concreto armado 02

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Unidade 02
Aula 01
Seções Regular e “T” ou “L” Submetidas a
Flexão Simples
Você já parou para pensar como uma viga em concreto armado funciona, qual a função das
armaduras e como elas são calculadas? Como as vigas são levadas à ruptura?
O dimensionamento estrutural em concreto armado de elementos submetidos à flexão simples, em
especial as vigas, obedece aos domínios de deformação, os quais indicam os limites aplicados ao
concreto e ao aço.
Nessa configuração de esforço, flexão simples, são avaliados o momento fletor e a força cortante,
cujo dimensionamento é realizado de forma isolada para esses dois esforços, função da utilização
de modelos de cálculo diferentes. Nessa primeira consideração, o momento fletor, baseado no
modelo de barra fletida, é a base para essa verificação, permitindo-se a aplicação do equilíbrio a
partir de um binário de forças formado pela resultante de esforços no concreto e no aço.  
Você já pensou como as seções diferentes da retangular, especialmente a seção em T, se comporta
em relação às deformações? Como é feito o seu dimensionamento? Em quais situações usuais
temos um elemento de concreto armado na seção em T?
Em algumas situações é possível considerar a laje contribuindo no dimensionamento da viga,
aumentando-se a zona comprimida e, consequentemente, a capacidade de carga do elemento.
Nesses casos, diz-se que se tem uma viga chamada de T. Situações onde facilmente são encontradas
essas vigas são as lajes nervuradas, sejam elas moldadas in loco ou pré-moldadas, como o caso das
vigotas treliçadas. Cabe destacar que uma variação da seção em T é a seção em L, que representa a
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anterior sem uma das abas, acontecendo em alguns arranjos em que não há continuidade em um
dos lados. Para essas situações devem ser respeitados todos os limites impostos para a flexão
simples para seção retangular, conforme NBR 6118/2014.
Hipóteses simplificadoras
Para o dimensionamento à flexão, são consideradas as seguintes hipóteses, segundo Clímaco
(2016):
as seções transversais permanecem planas após as deformações, até a ruptura da peça;
a deformação das barras de aço, em tração ou compressão, é a mesma do concreto do seu
entorno;
pode-se desprezar, no ELU, as tensões de tração no concreto;
a distribuição de tensões no concreto se dá por meio de um diagrama parábola-retângulo, o
qual mostra a distribuição de tensões na iminência da ruptura e, de forma simplificada, pode ser
considerada por um diagrama retangular, com altura y = 0,8x, sendo x a profundidade da linha
neutra;
a tensão nas armaduras de aço deve ser obtida a partir do diagrama de cálculo;
o alongamento máximo da armadura de tração é de 10%;
o encurtamento máximo do concreto na compressão simples é de e e na flexão simples é de e
.
A partir das considerações apresentadas, pode-se aplicar as forças representativas das parcelas
comprimida e tracionada para promover o equilíbrio da seção.
Modelo adotado
Para a consideração da flexão simples, parte-se do modelo de barra fletida, onde as tensões
aplicadas ao elemento submetido a momento fletor são máximas nas fibras superior e inferior,
sendo esta de tração e aquela de compressão. Tal situação é chamada comumente de flexão
positiva. Detalhe do modelo pode ser visualizado na figura a seguir.
c2
cu
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Na iminência da ruptura, a distribuição de tensões no concreto se dá por meio de um diagrama
parábola-retângulo, como representado na figura a seguir.
Percebe-se que, a partir da simplificação adotada, é possível quantificar as forças atuantes nas
parcelas comprimida e tracionada.
Para a parcela comprimida, assumindo a hipótese de tensão uniforme a partir da consideração da
distribuição de tensões retangulares, pode-se determinar a força pelo produto da tensão aplicada
pela área de distribuição, conforme figura.
Já para o aço, a premissa é de que a tensão seja distribuída para as barras, mas com resultante
aplicada no centro de gravidade, utilizando novamente para a determinação da força o produto da
área de aço pela tensão que solicita às barras.
A partir do equilíbrio dessas forças, é possível realizar o dimensionamento de uma seção
transversal de um elemento de concreto armado.
Figura 1 - Representação do
modelo de barra fletida
Fonte: Elaborada pelo autor,
baseado em CLÍMACO, 2016.
Figura 2 - Distribuição real
de tensões na seção de
concreto
Fonte: Elaborada pelo
autor, baseado em
CLÍMACO, 2016.
Figura 3 - Distribuição
simplificada de tensões na
seção de concreto
Fonte: Elaborada pelo autor,
baseado em PORTO;
FERNANDES, 2015.
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Dimensionamento de uma seção
O dimensionamento de um elemento submetido à flexão simples baseia-se na inequação M ≤ M
, onde este representa o momento resistente, calculado em função das forças resultantes nas
parcelas comprimida e tracionada, e aquele denominado de momento solicitante de cálculo,
decorrentes das cargas aplicadas e suas combinações e das condições de contorno do elemento.
Para a determinação do momento resistente, deve-se aplicar a equação a seguir.
em que:
·         M = Momento fletor solicitante de cálculo;
·         M = Momento fletor resistente de cálculo;
·         R = Resultante de força de compressão no concreto;
·         R = Resultante de tração no aço;
·         z = Braço de alavanca (ver figura anterior).
Como primeira etapa do dimensionamento ao momento fletor, pode-se utilizar o coeficiente
adimensional kx, relativo à profundidade de linha neutra, que pode ser expresso pela equação:
Em que:
 é a deformação no concreto na fibra mais comprimida;
 é a deformação no aço na linha do centro de gravidade das armaduras.
Sd
Rd
MRd = Rcc. z = Rst. z
Sd
Rd
CC
ST
kx =
x
d
=
ϵcd
ϵcd + ϵsd
ϵcd
ϵsd
ATENÇÃO
Na inequação para verificação de uma seção ao momento fletor, o valor do momento
resistente é decorrente de um binário, onde as resultantes de compressão no concreto e de
tração no aço apresentam a mesma intensidade, linhas de ação paralelas e sentidos opostos,
estas não exercendo alteração no equilíbrio de forças e podendo ser as duas resultantes
substituídas pela ação de um momento.
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Esse coeficiente apresenta valores no intervalo de  0 a  1, que, para a avaliação da flexão simples,
satisfazem as relações apresentadas a seguir para os limites dos domínios de deformação:
Contudo, a NBR 6118/2014 aplica, com vistas a garantir para as vigas boas condições de dutilidade,
respeitando os limites da posição da linha neutra (x/d), sendo adotado caso necessário armadura de
compressão, os limites a seguir:
Ainda segundo as considerações da NBR 6118/2014, a introdução de armadura de compressão visa
a garantir o atendimento de valores menores para a posição da linha neutra (x), se estiverem nos
domínios 2 ou 3, não conduzindo a elementos com ruptura frágil. A ruptura frágil está associada a
posição da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão.
Lembrando que, para a determinação do coeficiente k , devem ser aplicadas as expressões para o
cálculo das deformações   , apresentadas anteriormente, para os concretos dos grupos I e
II.
Do equilíbrio de esforços na seção transversal, em relação ao ponto que passa no CG das
armaduras, tem-se a equação:
Em que, de acordo com a NBR 6118/2014:
    •  O parâmetro pode ser tomado igual a:
          ◦   = 0,8- para f ou
          ◦   = 0,8- para .
    • A tensão constante atuante até a profundidade y pode ser tomadaé representado pelo
índice de esbeltez .
Assim, temos para uma laje bidirecional:
O cálculo dos momentos máximos em lajes armadas em duas direções é mais complexo, sendo
utilizadas tabelas, de acordo com o enquadramento de caso da laje e suas características
geométricas, dadas por (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2012):
M+ = 1, 4 ×
p lx2
14, 22
    e    M− = 1, 4 ×
p lx2
8
M+ = 1, 4 ×
p lx2
8
    e    M− = 0
M+ = 1, 4 ×
p × lx2
24
    e    M− = 1, 4 ×
p × lx2
12
(λ)
λ =
lx
ly
≤ 2
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1. Momentos máximos positivos, por unidade de comprimento (1m):
2. Momentos máximos negativos, por unidade de comprimento (1m):
Sendo:
 : momentos máximos positivos nas direções x e y; 
 : momentos máximos negativos nas direções x e y;
 : coeficiente fornecidos pela tabela a seguir, conforme o caso de vinculação com
o apoio e esbeltez da laje;
: carregamento uniformemente distribuído sobre a laje; e 
: menor lado da laje.
Caso 1 Caso 2 Caso 3
1,00 4,41 4,41 3,07 3,66 8,40 3,94 8,52 2,91
1,05 4,80 4,45 3,42 3,78 8,79 4,19 8,91 2,84
1,10 5,18 4,49 3,77 3,90 9,18 4,43 9,30 2,76
1,15 5,56 4,49 4,14 3,97 9,53 4,64 9,63 2,68
1,20 5,90 4,48 4,51 4,05 9,88 4,83 9,95 2,59
1,25 6,27 4,45 4,88 4,10 10,16 5,03 10,22 2,51
1,30 6,60 4,42 5,25 4,15 10,41 5,20 10,48 2,42
 
1,35 6,93 4,37 5,60 4,18 10,64 5,36 10,71 2,34
1,40 7,25 4,33 5,95 4,21 10,86 5,51 10,92 2,25
1,45 7,55 4,30 6,27 4,19 11,05 5,64 11,10 2,19
1,50 7,86 4,25 6,60 4,18 11,23 5,77 11,27 2,12
mx = ux ×
p × lx2
100
my = uy ×
p × lx2
100
xx = u′
x ×
p × lx2
100
yy = u′
y ×
p × lx2
100
mx   e   my
xx,   e  xy
ux,uy,u
′
x,   e  u′
y
p
lx
λ
ux uy ux uy u
′
y ux u
′
x uy
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1,55 8,12 4,20 6,90 4,17 11,39 5,87 11,42 2,04
1,60 8,34 3,14 7,21 4,14 11,55 5,98 11,55 1,95
1,65 8,62 4,07 7,42 4,12 11,67 6,07 11,67 1,87
1,70 8,86 4,00 7,62 4,09 11,79 6,16 11,80 1,79
1,75 9,06 3,96 7,66 4,05 11,88 6,24 11,92 1,74
1,80 9,27 3,91 7,69 3,99 11,96 6,31 12,04 1,68
1,85 9,45 3,83 8,22 3,97 12,03 6,38 12,14 1,64
1,90 9,63 3,75 8,74 3,94 12,14 6,43 12,24 1,59
1,95 9,77 3,71 8,97 3,88 12,17 6,47 12,29 1,54
2,00 10,00 3,64 9,18 3,80 12,20 6,51 12,34 1,48
12,57 3,77 9,18 3,80 12,20 7,61 12,76 1,48
Quadro 1 - Coeficientes para o cálculo dos momentos máximos
Fonte: Adaptado de CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2012.
