Respostas_do_Capitulo_06-Cálculo numérico - Neide Bertoldi

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Respostas_do_Capitulo_06.pdf
Cap´ıtulo 6
6.1) P (λ) = (−1)3(λ3 − 7λ2 + 16λ− 12), λ1 = λ2 = 2, λ3 = 3.
6.2) P (λ) = (−1)3(λ3 − 12λ− 16), λ1 = λ2 = −2, λ3 = 4.
6.3) a) P (λ) = (−1)3(λ3 − 6λ2 − 27λ).
b) λ1 = 0, λ2 = 3, λ3 = 9. Para λ1 = 0 ⇒ u = (−57, 0, 57)t, para λ2 = 3 ⇒
u = (−39, 3, −75)t e para λ3 = 9⇒ u = (−3, −9, −3)t.
c) Uma matriz possui inversa se e somente λ 6= 0. Portanto, A na˜o possui
inversa.
6.4) λ = 3 de multiplicidade 2 e u = (5, 0)t.
6.5) λ1 = 9 e u = (1/3, 1/3, 1)t. Que o maior autovalor em mo´dulo e seu corres-
pondente autovetor foram obtidos.
6.6) λ1 ' 3.414 e u1 ' (0.9994, −1.414, 1)t.
6.7) λ3 ' −2.9997 .
6.8) a) λ3 ' 1.2992 e u3 ' (0.4121, 1, −0.1129)t.
b) λ2 ' 3.4691 e u2 ' (1, 0.3196, −0.2121)t.
6.9) Para a matriz A:
a) Apo´s 8 iterac¸o˜es,
b) Apo´s 7 iterac¸o˜es,
c) Apo´s 8 iterac¸o˜es, encontramos que os autovalores sa˜o: λ1 = 18, λ2 = 3 e
λ3 = 6.
Para λ1 = 18 ⇒ u1 = (1, −1, −1/2)t, para λ2 = 3 ⇒ u2 = (1, 1/2, 1)t
e para λ3 = 6⇒ u3 = (1/2, 1, −1)t.
Para a matriz B:
a) Apo´s 3 iterac¸o˜es.
b) Apo´s 2 iterac¸o˜es.
c) Apo´s 2 iterac¸o˜es, encontramos que os autovalores de B sa˜o: λ1 = −3,
λ2 = λ3 = 6.
Para λ1 = −3⇒ u1 = (36, −36, 18)t e para λ = 6⇒ u = (1, 3/2, 1)t .
6.10) U tAU =
 5c2 + 2s2 − 2sc −0.1s c2 − s2 + 3sc−3 0.1c
5s2 + 2c2 + 2sc
 .
Os autovalores de A sa˜o: λ1 ' 5.3029, λ2 ' 1.6973 e λ3 = −3.
Seus correspondentes autovetores sa˜o: u1 ' (0.9572, 0, 0.2899)t,
u2 ' (−0.2899, 0, 0.9573)t e u3 = (0, 1, 0)t.
O ma´ximo erro para os autovalores sa˜o, respectivamente, 0.0289, 0.0956 e
0.1247 .
6.11) Os autovalores da matriz A sa˜o: λ1 ' 6.2491, λ2 ' 2.8536 e λ3 ' 0.8972.
Os autovalores da matriz B sa˜o: λ1 ' 10.0833, λ2 ' 4.6618 e λ3 ' 3.2549.
6.12) Sim. Os autovalores sa˜o: λ1 = 6, λ2 = 1 e λ3 = 0.
6.13) Os autovalores da matriz A sa˜o: λ1 = −1.2138, λ2 = 3.9997 e λ3 ' 8.2154.
Na˜o e´ poss´ıvel encontrar os autovalores da matriz B pelo me´todo QR, pois
existem autovalores complexos e a te´cnica descrita neste livro so´ pode ser
aplicada se os autovalores sa˜o reais.
6.14) Na˜o, desde que: Q1 =
1
3
 1 2 22 −2 1
2 1 −2
 e R1 =
 3 1 10 1 1
0 0 3
 .
6.15) Para a matriz A, P (λ) = (−1)2(λ2 + 5λ+ 1).
