FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

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CIÊNCIAS DA NATUREZA, MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS. 
LICENCIATURA EM FÍSICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Wanderson Cunha 
 
 
 
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Sumário 
NUMEROS REAIS ........................................................................................................................... 3 
RAZÃO E PROPORÇÃO ................................................................................................................... 4 
NOTAÇÃO CIÊNTIFICA ................................................................................................................... 5 
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA ........................................................................................ 6 
Regra de três simples ........................................................................................................ 6 
Regra de três composta .................................................................................................... 7 
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL ........................................................................................................ 9 
Unidades de comprimento ................................................................................................ 9 
Unidades de área ............................................................................................................. 10 
Unidades agrárias ............................................................................................................ 11 
Unidade de volume .......................................................................................................... 11 
Unidade de capacidade ................................................................................................... 12 
Unidade de massa ........................................................................................................... 13 
PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO ......................................................................................... 14 
TRIGONOMETRIA DO TRIANGULO RETANGULO ......................................................................... 16 
Seno de um ângulo .......................................................................................................... 16 
Cosseno de um ângulo .................................................................................................... 17 
Tangente de um ângulo ................................................................................................... 17 
Cotangente de um ângulo ............................................................................................... 17 
Secante de um ângulo ..................................................................................................... 17 
Cossecante de um ângulo .............................................................................................. 17 
Ângulos notáveis .............................................................................................................. 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NUMEROS REAIS 
 
O conjunto dos números reais surge para designar a união do conjunto 
dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. É importante 
lembrar que o conjunto dos números racionais é formado pelos seguintes 
conjuntos: Números Naturais e Números Inteiros. Vamos exemplificar os 
conjuntos que unidos formam os números reais. Veja: 
Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14... 
Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4... 
Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4... 
Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498...., 3,141592.... 
Podemos concluir que o conjunto dos números reais é a união dos 
seguintes conjuntos: 
N U Z U Q U I = R ou Q U I = R 
Os números reais podem ser representados por qualquer número 
pertencente aos conjuntos da união acima. Essas designações de conjuntos 
numéricos existem no intuito de criar condições de resolução de equações e 
funções. As soluções devem ser dadas obedecendo aos padrões matemáticos 
e de acordo com a condição de existência da incógnita na expressão. 
 
 
 
 
 
 
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RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
RAZÃO: Chamamos razão de um número racional para outro (diferente 
de zero), ao quociente do primeiro pelo segundo. 
A razão de um número racional para outro é sempre um número 
racional. Assim, a razão do número a para o número b (b ≠ 0) é indicada por: 
a:b que se lê: razão de a para b ou razão entre a e b, onde o primeiro termo (a) 
é chamado antecedente e o segundo termo (b) é chamado consequente. 
PROPORÇÃO: é a igualdade entre duas razões. a:b=c:d 
Os quatro números que aparecem na proporção são denominados 
termos da proporção. O primeiro e o quarto termos (a e d) são os extremos e o 
segundo e o terceiro (b e c) são os meios, observe: 
 
Escrevendo a proporção dessa forma fica mais fácil saber quem são os 
meios e quem são os extremos. 
 
 
 
 
 
 
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NOTAÇÃO CIÊNTIFICA 
 
Notação científica, é também denominada por padrão ou notação em 
forma exponencial, é uma forma de escrever números que acomoda valores 
demasiadamente grandes (100000000000) ou pequenos (0,00000000001) para 
serem convenientemente escritos em forma convencional. 
Para transformar um número qualquer para a notação científica padronizada devemos 
deslocar a vírgula obedecendo ao princípio de equilíbrio. 
Observe a transformação passo a passo: 
 
 
 
 
 
 
Outro exemplo, com valor menor que um: 
0,0000000475 
0,000000475 × 10
−1
 
0,00000475 × 10
−2
 
0,0000475 × 10
−3
 
0,000475 × 10
−4
 
0,00475 × 10
−5
 
0,0475 × 10
−6
 
0,475 × 10
−7
 
4,75 × 10
−8
 
Desse modo, os exemplos acima ficarão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
 