A tabela de apresenta somente os casos 1, 2 e 3.
Cálculo das flechas e prescrições normativas
referentes às lajes
Antes de calcular as flechas, temos que analisar as situações em que podemos relacionar as lajes e
seus apoios, assim podemos considerar que as lajes possuem a possibilidade de se enquadrar em 9
casos (BARES, 1972), de acordo com relação das placas com suas condições de vínculo com os
apoios, conforme figura a seguir.
∞
ux,uy,u
′
x,   e  u′
y
SAIBA MAIS
Consulte a tabela completa na obra Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto
armado: Segundo a NBR 6118/2003, de Carvalho e Figueiredo Filho.
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Figura 5 - Casos de vinculação das placas
Fonte: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2012.
Por isso, é importante que cada laje seja analisada individualmente, ou seja, cada pavimento deve
ser separado em planos menores, de acordo com suas vinculações, sendo possível três situações:
borda de extrema, apoio simples ou engaste.
De acordo com a figura anterior, as bordas lisas representam bordas em apoio simples, enquanto as
tracejadas, para efeito de cálculo, são consideradas caso a caso, em que as lajes menores e menos
rígidas estão engastadas nas maiores e rígidas.
Sendo o deslocamento máximo imediato da laje dado por:
Em que:
E - Modulo de deformabilidade do concreto;
p - carregamento uniformemente distribuído sobre a placa;
h - altura ou espessura da laje;
 - menor direção da laje;
 – coeficiente, de acordo com a geometria da laje.
Nesse momento, devemos determinar se a geometria da laje, armada em uma ou duas direções,
para determinar o valor de . Assim, calculamos a esbeltez e determinamos , de acordo
com o valor e com o caso de vinculação com o apoio.
Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso 9
1,00 4,67 3,20 3,20 2,42 2,21 2,21 1,81 1,81 1,46
1,05 5,17 3,61 3,42 2,67 2,55 2,31 2,04 1,92 1,60
1,10 5,64 4,04 3,63 2,91 2,92 2,41 2,27 2,04 1,74
(fo)
fo = p×lx4
E×h3 × α
100
lx
α
α λ = lx
ly α
(λ)
λ
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1,15 6,09 4,47 3,82 3,12 3,29 2,48 2,49 2,14 1,87
1,20 6,52 4,91 4,02 3,34 3,67 2,56 2,72 2,24 1,98
1,25 6,95 5,34 4,18 3,55 4,07 2,63 2,95 2,33 2,10
1,30 7,36 5,77 4,35 3,73 4,48 2,69 3,16 2,42 2,20
1,35 7,76 6,21 4,50 3,92 4,92 2,72 3,36 2,48 2,30
1,40 8,14 6,62 4,65 4,08 5,31 2,75 3,56 2,56 2,37
1,45 8,51 7,02 4,78 4,23 5,73 2,80 3,73 2,62 2,45
1,50 8,87 7,41 4,92 4,38 6,14 2,84 3,91 2,68 2,51
1,55 9,22 7,81 5,00 4,17 6,54 2,86 4,07 2,53 2,57
1,60 9,54 8,17 5,09 4,14 6,93 2,87 4,22 2,87 2,63
1,65 9,86 8,52 5,13 4,12 7,33 2,87 4,37 2,78 2,68
1,70 10,15 8,87 5,17 4,09 7,70 2,88 4,51 2,79 2,72
1,75 10,43 9,19 5,26 4,05 8,06 2,88 4,63 2,81 2,76
1,80 10,71 9,52 5,36 3,99 8,43 2,89 4,75 2,83 2,80
1,85 10,96 9,82 5,43 3,97 8,77 2,89 4,87 2,85 2,83
1,90 11,21 10,11 5,50 3,94 9,08 2,90 4,98 2,87 2,85
1,95 11,44 10,39 5,58 3,88 9,41 2,90 5,08 2,89 2,88
2,00 11,68 10,68 5,66 3,80 9,72 2,91 5,19 2,91 2,91
15,35 15,35 6,38 3,80 15,35 3,07 5,38 3,07 3,07
Quadro 2 - Coeficientes para o cálculo de flechas elásticas em lajes retangulares submetidas a carregamento uniformemente distribuído
Fonte: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2012.
Para o cálculo do deslocamento transversal da laje  , devemos, primeiramente, saber sua
flecha imediata . Em seguida, devemos calcular a flecha considerando a fluência do concreto
, sendo a flecha total a soma do deslocamento imediato com o exercido pela fluência. Assim:
Após o cálculo da flecha total, essa deve ser comparada com a admissível pela NBR 6118, devem ser
satisfeitas a seguintes condições:
1. Visuais: 
2. Vibrações:  
Para qual devemos corrigir as flechas imediatas e de fluência , conforme: 
∞
(f∞)
fo
ffluência
f∞ = fo + ffluência
f∞Para calcular o peso permanente, deve-se considerar todas as cargas de caráter imóvel que
serão realizadas, como piso, contrapiso, alvenaria e peso próprio.
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Quadro 3 - Coeficiente de carga acidental
Fonte: Adaptada da ABNT, 2014.
Local Observação Carga
Escritório Salas de uso geral e banheiro 2
Forros Sem acesso a pessoas 0,5
Galeria de arte Determinada em cada caso, porém com mínimo de 3
Galerias de lojas Determinada em cada caso, porém com mínimo de 3
Garagens Veículos de passageiros com carga máxima de 25 kN/ veículo 3
Ginásios de esporte - 5
Hospitais
Dormitórios, enfermarias, salas de recuperação, sala de cirurgia, sala de raios X e banheiro
Corredor
2
3
Quadro 4 - Valores mínimos das cargas acidentais para edificações (kN/m²)
Fonte: Adaptada de ABNT, 1980.
A análise de fissuras é importante para evitar lajes com abaulamento e vibrações, que causam
desconforto ao usuário utilizar a estrutura. Assim, deve-se sempre respeitar os limites indicados
nas normas.
NA-PRATICA
Na execução de uma laje de 4x3m, com flecha imediata final de 4mm e uma flecha de fluência
de 5mm, temos a flecha total de 9mm. Utilizando os critérios da norma, vemos que a laje
possui uma flecha admissível em termos visuais, mas não em vibrações.
1. Visuais: 
2. Vibrações:  
f∞fadm ≤ lx
250
fadm ≤ lx
350
mx = ux ×
p × lx2
100
my = uy ×
p × lx2
100
xx = u′
x ×
p × lx2
100
xy = u′
y ×
p × lx2
100
mx  e  my
xx  e  xy
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: coeficiente (tabela a seguir), conforme o caso de vinculação com o apoio e
esbeltez da laje;
: carregamento uniformemente distribuído sobre a laje;
: menor lado da laje.
Caso 1 Caso 2 Caso 3
1,00 4,41 1,70 1,70 1,80 1,90 1,90 2,00 2,00
1,05 4,80 1,67 1,69 1,78 1,87 1,89 1,97 1,99
1,10 5,18 1,64 1,67 1,76 1,83 1,88 1,94 1,97
1,15 5,56 1,61 1,66 1,74 1,80 1,87 1,91 1,96
1,20 5,90 1,58 1,64 1,72 1,76 1,86 1,88 1,94
1,25 6,27 1,55 1,63 1,70 1,73 1,85 1,85 1,93
1,30 6,60 1,52 1,61 1,68 1,66 1,84 1,82 1,91
 
1,35 6,93 4,37 5,60 4,18 10,64 5,36 10,71 2,34
1,40 7,25 4,33 5,95 4,21 10,86 5,51 10,92 2,25
1,45 7,55 4,30 6,27 4,19 11,05 5,64 11,10 2,19
1,50 7,86 4,25 6,60 4,18 11,23 5,77 11,27 2,12
1,55 8,12 4,20 6,90 4,17 11,39 5,87 11,42 2,04
1,60 8,34 3,14 7,21 4,14 11,55 5,98 11,55 1,95
1,65 8,62 4,07 7,42 4,12 11,67 6,07 11,67 1,87
1,70 8,86 4,00 7,62 4,09 11,79 6,16 11,80 1,79
1,75 9,06 3,96 7,66 4,05 11,88 6,24 11,92 1,74
1,80 9,27 3,91 7,69 3,99 11,96 6,31 12,04 1,68
1,85 9,45 3,83 8,22 3,97 12,03 6,38 12,14 1,64
1,90 9,63 3,75 8,74 3,94 12,14 6,43 12,24 1,59
1,95 9,77 3,71 8,97 3,88 12,17 6,47 12,29 1,54
2,00 10,00 3,64 9,18 3,80 12,20 6,51 12,34 1,48
12,57 3,77 9,18 3,80 12,20 7,61 12,76 1,48
Quadro 7- Coeficientes para o cálculo dos momentos máximos
Fonte: CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO, 2012, p. 304.
f. Dimensionamento das armaduras longitudinais
ux,  uy,  u′
x  e  my
p
lx
λ
ux uy ux uy u
′
x ux u
′
x uy
∞
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A armação longitudinal das lajes é calculada exatamente igual as vigas, utilizando uma faixa unitária
de 1m, ou seja, são calculadas as armaduras para cada 100 cm e distribuídas ao longo da placa.
g. Calcular as reações dos apoios
A reação das lajes é importante para o entendimento da distribuição das cargas atuantes, que, de
acordo com a NBR 6118, item14.7.6.1 (ABNT, 2014, p. 96), para lajes maciças com cargas uniformes
são dadas por:
utilizando a análise plástica, item 14.7.4 da NR 6118, as reações em cada apoio são as
correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados através das
charneiras plásticas;
quando a análise plástica não for realizada, as charneiras podem ser simplificadas por retas
inclinadas, a partir dos vértices, conforme figura a seguir, com os seguintes ângulos: 45° entre
dois apoios do mesmo tipo; 60° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for
considerado simplesmente apoiado; 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.
Sendo que a análise plástica define que a linha neutra seja limitada em (ABNT, 2014, p. 96):
Graficamente, temos a divisão das regiões de distribuição da reação nos apoios das lajes da
seguinte forma:
Figura 6 - Regiões para o cálculo das reações nas vigas
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Considerando a laje da figura a seguir, as reações são dadas por:
x
d
≤ 0, 25,   se  fck ≤ 50MPa
x
d
≤ 0, 15,   se  fck ≤ 50MPa
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Figura 7 - Reações de apoio
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Sendo tabelados de acordo com o caso de enquadramento da laje, conforme
tabela a seguir.