Para a matriz B, P (λ) = (−1)3(λ3 − 3λ2 − 3λ+ 5).
6.16) a) P (λ) = (−1)3(λ3 − 4λ2 + λ+ 6).
b) tr(A) = 14.
c) λ1 = −1, λ2 = 12 e λ3 =
1
3
.
d) Na˜o, pois na˜o existe autovalor igual a zero.
6.17) λ1 − q, λ2 − q, . . . λn − q.
6.21) b) Usando o me´todo de Newton, obtemos: λ¯ ' −0.6691.
c) u ' (8.7964, 2, −7.3392)t.
d) A−1 = − 1
7
 5 2 −62 −2 −1
−6 −1 3
.
6.22) Para a matriz A, λ1 = 6 e u1 = (1, 1, 1)t.
Para a matriz B, λ1 ' 3.4146 e u1 ' (0.7073, 1, 0.7073)t.
6.23) a) λ1 = 8 e u1 = (1/4, 1/4, 1)t.
b) P (λ) = (−1)3(λ3 − 10λ2 + 16λ).
c) λ2 = 2, λ3 = 0.
d) Tomando e = (1, 0, 0)t ⇒ u = (−2, 10, 4)t.
6.24) λ1 ' 8.3.
6.25) Para a matriz A:
a) P (λ) = λ2 − 6λ+ 8 e as ra´ızes sa˜o: λ1 = 4 e λ2 = 2,
b) P (λ) = (−1)2(λ2 − 6λ+ 8),
c) λ1 = 4 e λ2 = 2; para λ1 = 4 ⇒ u1 = (−1, −1)t e para λ2 = 2 ⇒
u2 = (−3, −1)t,
d) λ1 = 4.
e) λ1 = 4.0238 e λ2 = 1.9792 com ² < 10−1.
f) λ1 = 3.9999 e λ2 = 2 com ² < 10−3.
Para a matriz B:
a) P (λ) = −λ3 + 12λ+ 16 e as ra´ızes sa˜o: λ1 = 4 e λ2 = λ3 = −2,
b) P (λ) = (−1)3(λ3 − 12λ− 16),
c) λ1 = 4 e λ2 = λ3 = −2; para λ1 = 4 ⇒ u1 = (18, 18, 36)t e para
λ2 = λ3 = −2 na˜o e´ poss´ıvel determinar os autovetores pelo me´todo de
Leverrier-Faddeev.
d) λ1 = 3.9954, com ² < 10−2.
e) λ1 = 3.9842 e λ2 = −1.9736 e λ3 = −1.9948 com ² < 10−1.
f) λ1 = 3.9973 e λ2 = −1.9945 e λ3 = −1.9983 com ² < 10−2.
6.26) Usando o me´todo de Leverrier-Faddeev, obtemos:
λ1 = 12, λ2 ' 7.5 + 0.8660i e λ3 ' 7.5− 0.8660i; u1 = (7, 7, 7)t,
u2 ' (157 + 15.588i, 2.5 + 0.8660i, −2 + 1.372i)t e
u3 ' (157− 15.588i, 2.5− 0.8660i, −2− 1.372i)t, respectivamente.
6.27) a) Apo´s 7 iterac¸o˜es,
b) Apo´s 6 iterac¸o˜es,
c) Apo´s 6 iterac¸o˜es, encontramos que os autovalores sa˜o: λ1 = 3.4121, λ2 = 2
e λ3 = 0.5878.
d) O ma´ximo erro para os autovalores sa˜o, respectivamente: 0.0032, 0.0017 e
0.0056.
6.28) a) Que as matrizes convirjam para uma matriz triangular superior.
b) Os autovalores de A sa˜o: λ1 ' 0.8295, λ2 ' 2.3268 e λ3 ' 9.4737.
Na˜o e´ poss´ıvel encontrar os autovalores da matriz B pelo me´todo LR, pois
existem autovalores complexos e a te´cnica descrita neste livro so´ pode ser
aplicada se os autovalores sa˜o reais.
6.29) Ver resoluc¸a˜o dos exerc´ıcios 6.13) e 6.28).