem presentes y e z, aplicaremos as regras de derivação 
que envolvem constantes. Teremos, então: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
z
yzyx
z
yzyx
z
x
x
yx
x
y
x
zyx
x
z
xyxyzyx
xx
zyxf
1ln3
1ln03
ln3
ln3),,(
22
22
23
23
+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+−+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−+
∂
∂
=
∂
∂
 
 
 A derivada parcial em relação a y será dada por: 
 
( ) ( ) ( )
( )
y
xyzx
y
xyzx
z
x
y
yx
y
y
y
zyx
y
z
xyxyzyx
yy
zyxf
−+=
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅−+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−+
∂
∂
=
∂
∂
32
0132
ln3
ln3),,(
3
3
23
23
 
 
 E, finalmente, a derivada parcial em relação a z será dada por: 
 
( ) ( ) ( )
( )
2
23
2
23
23
23
00
ln3
ln3),,(
z
xyx
z
xyx
z
x
z
yx
z
y
z
zyx
z
z
xyxyzyx
zz
zyxf
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−+−+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−+
∂
∂
=
∂
∂
 
 
 No próximo exemplo, veremos uma aplicação das derivadas parciais. 
 
Exemplo 2.13 
 A resistência elétrica R (em ohms) de um circuito elétrico é dada por 
 
I
ER = 
 
em que I é a corrente elétrica (em ampères) e E é a força eletromotriz (em volts). 
Podemos denotar a função R como 
 
( )IER , . 
 
Vamos calcular as derivadas parciais 
 
( )
E
IER
∂
∂ , e ( )
I
IER
∂
∂ , . 
 
 Temos, portanto 
 
( )
IE
IER 1,
=
∂
∂ 
e 
( )
2
,
I
E
I
IER
−=
∂
∂ . 
 
 Se considerarmos dois valores arbitrários 10 ampères e 220 volts, 
respectivamente, para I e E, teremos: 
 
1,0
10
1)220,10(
==
∂
∂
E
R (1.2) 
e 
 
( ) 20,2
10
220,
2 −=−=∂
∂
I
IER . (1.3) 
 
 O resultado em (1.2) indica que a taxa de variação instantânea da 
resistência elétrica
R em relação à força eletromotriz E quando esta é igual a 220 
volts (e a corrente elétrica é fixada em 10 ampères) é igual a 0,1. Isto significa que 
a resistência aumenta 0,1 ohm para um aumento infinitesimalmente pequeno da 
força eletromotriz. 
 Já o resultado em (1.3) nos traz a informação que a taxa de variação 
instantânea da resistência elétrica em relação à corrente elétrica I, quando esta é 
igual a 10 (e a força eletromotriz é fixada em 220 volts) é igual a -2,20, o que 
equivale a dizer que a resistência elétrica diminui 2,20 voltas para um aumento 
infinitesimalmente pequeno da corrente elétrica. 
 Mais uma aplicação a seguir. 
 
Exemplo 2.14 
 O volume f de um cone é dado por 
 
( ) 22
2
9
12
 , yxyyxf −= π 
 
em que x é o comprimento, em centímetros, da sua geratriz (segmento que une o 
vértice do cone a qualquer ponto da circunferência que delimita sua base) e y é a 
medida, em centímetros, do diâmetro de sua base. 
 
a) Mantido o diâmetro fixo (constante) e igual a 16 cm, com a geratriz 
variando, determine a taxa de variação do volume do cone em relação à 
medida da geratriz, no momento em que esta mede 8 cm. 
b) Agora, mantendo fixa a medida da geratriz, com o diâmetro variando, 
calcule a taxa de variação do volume em relação à medida do diâmetro, 
quando este vale 16 cm. 
 
A Figura 2.8 apresenta o cone, considerando os valores 8=x cm e 16=y
cm. 
 
 
 
Figura 2.8 
 
 
 
Para determinar o que se pede no item (a), devemos, num primeiro 
momento, calcular a derivada parcial da função f em relação a x. Vejamos: 
 
( )
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∂
∂
=
∂
∂ 22
2
9
12
 , yxy
xx
yxf π . 
 
 Como a variável x aparece somente dentro da raiz, enquanto y é uma 
constante, então podemos considerar o cálculo da derivada de uma constante que 
multiplica uma função, isto é, podemos escrever 
 
( ) ( )222 9
12
 , yx
x
y
x
yxf
−
∂
∂
⋅=
∂
∂ π . 
 
 E para realizar o cálculo da derivada, será necessário aplicar a regra da 
cadeia (para função a uma variável) no cálculo de 
 
( ) ( )222 9
12
 , yx
x
y
x
yxf
−
∂
∂
⋅=
∂
∂ π . 
 