Caso 1 Caso 2 Caso 3
1,00 2,50 2,50 1,83 2,32 4,02 2,32 4,02 1,83
1,05 2,62 2,50 1,92 2,37 4,10 2,38 4,13 1,83
1,10 2,73 2,50 2,01 2,41 4,17 2,44 4,23 1,83
1,15 2,83 2,50 2,10 2,44 4,22 2,50 4,32 1,83
1,20 2,92 2,50 2,20 2,46 4,27 2,54 4,41 1,83
1,25 3,00 2,50 2,29 2,48 4,30 2,59 4,48 1,83
1,30 3,08 2,50 2,38 2,49 4,32 2,63 4,55 1,83
Quadro 8 - Coeficientes para o cálculo das reações nas vigas de apoio das lajes
Fonte: CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO, 2012, p. 314.
Caso 1 Caso 2 Caso 3
1,35 3,15 2,50 2,47 2,50 4,33 2,67 4,62 1,83
1,40 3,21 2,50 2,56 2,50 4,33 2,70 4,68 1,83
1,45 3,28 2,50 2,64 2,50 4,33 2,74 4,74 1,83
qx = kx × p ×
lx
10
qy = ky × p ×
lx
10
q ′
x = k′
x × p ×
lx
10
q ′
y = k′
y × p ×
lx
10
kx,  ky,  k′
x  e  k′
y
λ
kx ky kx ky k
′
y kx k
′
x ky
λ
kx ky kx ky k
′
y kx k
′
x ky
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1,50 3,33 2,50 2,72 2,50 4,33 2,77 4,70 1,83
1,55 3,39 2,50 2,80 2,50 4,33 2,80 4,84 1,83
1,60 3,44 2,50 2,87 2,50 4,33 2,82 4,89 1,83
1,65 3,48 2,50 2,93 2,50 4,33 2,85 4,93 1,83
1,70 3,53 2,50 2,99 2,50 4,33 2,87 4,97 1,83
1,75 3,57 2,50 3,05 2,50 4,33 2,89 5,01 1,83
1,80 3,61 2,50 3,10 2,50 4,33 2,92 5,05 1,83
1,85 3,65 2,50 3,15 2,50 4,33 2,94 5,09 1,83
1,90 3,68 2,50 3,20 2,50 4,33 2,96 5,12 1,83
1,95 93,72 2,50 3,25 2,50 4,33 2,97 5,15 1,83
2,00 3,75 2,50 3,29 2,50 4,33 2,99 5,18 1,83
5,00 2,50 5,00 2,50 4,33 3,66 6,25 1,83
Quadro 9 - Coeficientes cálculo das reações nas vigas de apoio das lajes
Fonte: CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO, 2012, p. 314
Caso 4 Caso 5 Caso 6
1,00 1,83 3,17 1,83 3,17 1,44 3,56 3,56 1,44
1,05 1,92 3,32 1,83 3,17 1,44 3,66 3,63 1,44
1,10 2,00 3,46 1,83 3,17 1,59 3,75 3,69 1,44
1,15 2,00 3,58 1,83 3,17 1,66 3,84 3,74 1,44
1,20 2,14 3,70 1,83 3,17 1,73 3,92 3,80 1,44
1,25 2,20 3,80 1,83 3,17 1,80 3,99 3,85 1,44
1,30 2,25 3,90 1,83 3,17 1,88 4,06 3,89 1,44
1,35 2,30 3,99 1,83 3,17 1,95 4,12 3,93 1,44
1,40 2,35 4,08 1,83 3,17 2,02 4,17 3,97 1,44
1,45 2,40 4,15 1,83 3,17 2,09 4,22 4,00 1,44
1,50 2,44 4,23 1,83 3,17 2,17 4,25 4,04 1,44
1,55 2,48 4,29 1,83 3,17 2,24 4,28 4,07 1,44
1,60 2,52 4,36 1,83 3,17 2,31 4,30 4,10 1,44
1,65 2,55 4,42 1,83 3,17 2,38 4,32 4,13 1,44
1,70 2,58 4,48 1,83 3,17 2,45 4,33 4,15 1,44
1,75 2,61 4,53 1,83 3,17 2,53 4,33 4,17 1,44
∞
λ
kx k
′
x ky k
′
y kx k
′
y k
′
x ky
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1,80 2,64 4,58 1,83 3,17 2,59 4,33 4,20 1,44
1,85 2,67 4,63 1,83 3,17 2,66 4,33 4,22 1,44
Quadro 10 - Coeficientes para o cálculo das reações nas vigas de apoio das lajes
Fonte: CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO, 2012, p. 314.
Para uma laje de 4x4 m em carga total de , com a configuração da figura "Reações de
apoio", temos que
para uma laje no caso 4, com as seguintes cargas:
NA-PRATICA
2kN/m2
λ =
lx
ly
=
4
4
= 1
qx = kx × p ×
lx
10
= 1, 83 × 2
qy = ky × p ×
lx
10
= 1, 83 × 2
q ′
x = k′
x × p ×
lx
10
= 1, 83 × 2
q ′
y = k′
y × p ×
lx
10
= 1, 83 × 2
SAIBA MAIS
Os valores para o cálculo dos momentos e os demais valores dos
coeficientes, podem ser conferidos na obra Cálculo e detalhamento de
estruturas usuais de concreto armado: Segundo a NBR6118/2003, de Carvalho e Figueiredo
Filho.
ux,  uy,  u′
x  e  u′
y
kx,  ky,  k′
x  e  k′
y
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h. Verificar o cisalhamento
A NBR 6118 permite dispensar a armadura transversal em elementos lineares, desde que os
requisitos de ancoragem sejam satisfeitos, ou seja:
Caso a condição não seja satisfeita, deve-se utilizar os mesmos modelos de cálculo das vigas, sendo
que o valor da resistência dos estribos ( ) deve ser interpolado para   em lajes
com e   para .
i. detalhar as armaduras
Para o detalhamento das lajes, deve-se seguir as recomendações da NBR 6118:
Para a quantidade de barras necessárias:
: nº de barras;
: área de aço em cm²/m;
{A}_{S \phi}: área da barra de aço escolhida em .
Para o espaçamento entre as barras, temos:
s: espaçamento em metros;
: área de aço em cm²/m;
: área da barra de aço escolhida em . 
Sendo espaçamento máximo dado por:
Vsd≤ Vrd1
fywd fywd = 435MPa
h > 35cm fywd = 250MPa higual a:
           ◦   , no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a
partir desta pra a borda comprimida;
           ◦   , no caso contrário.
O parâmetro tem os valores segundo as condições abaixo:
   • Para concretos até C50: ;
    • Para concretos das classes C55 até C90: .
A partir dessa equação, pode-se determinar o coeficiente de momento fletor de cálculo (k ), dado
por esta outra equação:
⋅   Limite 1-2:  kx =  ; ⋅   Limite 2-3:  kx = 0, 259 ; ⋅   Limite 3-4:  kx = kxlim =
ϵcu
ϵcu + ϵyd
 ;
⋅   kx ≤ 0, 45  para concretos com  fck ≤ 50 MPa. ⋅   kx ≤ 0, 35  para concretos com  50 MPa
x
ϵcd  e  ϵcu
Msd = Rcc. z = (σcdbwy)(d −
y
2
) = (αc ⋅ fcd ⋅ bw ⋅
λx
2
)(d −
λx
2
)
λ
λ ck  ≤ 50 MPa
λ (fck − 50)/400 fck > 50 MPa
αc.fcd
0, 9 ⋅ αc.fcd
αc
αc = 0, 85
αc = 0, 85 ⋅ [1, 0 − (fck − 50)/200]
md
Msd = kmdbwd
2fcd   ou   kmd =
Msd
bwd2fcd
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Onde, para a sua determinação, basta se conhecer o momento solicitante, o qual apresente valor
mais crítico em relação às condições de contorno do elemento, assim como das dimensões do
elemento considerado e a resistência do concreto adotada.
Em que se pode estabelecer o coeficiente k (coeficiente de altura útil) como a relação z/d, como
dado na equação a seguir:
Na equação anterior, é possível estabelecer qual a área de aço necessária para garantir a segurança
estrutural no binário formado com a resultante de compressão do concreto.
Conhecida a profundidade da linha neutra, utilizando-se as relações já apresentadas, pode-se
identificar as deformações no concreto e no aço e o respectivo domínio de deformação.
Msd = Rst. z = (Asσsd)(
z
d
)d   ∴   As =
Msd
kzdσsd
z
kz =
z
d
= 1 − 0, 4kx
NA-PRATICA
Os coeficientes k e k estão diretamente relacionados, portanto basta que um deles seja
determinado para se conhecer o outro. Como exemplo, o limite 2-3 tem valor de k = 0,259,
tomando como base os concretos do grupo I e qualquer dos aços. Sendo assim, nessa
situação, k = 0,157. No limite 2-3, e = 0,35% e e = 1%, logo:
x md
x
md cd sd
ATENÇÃO
Sobre a determinação da altura útil, por ser um parâmetro importante e não se conhecê-la a
priori, é comum estimá-la a partir da altura total da seção transversal, subtraindo-se deste
último a bitola do estribo e a bitola da armadura longitudinal, bem como do cobrimento
nominal, decorrente da classe de agressividade de onde a estrutura será executada. Cabe
destacar que se trata de um processo de verificação, se com a estimativa inicial não se chegar
a um resultado satisfatório, determina-se novo d e aplica-se novamente as etapas da
verificação.
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Nas situações em que o valor de k > k , resultando no domínio 4, não se pode aplicar a hipótese
da armadura simples. Nessa condição, prescreve a NBR 6118/2014 a condição de
dimensionamento com armadura dupla.
Para Clímaco (2016), para a condição acima, o momento fletor de cálculo é dividido em duas
parcelas (ver figura):
     •  : momento máximo resistido pelo concreto à compressão e por parte da armadura
tracionada, ;
     • : excesso do momento fletor que deve ser resistido pelo binário da armadura de
compressão com armadura de tração adicional , dado por .
