Gráficos monolog e dilog(loglog)

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Gráficos monolog e dilog
A boa notícia é que não precisaremos mais da calculadora para determinar A, B, nem somatórios, só usaremos ela para fazer cálculos simples. Os gráficos monolog (semilog) e dilog (loglog)são mais fáceis, mas requerem um pouco de atenção para não cair em erros simples. 
Qual papel devo usar?
Os gráficos monolog e dilog devem ser usados quando há algum exponencial na equação, em geral. 
A princípio, o monolog é usado quando há o expoente variável na base “e” ou na base “10”; enquanto o dilog, quando há uma grandeza (tipo um tempo (t), uma distância (x), um volume (V) elevado a um expoente variável.
Vou linearizar várias equações para vocês visualizarem do que estou falando.
Linearização
A linearização consiste sempre no mesmo processo: em identificar qual é o A, qual é o B, o Y’ e o X’. Isto é transformar a equação em algo equivalente à equação de uma reta.
Vamos para os exemplos:
Exemplo 1
Na tabela, encontram-se os dados da Resistência (R) em função da Temperatura (T)
R=Ro*eB/T
Verifique que temos um exponencial (de base “e”), ou seja, devemos aplicar um logarítimo de base e nos dois lados, para sumir com o expoente, já que não há exponenciais nas equações das retas. E logarítimo de base “e” = ln
ln R = ln (Ro*eB/T)
Vamos usar as propriedades dos logarítimos (multiplicação vira soma; expoente vira multiplicante). Assim a equação fica assim:
ln R = ln Ro + ln e B/T
ln R = ln Ro + (B/T) * ln e
ln R = ln Ro + (B/T)*1
ln R = ln Ro + B* (1/T)
Agora ficou bem semelhante a uma reta, onde:
Y’ = ln R (variável dependente)
X’ = 1/T (variável independente)
A’ = ln Ro (coeficiente linear)
B’ = B (coeficiente angular)
Como uma das variáveis está em formato de logarítimo (Y’=lnR) e a outra no formato linear (X’=1/T), utilizaremos o papel monolog
Exemplo 2
No enunciado, encontra-se a variação da distância (X) em função do tempo (t)
X=A*10(-B/2m)t
Verifique que temos um exponencial (de base “10”), ou seja, devemos aplicar um logarítimo de base 10 (log) dos dois lados. Em seguida, aplicaremos as propriedades dos logarítimos.
log X = log [A*10(-B/2m)t]
log X = log A + log 10(-B/2m)t
log X = log A + (-B/2m)t*log 10
log X = log A + (-B/2m)t*1
log X = log A + (-B/2m)*t
Linearização:
Y’ = log X (variável dependente)
X’ = t (variável independente)
A’ = log A (coeficiente linear)
B’ = (-B/2m) (coeficiente angular)
Como uma das variáveis está em logaritimo (Y’=log X)e a outra linear (X’=t)m usa-se o papel monolog
Exemplo 3
No enunciado, encontra-se o trabalho (W) em função do tempo (s)
W=P*tn
Agora a variável que queremos está na base, não no expoente. Ou seja, não há nenhuma base numérica. Assim, podemos escolher se queremos aplicar ln ou log. Escolheremos log que é mais fácil
log W = log (P*tn)
log W = log P + log tn
log W = log P + n*log t
Linearização:
Y’ = log W (variável dependente)
X’= log t (variável independente)
A’ = log P (coeficiente linear)
B’ = n (coeficiente angular)
Note que ambas as variáveis (X’ e Y’) estão escritos no formato de logarítimo, logo, usaremos o papel DIlog.
Exemplo 4
No enunciado, encontra-se o a voltagem (V) em função da corrente (I)
V=C*Iß
Agora a variável que queremos está na base, não no expoente. Ou seja, não há nenhuma base numérica. Assim, podemos escolher se queremos aplicar ln ou log. Escolheremos log que é mais fácil
log V = log (C*Iß)
log V = log C + log Iß 
log V = log C + ß*log I
Linearização:
Y’ = log V (variável dependente)
X’= log I (variável independente)
A’ = log C (coeficiente linear)
B’ = ß (coeficiente angular)
Note que ambas as variáveis (X’ e Y’) estão escritos no formato de logarítimo, logo, usaremos o papel DIlog.