Então, podemos realizar os cálculos da seguinte maneira: 
 
( ) ( )
( )
( ) ( )
22
2
2
1
22
2
2
1
22
2
22
2
94
 3
189
2
1
12
 
9
12
 
9
12
 ,
yx
xy
xyxy
yx
x
y
yx
x
y
x
yxf
−
=
−⋅=
−
∂
∂
⋅=
−
∂
∂
⋅=
∂
∂
−
π
π
π
π
 
 
 Substituindo os valores 8=x cm e 16=y cm, temos: 
 
( )
75,269
3204
144.6
)16()8(94
)16((8) 316,8
22
2
≅
=
−
=
∂
∂
π
π
x
f
 
 
 Com relação ao que se pede no item (b), temos que começar calculando a 
derivada parcial da função f em relação a y: 
 
( )
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∂
∂
=
∂
∂ 22
2
9
12
 , yxy
yy
yxf π . 
 
 Como a variável y aparece dentro da raiz e também no termo que a 
multiplica, então teremos que aplicar, além da regra da cadeia, a regra do produto. 
A seguir, todos os cálculos com a aplicação das regras necessárias: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
22
3
22
2
2
1
2222
2
2
1
2222
2
2
2222
2
2
2222
2
912
 9
6
 
12
 29
2
19
12
 2
12
 99
12
 
12
 99
12
 
12
 99
12
 ,
yx
yyxy
yyyxyxy
yyx
y
yxy
y
yyx
y
yxy
y
yyx
y
yxy
yy
yxf
−
−−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−+−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
∂
∂
+−⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∂
∂
+−⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∂
∂
+−⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
∂
∂
−
ππ
ππ
ππ
ππ
ππ
. 
 
 
 Substituindo os valores 8=x cm e 16=y cm, temos: 
 
( )
72,89
32012
096.4320
3
 8
)16()8(912
)16( )16()8(9
6
)16( ,
22
3
22
≅
−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
−
−−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
∂
∂
ππ
ππ
y
yxf
 
 
Na próxima seção veremos como aplicar a regra da cadeia no cálculo de 
derivadas parciais. 
 
 
 
 
2.3 Regra de cadeia 
No estudo de funções de uma variável, vimos que há situações em que 
uma função f podia ser escrita em relação a uma variável t que também era uma 
função de outra variável x. E, nesse caso, a derivada de f em relação a x é dada 
pela regra da cadeia da seguinte forma: 
 
dx
dt
dt
dy
dx
dy
⋅= . 
 
O Exemplo 2.14 apresenta a aplicação dessa regra para função a uma 
variável. Mas como devemos proceder quando temos que aplicá-la para o cálculo 
de derivadas parciais de funções com duas ou mais variáveis? É o que veremos 
nesta seção. 
A seguir serão apresentadas duas versões da regra da cadeia: uma para 
funções a duas variáveis e outra para funções a três variáveis. 
 
 
Regra da cadeia para funções a duas variáveis 
 
Considere uma função de duas variáveis ),( yxfz = que possui as 
derivadas parciais 
x
f
∂
∂ e 
y
f
∂
∂ contínuas. Considere, também, as variáveis x e y 
como funções (de uma variável) diferenciáveis de t. Então a derivada da função 
( ))(),( tytxfz = em relação a t é dada por: 
 
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dx
dz
⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
= 
 
 
Exemplo 2.15 
 Seja ),( yxfz = uma função de duas variáveis dada por 
 
yxyxyxf −+= 2),( 2 , 
 
em que tx cos= e 52 −= ty . 
 A derivada de z em relação a t é dada por: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) txtxy
dt
td
y
yxyx
dt
td
x
yxyx
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dx
dz
21sen 22
52cos2
2
222
−+−+=
−
⋅
∂
−+∂
+⋅
∂
−+∂
=
⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
. 
 
 Agora, precisamos realizar as substituições tx cos= e 52 −= ty : 
 
( )( )[ ]( ) ( )[ ]
ttttttttt
ttttt
dx
dz
2cos2sen 2cossen 5cossen 2
21cossen 25cos2
222
22
−+−+−=
−+−+−= 
 
 
Regra da cadeia para funções a três variáveis 
 
Considere uma função de três variáveis ),,( zyxfw = que possui as 
derivadas parciais 
x
f
∂
∂ , 
y
f
∂
∂ e 
z
f
∂
∂ contínuas. Considere, também, as variáveis 
x, y e z como funções (de uma variável) diferenciáveis de t. Então a derivada da 
função ( ))(),(),( tztytxfw= em relação a t é dada por: 
 
dt
dz
z
f
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dx
dw
⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
= 
 
 
Exemplo 2.16 
Seja ),,( zyxfw = uma função de duas variáveis dada por 
 
zxyzyxf += 2),,( , 
 
em que tx ln= , tey = e 2tz = . 
 A derivada de w em relação a t é dada por: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
txe
t
y
dt
td
z
zxy
dt
ed
y
zxy
dt
td
x
zxy
dt
dz
z
f
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dx
dw
t
t
21212
22ln2 2
⋅++=
⋅
∂
+∂
+⋅
∂
+∂
+⋅
∂
+∂
=
⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
. 
 