Para a armadura tracionada correspondente a M , tem-se:
Para a segunda parcela do momento, as armaduras tracionada e comprimida são dadas por
(CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2004):
x xlim
Md1
As1
Md2
A′
s As2 Md2 = Msd − Md1
Figura 4 - Situação de cálculo da armadura dupla
Fonte: Elaborada pelo autor, baseado em
CLÍMACO, 2016.
d1
As1 =
Md1
kz limdfvd
   ou   As1 =
Md1
0, 8dfyd
As2 =
Md2
(d − d2)fyd
A
′
s =
Md2
(d − d2)σsd
SAIBA MAIS
Para saber mais sobre a aplicação dessas equações apresentadas, a determinação dos
domínios a partir do equilíbrio da seção, assim como avaliar a seção com armadura simples ou
dupla, consultar Porto e Fernandes (2015), Clímaco (2015) e Carvalho e Figueiredo Filho
(2003).
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Com isso, é possível estabelecer a verificação de segurança prevista em norma para a ação do
momento fletor, devendo ser respeitados todos os limites de deformação e aplicação de domínios,
majoradas as ações e minoradas as solicitações, de maneira que, como já justificado, afaste-se a
possibilidade de ruína de um elemento projetado com a aplicação dessas premissas.
Largura colaborante
Nas estruturas de concreto armado, na maioria dos casos, as lajes e as vigas que as suportam
trabalham solidariamente. Quando isso acontece, tem-se um aumento significativo na zona de
compressão do concreto, que pode ser aproveitado para o cálculo da armadura (CLÍMACO, 2008).
Essa aplicação pode gerar uma grande economia de aço e concreto. Geralmente, só se faz uso
quando da aplicação de vigas com altura reduzida, em que as hipóteses de armadura simples e
dupla se tornam não aplicáveis.
Um esquema de seção em T é apresentado na figura a seguir. A priori, faz-se necessário conhecer a
denominação de mesa, parte horizontal da seção em T, e alma, que representa a parte vertical da
seção, sendo essa última comumente chamada de nervura.
Da figura, é necessário conhecer os termos:
b : largura da viga, ou largura da nervura;
b : largura colaborante, determinada mediante condições da NBR 6118/2014;
h: altura total da seção;
h : espessura da laje.
Daí, surge a denominação de largura colaborante como sendo parte da laje que pode ser
considerada no cálculo colaborando com a viga, a qual é definida como a soma da largura da nervura
com as distâncias das extremidades da mesa às faces respectivas das nervuras, dada na figura a
seguir.
Figura 1 - Esquema geral de uma seção em T.
Fonte: CLÍMACO, 2008, p. 210.
w
f
f
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Da figura, os termos b e b podem ser determinados segundo a equação:
onde:
b = distância entre as faces de duas nervuras sucessivas;
a = distância entre pontos de momento nulo, medida ao longo do eixo da viga.
sendo esse último termo, segundo o item 14.6.2.2 da NBR 6118/2014, igual a:
vigas simplesmente apoiada: a = l;
viga com momento em uma só extremidade: a = 0,75l;
tramo com momento nas duas extremidades: a = 0,60l;
tramo em balanço: a = 2l.
Segundo a NBR 6118/2014, “Alternativamente, o cômputo da distância a pode ser feito ou
verificado mediante exame dos diagramas de momentos fletores na estrutura”.
As seguintes situações podem acontecer:
●    : Seção T com duas vigas adjacentes;
●    :  Seção T com uma viga adjacente e bordo livre;
●    : Seção T isolada;
●    : Viga extrema (seção em L).
Observe-se que o último caso relacionado ( b = b + b ) representa a configuração da seção em L,
contendo apenas uma aba.
Figura 2 - Largura colaborante em vigas T.
Fonte: CLÍMACO, 2008, p. 210
1 3
b1 ≤   e  b3 ≤
⎧
⎨⎩
0, 1a
0, 5b2
⎧
⎨⎩
0, 1a
b4
2
bf = bw + b1esq + b1dir
bf = bw + b1 + b3
bf = bw + 2 + b3
bf = bw + b1
f w 1
ATENÇÃO
O parâmetro a depende das condições de contorno das vigas de seção em T. Observe que é
preciso considerar corretamente a vinculação dos apoios da viga, tendo como consequência a
presença de momentos nesses apoios. Uma situação muito usual de seção T é o caso das lajes
nervuradas pré-moldadas, a exemplo das lajes treliçadas. Nesse caso, esse parâmetro
depende de como vai se dar a ligação entre as vigotas da laje e a viga de apoio nas bordas.
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Dimensionamentoda seção em T
Para o dimensionamento da seção em T, segue-se os mesmos parâmetros utilizados para o cálculo
de uma seção retangular. Adicionalmente, é incorporada na formulação as parcelas das abas do T à
seção retangular.
Para essa verificação, três situações devem ser avaliadas em relação à linha neutra (LN):
LN na mesa;
LN na interface entre mesa e alma;
LN na alma.
Para essas situações, pode-se analisar a seção como retangular ou efetivamente em T, ajustando-se
à formulação aplicada para o dimensionamento de cada uma das situações.
Linha neutra na mesa ou tangente à mesa
Na primeira situação, a linha neutra fictícia encontra-se dentro ou tangente à mesa, configurando o
dimensionamento de uma seção retangular.
Primeiro, observe que se usa a linha neutra fictícia (y) por conta da hipótese de substituição do
diagrama parábola-retângulo pelo diagrama retangular, hipótese aplicada aos esforços de
compressão no concreto.
Essa condição está ilustrada na figura a seguir.
Nesta situação (y ≤ h ), o dimensionamento é de uma seção retangular, só que a consideração é que
a largura a ser considerada para esse caso é a largura colaborante (b ).
É possível aplicar para esse dimensionamento as equações a seguir:
Figura 3 - Linha neutra fictícia na mesa da seção em
T.
Fonte: CLÍMACO, 2008, p. 213.
f
f
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Porto e Fernandes (2015), resumidamente, descrevem o roteiro para definir uma seção em T,
descrita nas etapas:
verificar se a viga pode ser calculada como uma seção em T;
calcular o valor da largura colaborante bf;
calcular o momento de referência, sendo este o momento fletor máximo resistido pelas mesas;
determinar o momento aplicado à seção retangular, pela diferença entre o momento fletor de
cálculo e a parcela resistida pelas abas.
A partir desses passos, comprovada a hipótese acima, aplicam-se as equações para o
dimensionamento da seção e determinação das respectivas áreas de armadura para cada uma das
situações avaliadas.
Linha neutra na alma
Para a linha neutra posicionada na alma (nervura), com a condição de y > h , passa-se a ter a
configuração de uma seção em T.
Nessa situação, a seção é dividida em duas partes para o cálculo: as abas e a parcela da nervura
comprimida.
A figura a seguir representa a condição comentada, representando o procedimento de cálculo
adotado para seção em T.
kmd =
Msd
bfd2fcd
As =
Msd
kzdσsd
f
NA-PRATICA
Para a verificação da linha neutra, em uma seção retangular, utiliza-se a largura da seção bw.
No caso da seção em T, para a verificação da hipótese inicial (considere a seção como
retangular), parte-se da situação em que a seção transversal é representada por um
retângulo de largura bf. Se nessa situação a profundidade da linha neutra fictícia (y) estiver na
mesa, segue-se o cálculo aplicando as equações acima. Caso ela não seja atendida, a seção em
análise deve ser tratada como um T.
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Conforme a figura, pode-se dividir o cálculo da seção em duas partes, dividindo-se o momento
fletor aplicado, a saber (CLÍMACO, 2008):
M : momento fletor equilibrado na zona de compressão pelas laterais da mesa, com largura b
– b e, na zona tracionada por uma parte da armadura de tração A , conforme equação:
M =M – M : resistido pela seção retangular b h, constituída pelo concreto da nervura e
garantindo o equilíbrio com uma segunda parcela da armadura de tração, A , segundo a
equação:
Sobre a distribuição dos momentos, percebe-se que há primeiro a consideração de um binário
formado pelas abas e uma armadura. Na sequência, se aplica o momento restante à seção
retangular.
Para as áreas de armadura A e A , elas ao final devem ser somadas e aplicadas na região
tracionada da peça.
Figura 4 - Condição de cálculo para o caso da linha
neutra fictícia na alma da seção em T.
Fonte: CLÍMACO, 2008, p. 213.
df f
w sf
Mdf = αcfcdhf (bf − bw)(d −
hf
2
) ⇒ Asf =
Mdf
(d −
hf
2 )fyd
dw d df w
sw
Mdw = Msd − Mdf ⇒ Kmd =
Mdw
bwd2fcd
⇒ kz ⇒ Asw =
Mdw
kzdfyd
sw sf
SAIBA MAIS
Além das considerações aplicadas às situações em que a nervura apresenta largura
constante, existem outras em que a largura é variável, como o caso das lajes nervuradas
moldadas in loco, em que a forma das nervuras é conferida por formas plásticas. Para esses
casos, consulte a NBR 6118/2014 para saber sobre condições adicionais para o
dimensionamento.
28/07/25, 10:36 IESB
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Além da aplicação das equações apresentadas, faz-se mister também levar em consideração os
domínios de deformação e os limites de deformação considerados pela NBR 6118/2014.
Adicionalmente, também são válidas as considerações para a seção em T de armadura simples e
armadura dupla.
Para o caso da armadura dupla, segue-se o procedimento até aqui apresentado e, quando da
verificação da seção retangular, observa-se a profundidade da linha neutra e o coeficiente k , caso
este resulte no domínio 4 (superior ao limite estabelecido pela NBR 6118/2014 para k ), aplica-se
o roteiro para dimensionamento da armadura adicional (armadura dupla).
Adicionalmente, quando da condição de momento fletor negativo, observe a figura a seguir.
Destaca-se na figura que, quando o momento for positivo e a linha neutra estiver na alma,
efetivamente se terá uma seção em T (caso da esquerda). No caso da direita, com a aplicação de um
momento negativo, a linha neutra presente na alma não caracteriza uma seção em T, mas sim uma
seção retangular de largura bw, pois no trecho abaixo da LN não há contribuição das abas da mesa.
Para o caso de uma seção em concreto armado em forma de I, valem as considerações expostas
para a seção em T, para as duas situações de momento fletor.
x
x
Figura 5 - Variação da seção T para momentos
positivos e negativos.
Fonte: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2004, p.
140.
ATENÇÃO
Para situações em que o momento fletor é negativo, utilizam-se as mesmas considerações
apresentadas, atenção deve ser dada à posição da linha neutra, que, nesse caso, é contada da
face inferior (comprimida) para a face superior (tracionada).