Plote do gráfico em Monolog ou Dilog
O plote do gráfico em Monolog ou Dilog é mais fácil do que parece. Vou pegar um de cada tipo dos exemplos ali de cima, com uma tabelinha particular
Exemplo: Monolog
Dada a equação abaixo e os valores da tabela, plote o gráfico em papel semilog (monolog):
R=Ro*eB/T
	R(ohm)
	231,8
	148,4
	71,0
	30,8
	19,4
	T(K)
	295,3
	310,2
	341,2
	382,5
	402,1
A linearização já foi feita (Exemplo 1), então vamos lembrar dela:
Y’ = ln R (variável dependente)
X’ = 1/T (variável independente)
A’ = ln Ro (coeficiente linear)
B’ = B (coeficiente angular)
Note que o X’ está na forma: 1/T, então vamos atualizar a tabela. O Y’ está na forma desejada “ln R”. Como os valores deram pequenos, vamos passar para notação científica e isolar o 10-3. Exemplo, o primeiro deu 0,00386386725, passando para notação científica: 3,386386725*10-3. Mantendo os significativos (4), temos 3,386*10-3.
	R(Ω)
	231,8
	148,4
	71,0
	30,8
	19,4
	1/T (K-1) * 10-3
	3,386
	3,224
	2,931
	2,614
	2,487
A escala em X é linear, enquanto a Y é logarítima. Logo, vamos tratar as duas diferentemente.
Escala em X
Lembram como se trata uma escala linear? É preciso descobrir a menor divisão de escala e o primeiro e o último valor. Para isso, é preciso ver a escala para todo o papel (calculando a variação do X e dividir pelo tamanho dele [12]) e depois a escala para metade do papel.
Menor Divisão de Escala
E100% = (Xmáx – Xmín) /12
E100% = (3,386 – 2,487) / 12 = 0,074916666 (*10-3)
E50% = 2*E100% = 0,149833333 (*10-3)
A menor divisão de escala está entre esses dois. Então vamos pegar 0,100 (*10-3) que é o único entre as escalas permitidas. Como cada valor de 1/T tem 3 casas decimais, devemos escrever 0,100.
OBS! Coloquei coloridinho a potência de 10 só para não se esquecerem dela. Mas ela não aparecerá nos cálculos, nem em cada medida abaixo do eixo X, só naquela flechinha no gráfico onde a gente diz a variável e a unidade.
Intervalo
O menor valor de (1/T) é 2,487 (*10-3). Como vai de 0,100 em 0,100, pegaremos o 2,400. Assim 2,400 +12*0,100 = 3,600. Abrange todos os valores, logo estamos corretos.
Resumo
Gráfico começa em 2,400 (*10-3) e vai até 3,600 (*10-3), indo de 0,100 em 0,100.
Escreva os valores de 2 em 2 quadrados, de 3 em 3, de 4 em 4
(divisores de 12 = 2, 3, 4)
Escala em Y
Em Y a escala é logarítima e veja no seu papel semilog (monolog) que ele é dividido em 3 partes parecidas (a primeira começa de 1, a segunda de 1¹ e a terceira de 1²). Cada um desses corresponde a uma dezena. Isto é, em cada dezena, nós escreveremos os valores de mesma grandeza. 
Trocando em Miúdos, vamos para um anexo que não tem a ver com os números do exercício:
Anexo
Supondo que temos esses valores:
7,7
9,8
50,4
78,5
100,2
342,7
2345,8
4125,9
Note que todos tem uma casa decimal, mas cada um tem uma grandeza diferente. Como assim? Um está na casa das dezenas, outro das centenas, outro dos milhares. Classificando eles:
7,7 (casa das unidades = 7,7 unidades)
9,8 (casa das unidades = 9,8 unidades)
50,4 (casa das dezenas = 5,04 dezenas)
78,5 (casa das dezenas = 7,85 dezenas)
100,2 (casa das centenas = 1,002 centenas)
342,7 (casa das centenas = 3,427 centenas)
2345,8 (casa dos milhares = 2,3458 milhares)
4125,9 (casa dos milhares = 4,1259 milhares)
Assim, se fossem jogar esses valores numa escala logarítima (aquela do monolog), os dois primeiros ficariam na primeira dezena (referente às unidades, nesse caso); a segunda dezena (representaria as dezenas) representaria o terceiro e o quarto número; o quinto e o sexto iriam para a terceira dezena (representando as centenas) e o sétimo e o oitavo iriam para a quarta dezena (representando os milhares)
A legenda do gráfico ficaria assim:
No primeiro 1, escreveria: 1,0*1, ou 1,0*100 (pois representaria as unidades). Lembre-se de manter os significativos dos valores correspondentes (nos valores de unidade tinha dois, nos de dezena três, de centena quatro e de milhar cinco.
