Determine a integral \(\int_0^1 (1 - x)^3 \, dx\). a) \(\frac{1}{4}\) b) \(\frac{1}{5}\) c) \(\frac{1}{6}\) d) \(\frac{1}{8}\)

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Para resolver a integral \(\int_0^1 (1 - x)^3 \, dx\), vamos primeiro calcular a antiderivada da função \((1 - x)^3\). 1. Calcular a antiderivada: \[ \int (1 - x)^3 \, dx = -\frac{(1 - x)^4}{4} + C \] 2. Avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \int_0^1 (1 - x)^3 \, dx = \left[-\frac{(1 - x)^4}{4}\right]_0^1 \] Agora, substituímos os limites: - Para \(x = 1\): \[ -\frac{(1 - 1)^4}{4} = -\frac{0^4}{4} = 0 \] - Para \(x = 0\): \[ -\frac{(1 - 0)^4}{4} = -\frac{1^4}{4} = -\frac{1}{4} \] 3. Substituir os valores: \[ \int_0^1 (1 - x)^3 \, dx = 0 - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} \] Portanto, a resposta correta é a) \(\frac{1}{4}\).

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Calcule a integral \( \int_0^1 (2x - x^2) \, dx \).

A) \( \frac{1}{3} \)
B) \( \frac{1}{2} \)
C) \( \frac{1}{6} \)
D) \( \frac{1}{4} \)

Calcule a derivada de \(f(x) = \sqrt{1 + x^4}\).

a) \(\frac{4x^3}{2\sqrt{1 + x^4}}\)
b) \(\frac{2x^3}{\sqrt{1 + x^4}}\)
c) \(\frac{4x^3}{\sqrt{1 + x^4}}\)
d) \(\frac{x^3}{\sqrt{1 + x^4}}\)

Determine o valor de \(\int_0^1 \sqrt{x(1 - x)} \, dx\).

a) \(\frac{1}{6}\)
b) \(\frac{1}{8}\)
c) \(\frac{1}{12}\)
d) \(\frac{1}{24}\)

Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \).

A) 0
B) 1
C) \( \infty \)
D) Não existe

Calcule a derivada de f(x) = e^{x^2}.

A) 2xe^{x^2}
B) e^{x^2}
C) x e^{x^2}
D) 2e^{x^2}

Determine o limite: \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\).

A) 0
B) \(\frac{1}{2}\)
C) 1
D) Não existe

33. Calcule a integral \( \int_0^{\pi} \sin^2(x) \, dx \).

a) \( \frac{\pi}{2} \)
b) \( \frac{\pi}{4} \)
c) \( \frac{\pi}{3} \)
d) \( \frac{\pi}{6} \)

Cálculo

Determine a integral \(\int_0^1 (1 - x)^3 \, dx\). a) \(\frac{1}{4}\) b) \(\frac{1}{5}\) c) \(\frac{1}{6}\) d) \(\frac{1}{8}\)

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Calcule a integral \( \int_0^1 (2x - x^2) \, dx \).

A) \( \frac{1}{3} \)
B) \( \frac{1}{2} \)
C) \( \frac{1}{6} \)
D) \( \frac{1}{4} \)

Calcule a derivada de \(f(x) = \sqrt{1 + x^4}\).

a) \(\frac{4x^3}{2\sqrt{1 + x^4}}\)
b) \(\frac{2x^3}{\sqrt{1 + x^4}}\)
c) \(\frac{4x^3}{\sqrt{1 + x^4}}\)
d) \(\frac{x^3}{\sqrt{1 + x^4}}\)

Determine o valor de \(\int_0^1 \sqrt{x(1 - x)} \, dx\).

a) \(\frac{1}{6}\)
b) \(\frac{1}{8}\)
c) \(\frac{1}{12}\)
d) \(\frac{1}{24}\)

Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \).

A) 0
B) 1
C) \( \infty \)
D) Não existe

Calcule a derivada de f(x) = e^{x^2}.

A) 2xe^{x^2}
B) e^{x^2}
C) x e^{x^2}
D) 2e^{x^2}

Determine o limite: \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\).

A) 0
B) \(\frac{1}{2}\)
C) 1
D) Não existe

33. Calcule a integral \( \int_0^{\pi} \sin^2(x) \, dx \).

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Calcule a derivada de \(f(x) = \sqrt{1 + x^4}\).a) \(\frac{4x^3}{2\sqrt{1 + x^4}}\)b) \(\frac{2x^3}{\sqrt{1 + x^4}}\)c) \(\frac{4x^3}{\sqrt{1 + x^4}}\)d) \(\frac{x^3}{\sqrt{1 + x^4}}\)

Determine o valor de \(\int_0^1 \sqrt{x(1 - x)} \, dx\).a) \(\frac{1}{6}\)b) \(\frac{1}{8}\)c) \(\frac{1}{12}\)d) \(\frac{1}{24}\)

Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \).A) 0B) 1C) \( \infty \)D) Não existe

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Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \).

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B) e^{x^2}
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