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Fechamento
A partir de agora, é possível aplicar as equações que permitem dimensionar uma seção de concreto
armado, ressaltando sempre a necessidade de observação dos domínios de deformação e limites
normativos. É possível também identificar as situações onde são aplicadas as seções em T e L, assim
como equacionar o seu dimensionamento, ressaltando que este depende da posição da Linha
Neutra na seção transversal, podendo configurar a seção com armadura simples ou dupla.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
conhecer as hipóteses básicas aplicadas ao dimensionamento de elementos submetidos à
flexão, incorporando-se os domínios de deformação;
ser apresentado ao equacionamento que permite verificar uma seção de concreto armado em
relação a atuação do momento fletor.
aprender as hipóteses básicas aplicadas ao dimensionamento de seções em T e L;
ser exposto ao equacionamento que permite verificar uma seção em T de concreto armado em
relação a atuação do momento fletor.
Unidade 02
Aula 02
Prescrições da NBR 6118/2014 em
relação às vigas
O que deve ser respeitado para se garantir condições mínimas de segurança e de concretagem de
boa qualidade? A NBR 6118/2014 prescreve algumas medidas que devem ser seguidas para a
obtenção das condições acima.
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Após a etapa de dimensionamentode uma viga de concreto armado, parte-se para as etapas de
verificações adicionais, tais como taxas mínimas de armadura, espaçamentos horizontais e
verticais. Como última etapa, elabora-se o detalhamento das armaduras, cujo objetivo é a descrição
de como elas estão dispostas na seção transversal, a qual é feita por meio de desenhos, sendo eles
utilizados na obra para a execução dos elementos projetados.
Prescrições normativas para seções de
concreto armado
A NBR 6118/2014 recomenda que alguns limites ou condições sejam respeitados para finalizar o
dimensionamento e detalhamento de uma seção transversal de uma viga, para a manutenção das
condições de segurança mínima e propiciar concretagem adequada.
Ênfases são dadas às armaduras (diâmetros), taxas de aplicação e espaçamento, além das
dimensões da seção transversal.
Largura mínima
Segundo o item 13.2.2 da NBR 6118/2014, a largura da viga (bw) não deve ser menor que 12 cm,
salvo em casos em que esta pode ser maior ou igual a 10 cm, portanto deve-se, obrigatoriamente,
respeitar as condições:
alojamento das armaduras e suas interferências com as armaduras de outros elementos
estruturais, respeitando os espaçamentos e cobrimentos estabelecidos na NBR 6118/2014;
lançamento e vibração do concreto de acordo com a ABNT NBR 14931.
Armadura máxima e mínima
Como princípios básicos para a consideração das armaduras mínima e máxima, a NBR 6118/2014
aplica:
a adoção de uma armadura mínima com a finalidade de evitar a ruptura frágil da seção, com
área correspondente ao momento limite aplicado ao concreto para a formação da primeira
fissura;
a especificação de uma armadura máxima como limite para a manutenção da dutilidade e
respeito às condições de funcionamento conjunto dos materiais.
Ainda segundo a NBR 6118/2014, a armadura mínima pode ser relacionada à aplicação de um
momento fletor mínimo, dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta de 0,15 %:
Md,min = 0, 8W0fctksup
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Em que:
 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais
tracionada;
 é a resistência característica superior do concreto à tração.
Permite-se, adicionalmente à condição acima, o uso de uma taxa mínima de armadura, dada pela
equação a seguir, com valores definidos a partir da resistência característica do concreto à
compressão, apresentados na tabela.
Forma da seção
Valores de 
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
Retangular 0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256
a. Os valores de estabelecidos nesta Tabela pressupõem o uso de aço CA-50, d/h=0,8 =1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, deve ser recalculado.
Quadro 1 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas.
Fonte: ABNT, 2014, p. 130.
Para a armadura máxima, a prescrição é de que ela esteja limitada a 4% da área da seção
transversal.
Armadura de pele
Segundo o item 17.3.5.2.3 da NBR 6118/2014, a armadura lateral mínima (armadura de pele) deve
ser de 0,10% da , alma em cada face lateral, não sendo superior a 5 cm²/m, sendo composta de
barras de aço CA-50 ou CA-60, com espaçamento não maior do 20 cm, e devidamente ancorada nos
apoios.
Sua função é minimizar os problemas decorrentes da fissuração, retração e variação de
temperatura e, também, para a redução de fissuras na alma das vigas, sendo aplicadas em vigas com
altura superior a 60 cm.
Detalhe dessa armação pode ser visualizado na figura a seguir.
W0
fctksup
ρmin =
As
bwh
ρmin a (As,min/Ac)%
ρmin γs ρmin
Ac
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Cabe destacar que essas armaduras não devem compor as armaduras principais de tração e
compressão.
Espaçamento entre as barras
Segundo Clímaco (2016), o arranjo da armadura deverá propiciar que ela cumpra a sua função
estrutural e proporcione condições adequadas de execução, principalmente em relação ao
lançamento e ao adensamento do concreto. Os espaços entre as barras longitudinais devem ser
projetados de modo a possibilitar a introdução de vibradores, evitando que ocorra um vazio e
segregação dos agregados.
Dessa forma, a NBR 6118/2014 adota (ver figura):
a) espaçamento horizontal ( ): 20mm, ou ;
a) espaçamento vertical ( ): 20mm, ou ;
O diâmetro máximo do agregado graúdo ( ) deve ser determinado pela NBR NM 248/2003
(Agregados - Determinação da composição granulométrica).
Figura 2 - Detalhe da armadura de pele.
Fonte: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2004, p. 162.
ah ϕbarra 1.2dmax
av ϕbarra 0.5dmax
Figura 3 - Espaçamento mínimo de barras em uma seção.
Fonte: CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2004, p. 163.
dmax
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Cobrimento mínimo das armaduras
Outra especificação da NBR 6118/2014 é sobre o cobrimento da armadura. Conforme visto, ele
depende diretamente da classe de agressividade ambiental e da peça que será produzida, conforme
indicado na tabela a seguir.
Componente ou elemento
Classe de agressividade ambiental
I II III IV
Cobrimento nominal (mm)
Laje 50 25 35 45
Viga/pilar 25 30 40 50
Elementos estruturais em contato com o solo 30 40 50
Quadro 2 - Cobrimento nominal do concreto função da CAA.
Fonte: ABNT, 2014, p. 20.
De acordo com a NBR 6118/2014, para concretos com classe de resistência superior à mínima
exigida, os cobrimentos da Tabela 5 podem ser reduzidos em até 5 mm.
ATENÇÃO
Apesar de as normas não utilizarem a classificação dos agregados graúdos (pedra britada) nas
graduações B0, B1, B2 e B3, ainda é usual encontrar essa nomenclatura no mercado, sendo
para cada uma delas estabelecido uma variação no diâmetro máximo característico.
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Considerações sobre detalhamento de vigas
Para o entendimento básico sobre o detalhamento de vigas, faz-se necessário conhecer aspectos
iniciais sobre a aderência aço-concreto, os quais possibilitam a determinação dos comprimentos
das barras longitudinais presentes em uma viga de concreto armado.
Aderência
Segundo Clímaco (2016), a aderência é o mecanismo que promove a ancoragem das barras nas
extremidades ou nas emendas por traspasse, limitando ou restringindo o deslocamento e abertura
de fissuras. Essa aderência pode ser dada por um dos mecanismos listados a seguir:
adesão: derivada da interação natural entre o concreto e o aço;
atrito: decorrente da característica de rugosidade superficial das barras;
mecânica: gerada pela alteração da superfície das barras, seja pela inclusão de mossas ou
saliências.
É imprescindível a determinação da zona de aderência onde se encontra a barra, sendo classificada
como de boa ou má aderência, o que é dado em função da profundidade da barra em relação à
altura da peça e de sua inclinação, como descrito no item 9.3.1 (NBR 6118/2014):
com inclinação maior que 45º sobre a horizontal;
horizontais ou com inclinação menor que 45º sobre a horizontal, desde que:
para elementos estruturais com h= 1,0 em situações de boa aderência; = 0,7 em situações de má aderência;
= 1,0 para barras com ; para barras com ;
fbd = η1 η2 η3 fctd     ( MPa)onde  fctd = fctk,inf/γc  ;  fctk,inf = 0, 7fct,m ;  fct,m = 0, 3(fck)2/3
fctd
fctk,inf
fct,m
η
η1 η1 η1
η2 η2
η3 ϕ 2);
disposição das armaduras transversais e longitudinais;
aderência;
condições de apoio e carregamento.
Lembre-se de que a condição de esbeltez da peça precisa manter a relação de largura e
comprimento maior que dois para que a seção transversal permaneça plana após a deformação
devido a um carregamento, atendendo as premissas adotadas em vigas.
Tensões normais e tangenciais de uma viga
Para efeito de cálculo, vamos estudar o concreto como um material homogêneo, sem armadura, no
qual a sua resistência pode ser considerada pelas equações e conceitos da resistência dos materiais.
Assim, quando aplicado uma força axial (N) na direção longitudinal da viga, conforme figura a seguir,
surgem tensões normais (σ) na direção longitudinal. Como a tensão é uma força sobre uma área,
temos:
Figura 1 - Tensão normal
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Quando aplicado uma força cortante (V) na direção transversal da viga, conforme figura a seguir,
surgem tensões tangenciais (T). Como a tensão é uma força sobre uma área, temos:
σ =
N
bw ∗ h
T =
V
bw ∗ h
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Figura 2 - Tensão tangencial
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Porém, em uma situação de flexão não pura, ou seja, com uma força cortante (V) atuando
simultaneamente com um momento fletor (M), as distribuições das tensões mudam, passando a
existir tensões normais e tangenciais, formando um estado em dois eixos de tensões, com tração e
compressão, conforme figura a seguir.
Figura 3 - Distribuição de tensões
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Nessa configuração, utilizando os conhecimentos em resistência dos materiais, temos:
Em que:
M - momento fletor;
y - distância do centro de gravidade(CG) da seção ao ponto considerado;
V - força cortante;
Ms - momento estático de área da seção homogênea situada acima da fibra de ordenada y em
relação à Linha Neutra (L.N.);
bw - largura da seção;
I -  momento de inércia da seção, em relação ao seu centro de gravidade.
T =
V ∗ M  s
bw ∗ I
  e  σ =
M ∗ y
I
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Se aproximarmos as tensões normais demonstradas na figura anterior, temos a configuração da
figura a seguir.
Figura 4 - Diagrama de tensões
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Conforme os diagramas de tensões, sabemos que sobre a Linha Neutra (L.N.) T é máximo e σ é nulo.
Assim:
M  s =
bw ∗ h3
8
  e  I =
bw ∗ h3
12
T  max =
V ∗ M  s
bw ∗ I
=
v∗bw∗h3
8
bw × bw∗h3
12
=
1, 5 ∗ V
bw ∗ h
Utilizando o dia
ATENÇÃO
As tensões tangenciais são máximas quando as normais são nulas, assim como as tensões
normais têm seu ponto máximo no momento em que as tangenciais são nulas.