No 1¹, escreveria: 10,0*1 ou 1,00*10¹ (pois representaria as dezenas)
No 1², escreveria: 100,0*1 ou 1,000*10² (pois representaria as centenas)
No 1³, escreveria: 1000,0* ou 1,0000*10³(pois representaria os milhares)
Fim do Anexo
Voltando ao exemplo dado, os valores da tabela correspondentes a Y’ são:
	R(Ω)231,8
	148,4
	71,0
	30,8
	19,4
Classificando-os, é possível perceber que há valores na casa das centenas e valores na casa das dezenas, logo:
Y1: 231,8 (casa das centenas)
Y2: 148,4 (casa das centenas)
Y3: 71,0 (casa das dezenas)
Y4: 30,8 (casa das dezenas)
Y5: 19,4 (casa das dezenas)
Assim, a primeira dezena do gráfico será definida pela casa das dezenas, isto é, escreva 10,0*1 ou 1,00*10¹ ao lado do primeiro 1 da vertical [estou mantendo os 3 significativos]. Essa dezena conterá os pontos Y3, Y4, e Y5. Como vamos escrevê-los? Lembre-se que o 1 da primeira dezena corresponde a 10,0. Logo, o 2 corresponde a 20,0, o 3 corresponde a 30,0 e assim por diante. Ficou mais fácil ver? A partir daí é como se botasse num gráfico linear. Cuide que do 1 para o 2 tem 20 divisões enquanto do 3 para o 4 tem 10 e do 9 para o 1¹ tem apenas 5.
Da mesma forma, a segunda dezena do gráfico será definida pela casa das centenas, isto é, escreva 100,0*1 ao lado do 1¹ ou 1,000*10² [estou mantendo os 4 significativos.] Esta dezena conterá os pontos Y1 e Y2. A correspondência é a mesma, sendo o 1¹ = 100,0, o 2 = 200,0 e assim por diante.
Depois disso é só ligar cada Y com o X da tabela e marcar os pontos. Para marcar os pontos, faça um x pequeno e circule.
Traçado da Reta
Aqui o traçado é mais fácil que no papel milimetrado, porque não é preciso calcular a melhor reta. Basta traçar a SUA melhor reta. A lógica que ela deve seguir é ficar o mais próxima possível de todos os pontos. Em suma, trace uma reta por meio de todas as bolinhas. Não ligue a primeira com a última e nem ligue uma a uma. O que será feito é uma reta só onde todos os pontos estejam mais ou menos a mesma distância e que SE PUDER (não seja obcecado), tenha a mesma quantidade de pontos de cada lado da reta. Veja um exemplo (nada a ver com nada, apenas tracei no Paint um gráfico aleatório sem função nenhuma) que serve para mostrar como se deve traçar a melhor reta.
Unidade de X e Y
X é 1/T. Como T é medido em Kelvin (K). 1/T é 1/K, ou K-1. Assim, no eixo X, trace uma flechinha no final dele e abaixo escreva 1/T (K-1). Não se esqueça do 10-3. Então fica 1/T (K-1) *10-3.
Y é correspondente a R, que é medido em Ohm (Ω). Tá, mas não é Log R? SIM É LOG R, mas a escala no eixo Y já é logarítimo, então isso já está embutido. Logo, simplesmente ponha a flechinha para cima em cima do eixo Y e escreva: R (Ω)
Exemplo: Dilog
O Dilog é parecidíssimo com o monlog, só que é MAIS fácil, pois as duas escalas são logarítimas. Vamos pegar o exemplo 3.
Desenhe o gráfico de trabalho em função do tempo, segundo a equação abaixo e os valores calculados
W=P*tn
	W (J)
	36.485
	97.054
	217.472
	506.476
	721.154
	T (s)
	75
	200
	450
	1.050
	1.500
A linearização já foi feita, nos lembremos dela:
Y’ = log W (variável dependente)
X’= log t (variável independente)
A’ = log P (coeficiente linear)
B’ = n (coeficiente angular)
Maravilhosamente, nenhum número ali na tabela precisa de ajustes. Então, simplesmente vamos direto para as determinações do Eixo X e Y, ambos logarítimos.
Eixo x
O eixo x é definido pelo tempo. Os valores de X’ são:
X1 = 75 (casa das dezenas)
X2 = 200 (casa das centenas)
X3 = 450 (casa das centenas)
X4 = 1.050 (casa dos milhares)
X5 = 1.500 (casa dos milhares)
Assim, temos três tipos de ordens de grandezas. Logo, usaremos três dezenas no eixo x. A primeira conterá a casa das dezenas (o valor de X1); a segunda a das centenas (X2 e X3) e a terceira a dos milhares (X4 e X5).
