[SLIDES] Aula03e04 - Dist Amostral e Estimacao

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1
 Introdução e conceitos fundamentais
 Distribuições amostrais
 Teorema central do limite
 Propriedades dos estimadores
Inferência Estatística –
Estimadores e Distribuições 
Amostrais
2
Dar informação sobre o todo com 
base no conhecimento da parte
“Não é preciso beber toda a garrafa 
para saber se o vinho é bom.” 
Idéia fundamental
Inferência Estatística
3
Pesquisas são feitas com amostras, mas o pesquisador quer 
estender os resultados que obteve para toda a população.
população
amostra
pesquisas
É o conjunto de procedimentos estatísticos que têm por
finalidade generalizar conclusões de uma amostra para
uma população.
interesse
Pesquisador 
quer fazer 
inferência
Inferência estatística
4
 Erro provável
Resultados 
Generalização = Inferência
Amostra 
(de 1000 a 2000 
entrevistados)População 
(8 milhões de 
eleitores)
Amostragem
(deve garantir a 
representatividade)
Exemplo: Pesquisas eleitorais no Rio Grande do Sul
Candidato A - 25% 
Candidato B – 18% 
Candidato C – 12% 

































 




5
População é o conjunto de todos os indivíduos ou elementos que
atendem a determinadas características definidoras. Estas
características dependem do objetivo do estudo.
Pesquisa eleitoral no Rio Grande do Sul
Objetivo: Conhecer a preferência eleitoral no estado
População: Todos eleitores votantes no RS
Conceitos fundamentais
Amostra é um subconjunto da população retirado com o objetivo 
de representá-la.
Pesquisa eleitoral no Rio Grande do Sul
Amostra: Conjunto de 1.000 a 2.000 eleitores votantes
no RS que serão entrevistados pelos pesquisadores
Amostragem é o método de seleção que empregamos para
obtenção de amostras.
6
N = tamanho 
da população n = tamanho 
da amostra
com reposição
[X1, X2]
n=2
(1, 1)
(1, 2)1
6
5 4
3
2
4 4
3
1 (1, 3)
(6, 6)
. . .
A amostra é 
uma coleção de 
variáveis 
aleatórias
[X1, X2]
(1, 1)
(1, 2)
(6, 6)
. . .
(1, 3)
X S2
. . . . . .
1,5x2 
1x1 
2x3 
6xk 
0s2
1 
0,5s2
2 
2s2
3 
0s2
k 
N=10
Exemplo
7
Amostra: [X1, X2, ..., Xn]
Como a amostra é uma sequência de variáveis aleatórias, qualquer 
função da amostra (soma, média, variância) também será uma 
variável aleatória.
Variáveis aleatórias
X S2
Estatísticas
Variáveis aleatórias
. . .
1x
2x
kx
. . .
2
1s
2
2s
2
ks
Se temos k amostras 
de mesmo tamanho n, 
temos k médias e 
variâncias
Estimador ou Estatística é qualquer valor obtido em função da 
amostra. Como as estatísticas são variáveis aleatórias, também terão alguma
distribuição de probabilidade com média, variância, etc.
Distribuição amostral é a distribuição de probabilidade de
uma estatística.
8
Exemplo: 
O mecânico de uma oficina de regulagem para carros 1.0, 1.4, 2.0,
cobra pelo serviço 40, 45 e 50 reais, respectivamente. Seja a variável
X = valor cobrado pelo mecânico, com a seguinte distribuição de
probabilidade:
a) Determine a média e a variância da população.
X = x 40 45 50  
P(X = x) 0,2 0,3 0,5 1 
9
Exemplo: 
O mecânico de uma oficina de regulagem para carros 1.0, 1.4, 2.0,
cobra pelo serviço 40, 45 e 50 reais, respectivamente. Seja a variável
X = valor cobrado pelo mecânico, com a seguinte distribuição de
probabilidade:
a) Determine a média e a variância da população.
X = x 40 45 50  
P(X = x) 0,2 0,3 0,5 1 
∈
10
X = x 40 45 50  
P(X = x) 0,2 0,3 0,5 1 
b) Suponha a retirada de uma amostra de tamanho n = 2, com
reposição.
Quantas e quais são as possíveis amostras retiradas da população e
qual a probabilidade associada a cada uma?
Determine a média e a variância da distribuição amostral da
média.
Exemplo: 
O mecânico de uma oficina de regulagem para carros 1.0, 1.4, 2.0,
cobra pelo serviço 40, 45 e 50 reais, respectivamente. Seja a variável
X = valor cobrado pelo mecânico, com a seguinte distribuição de
probabilidade:
11
Amostra [X1, X2] P [X1, X2] X 
1 (40, 40) 0,2 . 0,2 = 0,04 40 
2 (40, 45) 0,2 . 0,3 = 0,06 42,5 
3 (40, 50) 0,2 . 0,5 = 0,10 45 
4 (45, 40) 0,06 42,5 
5 (45, 45) 0,09 45 
6 (45, 50) 0,15 47,5 
7 (50, 40) 0,10 45 
8 (50, 45) 0,15 47,5 
9 (50, 50) 0,25 50 
 