SAIBA MAIS
Para aprofundar seu conhecimento sobre momentos estáticos e inércia de seções, leia a obra
Resistência dos Materiais, de Beer e Johnston Jr.
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Tensões principais
Se retirarmos um elemento de uma viga sofrendo ações de tensões normais tangenciais e
traçarmos os planos de tensão do mesmo (figura a seguir), é possível obter um plano principal de
tração e compressão a um ângulo, no qual as tensões tangenciais são nulas e as normais máximas.
Figura 5 - Plano de tensões principais
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Utilizando a resistência dos materiais, sabemos que as tensões principais são:
Além disso, conhecemos que sobre a Linha Neutra temos σx = 0. Logo:
Nas direções das tensões principais, e estando na linha neutra das vigas com σx= 0 e σy= 0
(somente tensões normais verticais), temos:
Assim, as tensões principais se encontram nos ângulos onde α =45º em relação ao eixo da viga,
sendo uma tensão de tração, conforme figura anterior. Como o concreto não possui alta
resistência à tração, cerca de 10% da sua resistência à compressão, devemos utilizar uma armação
de aço para resistir a essa tensão (armadura de transversal de cisalhamento). A tensão   por se
tratar de uma tensão de compressão, será resistida somente pelo concreto.
σ1,11 =
σx + σy
2
±√( σx + σy
2
)
2
+ Txy2
σ1,11 = ±τ → σI = +τ   e  sigmaII = −τ
tg(2α) =
2 ∗ τxy
σx − σy
→ ∞    logo  2α = 90º ou 270º → α = 45º ou 135º
σI
σII
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A treliça de Mörsh
Considerando as tensões geradas pela atuação de uma força cortante, os pesquisadores Ritter e
Mörsch realizaram ensaios de cisalhamento para entender o comportamento da viga de concreto
(conforme figura a seguir). Eles utilizaram uma configuração que gera flexão pura na parte central
da viga, para que nessa região haja momento fletor constante e força cortante nula, assim, foi
adotado o modelo de viga biapoiada com dois pontos de carga equidistantes. (CARVALHO e FILHO,
2012)
Assim, observando os resultados dos ensaios, Ritter e Mörsch idealizaram uma teoria em que as
armaduras e concreto se equilibrassem através de um modelo de treliça com configuração da
inclinação da fissuração encontrada durante os ensaios, ou seja, um ângulo de aproximadamente
45º.
Figura 6 - Treliça de Mörsch.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
ATENÇÃO
O tipo de comportamento das fissuras, como posição e direção, é de extrema importância
para profissionais que realizam análises de perícias técnicas de engenharia.
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Através da observação desses ensaios foram desenvolvidos modelos para equacionar o
comportamento de uma viga submetida a esforços de cisalhamento e, assim, combater as tensões
geradas.
Generalização da treliça de Mörsch
Considerando o modelo da treliça de Mörsch e que o mecanismo de resistência da viga no estádio II
(fissurada) é resistido por essa treliça, a armadura transversal é representada por diagonais
tracionadas (em vermelho), conforme figura a seguir.
Figura 7 - Generalização da Treliça de Mörsch
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Assim, considerando Aswt = armadura transversal no trecho S, temos:
Analisando a figura anterior, temos:
Asw =
Asw
s
→ armadura transversal por unidade de comprimento (metro)Aswt ∗ σsd = Rdt(1
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Ainda considerando z a distância entre o centro dos banzos e utilizando semelhança de triângulos,
conforme figura a seguir, temos:
Figura 8 - Detalhe Generalização da Treliça de Mörsch
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Sendo a seção transversal da biela comprimida retangular = bw*a.
Assim, a generalização da treliça é uma idealização do comportamento de um elemento estrutural
diante de esforços de força cortante, sendo a base de cálculo para as armaduras transversais.
Hipóteses e verificação do estado-limite último
A NBR 6118 apresenta hipóteses para as condição de cálculo e modelos para o detalhamento da
armadura transversal, uma das condições é que o ângulo de inclinação α das armaduras
transversais em relação ao eixo longitudinal (figura a seguir) do elemento estrutural deve estar
dentro do intervalo 45º≤ α ≤90º.
s = m + nm = z ∗ cotg β enz ∗ cotg αs = z ∗ (cotg β + cotg α)para  z =
d
1, 1
   e   β = 45º → c
NA-PRATICA
Para uma viga com d = 47cm, base de 50 cm e ângulo do banzo comprimido (α) de 60º, temos
um a = 67,36 cm, ou seja, um espaçamento s de 67,37 cm e uma seção transversal da biela
comprimida de bw*a = 50,00 x 67,36 cm = 3,368 cm².
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Outra condição imposta pela NBR 6118 é que para a verificação do estado-limite último em uma
peça estrutural a força solicitante de cálculo deve atender simultaneamente os seguintes
requisitos:
Sendo:
- força cortante solicitante de cálculo na seção;
- força cortante resistente de cálculo, relativa a ruínas das diagonais comprimidas de concreto,
de acordo com os modelos de cálculo I ou II;
, é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal;
- parcela de força cortante absorvida por mecanismo complementares ao de treliça;
- parcela de força cortante resistida pela armadura transversal, de acordo com os modelos I e II.
Assim, baseado nas hipóteses básicas definidas pelas NBR 6118, foram desenvolvidos dois modelos
de cálculo para o dimensionamento da armadura transversal, eles serão apresentados a seguir.
Modelos de cálculo
Veremos dois modelos de cálculo para o dimensionamento da armadura transversal e para
conferência das tensões nas bielas comprimidas. Ambos os modelos são baseados na generalização
da treliça de Mörch.
A escolha entre os modelos deve ser feita de acordo com o ângulo das diagonais de compressão
com a longitudinal do elemento estrutural e de acordo a com a hipótese da formacomo a parcela da
força cortante será absorvida por mecanismos complementares ao de treliça, ou seja, o
Figura 1 - Ângulo de
inclinação α das
armaduras
transversais
Fonte: Elaborado
pela autora, 2018.
Vsd ≤ Vrd2Vsd ≤ Vrd3 = Vc + Vsw
Vsd
Vrd2
Vrd3 = Vc + Vsw
Vc
Vsw
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engrenamento entre as partes do concreto separadas pelas fissuras que serão geradas e a
resistência da armadura longitudinal.
Figura 2 - Mecanismo complementar ao de treliça
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Sendo a escolha entre o modelo de cálculo I ou II feita na hipótese adotada pelo engenheiro
estrutural ou de acordo com a necessidade de aplicabilidade de um modelo específico.
Lembre-se de que os modelos não se aplicam a elementos de volume, como lajes, vigas parede e
consolos curtos, que são tratados em outros capítulos da norma e através de hipóteses e condições
especiais de cálculo.
Modelo de Cálculo I
De acordo com a NBR6118, no modelo de cálculo I, é admitido que as diagonais de compressão são
inclinadas Ө=45º em relação ao eixo longitudinal do elemento, e que a parcela apresenta um
valor constante, sem depender de .
Nesse modelo devem ser satisfeitas as seguintes condições:
a)   Verificação das tensões de compressão nas bielas - compressão diagonal do concreto:
 para com MPa.
Em termos de tensões tangenciais, podemos dividir a equação, que representa uma força, pela área,
ou seja, por :
b)   Cálculo da armadura transversal:
Para a parcela da força cortante ser absorvida pela armadura, a força solicitante de cálculo (
) deve ser no mínimo igual a força cortante resistente ( ), assim:
Vc
Vsd
Vsd ≤ Vrd2,1 = 0, 27 ⋅ αv2 ⋅ fcd ⋅ bw ⋅ d αv2 = 1 −
fck
250 fck
bw∗d
Vsd
bw∗d ≤
Vrd2,1
bw∗d =
0,27∗αv2 ∗fdc 
∗bw ∗d
bw∗d → τsd ≤ τrd2,1 = 0, 27 ∗ (1 −
fck
250 ) ∗fdc (MPA)
Vsw Vsd
Vrd3
SAIBA MAIS
Para aprofundar seus conhecimentos, leia o texto da NBR 6118:2014, item 17.
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Sendo , força solicitante, obtido através da linha neutra da seção da viga:
Em que:
 - valor de cálculo da resistência à tração do concreto;
D - altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade da armadura
de tração;
bw - menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d.
Para o cálculo de , força cortante resistida pela armadura transversal:
Em que:
s - espaçamento entre elementos da armadura transversal medido segundo eixo longitudinal
da viga;
 - Tensão na armadura transversal passiva, limitada a:
 se estribos;
0,70 no caso de barras dobradas.
α - ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do elemento
estrutural, sendo 45º≤ α ≤90º.
Logo:
 dividindo por bw*d para obtermos uma tensão τ
Reorganizando a equação e dividindo os termos por (bw*d*senα), temos:
Como , temos:
Para α = 90º (estribos), temos: 
Vsw = Vrd3 − Vc = Vsd − Vc
Vc
Vc = 0, 6 ∗ fctd ∗ bw ∗ d
fctd =
fck,inf
γc
=
0,7∗fct,m
γc
=
0,7∗0,3
1,4 ∗ f
2
3
ck = 0, 15 ∗ f
2
3
ck
fctd
Vsw
Vsw = Asw
s ∗ 0, 9 ∗ d ∗ fywd ∗ (senα + cosα)
Asw
fywd
fyd
fyd
Vsw = Vsd − Vc
Vsw
bw∗d = Vsd
bw∗d = Vc
bw∗d → τsw = τsd − τc
Vsw
bw∗d∗senα = Asw
bw∗d∗senα ∗ 0, 9d ∗ fywd ∗ (senα + cosα)
Asw
bw∗d∗senα = Vsw
bw∗d∗senα ∗ 1
0,9d∗fywd∗(senα+cosα)
Asw
bw∗d∗senα = ρsw,a (taxa de armadura transversal)  e  τw = Vsw
bw∗d
ρsw,a = τsw∗1
0,9∗fywd∗senα∗(senα+cosα)
= 1,11∗τsw
fywd
∗ 1
senα∗(senα+cosα)
ρsw,90 = 1,11∗τsw
fywd
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c) Força cortante resistida para uma quantidade determinada de armadura transversal.
Conhecendo a , espaçamento s e  resistência do concreto é possível obter a força cortante
resistida pela viga:
. Substituindo por , temos:
Sendo .
