Mecânica dos Fluidos e Hidráulica; Ranald V Giles

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RANALD V. GILES 
PROFESSOR LE ENG~ARIA CIVIL NO DREXEL 
INSTITUTE OF TECHNOLOGY 
''/\ECÂNICA DOS FLUIDOS 
E 
HIDRAULICA 
TRADUÇÃO 
SERGIO DOS SANTOS BORDE 
ENGENHEIRO 
E O 1 TO R A M e G R A W - H 1 L L O O B R A S 1 L , L T D A . 
SÃO PAULO 
RIO DE JANEIRO 
BELO HORIZONTE 
PORTO ALEGRE 
Bogotá 
Düsseldorf 
Johannesburg 
Kuala. Lumpur 
London 
México 
Montreal 
·New Delhi 
New York. 
Panamá 
St. Louis 
San Francisco 
Singapor~ 
JX9-"':% 
\::'. _) . 
}.Q:-1 
thorized tranalation 'from the second English-language edition, copyrighted 
lie United States of Americ& and published by Sehaum Publishing Compan1, 
· York.'' -
Título do Original 
"scHAUlll'S OUTLINE OF 
THEORY AND PROBLEMS 
OF 
FLUID MECHANICS AND HYDRAULICS" 
\ l BST 1 
-------·'' 
Copyright . © da Edltõra McGraw-Hlll do Brasil Ltda. 
Nenhwná parte desta publicação poderá ser r~pro<iuzlda, guar-
dada pelo sistema "retrteval" ou transmitida de qualquer modo ou por 
qualquer outro melo, seja este eletrõntco, mec:ànlco, de fotocópia, de 
gravação, ou outros, sem prévia autortzação por escrito da Edltóra. 
;l/1G83 
.• __....,...-------,.. .... _;1<.· 1974 
Todos os direitos para a língua portuguesa reservados pela 
EDITORA McGRAW-HILL DO BRASIL, LTDA. 
Rµa Tab11puã. 1105 
SAO PAULO 
ESTADO DE SÃO PAULO 
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BELO HORIZONTE 
MINAS GERAIS 
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RIO DE JANEIRO 
GUANABARA 
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PORTO ALEGRE 
RIO GRANDE DO SUL 
Impresso no Brasil. 
Printed in Brtttil 
Prefácio 
Êste livro foi concebido, preliminarmcnte, com o fim de suple-
mentar os livros-textos convencionais de Mecânica dos Fluidos e Hi-
dráulica. Êle. se baseia na convicção do autor de que o conhecimento 
e a interpretação dos princípios básicos de qualquer ramo de mecâ-
nica podem ser complementados mais eficientemente através de nu-
merosos problemas demonstrativos. 
A primeira edição dêste livro teve uma boa reeeptividade. Nesta 
·segunda edição, muitos capítulos foram revistos e ampliadm1, a fim 
de acompanharmos os conceitos, métodos e terminologias mais re-
centes. A atenc;:ão foi focalizada, inicialmente, na Análise Dimensio-
nal, através da eolocação dêste assunto, desenvolvido no CapítÚlo 5. 
As reYisõcs mais extensas ocorreram nos capítulos sôbre Fundamen-
fos de Escoamentos dos Fluidos, Escoamento de Fluidos em Tubos e 
Escoamento em Canais Abertos. 
A matéria exposta é dividida em capítulos, cobrindo áreas cfo 
teoria e PxPrt'.'foios. C::.da ea.pítulo começa _com o estabelecimento de 
ddinições, princípios e teoremas pertinentes, juntamente com .ma-
téria ilustratirn e descritiva. Esta matéria é seguida por conjuntos 
dosados de problemas resolvidos e suplementares. Os problemas re-
soh-idos ilnsti-am e ampliam a teoria, a.presentam métodos de análi-
ses, fornecem exemplos práticos e se concentram nos pontos delicados 
que permitem ao aluno aplicar os princípios básicos correta e con-
Jiantemente. Análises do corpo livre, diagramas vetoriais, princípios 
llc trabalho e energia, de impulso-quantidade de mov_imento e a lei-
do movimento de Newton são extensam<:nte utilizados. Esforços fo-
rmn feitos para apresentar problemas originais, desenvolvidos pelo 
m1tor durante os Yáriós anos de magistério neste assunto. Numerosas 
demonstrações 'àe teoremas e deduçõe.s de fórmulas foram inseri? ·-
PREFÁCIO 
nos problemas resolvidos. O grande número de problemas suplemen-
tares serve como uma completa revisão do assunto de cada capítulo. 