A Regra de Três pode ser simples ou composta: 
 Simples: envolve somente duas grandezas. 
 Composta: envolve mais de duas grandezas. 
Regra de três simples 
Exemplo 1: Um copo de água mineral custa R$1,50. Quanto custa seis 
copos? 
 Grandeza 1: copo de água mineral 
 Grandeza 2: preço 
 
Exemplo 2: Uma torneira despeja 30 litros de água em 6 minutos. Para 
encher um reservatório de 1.000 litros, essa torneira levará quanto tempo? 
 Grandeza 1: litros de água 
 Grandeza 2: tempo 
 
 
 
 
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Até agora só trabalhamos com problemas cujas grandezas são 
diretamente proporcionais. Há problemas em que uma grandeza sofre variação 
oposta em relação à outra, ou seja, se uma aumenta, a outra diminui. 
Exemplo 3: Um ciclista percorre uma determinada distância em 06 horas 
a 5Km/h. Quanto tempo gastará para percorrer esta mesma distância a 03 
Km/h. 
– Grandeza 1: tempo (diminui à medida que a velocidade aumenta) 
– Grandeza 2: velocidade 
 
Regra de três composta 
Exemplo: Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 
metros de um muro, quantos homens serão necessários para construir mais 
1000 metros destemuro em 30 dias? 
 Grandeza 1: Número de homens trabalhando 
 Grandeza 2: Tempo de homens trabalhando 
 Grandeza 3: Tamanho do muro 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2: Se 10 carros consomem em 05 dias a quantidade de 1000 
litros de gasolina, quantos carros usaremos para consumir somente 500 litros 
de gasolina no espaço de 02 dias? 
 Grandeza 1: Número de carros 
 Grandeza 2: Número de dias 
 Grandeza 3: Litros de gasolina 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 
Unidades de comprimento 
A unidade fundamental chama-se metro (m). 
 Múltiplos: quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam). 
 Submúltiplos: decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm) 
 
 
Cada unidade vale 10 vezes a seguinte, significa que devemos 
multiplicar o valor dado por 10^n, onde n indica o número de casas deslocadas 
para a direita, ou para a esquerda; se for para a direita ( n = 1, 2, 3, ... ), se for 
para a esquerda ( n = -1, - 2, - 3, ... ) ou ainda, que a vírgula deverá se deslocar 
de uma em uma casa. 
Exemplo 1: 
1. Efetue 0,2 km - 2,5 × 48 m + 325 cm + 900 mm 
Resolução 
Devemos passar todas as unidades para uma mesma unidade. Para a 
resolução dessa questão, vamos passar todas para metro (m), mas 
poderíamos passar para qualquer outra unidade. 
0,2 km = 0,2´103 = 0,2´1.000 = 200 m 
2,5× 48 m = 120 m 
325 cm = 325´10-2 = 325´ 0,01 = 3,25 m 
900 mm = 900´10-3 = 900´ 0,001 = 0,9 m 
Agora sim, temos todos os elementos numa mesma unidade, então é só 
efetuar: 
0,2 km - 2,5 × 48 m + 325 cm + 900 mm = 200m -120m + 3, 25m + 0,9 m 
0,2 km - 2,5 × 48 m + 325 cm + 900 mm = 84,15 m 
 
Exemplo 2: 
Uma pessoa andou 6,05 hm em uma determinada hora, depois mais 
0,72 km e finalmente mais 12.500 cm. Qual foi o percurso total feito por essa 
pessoa? 
Resolução 
Vamos colocar todas as unidades em metro (m) 
 
 
 