Dividindo os dois termos por (bw*d*senα), temos:
Como 
Dividindo pelo coeficiente 1,4, para obter a força cortante de cálculo e isolando a força cortante,
temos:
Arrumando a equação e substituindo, temos:
Sendo: e em MPa, bw e d em metros, temos para em kN.
Para estribos verticais, α = 90º
Uma aplicabilidade de encontrar uma força cortante resistida para uma quantidade determinada de
armadura transversal é em problematizações de pericias em engenharia reversa. Por exemplo, se
uma viga rompeu por cisalhamento, podemos analisar a quantidade de armadura que foi adotada e
a força máxima resistida por essa armadura, se a força calculada for menor que a atuante efetiva na
viga, então o elemento estrutural foi subdimensionado.
Modelo de Cálculo II
De acordo com a NBR6118, no modelo de cálculo II, é admitido que as diagonais de compressão são
inclinadas a um ângulo diferente de 45º (θ≠45º) em relação ao eixo longitudinal do elemento. A
norma também considera que a parcela sofre redução com o aumento de .
Assim, no modelo II, a resistência do elemento é garantida por:
a) Verificação da compressão diagonal nas bielas de concreto:
Asw
Vsw = Vsd − Vc Vsd Vrd
Vsw = ( Asd
S ) ∗ 0, 9 ∗ d ∗ fywd∗(senα+cosα)Vrd = ( Asd
S ) ∗ 0, 9 ∗ d ∗ fywd ∗ (senα + cosα) + Vc
Vc = 0, 6 ∗ fctd ∗ bw ∗ d
Vrd
bw∗d∗senα = Asw
bw∗d∗senα ∗ 0, 9d ∗ fywd ∗ (senα + cosα) + 0,6∗fctd
senα
Asw
bw∗d∗senα = ρsw,α
Asw
bw∗d∗senα = ρsw,α ∗ (senα + cosα) +
0,6∗fctd
senα
Vr =
[ρ
sw,a∗0,9∗fywd∗(senα+cosα)+
0,6∗fcd
senα
]∗bw∗d∗senα
1,4
Vr =
[ρ
sw,a∗0,9∗fywd∗(senα+cosα)+
0,6∗fcd
senα
]∗bw∗d∗senα
1,4
fywd fck VR
Vr = 644 ∗ bw ∗ d ∗ (ρsw,90 ∗ fywd + 0, 10 ∗ f
2
3
ck)
Vc Vsd
Vrd2,11 = 0, 54 ∗ αv2 ∗ fcd ∗ bw ∗ d ∗ senθ ∗ (cotα + cotθ)
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Em termos de tensão:
Sendo: com em MPA
b) Cálculo da armadura transversal:
Sendo:
Assim, como no modelo I, colocando em termo de taxa de armadura, temos:
No caso de estribos verticais, temos:
Por fim:
Se , então 
Se , então .
c)   Força cortante resistida para uma quantidade determinada de armadura transversal.
Conhecendo a , espaçamento s e  resistência do concreto é possível obter a força cortante
resistida pela viga, o cálculo é feito como no modelo I:
Sendo para força cortante máxima:
; e força cortante mínima: 
Assim, é possível encontrar uma força cortante resistida para uma quantidade determinada de
armadura transversal que, como visto anteriormente, pode ser útil em problematizações de
pericias.
τrd2,11 = 0, 54 ∗ αv2 ∗ fcd ∗ bw ∗ d ∗ senθ2 ∗ (cotα + cotθ)
αv2 = 1 −
fck
250 fck
vsw = vsd − vcvsw = ( Asd
s
) ∗ 0, 9 ∗ fywd ∗ (cotα + cotθ) ∗ senα
ρ
sw,a=
1,11∗τsw
fywd
∗1
senα∗(cotα+cotθ)
Vsw = ( Asd
S
) ∗ 0, 9 ∗ fywd ∗ cotθρ
,90=
1,11∗τsw
fywd
∗1
(cotθ)
Vsd − Vc Vc = 0, 6 ∗ fctd ∗ bw ∗ d
Vsd ≤ Vrd 2,11 Vc = 0
Asw
Vr = 0, 644 ∗ bw ∗ d ∗ [ρsw,α ∗ fywd ∗ (cotα + cotθ) ∗ senα2 + 1, 11τc]
τc = 0, 6ffctd = 0, 6 ∗ 0, 15 ∗ f
2
3
ck
= 0, 09 ∗ f
2
3
ck
τc = 0
ATENÇÃO
Se o ângulo for 45º, deve ser utilizado o modelo de cálculo I, conforme NBR6118/2014.
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Cargas próximas aos apoios
Nos trechos localizados próximos aos apoios há uma redução natural da força cortante devido às
reações resultantes. Assim, pode-se reduzir as armaduras transversais nesses segmentos da viga,
resultando em uma economia de execução devido à redução da quantidade de armadura utilizada.
A NBR 6118 prevê duas formas de considerar essa redução da força solicitante de cálculo nas áreas
próximas em questão, conforme figura a seguir.
Figura 3 - Cargas distribuídas próximas aos apoios
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Figura 4 - Cargas concentradas próximas aos apoios
Fonte: Elaboradopela autora, 2018.
Assim, para cargas distribuídas considera-se a força cortante constante e igual no trecho d/2 e para
cargas concentradas multiplica-se a força cortante por aplicada à distância a≤2*d.a
2∗d
ATENÇÃO
O reduzido encontrado não pode ser utilizado para a comparação do com nos
modelos I e II .
Vsd Vsd Vrds
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Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
aprender sobre as tensões atuantes em um elemento solicitado à força cortante e momento
fletor; 
conhecer o modelo da treliça de Mörsch como solução da armadura transversal.
conhecer os modelos de cálculo I e II, de acordo com NBR 6118/2014;
aprender como proceder com cargas próximas ao apoio.
Unidade 02
Aula 04
Cisalhamento: prescrições e noções de
detalhamento
NA-PRATICA
Se uma viga de 4m, com altura de 50cm, está submetida à uma carga distribuída de 20kN/m²,
deve ser considerada uma carga constante de 5 kN no trecho até 25cm, reduzindo, assim, a
armadura nesse segmento da viga.
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Nesta aula, serão apresentadas as prescrições para o detalhamento da armadura transversal, seu
cálculo e espaçamento mínimo. Para isso, conheceremos a taxa de armadura necessária para
armadura transversal, o espaçamento adequado para a mesma e como a força cortante atua em
lajes.
Dimensionamento das armaduras
transversais
Para o dimensionamento das armaduras, deve-se, primeiro, realizar os cálculos das forças e
tensões, de acordo com o modelo de cálculo I ou II, ambos idealizados de uma treliça isostática, em
que os banzos são paralelos, com a bielas comprimidas às 45º e inclinação da armadura transversal
entre 45º e 90º.
Sabemos que a taxa de armadura é dada por:
Para estribos verticais α = 90º
Sendo que:
para CA-50:
modelo de cálculo I:
modelo de cálculo II:
Cortante mínima 
Cortante máxima 
O valor de deve ser interpolado entre o máximo e mínimo.
Assim, sabendo a taxa de armadura, para o cálculo do espaçamento, temos:
ρsw,a = Asw
b w∗s∗sen α
ρsw,90 =
1,11∗τsw
fywd
fywd = 500
1,15 = 1, 308 ∗ 103
τsw = τsd − τcτsd = Vsd
bw∗d τc = Vc
bw∗d =
0,6∗fcd∗bw∗d
bw∗d = 0, 6fcd = 0, 6 ∗ 0, 15 ∗ fck
2
3
τsw = τsd − τcτsd = Vsd
bw∗d
τc = 0
τc = 0, 6 ∗ fctd = 0, 6 ∗ 0, 15 ∗ f
2
3
ck = 0, 09 ∗ f
2
3
ck
τc
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 em cm.
Sendo que o espaçamento mínimo deve permitir a passagem do vibrador para adensamento do
concreto durante a concretagem.
O espaçamento máximo longitudinal definido pela NBR6118/2014 é dado por:
Para o espaçamento transversal ( ) entre ramos sucessivos deve-se respeitar os seguintes
valores, de acordo com a NBR 6118/2014:
Lembre-se de que é a força cortante resistente de cálculo, de acordo com o modelo I ou II.
De acordo com a NBR6116, pode-se adotar estribos combinados com barras dobradas ou soldadas
para compor a resistência à esforços de tração. No caso de barras dobradas, não se pode adotar um
valor de resistência maior que 60% do esforço total.
Quantidade mínima de estribos
Mesmo que, após os cálculos utilizando o modelo I ou II, tenhamos o resultado que o concreto
resiste sozinho a força cortante aplicada na viga, deve ser adotado uma armadura mínima
transversal, de acordo com a NBR6118/2014, sendo dada por:
, sendo 
s = Asw
bw∗ρsw,90
Smáx ≤ 0, 6 ∗ d ≤ 300m m s eVs d ≤ 0, 67 ∗ Vrd2Smáx ≤ 0, 3 ∗ d ≤ 200m m s eVs d ≤ 0, 67 ∗ Vrd2
Figura 1 - Espaçamento longitudinal máximo
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
St,máx
St,máx ≤ d ≤ 800m m s eVs d ≤ 0, 20 ∗ Vrd2St,máx ≤ 0, 6 ∗ d ≤ 350m m s eVs d > 0, 20 ∗ Vrd2
Figura 2 - Espaçamento transversal máximo
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Vrds
Aswmin = ρswmin ∗ bw ∗ s ∗ sen α
ρswmin ≥
0,2∗fctm
fywr
fctm = 0, 3 ∗ f
2
3
ck
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Se s = 100 cm (para cada 1 metro). Assim, em cm /m.
Se 
Então, temos: 
Podemos realizar o cálculo inverso e determinar a força cortante para uma taxa de armadura
transversal mínima existente, possibilitando dimensionamentos de estruturas mais econômicas e
estudos em pericias.
Para o modelo de cálculo I:
Para estribos verticais, temos:
Com em kN, bw e d em metros e fck em Mpa.
Para o modelo de cálculo II:
Para estribos verticais, temos:
Com em kN, bw e d em metros, fck em Mpa e em Mpa com os extremos e
.