n = 2  [X1, X2]
onde:
k = número de amostras possíveis 
N = tamanho da população
n = tamanho da amostra
 k = Nn = 32 = 9 quantas
quais
X = x 40 45 50  
P(X = x) 0,2 0,3 0,5 1 
12
Distribuição amostral da média das amostras de tamanho 2
xX  40 42,5 45 47,5 50  
P( xX  ) 0,04 0,12 0,29 0,3 0,25 1 
12
Amostra [X1, X2] P [X1, X2] X 
1 (40, 40) 0,2 . 0,2 = 0,04 40 
2 (40, 45) 0,2 . 0,3 = 0,06 42,5 
3 (40, 50) 0,2 . 0,5 = 0,10 45 
4 (45, 40) 0,06 42,5 
5 (45, 45) 0,09 45 
6 (45, 50) 0,15 47,5 
7 (50, 40) 0,10 45 
8 (50, 45) 0,15 47,5 
9 (50, 50) 0,25 50 
 
quais
13
Distribuição amostral da média das amostras de tamanho 2
̄ ∈
=  (média da população)
= metade de 2 (variância da população)
xX  40 42,5 45 47,5 50  
P( xX  ) 0,04 0,12 0,29 0,3 0,25 1 
14
X = x 40 45 50  
P(X = x) 0,2 0,3 0,5 1 
c) Suponha a retirada de uma amostra de tamanho n = 3, com
reposição.
Quantas e quais são as possíveis amostras retiradas da população e
qual a probabilidade associada a cada uma?
Determine a média e a variância da distribuição amostral da
média.
Exemplo: 
O mecânico de uma oficina de regulagem para carros 1.0, 1.4, 2.0,
cobra pelo serviço 40, 45 e 50 reais, respectivamente. Seja a variável
X = valor cobrado pelo mecânico, com a seguinte distribuição de
probabilidade:
15
n = 3  [X1, X2 , X3]  k = Nn = 33 = 27
Quantas?
Quais?
Amostra [X1, X2, X3] P[X1, X2, X3] X Amostra [X1, X2, X3] P[X1, X2, X3] X
1 (40, 40, 40) 0,008 40 15 (45, 45, 50) 0,045 46,7
2 (40, 40, 45) 0,012 41,7 16 (45, 50, 40) 0,030 45
3 (40, 40, 50) 0,020 43,3 17 (45, 50, 45) 0,045 46,7
4 (40, 45, 40) 0,012 41,7 18 (45, 50, 50) 0,075 48,3
5 (40, 45, 45) 0,018 43,3 19 (50, 40, 40) 0,020 43,3
6 (40, 45, 50) 0,030 45 20 (50, 40, 45) 0,030 45
7 (40, 50, 40) 0,020 43,3 21 (50, 40, 50) 0,050 46,7
8 (40, 50, 45) 0,030 45 22 (50, 45, 40) 0,030 45
9 (40, 50, 50) 0,050 46,7 23 (50, 45, 45) 0,045 46,7
10 (45, 40, 40) 0,012 41,7 24 (50, 45, 50) 0,075 48,3
11 (45, 40, 45) 0,018 43,3 25 (50, 50, 40) 0,050 46,7
12 (45, 40, 50) 0,030 45 26 (50, 50, 45) 0,075 48,3
13 (45, 45, 40) 0,018 43,3 27 (50, 50, 50) 0,125 50
14 (45, 45, 45) 0,027 45
̄ ∈
16
Distribuição amostral da média das amostras de tamanho 3
=  (média da população)
= um terço de 2 (variância da população)
xX  40 41,7 43,3 45 46,7 48,3 50 
P( xX  ) 0,008 0,036 0,114 0,207 0,285 0,225 0,125 1
17
7,625σ)XV( 2
X  = 2/2
Amostras de tamanho n = 2
População
46,5μE(X) 
46,5μ)XE(
X