Além da sua utilização pelos estudantes de Mecânica dos Flui-
dos, é um livro valioso como fonte de consultas para engenheiros. 
:eles encontrarão soluções detalhadas de muitos problemas prático~ e 
poderão também recorrer ao sumário da teoria, quando necessário . 
.Além disso, o. livro .pode servir aos engenheiros que precisam rever 
o assunto para concursos, licenciamento ou outras razões. 
Eu gostaria de agradecer a meu colega, Robert O. Stiefel, que 
cuidadosamente conferiu as soluções dos muitos problemas novos. 
Gostaria também de expressar a minha gratidão ao "Staff" dá 
Schaum Publishing Company, particularmente a Henry Hayden e 
Nicola Miracapillo, por suas valiosas sugestões e cooperação presti-
mosa. 
RANALD V. GILES 
Phi~adelfia, Pa 
fndice 
\?CAPITULO - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS ........................ . 
Mecânica dos fluidos e hidráulica. Definição de um flui-
do. Sistema de unidades. Pêso específico. Massa especí-
fica de um corpo. Densidade de um corpo. Viscosidade 
de um fluido. Pressão de vapor. Tensão superficial. Ca-
pilaridade. Pressão nos fluidos. Unidade de pressão. 
Diferença de pressão. Variação de pressão em um fluido 
compressível. Altura de carga ou altura de pressão h. 
Módulo de elasticidade volumétrico. Compressão de gases. 
Para condições isotérmicas. Para condições adiabáticas 
ou isentrópicas. Pressões perturbadoras. 
(} CAPITULO 2 - FORÇA HIDROSTÁTl~A NAS SUPERFICIES .............. . 
\' Fôrc;a exercida por um líquido sôbre uma área plana. 
Linha de ação da fôrc;a. Tensão circunferencial. Tensão 
longitudinal em cilindros de paredes finas. 
CAPITULO 3 - EQUIL(BRIO DOS CORPOS IMERSOS E FLUTUANTES 
Princípio de Arquimedes. Estabilidade de corpos imersos 
ou flutuantes. 
33 
56 
CAP(TULO 4 - TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE MASSAS ÜCUIDAS . . . . . . . . 67 
' l ~ 
Movimentos horizontais. Movimento vertical. Rotação de 
massas fluidas - Recipientes abertos. Rotação de mas-
sas fluidas - Recipientes fechados. ç CAPITULO 5 - ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA HIDRÁULICA . . . . 79 
Análise dimensional. Teorema. das variáveis 'tr de Buck-
ingham. Modelos hidráulico~. . Semelhança geométrica. 
Semelhança. cinemática. Semelhança dinâmica. Relação 
de fôrças de inércia. Relação de fôrças: inércia·elasfici· 
dade. Relação de fõrças: inércia· tensão superficial. Rela-
ção de teJDpos. 
CAP(TULO 6 - FUNDAMENTOS DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS ........ . 