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6,05 hm = 6,05´102 = 6,05´100 = 605 m 
0,72 km = 0,72´103 = 0,72´1.000 = 720 m 
12.500 cm = 12.500´10-2 = 12.500´ 0,01 = 125 m 
Todos na mesma unidade, agora é só efetuar os cálculos 
6,05 hm + 0,72 km +12.500 cm = 605 m + 720 m +125 m = 1.450 m 
 
Unidades de área 
A unidade fundamental é o metro quadrado (m2). 
Múltiplos: 
Quilômetro quadrado (km^2 ), hectômetro quadrado ( hm^2 ) e 
decâmetro quadrado ( dam^2 ) 
Submúltiplos: 
Decímetro quadrado (dm^2 ), centímetro quadrado ( cm^2 ) e milímetro 
quadrado (mm^2 ) 
 
Cada unidade vale 100 (102) vezes a seguinte, significa que devemos 
multiplicar o valor dado por 10n , onde n indica o número de casas deslocadas 
para a direita, ou para a esquerda; se for para a direita ( n = 2, 4, 6, ... ), se for 
para a esquerda ( n = -2, - 4, - 6, ...) ou ainda, que a vírgula deverá se deslocar 
de duas em duas casas. 
Exemplo: 
1. Efetue 42,35 dam^2 + 0,0181 km^2 + 4.351 m^2 + 201.700 cm^2 
Resolução 
Vamos passar para m^2 
42,35 dam^2 = 42,35´102 = 42,35´100 = 4.235 m^2 
0,0181 km^2 = 0,0181´106 = 0,0181´1.000.000 = 18.100 m^2 
4.351m^2 = 4.351m^2 
201.700 cm^2 = 201.700´10-4 = 201.700´ 0,0001 = 20,17 m^2 
Pronto! Já temos todas as unidades iguais 
42,35 dam^2 + 0,0181 km^2 + 4.351m^2 + 201.700 cm^2 = 
= 4.235 m^2 +18.100 m^2 + 4.351m^2 + 20,17 m^2 = 26.706,17 m^2 
 
 
 
 
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Unidades agrárias 
 
 
Essas medidas são muito utilizadas no cálculo de grandes propriedades 
(fazendas, sítios, chácaras, etc.). 
Exemplo: 
1. Um terreno de 480 ha e 25 a foi vendido por R$ 500, 00 o hectare. 
Qual foi o valor da venda? 
Resolução 
Devemos transformar todas as unidades para m^2 
480 ha = 480´10.000 = 4.800.000 m^2 
25 a = 25´100 = 2.500 m-2 
Somando, temos: 
4.800.000 m^2 + 2.500 m^2 = 4.802.500 m^2 
Agora, voltamos para hectare e para isso, é só dividir por 10.000 m^2 
A ha TERRENO 480,25 
10.000 
4.802.500 = = 
Se o preço de 1 ha é R$ 500, 00, então é só multiplicar a área do terreno 
por esse valor, assim 
480, 25´ 500 = 240.125 
Isto é, a área total do terreno será de R$ 240.125,00. 
 
Unidade de volume 
 
A unidade fundamental é o metro cúbico (m^3 ). 
Múltiplos: 
Quilômetro cúbico (km^3 ), hectômetro cúbico ( hm^3 ) e decâmetro 
cúbico ( dam^3 ) 
Submúltiplos: 
Decímetro cúbico ( dm^3 ), centímetro cúbico ( cm^3 ) e milímetro cúbico 
(mm^3 ) 
 
 
 