15,25σV(X) 2 
= 
5,083σ)XV( 2
X  = 2/3
Amostras de tamanho n = 3
46,5μ)XE(
X
 = 
n
σ
)XV(
2

)XE(
n
σ
n
σ
)XV(
2
X 
Erro padrão 
da média
18
Distribuição de probabilidade da população
X = x 40 45 50  
P(X = x) 0,2 0,3 0,5 1 
Distribuição amostral da média das amostras de tamanho 2
xX  40 42,5 45 47,5 50  
P( xX  ) 0,04 0,12 0,29 0,3 0,25 1 
Distribuição amostral da média das amostras de tamanho 3
xX  40 41,7 43,3 45 46,7 48,3 50  
P( xX  ) 0,008 0,036 0,114 0,207 0,285 0,225 0,125 1 
 
19
Comparando o histograma da população X com os histogramas da 
média para as amostras de tamanhos 2 e 3, observamos que, 
mesmo a distribuição da população não sendo simétrica, a 
distribuição amostral da média tende para a simetria à medida que 
o tamanho da amostra aumenta.
Distribuição da média das 
amostras de tamanho 2
Distribuição da média das 
amostras de tamanho 3
Distribuição da 
população
20
21
 Se a população (X) de onde foi extraída a amostra aleatória 
tiver distribuição normal, então a distribuição amostral da 
média será normal. 
Qual é a distribuição da média?
As médias são 
iguais, mas a 
variância de é n
vezes menor.então, ~ N (, 2/n)X
se X ~ N (, 2),
 Se a população (X) de onde foi extraída a amostra aleatórianão tiver distribuição normal, então a distribuição amostral da 
média se aproximará da normal à medida que o tamanho da 
amostra (n) cresce (Teorema Central do Limite).
22
Exercício proposto: Sabe-se a variável X (peso do queijo ralado 
contido em pacotinhos de 100g vendidos em supermercados) tem 
distribuição normal de média 100 e desvio padrão 10. 
(a) Qual a probabilidade de encontrar um pacote de queijo ralado 
com peso entre 95g e 105g? 
(b) Se 16 pacotes são escolhidos ao acaso em um supermercado, 
qual a probabilidade do peso médio estar entre 95g e 105g? 
23
Exercício proposto: Sabe-se a variável X (peso do queijo ralado 
contido em pacotinhos de 100g vendidos em supermercados) tem 
distribuição normal de média 100 e desvio padrão 10. 
(a) Qual a probabilidade de encontrar um pacote de queijo ralado 
com peso entre 95g e 105g? 
(b) Se 16 pacotes são escolhidos ao acaso em um supermercado, 
qual a probabilidade do peso médio estar entre 95g e 105g? 
Solução:
(a) Como X é uma N(100, 102) vem: 
P(95 30, isto é possível. A média da amostra terá uma 
distribuição aproximadamente normal com média 6 s.m. e 
desvio padrão de: 2 / 10 = 0,20. 
P( > 6,30) = P(Z > (6,30 - 6)/0,20 ) = P (Z > 1,5) = 6,68%
 Como estimar a probabilidade de obter cara ao lançar uma 
moeda? 
 Seja p a probabilidade de sair cara ao lançar a moeda. 
Supondo a moeda honesta, uma estimativa adequada seria ½
 Conde de Buffon (1707-1788) em 4040 lançamentos da 
moeda encontrou 2048 caras, logo a estimativa foi 0,5069
 Karl Pearson (1857-1937) em 24.000 lançamentos encontrou 