Três conceitos principais de escoamento de fluidos. Es· 
coamento de fluidos. Escoamento permanente. Escoa· 
mento uniforme. Linhas de corrente. Tubos de corrente, 
106 
Sumário
Capa I
Sumário VI
1 Propriedades dos Fluidos 1
2 Força Hidrostática Nas Superficies 33
3 Equilíbrio dos Corpos Imersos e 
Flutuantes 56
4 Translação e Rotação de Massas 
Líquidas 67
5 Análise Dimensional e Semelhança 
Hidráulica 79
6 Fundamentos de Escoamento dos 
Fluidos 106
7 Escoamento em Encanamentos 143
8 Encanamentos Compostos, Paralelos, 
Equivalentes e em Derivação 174
9 Medição de Escoamento de Fluidos 200
10 Escoamento em Canais Abertos 243
11 Fôrças Desenvolvidas Por Fluidos 
em Movimento 288
12 Máquinas Hidráulicas 336
Apêndice Tabelas e Diagramas 365
Tabela 1 Propriedades Aproximdas de Alguns 
Gases 367
Tabela 5 Valores de K 373
Tabela 6 Coeficiente C1, de Hazen-Williams
373
Tabela 7 Coeficientes de descarga para 
Orifícios Verticais Circulares de Borda Viva
374
Tabela 8 Fatores de Expansão para 
Escoamento Compressível Através de Bocais 
e Medidores Venturi 375
Tabela 9 Valores de n para uso nas Formulas 
de Kutter e Manning e M na Formula de Bazin
376
Tabela 10 Valores de C da Fórmula de Kutter
377
Tabela 11 Valores de Coeficiente de 
Descarga K na fórmula Q=(k/n)y8/1s1/2 para 
Canais Trapezoidais 378
Tabela 12 Valores do Coeficiente K em Q=(k/
n)bs para Canais Trapezoidais 379
Tabela 13 Áreas de Circulos 380
Tabela 14 Pesos e Dimensões de Tubos de 
Ferro Fundido 381
Diagrama B Ábaco para Encanamentos 
Fórmula de Hazen-Williams, C1 -100 384
Diagrama C Tubo - Orifício Vena Contracta
385
Diagrama D Bocais Medidores, Grandes 
Raios - Alta Relação 386
Diagrama E Medidores de Venturi 387
Diagrama F Coeficiente de Resistência x le
388
Diagrama G Coeficiente de Resistência de 
Forma para Placas Planase Lisas 389
Diagrama H Coeficiente de Resistência Cd A 
Velocidades Supersônicas 390
Ábaco para Cálculo de Perda de Carga em 
Canalizações 391
xu 
F 
g 
gpm 
h 
H 
HL,lre 
hp 
1 
lzy 
k 
K 
L 
La 
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p 
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p 
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psf 
psia 
psig 
q 
Q 
Qu 
r 
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R 
Rs 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
fôrça em kg (lb }. 
aceleração da gravidade: 9,81 m/s2 (32,2 ft/s2). 
galões por minuto. 
altura ou profundidade, pressão ou altura de carga em metros ou ft; 
'iltura total (energia) em metros ou mkg/kg (ft ou ft lb/lb). 
perda de carga em m (ft). Algumas .v~zes aparecerá como LI! ou hJ. 
Hor.ie Power = wQH/550 = 0,746 kw. 
momento de inércia em m4 ou cm4 (ft4 ou in4). 
produto de inércia em m4 ou cm4 (ft4 ou in4). 
relação de calores especíCiC95, expoente isentrópico (adiabático), cons-
tante de von Kárman. 
fatôres de descarga para canais trapezoidais, fator de perda de carga 
para expansões, qualquer constante. 
fa~or de perda de carga para contracões. 
distância de mistura em m (ft). 
comprimento em m (ft). 
comprimento equivalente em m (ft). 
fator de rugosidade na fórmula de Bazin. 
··massa em kg (slugs ou lb s2/ft), pêso molecular. 
coeficiente de rugosidade, expoente, coeficiente de atrito nas fórmulas 
de Kutter e Manning. 
rotação em rpm. 
velocidade especírica em rpm. 
velocidade unitária em rpm. 
número de Froude. 
número de Mach. 
número de Weber. 
pre9.'ão em kg/m2 (lb/Ct2), perímetro molhado m (ft). 
IJressão em lb/in2 ou kg/cm2• 
fôrça em kg, (lb), potência em kgrn/s (lb ft/s). 
potência unitária em kg m/s (lb ft/s). 
lb/ft2• 
lb/in2, absoluta. 
lb/in2, manométrica. 
fluxo unitário em m3/s/unidade de largura (ft3/s/uaidade de largura ) • 
vazão e~ volume em m3/s (ft3/s). 
vazã<;> unitária em m3/s (ft3/s). 
qualquer raio em. m (ít). 
raio de tubos em m {ft). 
constante de gases, raio hidráulico em m (ft). 
nÚalero de Reynolcb. 
sbrnOLOS E ABREVIATURAS xm 
S declividade da linha piezométrica ou da linha energética. 
So declividade de canal. 