Assim, no primeiro 1 do eixo X, escreva 10*1 ou 1,0*10¹ (para representar as dezenas. Note que o X1 tem apenas dois algarismos significativos, logo devemos manter essa regra). Daí, no 1¹ do eixo X escreva 100*1 ou 1,00*10² (para representar as centenas). Por fim no 1² do X, escreva 1000*1 ou 1,000*10³ (para representar os milhares). Marque as coordenadas em X dos pontos usando o mesmo sistema do eixo y monolog (lembrando que do 1 apara o 2 tem 20 divisões e que do 8 para o 9 tem 5. CUIDADO)
Eixo y
O eixo y é definido pelo Trabalho, vamos ver os valores:
Y1 = 36.485 (casa das dezenas de milhares)
Y2 = 97.054 (casa das dezenas de milhares)
Y3 = 212.472 (casa das centenas de milhares)
Y4 = 506.476 (casa das centenas de milhares)
Y5 = 721.154 (casa das centenas de milhares)
Temos dois tipos de grandezas, logo usaremos duas dezenas no eixo y. A primeira conterá os pontos Y1 e Y2, representando as dezenas de milhares (escreva 10.000*1 ou 1,0000*104 após o primeiro 1 do eixo y. LEMBRE DE VER OS SIGNIFICATIVOS). A segunda conterá os pontos Y3, Y4 e Y5, representando as centenas de milhares (escreva 100.000*1 ou 1,00000*105 após o 1¹ do eixo y).
Anote as coordenadas em y dos pontos, ligue com as correspondentes do eixo X e marque os pontos com um x circulado. Em seguida, trace a reta com o mesmo critério do monolog (se por um motivo qualquer, tu pulaste o exemplo do monolog e vieste direto por um dilog, faça o favor de revisar lá que eu não vou escrever de novo). 
Ou melhor, vou! Só não vou postar o desenhozinho. Basta traçar uma reta que fique entre os pontos experimentais. Ela não precisa passar por nenhum deles, apenas ficar próxima de todos. O legal é ficar a mesma quantidade de um lado para o outro, mas se isso acontecer, não tem problema. JAMAIS LIGUE PONTO A PONTO E NÃO LIGUE O PRIMEIRO COM O ÚLTIMO.
Tá, quem tá com preguiça de olhar lá em cima, aqui está o desenho de novo de como seria a reta hipotética. Note que ela está próxima de todos os pontos, mas não passa por nenhum.
Unidade de X e Y
X representa o tempo (s) e Y o Trabalho (J). Os dois são log, mas como a escala é logarítimica. NÃO IMPORTA! O eixo X será em segundos e o eixo Y em J. Logo trace as setinhas lá no eixo X e Y:
Eixo X: --------------------- t(s)
Eixo Y: ------------------- W (J) (a setinha é para ir para cima, mas eu não sei fazer)
Cálculo do A’ e do B’ em papel Monolog e Dilog
O cálculo do A’ e do B’ em Monolog e Dilog é praticamente a MESMA COISA! Na real, é a MESMA coisa. 
Cálculo do B’ e do A’
Nós tiramos o B’ a partir de dois pontos da Reta após o tracejado (NÃO PEGAR PONTOS EXPERIMENTAIS). Como se faz isso? Simples, olhe onde a reta passa, marque um ponto da reta e veja as coordenadas em X e Y (veja uma coordenada fácil, né?). Daí, o B é calculado assim:
B’ = ΔY / ΔX = (Y2-Y1)/ (X2-X1), sendo P1(X1,Y1) e P2 (X2,Y2)
O A’, basta ver o que significa (ln de alguma coisa, por exemplo), calcular essa coisa através da equação inicial (já veremos para ficar claro) 
Agora vamos aplicar nos exemplos lá, para poderem visualizar. Primeiro em monolog:
Exemplo do Monolog
Lembra daquele exemplo lá? O Exemplo 1.
 O X era 1/T e o Y era ln R (vide linearização)
Se fizeste os passo direitinho, traçaste uma reta (cada um vai dar uma reta com pontos diferentes, mas todas parecidas), obterás uma infinidade de pontos. Eu vou pegar os meus dois pontos a partir da MINHA RETA. Não se assustem se não chegaram a esses pontos.
P1 = (3,200 ; 130,0)
P2 =(2,420 ; 16,0)
Maaas, não podemos esquecer de DUAS coisas. Do 10-3 e que o Y’ é ln R e não simplesmente R, logo os pontos certos são:
P1 = (3,200*10-3 ; ln 130,0)
P2 = (2,420*10-3 ; ln 16,0)
Assim, vamos colocar na fórmula do B:
B’ = ΔY / ΔX = (Y2-Y1)/ (X2-X1)
B’ = (ln 130,0 – ln 16,0) /[(3,200 -2,420)*10-3]
B’ = ln (130,0/16,0) / (0,780*10-3)
B’ = ln (8,125) / (0,780*10-3)
B’ = 2,09495728 / (0,780*10-3)
B’ = 2,6685827857 *10³ = 2,67*10³.