12.012 caras, logo a estimativa foi 0,5005
Teorema Central do Limite (exemplo)
26
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
tamanho da amostra (n)
E
st
im
at
iv
a 
d
e
 p
p1 p2 p3 p4 p5
Simulação para estimar a probabilidade de cara com uma 
amostra de tamanho 30
27
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Tamanho da amostra (n)
E
st
im
at
iv
a 
d
e 
p
p1 p2 p3 p4 p5
Simulação para estimar a probabilidade de cara com 
uma amostra de tamanho 100
28
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Tamanho da amostra (n)
E
s
ti
m
a
ti
v
a
 d
e
 p
p1 p2 p3 p4 p5
Simulação para estimar a probabilidade de cara 
com uma amostra de tamanho 500
29
3030
Estimação de parâmetros
 2
p X
2S
P
Estimadores
Variável aleatória
Parâmetros
Variáveis 
aleatórias
Constantes
População
Amostra
θ
θ̂
O estimador (estatística) é uma variável aleatória; portanto, pode 
assumir diferentes valores
Estimativa é um valor particular que o estimador assume
3131
Podem existir vários estimadores para um mesmo parâmetro.
n
X
X i


i
ii
p p
pX
X
Exemplos:
estimadores de 
1n
)X(X
S
2
i2



n
)X(X
S
2
i2
n
 

estimadores de 2
iX
Propriedades dos estimadores
 Imparcialidade ou não tendenciosidade
Um estimador é um estimador imparcial (não visesado ou 
não tendencioso) do parâmetro se o valor esperado de 
for igual a .
Exemplos:
S2 é um estimador imparcial de 2, pois de E(S2) = 2
é um estimador imparcial de , pois de E( ) = pX pX
é um estimador imparcial de , pois de E( ) = X X
não é um estimador imparcial 2, pois de E( ) = 22
nS 2
nS
n
1n
é um estimador imparcial de , pois de E( ) = iX
iX
32
X = x 40 45 50  
P(X = x) 0,2 0,3 0,5 1 
46,5μE(X) 
15,25σV(X) 2 
Distribuição de probabilidade da população
n = 2  [X1, X2]
2
nS2SAmostra [X1, X2] P [X1, X2]
1 (40, 40) 0,2 . 0,2 = 0,04 40 0 0
2 (40, 45) 0,2 ´ 0,3 = 0,06 42,5 12,5 6,25
3 (40, 50) 0,2 ´ 0,5 = 0,10 45 50 25
4 (45, 40) 0,3 ´ 0,2 = 0,06 42,5 12,5 6,25
5 (45, 45) 0,3 ´ 0,3 = 0,09 45 0 0
6 (45, 50) 0,3 ´ 0,5 = 0,15 47,5 12,5 6,25
7 (50, 40) 0,5 ´ 0,2 = 0,10 45 50 25
8 (50, 45) 0,5 ´ 0,3 = 0,15 47,5 12,5 6,25
9 (50, 50) 0,5 ´ 0,5 = 0,25 50 0 0
X
33
       2
n
2 2 2
n n nSE(S ) =μ s p(s ) 0 0,38 6,25 0,42 25 0,2 7,625
Distribuição amostral de das amostras de tamanho 22
nS
E( ) = 22
nS n
1n 
       2
2 2 2
SE(S ) s p(s ) = 0 0,38 12,5 0,42 50 0,2 =15,25
  2 2E(S ) 15,25
Distribuição amostral de das amostras de tamanho 22S
34
 Eficiência ou variância mínima
Dentre todos os estimadores imparciais de  ( , e ), a 
média simples ( ) é o mais eficiente porque tem a menor 
variância.
X
X
Exemplo:
Consideremos uma amostra aleatória de tamanho três
(n = 3)  [X1, X2 , X3]
Média simples:
Média ponderada:
Se dois ou mais estimadores de um mesmo parâmetro são
imparciais, é mais eficiente aquele que possui a menor
variância.
n
X
X i  321 XXX
3
1