 Agora, precisamos realizar as substituições tx ln= , tey = e 2tz = : 
 
tte
t
e
txe
t
y
dx
dw
t
t
t
2ln22
222
++=
++=
 
 
2.4 Derivadas de ordem superior 
 No estudo de funções de uma variável, vimos que há diversos casos em 
que além da derivada (primeira) de uma função, também possuem importantes 
aplicações as derivadas de ordem superior (derivada segunda, derivada terceira, 
etc). Um exemplo típico diz respeito à aceleração de uma partícula em movimento 
que é dada pela derivada segunda da sua função posição. 
 Nesta seção, veremos como determinar derivadas parciais de ordem 
superior para funções a duas variáveis. Para funções a três ou mais variáveis, o 
procedimento é o mesmo,
basta realizar com as demais variáveis o processo que 
foi aplicado às duas primeiras. Para quem sabe determinar a derivada primeira, 
não haverá dificuldades para determinar derivadas de ordem superior. Os 
procedimentos serão explicados através do próximo exemplo. 
 
Exemplo 2.17 
 Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função 
 
423 35),( yxyxyxf −= . 
 
 As derivadas de primeira ordem são: 
 
( ) ( )
42
423
615
35),(
xyyx
yx
x
yx
xx
yxf
−=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
 
e 
( ) ( )
323
423
125
35),(
yxx
yx
y
yx
yy
yxf
−=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
 
 
 Agora, cada uma das derivadas parciais obtidas podem ser derivadas 
novamente em relação a x e a y. 
 Considerando a função derivada 
 
42 615),( xyyx
x
yxf
−=
∂
∂ , 
temos: 
 
( )
( ) ( )
4
42
42
630
615
615),(
yxy
xy
x
yx
x
xyyx
xx
yxf
x
−=
∂
∂
−
∂
∂
=
−
∂
∂
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
 
 
e 
 
( )
( ) ( )
32
42
42
2415
615
615),(
xyx
xy
y
yx
y
xyyx
yx
yxf
y
−=
∂
∂
−
∂
∂
=
−
∂
∂
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
 
 
 
 Agora, considerando a derivada 
 
323 125),( yxx
y
yxf
−=
∂
∂ , 
temos: 
 
( )
( ) ( )
32
323
323
2415
125
125),(
xyx
yx
x
x
x
yxx
xy
yxf
x
−=
∂
∂
−
∂
∂
=
−
∂
∂
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
 
e 
 
( )
( ) ( )
22
22
323
323
36
360
125
125),(
yx
yx
yx
y
x
y
yxx
yy
yxf
y
−=
−=
∂
∂
−
∂
∂
=
−
∂
∂
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
 
 
 Temos, portanto as seguintes derivadas parciais de ordem superior: 
 
 
4630),( yxy
x
yxf
x
−=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
∂
∂ , 
 
32 2415),( xyx
x
yxf
y
−=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
∂
∂ , 
 
32 2415),( xyx
y
yxf
x
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂ , 
e 
 
2236),( yx
y
yxf
y
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂ . 
 
 Nesse exemplo, utilizamos a notação 
 
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
x
yxf
x
),( 
 
para representar a derivada parcial de segunda ordem da função f em relação a x. 
Ela pode também ser expressa em qualquer uma das formas a seguir: 
 
2
2
x
f
∂
∂ , xxf ou 11f . 
 
 
 
 Da mesma forma, 
 
• 2
2
y
f
∂
∂ , yyf ou 22f são equivalentes a ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
y
yxf
y
),( ; 
 
• 
yx
f
∂∂
∂ 2 , yxf ou 21f são equivalentes a ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
y
yxf
x
),( ; 
 
• 
xy
f
∂∂
∂ 2 , xyf ou 12f são equivalentes a ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
x
yxf
y
),( ; 
 
As derivadas 
yx
f
∂∂
∂ 2 e 
xy
f
∂∂
∂ 2 são chamadas de derivadas parciais mistas de 
f. 
 