T 
u 
u,11,w, 
" 
"" 
V 
Yc 
1D 
w 
y 
Yc 
YN 
y 
z 
z 
a (alfa) 
fJ (bet.a) 
õ (delt.a) 
 (àeita) 
E (epsilo) 
71 (eta) 
8 (teta) 
µ. (mu) 
11 (nu) 
11" (pi) 
p (rô) 
<T (lligrna) 
T (tau) 
"' (fi) 
tempo em ·segundos, espessura em m (in), viscosidade em segundos 
Saybolt. 
temperatura. torque em kg•m (Ct•lb), tempo em segundo. 
velocidade perüérica de elemento rotativo em rn/s ((t/s). 
componentes de velocidade nas direções X, Y e Z. 
volum~ em m 3 (ft3), velocidade local em rn/s (ft/s), velocidade relativa 
nas· máquinas hidráulicas em rn/s (ft/s). 
volume específico = l/ra = m3/kg (ft3/lb). 
velocidade cisalhante em rn/s (Ct/s) = V T/P 
velocidade média em m/s (ft/s) (ou como fôr definida). 
velocidade crítica em rn/s. (ft/s). 
pêso específico em kg/m3 ou g/cm3 (lb/ft3). 
pêso em kg (lb), vazão em pêso em kg/s (lb/s) = raQ. 
distância em m (ft). 
profundidade em m (ft), dístância em m (ft). 
profundidade crítica em m (ft). 
profundidade normal em m (ft). 
71/ 
'· 
fatôres de expansãÓ para escoamento de fluidos compressíveis. 
elevação (pressão) em m (ft) ou cota. 
altura da crista do vertedor acima do leito do canal, em m (ft). 
ângulo, fator de correção de energia cinética. 
ângulo, fator de correção da quantidade de movimento. 
espessura da camada-limite, em m (Ct). 
têrmo de correção do escoamento. 
rugosidade superfici& 1 ~m m (ft). 
viscosidade. 
qualquer ângulo. 
viscosidade absoluta em poises ou kg s/m2 ' (lb s/ft2) (p_oises). :0 0 
viscosidade cinemática em st.okes ou m2/s (ft2/s) = µ./p. 
parâmetro adimensional. 
massa específica em kg/m3 (slugs/ft3 ou lb s2/ft4) = w/g. 
tensão superficial em kg/m (lh/ft). tensão normal em kgfm2 (psi). 
tensão cisalhante em kg/m2 lb/ft2, lb/in2 (psi) ou kg/cm2• 
fator de velocidadP., potencial de velocidade, razão . 
. i/t (psi) função ~e escoamento. 
c.i (ômega) velocidade angular em rad/s. 
XIV MECÂNICA DOS FLUIDOS 
FATÔRES DE CONVERSÃO 
l polegada (in) = 2~,4_ll)m,-
1_;é_(ft).,,;, ó,3õs ~ = 12 in. 
l polegada3. (in)3 = 16,4 X 10-8 m 3• 
l pé3 (ft)3 = 28,3 X 10-3 m3 ,;,, 7,48 U.S. Gallon. 
1 U.S. Gallon = 37,8 X 10-4 ~3 = 8,338 lb de água a 60ºF. 
1 ft3/s = 0,6-i6 mgd = 448,8 gpm = 28,3 l/s. 
1 lb-s/ft2 (µ.) = 478,7 poises. 
1 ft2/s (v) = 929 cm2/s. 
1 hp = 550 lb~ft/s = 0,746 kw. 
1 lb = 0,454 kg. 
1 lb/Ct3 = 16 kg/m3• 
1 polegada2 = 6,45 _X 10-4 m2• 
l_ft2 =_9,,3_X 10-2~2~: 
1 libra por pé quadrado (lb/ft?) (psf) = 4,88 kg/m2• 
l libra por polegada quadrada (psi) = 0,07 kg/cm2• 
/ 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 
MecAnica dos fluidos e hidráulica. Mecânica dos fluidos 
e hidráulica ·;·-presentam aquêle ramo de mecânica aplicad~, que 
estuda r :.:>rtamento de fluidos em repouso e em movimento. 