Qual a unidade de B’? Vamos analisar pela equação literal, transformando o Y e o X no que era antes de linearizar
B’ = ΔY / ΔX = (Y2-Y1)/ (X2-X1)
B’ = (ln R2 – ln R1)/(1/T2 – 1/T1)
B’ = ln [(R2/R1)]/ (1/T2 – 1/T1)
Fazendo a análise dimencional
B’ = ln [(Ω / Ω)]/ (1/K – 1/K)
B’ = adimensional / (1/K)
B’ = K
Só podemos cortar na divisão, na soma, 1kg – 1kg = 0kg. A unidade se mantém. Logo a unidade do B’ é Kelvin e seu valor é:
B’ = 2,67*10³ K
Agora veremos o A’. Como era a equação mesmo? Veja abaixo, junto com a linearização quea gente fez antes:
R=Ro*eB/T, sendo A = ln Ro
Assim, vamos determinar Ro para escrevermos a equação bonitinha e depois o A’.
Isolando a equação Ro é igual a R/eb/t , pegue o ponto P2, por exemplo: 
P2 = (2,420*10-3 ; ln 16,0)
Lembre que agora não estamos trabalhando com a equação linearizada e sim com os valores originais, logo X’ = 1/T e Y’ = ln R
Assim, aplicamos: Ro = 16,0/e2,67*10³ * 2,420*10^-3 . (veja que B/T = B*1/T = B’X’) (por coincidência, o B é o B’.
Ro = 0,025001704 = 2,50 *10-2.
A’ = ln Ro = -3,68811278 = -3,69
Para determinar a unidade de Ro. Basta repetir a análise dimensional:
Ro = R/eb/t
Ro = Ω/eK/K
Ro = Ω/adi
Ro = Ω
O que faz sentido, já que é uma medida inicial de R.
Logo, as equações ficariam:
Y’ = -3,69 + 2,67*10³X’ (reta)
R= 2,50*10-2 *e2,67*10³/T (equação original)
Exemplo do Dilog
Vamos fazer agora com o Dilog, o exemplo 3, a linearização ficou:
Y’ = log W (variável dependente)
X’= log t (variável independente)
Traçando a MINHA reta (não a tua), chegamos a dois pontos (QUE NÃO SÃO OS EXPERIMENTAIS)
P1 = (350 ; 140.000)
P2 = (900 ; 430.000)
Mas eles são logs, logo:
P1 = ( log 350 ; log 140.000)
P2 = (log 900 ; log 430.000)
B’ = ΔY / ΔX = (Y2-Y1)/ (X2-X1)
B’ = (log 430.000 – log 140.000) / (log 900 – log 350)
B‘ = log (430.000/140.000) / log (900/350)
B’ = log 3,071428571 /log (2,571428571)
B’ = 0,487340419/0,410174465
B’ = 1,188129592 = 1,19
Verificando a unidade pela análise dimensional:
B’ = ΔY / ΔX = (Y2-Y1)/ (X2-X1)
B’ = (log W2 – log W1)/(log t1 – logt2)
B’ = log (W2 / W1) / log (t2 / t1)
B’ = log (J/J) / log (s/s)
B’ = adimensional / adimensional 
B’ = adimensional
Logo, B‘ = 1,19
Mas B’ = n (linearização)
Logo n = 1,19
O A’ era o que mesmo?
W=P*tn, sendo A = log P
Assim, vamos determinar o P, depois vemos o A. Isolando a equação temos: P = W/tn
Pegue um ponto da RETA (tipo o P2 = (log 900 ; log 430.000) )
Lembre mais uma vez que não estamos trabalhando com a equação linearizada e sim com a geral. Logo, X’ = log t; Y’ = log W
Assim, aplicamos: P = 430.000/9001,19
P = 131,195781 = 131
Como A’ = log P, A’ = 2,11791959 = 2,12
Para determinar a unidade de P, basta aplicar a análise dimensional:
P = W/tn
P = J / s1,19
Note que a unidade de P (potência) é J/s. Praticamente a mesma coisa que encontramos, pois s1,19 é aproximadamente.
Logo, as equações ficariam:
Y’ = 2,12 + 1,19 X’ (reta)
W = 131 * t1,19 (equação original)