Há oito derivadas parciais de terceira ordem da função f , pois, para cada 
uma das derivadas parciais de segunda ordem, podemos estabelecer duas de 
terceira ordem. Vamos apresentar a seguir, apenas duas delas: 
 
A derivada de terceira ordem 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x
yxf
xx
),( 
 
pode ter notação simplificada por 
 
3
3
x
f
∂
∂ . 
 
 Para determiná-la, basta derivada a função 
2
2
x
f
∂
∂ em relação a x 
novamente. Veja: 
 
( )
( ) ( )
y
y
y
x
xy
x
yxy
x
x
f
xx
f
30
030
630
630
4
4
2
2
3
3
=
−=
∂
∂
−
∂
∂
=
−
∂
∂
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
 
A outra derivada de terceira ordem que veremos é 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x
yxf
xy
),( 
 
pode ter notação simplificada por 
 
2
3
xy
f
∂∂
∂ . 
 
Para determiná-la, basta derivada a função 
2
2
x
f
∂
∂ em relação a y: 
 
( )
( ) ( )
3
4
4
2
2
2
3
2430
630
630
yx
y
y
xy
y
yxy
y
x
f
yxy
f
−=
∂
∂
−
∂
∂
=
−
∂
∂
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
 
 
 No próximo capítulo, estudaremos as integrais para funções a mais de uma 
variável. 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 3 – INTEGRAIS MÚLTIPLAS 
 A integração, vista como um processo inverso ao da derivação, já foi vista 
no Cálculo Diferencial e Integral de funções a uma variável. As regras e métodos 
de integração que você conhece continuarão a ser utilizados neste capítulo, mas 
em integrais de funções a duas ou mais variáveis. 
 O objetivo deste capítulo é estender a noção de integral definida para 
funções de duas ou mais variáveis de forma intuitiva até chegar às integrais 
múltiplas. Não nos preocuparemos com demonstrações (algumas já realizadas 
para as funções de uma variável), mas vamos procurar compreender cada método 
a partir do conhecimento construído no estudo do Cálculo Diferencial e Integral I. 
 
3.1 Integrais duplas e áreas 
 No capítulo anterior, estudamos as derivadas parciais de funções a duas ou 
mais variáveis. Você certamente se lembra que para calcular uma derivada parcial 
em relação a determinada variável, é necessário aplicar as regras de derivação (as 
mesmas utilizadas para funções a uma variável) considerando as demais variáveis 
como constantes. 
 No cálculo de integrais de funções a duas ou mais variáveis, procederemos 
de forma análoga: integramos uma função em relação a determinada variável, 
fixando as demais. Veja um exemplo que mostra um dos tipos de cálculos com os 
quais iremos trabalhar neste capítulo. 
 
Exemplo 3.1 
 Considere a função 
 
( ) 523, yxyxf = . 
 
 A sua integral em relação a x é calculada da seguinte forma: 
 
( ) ( )
)(
)(3
3
3
)(
3
3
3
3,
35
1
5
3
5
1
3
5
25
52
yCxy
yCyxy
yCxy
dxxy
dxyxdxyxf
+=
+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
=
=
∫
∫∫
 
 
 Veja que, como y foi fixado (considerado constante, momentaneamente), 
então foi possível “extraí-lo” da integral, juntamente com a constante “3”, pelo 
fato deles aparecerem, na função, multiplicando a parte variável. Aí foi aplicada a 
seguinte regra de integração: 
 
∫∫ = dxxfkdxxfk )()( , k constante, 
 
tomando 53yk = . 
 Outra observação a respeito da resolução dessa integral refere-se às 
constantes de integração C1 e C. Como a expressão )(3 1
5 yCy é constante, então 
foi realizada a substituição: 
 
)(3)( 1
5 yCyyC = 
 
Box explicativo 
 Na resolução da integral do Exemplo 3.1, as constantes de integração 
aparecem como função de uma variável. Considere, por exemplo, a constante 
C(y). Ela surgiu na resolução de uma integral em que y foi fixada. Mas, para os 
diferentes valores possíveis de y, podemos ter constantes de integração diferentes. 
Como há uma possível dependência do valor dessa constante em relação ao valor 
assumido por y, indica-se escrevê-la como uma função de y. 
 
 
 Com relação à variável y, a integral será dada por: 
 
( ) ( )
)(
2
)(3
6
3
)(
6
3
3
3,
62
1
2
6
2
1
6
2
52
52
yKyx
yKxyx
yKyx
dyyx
dyyxdyyxf
+=
+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
=
=
∫
∫∫
 
 
 Integrais como as obtidas no Exemplo 3.1 poderiam ser chamadas de 
integrais parciais da função f, mas esta terminologia não costuma ser utilizada 
quando nos referimos a integrais. O usual é chamá-las, respectivamente, de 
integral em relação a x e integral em relação a y. 
 
 No estudo da