No d 1vire ;nto dos princípios de mecânica dos fluiclos, algu-
mas Jpriedades dos fluidos representam as principais 'funções, 
outJ somente funções menores ou .nenhuma. Na estática dos 
flui< .s, o pêso especíjico é a propriedade mais importante, ao passo 
que no escoamento de fluidos, a massa específica e a viscosidade 
são propriedades predomii;tantes. Onde ocorre apreciável com-
pressibilidade, princípios de termodinâmica devem ser considera-
dos. · A pressão de vapor torna-se importante quando pressÕes ne-
gativas (manométricas) são consideradas, e a tensão superficial 
afeta as condições estáticas e de escoamento de pequenas pas-
1 
sagens. 
Definição de um fluido. Fluidos são substâncias que são 
capazes de escoar e cujo volume toma a forma de seus recipi-
entes. Quando em equilíbrio, os fluidos não suportam .fôrçiu1 tan-
genciais ou cisalhantes. Todos os fluidQs possuem um certo grau 
de compressibilidade e oferecem pequena resistência à mudança 
de forma. 
Os fluidos podetn ser divididos em líquidos e gases. As 
principais diferenças entre êles são: (a) os líquidos são pràticamente 
incompressíveis, ao passo que os gases são compressíveis e muitas 
vêzes devem ser assim tratados e (b) os líquidos ocupam volumes 
definidos e têm superfícies livres ao passo que uma dada m~ssa 
de gás expande-se até ocupar tôda as partes de um recipiente. 
Sistema de unidades. 
N.T. - Apresentamos, em paralelo ao sistema usual americano, o sistema métrico 
a fim de que o leitor possa trabalhar em ambos os sistemas de unidades. 
Três são as grandezas tomadas como referência (unidades 
fundamentais): comprimento, fôrça e tempo. Neste livro, as três 
unidades fundamentais C()rrespondentes usadas serão: o pé para 
o comprimento (metro), a libra-fôrça (Jb) ou lihra-pêso (quilogra-
ma-fôrça ou pêso) (kg* ou kg) e ó segundo para o tempo. Tôdas 
as oukas unidades são derivadas destas. Assim, a unidade de 
volume é o m3 (ft3), a unidade de aceleração é o m/s2 (ft/s2), a uni-' 
dade de trabalho é kg_.m {ft~lb), e a unidade de pressão é kg/m 2 
{lb/ft'). Sendo os dados fornecidos em outra unidade, êles devem 
ser convertidos ao sis~ma {pê-libra-segundo ou ~etro-quilograma­
-segundo) antes de serem aplicados à solução dos problemas. 
A unidade de massa no sistema americano é o slug, e é obtida 
das ·unidade3 de fôrça e aceleração. Para um corpo em queda livre 
no vácuo a aceleração é a da gravidade: g = 32,2 ft/s 2 ao nível 
do mar (g = 9,81 m/s2) e a única fôrça atuante é o seu pêso. Da 
segunda lei de Newton, 
ou 
fôrças em libras = massa em slug X aceleração em ft/s 2• 
Então, 
pêso ~m libras = massa em slugs X g (32,2 ft/s 2) 
· pêso Wem libras 
massa M em slugs = g (32,2 ft/s2) (1) 
N.T. - A distinção entre o quilograma, unidade de ~assa no sistema MKS 
e o quilograma-fôrça, unidade de fôrça do sistema MK •s, nem sempre. é bem 
compreendida. Para ambos, o corpo tomado cómo padrão é o mesmo: o· quilo-
grama padrão, cilindro de platina iridiada etc., ou aproximadamente, o litro 
d'águaa 4-C, mas a unidade de massa do sistema MKS é a massa dêsse corpo, 
e a unídàde de fôrça do sistema MK *S é o p2so do mesmo em determinadas con-
dições. Assim, no M~S. 1 litro de água vale 1 unidade de massa e ·pesa 9,81 
Newtons aproximadamente; no si.~tema MK*S, 1 litro d'água vale 1 unidade 
fôrça e 1 unidade de massa. 
1 slug = 32,2 lb, 
1 slug = 14,62 kg. 
Pêso e5pecífico. O pêso específico ef de uma substância é 
o pêso da unidade de volume de substância~ Para líquidos, w pode 
ser tomado corpo constante para mudanças normais de pressão. 