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Cada unidade vale 1000 (103) vezes a seguinte, significa que devemos 
multiplicar o valor dado por 10^n, onde n indica o número de casas deslocadas 
para a direita, ou para a esquerda; se for para a direita ( n = 3, 6, 9, ... ), se for 
para a esquerda ( n = -3, -6, - 9, ... ) ou ainda, que a vírgula deverá se deslocar 
de duas em duas casas. 
Exemplo: 
Efetue 31,512 dam^3 + 0,0008 hm^3 +120 m^3 
Resolução 
Passando para m^3 , temos 
31,512 dam3 = 31,512´103 = 31,512´1.000 = 31.512 m^3 
0,0008 hm3 = 0,0008´106 = 0,0008´1.000.000 = 800 m^3 
120 m3 = 120 m^3 
31,512 dam3 + 0,0008 hm^3 +120 m3 = 31.512 m^3 + 800 m^3 +120 
m^3 
31,512 dam3 + 0,0008 hm^3 +120 m3 = 32.432 m^3 
Unidade de capacidade 
A unidade fundamental chama-se litro (L). 
Múltiplos: quilolitro (kL), hectolitro (hL) e decalitro (daL) 
Submúltiplos: decilitro (dL), centilitro (cL) e mililitro (mL) 
 
Cada unidade vale 10 vezes a seguinte, significa que devemos 
multiplicar o valor dado por 10^n, onde n indica o número de casas deslocadas 
para a direita, ou para a esquerda; se for para a direita (n = 1, 2, 3,...), se for 
para a esquerda (n = -1, - 2, - 3, ... ) ou ainda, que a vírgula deverá se deslocar 
de uma em uma casa. 
Exemplo: 
1. Efetue 42,3 L + 212, 25 dL - 0,31 kL + 61 daL 
Resolução 
Passando para L, temos. 
42,3 L = 42,3 L 
 
 
 
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212,25 dL = 212,25´10-1 = 212, 25´ 0,1 = 21, 225 L 
0,31 kL = 0,31´103 = 0,31´1.000 = 310 L 
61 daL = 61´101 = 61´10 = 610 L 
42,3 L + 212,25 dL - 0,31 kL + 61 daL = 42,3 L + 21,225 L - 310 L + 610L 
42,3 L + 212,25 dL - 0,31 kL + 61 daL = 363,525 L 
 
Unidade de massa 
A unidade fundamental chama-se grama (g). 
Múltiplos: quilograma (kg), hectograma (hg) e decagrama (dag). 
Submúltiplos: decigrama (dg), centigrama (cg) e miligrama (mg) 
 
Cada unidade vale 10 vezes a seguinte, significa que devemos 
multiplicar o valor dado por 10^n, onde n indica o número de casas deslocadas 
para a direita, ou para a esquerda; se for para a direita ( n = 1, 2, 3, ... ), se for 
para a esquerda ( n = -1, - 2, - 3, ... ) ou ainda, que a vírgula deverá se deslocar 
de uma em uma casa. 
Exemplos: 
1. Efetue 1,5 kg - 409 g - 9,1 dag 
Resolução 
Passando tudo para g, temos. 
1,5 kg = 1,5´103 = 1,5´1.000 = 1.500 g 
409 g = 409 g 
9,1 dag = 9,1´101 = 9,1´10 = 91 g 
1,5 kg - 409 g - 9,1 dag = 1.500 g - 409 g - 91 g = 1.000 g = 1 kg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
É muito comum nas expressões algébrica o aparecimento de certos 
produtos. Para simplificar o trabalhonos cálculos será muito útil a 
aplicação dos produtos notáveis. Veja a tabela abaixo: 
 
Produtos notáveis Exemplos 
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (x+3)
2
 = x
2
+6x+9 
(a-b)2 = a2-2ab+b2 (x-3)
2
 = x
2
-6x+9 
(a+b)(a-b) = a2-b2 (x+3)(x-3) = x
2
-9 
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab (x+2)(x+3) = x
2
+5x+6 
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (x+2)
3
 = x
3
+6x
2
+12x+8 
(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (x-2)
3
 = x
3
-6x
2
+12x-8 
(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3 (x+2)(x
2
-2x+4) = x
3
+8 
(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 (x-2)(x
2
+2x+4) = x
3
-8 
 