i
ii
p p
pX
X
4
1X2X1X
X 321
p


3
XXX
X 321 

 321 X2XX
4
1

pX iX
35
 321 XXX
3
1
X 
   


  321 XXX
3
1
VXV
    321 XXXV
9
1
XV 
        321 XVXVXV
9
1
XV 
   222 σσσ
9
1
XV 
  2
2
0,33σ
9
3σ
XV 
Média simples
 321p X2XX
4
1
X 
   


  321p X2XX
4
1
VXV
        321p XVX4VXV
16
1
XV 
   222
p σ4σσ
16
1
XV 
  2
2
p 0,38σ
16
6σ
XV 
   )V(X)V(2X)V(X
16
1
XV 321p 
Média ponderada
      2
i
2
p
2 σXV0,38σXV0,33σXV 
Mais eficiente
36
Um estimador é consistente se à medida que o tamanho da
amostra aumenta o valor do estimador se aproxima do
parâmetro.
 Consistência
θθ Nn   ˆ
Exemplo:
Com base nessa propriedade, podemos concluir que:
 Se a amostra for pequena, devemos utilizar para 
estimar 2
2S
 Se a amostra for grande, podemos utilizar ou para 
estimar 2
2
nS 2S
é um estimador consistente de 22
nS
2
nS
n
1nE( ) = 2
37
3838
 Imparcialidade ou não tendenciosidade
 Eficiência ou variância mínima
 Consistência
Propriedades dos estimadores (RESUMO)
1n
)X(X
S
2
i2



n
)X(X
S
2
i2
n
 

 
 
Tendencioso
Sub-estimativas
Não 
Tendencioso
Mais 
Eficiente
Os dois 
estimadores são 
não tendenciosos!
n → N
os dois estimadores 
tendem a dar valores 
próximos
ViésViés
μ)μE( ˆ
μ )μE( ˆ
População
Estimador 
tendencioso
subestimando
o parâmetro 
Estimador 
tendencioso
superestimando
o parâmetro 
)μE(μ ˆ
Imparcialidade
Estimador imparcial 
ou não tendencioso 
ou não viesado
)E( ˆ
Estimadores 
tendenciosos 
ou viesados
μ)μE( ˆ μ)μE( ˆ
População
39
μ)μE( ˆ
Estimador 2
Estimador 
mais eficiente
Eficiência ou variância mínima
μ)μE( ˆμ)μE( ˆ
μ)μE( ˆ
Estimador 1
Menor 
variância
População
Estimador 
imparcial
População
Estimador 
imparcial
Médias das amostras 
se concentram num 
intervalo menor 
40
4141
n
X
X i


i
ii
p p
pX
X
estimadores de 
1n
)X(X
S
2
i2



n
)X(X
S
2
i2
n
 

estimadores de 2
Melhor estimador
imparcial e
mais eficiente
Melhor estimador
imparcial
Melhores estimadores
iX