O pêso e~pecífico da água para oscilaÇões normais de temperatura 
é de l 000 kg*/"fll 3 ou 1 g*/cm3 (62,4 1 b/ft *). Vide Apêndice, 
tabelas lC e 2 ·para valores adicionais. 
CAP. 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 3 
O pêso específico dos gases pode ser calculado usando-se a 
equação de estado de um gás ou: 
.}!!!.!_ = R (leis de Boyle e Charles) (N.T. também chamada 
T equação característica dos gases perfeitos), (2) 
onde no sistema americano p é a pressão absoluta em lb/ft2, o 
volume específico v. é o volume por unidade de pêso em ft3/lb, 
a temperatura T é a temperatura absoluta em graus Rankine 
(460" + graus Fahrenheit) e R é a constante do gás em ft/graus 
Rankine. Uma vez que w = I/v., ·a equação acima pode ser 
escrita 
' - G. .~-- -
·o V 
,,,f 
'· ....... / . 
~ }-· - , ?n.' :)-
- .,, ()- __ .v_ 
. \ ' 
-_l 
w=J!_· R.T 
N.T. - Normalmente usamos as seguintes unidades, uo sistema métrico: 
kg/m2 para p 
m 3 /kg para lia 
°K para T (273 + t.oC). 
Com estas unidades obtém-se 29,25 kgm/kg °K para R para o ar . 
(3) 
. MASSA ESPECÍF~CA" de um CORPO p (rhô) =massa por 
umdade de volume = .'fd/g. 
No sist~ma de unidades usual, a massa específica da água 
é 62,4/32,2 = 1,94 slugs/ft3 ou lb..'12/ft'. No sistema métrico a 
m.assu. espedf ica da água é 1 gícm• a 4"C. Vide Apêndice, Ta-
bela IC. 
Densidade de um corpo 
N.T. - Nos E. U.A. densidade é "specific gravit" e pêso específico é· "specific 
weight.". 
A densidade de um corpo é um número absoluto que representa 
a relação do pêso de um corpo para o pêso de um igual volume 
de uma substância tomada como padrão. Sólidos e líquidos têm 
como referência a água (a 39,2ºF = 4°C), enquanto que os gases 
são muitas vêzes referidos ao ar livre de C02 ou hidrogênio (a 32ºF, 
OºC. e 1 atm = 14,7 lb/in 2 de pressão). Por exemplo: 
4 ~ECÂNICA DOS FLUIDOS 
Densidade de uma substância = 
pêso da substância 
pêso de igual volume de água 
pêso específico da substância 
· pêso específico da água 
(4) 
Assim se a densidade de um dado óleo é 0,750, seu p~so específico 
é 0,750 (62,4 lb/ft3) = 46,8 lh/ftª. (N.T. no sistema métrico 
seria 0,750 ·g/cm3 ou 750 kg/m3.) . . 
i\ densidade de água é 1,00 e do mercúrio é 13.57. A densidadç 
de uma substância é a mesma em .qualquer sistema de unidades. 
Vide Apêndice, Tabela 2. 
Viscosidade de um· fÍ'uido. A" viscosidade de um fluido é 
a propriedade que deter~ina o grau · de sua resistência à fôrça 
cisalhante. A viscosidade é devida preliminarmente à interação 
entre as molécuTàs do fluido. . 
Baseados na Fig. 1-1, consideremos duas placas largas e 
paralelas, separadas por uma pequena distância· y. O e~paço entre. 
- as placas é ocu.pado ~r um flui-
1·1aéa i\J .. ~~·cl • · .... ~- F do. Consideremos que sobre a 
placa superior atue uma fôrça 
constante F e portanto esta se 
mova com uma velocidade cons-
tante U. O fluido em contato Fig. l-"l 
com a placa superior . ficará ade-' 
rente à mesma e se moverá.à velocidade U; e o fluido em contato 
com a placa fixa terá velocidade nula. Se a distância y e a ve-: 
!ocid!!de [J n3.0 s5.c m~itc clcY~dns, n_. Ynrfrrçã~ de v~Iocidade 
( crradie11 te) será uma linha ret'l. Experiências mostraram que a 
rÔrça F varia diretamente com ~ área da placa, e com a veloci- · 
d:ide U e inversamente com a distância y. Por semelhança de 
triângulos Ujy = d V/dy, nós temos: 
Fçx AU =A dV 
y dy. ou 
F dV 
A = ra dy 
onde r = FJA. = tensão cisalhante. Se a constante de propor-
cionalidade µ. (mu), chamada de ·viscosidade absoluta (dinâmica), 
fôr· introduzida, 
dV 
T =.µ.--
. dy 
T (5) ou µ. = ·. dV/dy 
CAP. 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 5 
.N.T. - No caso geral de superfícies não planas, a expressão da ·tensão cisa-
lhante, decorrente da viscosidade será: 
onde àv / ày é a variaçao da velocidade transversalmente ao movimento ou 
gradiente de velocidade. 