 
ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
 
1) Desenvolva: 
a) (3x+y)2 
(3x+y)
2
 = (3x)
2
+2.3x.y+y
2
 = 9x
2
+6xy+y
2
 
 
b) ((1/2)+x2)2 
((1/2)+x
2
)
2
 = (1/2)
2
+2.(1/2).x
2
+(x
2
)
2 
= (1/4) +x
2
+x
4
 
 
c) ((2x/3)+4y3)2 
((2x/3)+4y
3
)
2
 = (2x/3)
2
-2.(2x/3).4y
3
+(4y
3
)
2
= (4/9)x
2
-(16/3)xy
3
+16y
6
 
 
d) (2x+3y)3 
(2x+3y)
3
 = (2x)
3
+3.(2x)
2
.3y+3.2x.(3y)
2
+(3y)
3
 = 8x
3
+36x
2
y+54xy
2
+27y
3
 
 
e) (x4+(1/x2))3 
(x
4
+(1/x
2
))
3
 = (x
4
)
3
+3.(x
4
)
2
.(1/x
2
)+3.x
4
.(1/x
2
)
2
+(1/x
2
)
3
 = 
x
12
+3x
6
+3+(1/x
6
) 
 
f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) 
((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)
2
-(4y/5)
2
 = (4/9)x
2
-(16/25)y
2
 
 
2) Efetue as multiplicações: 
 
 
 
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a) (x-2)(x-3) 
(x-2)(x-3) = x
2
+((-2)+(-3))x+(-2).(-3) = x
2
-5x+6 
 
b) (x+5)(x-4) 
(x+5)(x-4) = x
2
+(5+(-4))x+5.(-4) = x
2
+x-20 
 
 
3) Simplifique as expressões: 
a) (x+y)
2
–x
2
-y
2 
(x+y)
2–x2-y2 = x2+2xy+y2–x2-y2 = 2xy 
 
b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) 
(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) = x
2
+(2+(-7))x+2.(-7) + x
2
+(-5+3)x+3.(-5) = 
x
2
-5x-14+ x
2
-2x-15 = 2x
2
-7x-29 
 
c) (2x-y)2-4x(x-y) 
(2x-y)
2
-4x(x-y) = (2x)
2
-2.2x.y+y
2
-4x
2
+4xy = 4x
2
-4xy+y
2
-4x
2
+4xy = 
y
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TRIGONOMETRIA DO TRIANGULO RETANGULO 
Triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo reto, ou 
seja, um ângulo de 90º. Na figura abaixo, podemos observar um triângulo 
retângulo em Â: 
 
O lado BC, oposto ao ângulo reto Â, é chamado de hipotenusa e os 
lados AB e AC são chamados de catetos do triângulo retângulo. Uma relação 
matemática importante afirma que, em qualquer triângulo, a soma dos ângulos 
Internos é sempre igual a 180º. 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
Relações trigonométricas do triângulo retângulo: 
Outra maneira de calcular a medida dos lados de um triângulo retângulo 
é através da medida de um ângulo e um lado, usando a Trigonometria. As 
principais relações trigonométricas são: Seno, Cosseno e Tangente. Há outras 
três: Cotangente, Secante e Cossecante. 
Seno de um ângulo 
É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, 
dado pela ordem: 
 
 
 
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Cosseno de um ângulo 
Cosseno: É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida 
da hipotenusa e é dado pela razão entre os lados que formam o próprio 
ângulo agudo, dado pela ordem: 
 
Tangente de um ângulo 
É dado pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou 
entre os catetos, dado pela seguinte ordem. 
 
Cotangente de um ângulo 
É dado pela razão entre o Cosseno e o Seno de um ângulo, 
ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem: 
 
Secante de um ângulo 
É dado pelo inverso do cosseno desse ângulo ou entre os lados que 
formam o próprio ângulo, dado na seguinte ordem: 
 
Cossecante de um ângulo 
É dado pelo inverso do seno desse ângulo ou entre os lados que 
formam o outro ângulo agudo, dado na seguinte ordem: 
 
 
 
 
 
 
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Ângulos notáveis