Diâmetro dos estribos
De acordo com a NBR 6118, o diâmetro ( ), deve seguir:
Aswmin
2
α = 90º sen α = 1
Aswmin = ρswmin ∗ bw
VRI,ρ min = 644 ∗ bw ∗ d [0, 2 ∗
fctm
fywk
∗ fywk ∗ sen α ∗ (sen α cos α) + 0, 1 ∗ f
2
3 ]VRI,ρ min = 644
VRI,ρ min = 644 ∗ bw ∗ d ∗ (0, 1522 ∗ f
2
3
ck
) = 98 ∗ bw ∗ d ∗ f
2
3
ck
VRI,ρ min
VRI,ρ min = 644 ∗ bw ∗ d ∗ [0, 0522 ∗ f
2
3
ck ∗ cot θ + 0, 11 ∗ τc]
VRI,ρ min = 644 ∗ bw ∗ d ∗ [0, 0522 ∗ f
2
3
ck
∗ (cot α + cot θ) ∗ sen α2 + 1, 11 ∗ τc]VRI,ρ min = 644 ∗
VRI,ρ min τc
τc = 0, 009 ∗ f
2
3
ck   e   τc = 0
ϕ  t
ϕ  t ≥ 5mm  e  ϕ  t ≤ b w
10
ATENÇÃO
Os elementos lineares com bw>5d devem ser tratados como lajes.
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Sendo que para barras lisas: e para telas soldadas: , com o ângulo
entre o elemento estrutural e a armadura com o valor de variando entre 45º e 90º.
Principais tipo armadura transversal
Existem dois tipos de armadura transversal, as barras dobradas e os estribos verticais.
As Barras dobradas só podem ser utilizadas para resistir até no máximo 60% do total do esforço
cortante, para evitar o efeito de “fendilhamento” do concreto na ancoragem, que geram fissuras e
deficiência (ABNT, 2014).
As barras possuem uma bitola maior que a dos estribos, pois são executadas a partir da armadura
longitudinal, o que pode gerar grande fissuração, portanto, é necessária mais atenção no controle
de fissurações.
Os estribos verticais são mais simples de executar, apresentam facilidade de montagem, favorecem
a aderência e fissuração e ajudam na fixação da armadura longitudinal.
As figuras a seguir representam tipos de estribos.
Figura 3 - Estribos simples
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
ϕ  t ≤ 12mm ϕ  t ≥ 4, 2mm
Figura 4 - Estribos duplos
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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Assim, para o dimensionamento dos estribos, é necessário saber a tensão atuante devido ao
esforço, a taxa de armadura para suportar esses esforços e definir os espaçamentos mínimos,
máximos, assim como o tipo de armadura.
Detalhes e observações no detalhamento
Algumas minúcias devem ser observadas para garantir que todas as decisões no detalhamento da
armadura estejam a favor da segurança e economicamente mais viáveis.
Quando não há prerrogativa a respeito do ângulo de inclinação da armadura transversal (entre 45º
e 90º), pode-se calcular pelos modelos de cálculo I e II e adotar o valor que demande maior
quantidade de armadura para garantir a segurança do cálculo.
No detalhamento deve ser utilizado sempre o menor valor encontrado entre as equações, sendo
que esse valor deve ser arredondado de forma a facilitar a execução.
Para evitar problemas de fissuração e aderência com o concreto, deve-se dar preferência por
estribos em vez de barras dobradas. Além disso, caso se busque por um dimensionamento mais
econômico, deve ser considerado a diminuição das cargas próximas aos apoios. Com essa redução,
deve ser calculada uma armadura transversal única, para facilidade de execução, porém com
espaçamentos diferentes nas regiõespróximas ao apoio. Também podemos utilizar estribos simples
em um trecho e estribos duplos ou triplos em outros.
Além disso, para o detalhamento completo da armadura transversal devem ser observados:
Figura 5 - Estribos triplos
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
ATENÇÃO
Em uma armadura transversal foram encontrados os espaçamentos máximos de 20 cm, 16,2
cm, 17,3 cm e 30 cm. Nas equações prevista pela NBR 6118, será adotado o menor valor dos
espaçamentos, porém, para facilitar na execução durante a obra, deve-se adotar 15 cm,
evitando erros por falta de precisão dos instrumentos de campo.
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cobrimento mínimo: varia de acordo com classe de agressividade ambiental e o tipo de
elemento estrutural;
ancoragem: que garante a aderência e a transferência das tensões solicitantes para o concreto.
Força cortante em lajes e elementos lineares
Para elementos lineares bw>5d, como placas, lajes, blocos e sapatas, que tem o comportamento
diferenciados das vigas, a NBR6118 considera duas situações: lajes com armadura para força
cortante e lajes sem armadura para força cortante. Acompanhe!
Lajes sem armadura para força cortante
A NBR 6118 permite dispensar a armadura transversal em elementos lineares, desde que os
requisitos de ancoragem sejam satisfeitos, ou seja: .
Em que:
Sendo:
Vsd ≤ Vrd1
VRd1 = [τRd k  (1, 2 + 40 ρ1) + 0, 15 σcp] bw d
τrd = 0, 0375 ∗ f
2
3
ckk = { ρ1
1 para elemento em que 50% da armadura inferior não chega até o 
apoio  (1, 6 − d) ≥ 1 para os demais casos, com d em metros
SAIBA MAIS
Com a leitura dos itens 6 e 7 da NBR 6116/2014, você entenderá a relação entre a
agressividade ambiental e o cobrimento.
ATENÇÃO
Essas hipóteses são utilizadas somente para elementos lineares, no caso de vigas deve-se
utilizar o modelo de cálculo I ou II.
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Onde:
: armadura de tração que se estende até ancoragem ( );
: força longitudinal causada pelo carregamento;
: área do concreto;
: largura mínima da seção;
: altura útil da seção.
E, em que:
Assim, com   e calculados, e se o requisito for satisfeito, pode-se dispensar a armadura de
resistência aos  esforços de cisalhamento na laje.
Lajes com armadura para força cortante
As armaduras para forças cortantes em lajes e elementos lineares utilizam os mesmos modelos de
cálculo das vigas, somente com determinações complementares.
Deve-se interpolar linearmente, de acordo com a espessura da laje, entre os seguintes valores:
para lajes com espessura superior a 35 cm, usar para dimensionamento a resistência dos
estribos de ;
para lajes com espessura até 15 cm, usar para dimensionamento a resistência dos estribos de
até .
Com o valor de interpolado de acordo com a espessura da laje que está sendo calculada, deve-
se aplicar e detalhar as armaduras transversais de acordo com as  prescrições da NBR6118 da
mesma forma que para as vigas.
Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
compreender qual a taxa de armadura transversal que deve ser adotada para resistir à esforços
cortantes;
calcular o espaçamento longitudinal e transversal adequado;
conhecer os tipos mais utilizados de estribo;
As1 d − lb,n e c
Nsd
Ac
bw
d
Vsd = Vrd2Vrd2 = 0, 5 ∗ αv1 ∗ fcd ∗ b w ∗ 0, 9 ∗ dαv1 = 0, 7 −
fck
200 ≤ 0, 5  com fck em MPAfcd =
Vsd Vrd1
fywd = 435MPa
fywd = 250MPa
fywd
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entender como são consideradas a atuações da força cortante em elementos lineares, ou seja,
lajes.
Unidade 02
Aula 05
Cisalhamento: estudo e noções de
detalhamento de lajes
Nesta aula, serão apresentados os elementos estruturais de superfície plana. Estudaremos,
especialmente, a estrutura das lajes de concreto maciças, aprendendo como classificá-las, de
acordo com suas características geométricas, e como isso implica nos demais procedimentos. Serão
apresentadas as noções de detalhamento de lajes, visando seu dimensionamento, por meio do
método clássico - também conhecido como elástico ou teoria das placas.
Além disso, você aprenderá sobre o deslocamento transversal das lajes, as considerações
normativas e será introduzida a NBR6120/1980 que apresenta as cargas de acordo com a
edificação. Acompanhe!
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Vão efetivo
Para o entendimento do funcionamento e futuro cálculo das lajes, é importante abordar alguns
conceitos sobre o vão efetivo de uma laje.
Primeiro, vamos entender o funcionamento estrutural das lajes. Seu objetivo é distribuir as cargas
aplicadas no pavimento para outros elementos estruturais, que podem ser alvenarias estruturais,
vigas ou diretamente sobre os pilares, no caso de lajes planas e cogumelo. Nessa aula, focaremos
nas lajes maciças, que transferem os esforços para as vigas em seu contorno. Assim, para distribuir
essa solicitação, podemos utilizar lajes unidirecionais, armada em uma direção, ou bidirecionais,
armada em duas direções.
Outro conceito importante é o de vão efetivo  , ou vão teórico. Trata-se da distância de entre
as faces externas das vigas ou da face externa até a borda das lajes. O seu comprimento é
representado pela distância entre os eixos da viga ou entre eixo e borda, conforme figura a seguir.
Figura 1 - Vão efetivo de uma laje
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Assim, o vão efetivo depende da posição do apoio em relação à laje, dado por:
Sendo e calculados de acordo com as considerações da figura a seguir.
Figura 2 - Generalização do vão efetivo em função do apoio
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
1. Apoio de vão extremo:
2. Apoio de vão intermediário:
(lef)
(lo)
lef = lo + a1 + a2
a1 a2
a1 ≤ {0, 5 t1
0, 3 h
a2 ≤ {0, 5 t2
0, 3 h
28/07/25, 10:36 IESB
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Além disso, sempre será considerado o comprimento da laje no sentido longitudinal, e o
comprimento no sentido transversal, conforme representado na figura a seguir.
Figura 3 - Comprimento e 
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Os vãos efetivos das lajes serão utilizados para classificá-las geometricamente e, posteriormente,
para definição de suas armaduras, sendo essencial seu entendimento.
Lajes retangulares armadas em uma direção
De acordo com a NBR6118, as lajes armadas em uma direção, ou unidirecional, apresentam a
relação entre o comprimento longitudinal e transversal superior a dois, sendo esse coeficiente
representado pelo índice de esbeltez .
Assim, temos para uma laje unidirecional:
Para as lajes armadas em uma direção, o momento de cálculo atuante gerado pelas cargas
solicitantes é simplificado como uma viga, de acordo com tipo de relação com os apoios. Assim,
temos para cada tipo de vinculação os seguintes momentos positivos e negativos:
para um lado engastado e outro apoiado:
ly
lx
lx ly
(λ)
λ =
lx
ly
> 2
ATENÇÃO
O vão efetivo de uma laje não pode ser confundido com o seu vão total, pois as lajes serão
calculadas em panos individuais, sendo separadas em cada apoio.
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para uma laje biapoiada:
 
para uma laje engastada nos dois apoios:
Assim, de acordo com o tipo de vínculo utilizado nas lajes unidirecionais, elas devem ter seus
momentos calculados como em vigas.
Lajes retangulares armadas em duas
direções
As lajes armadas em duas direções apresentam a relação entre o comprimento longitudinal e
transversal igual ou inferior a dois, conforme a NBR6118, esse coeficiente