As unidades de µ são kg· s/m2, uma vez que: 
kg·/m2 . (m/s)/m = kg·s/m2 (ou lh•s/ft2). 
Os fluidos que seguem as relações da equação (5) são chamados 
fluidos Newtõnianos. 
Outro coeficiente de viscosida9.e, o coeficiente de viscosidade 
cinemático, é definido como: 
Coeficiente cinemático .,, (nu) viscosidade absolutaµ 
massa esp~cífica p 
ou 
p=J!:....=_J!:__= µg 
p wjg w · 
As unidades de .,, são m 2/s, uma vez que 
= m 2/s (ft2/s). 
(kg s/m2) (m/s2) 
kg/m 3 
(6) 
As viscosidades nos manuais são fornecidas em poises e stokes 
(cgs) e, em certas ocasiões, em segundos Saybolt, decorrentts das 
medidas com viscosímetro. Conversões de sistemas são ilustradas 
nos ,problemas 6-8. Uns poucos valores de viscosidades são for-
neci~os nas tabelas 1 e 2 do· Apêndice. 
i\s viscosidades dos líquidos decrescem com o ::inmPnto de 
temperatura" mas não são afetados apreciàvelmente pelas variações 
de pressão: A viscosidade absoluta de gases aumenta com o au-
mento de temperatura mas não sofre alterações apreciáveis devidas 
à pressão. Uma vez que o pêso específico dos gases varia com a 
variação de pressão (temperatura constante), a viscosidade cine-
mática varia inver.sarnente com a pressão. De acôrdo com a 
equação acima, µg = wv. 
Pressão de vapor. Quando a evaporação ocorre dentro de 
um espaço fechado a pressão parcial criada pelas moléculas de 
vapor é chamada pressão de vapor. A pressão de vapor depende 
da temperatura e aumenta com ela. Vide tabela lC para valores 
para água. 
6 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
N.T. - Podemos também chamar pressão de saturação, tensão ..máxima de 
vapor, pressão de vaporização ou de condensação do fluido. 
Tensão superficia~.l. Uma mQlécula no interior de um líquido 
está solicitada por fôrças que a atraem em tôdas as ~eções, e o 
vetor resultante destas fôrças é nulo. Mas uma molécula à super-
fície de um líquido, é solicitadà para o interior do líquido, por uma 
fôrça resultante de coesão que é perpendiqular à superfície do 
mesmo. Por isso é n~cessário um certo trabalho para deslocar 
as moléculas superficiais contra esta fôrça oposta, e estas moléculas 
possuem mais energia que aquelas do interior do líquido. 
A tensão superficial de um líquido é o trabalho que deve ser 
fornecido para retirar moléculas suficientes do interior do líquido 
para a superfície a fim de formar uma nova unidade ou arco desta 
superfície (ft· lb/ft2 = m0 kg/m2). 
Êste trabalho é numericamente igual à. fôrça tangencial con-
trátil atuando perpendicularmente a uma , linha hipotética de 
comprimento unitário na superfície (lb/ft = kg/m). 
Em muitos problemas de introdução à mecânica dos fluidos, 
a tensão superficial não é de particular importância. A tabela IC 
fornece-nos valores de tensão superficial u (sigma) para água em 
contato com o ar. 
Capilaridade. A elevação ou queda de um líquido em um 
tubo capilar (ou em circunstância equivalente, como em meio 
poroso) é causada pela tensão superficial e depende das grandezas 
relativas da coesão do líquido e da adesão do líquido às paredes 
do recipiente. A superfície do líquido se eleva nos tubos, molhando 
as paredes (adesão > coesão) e decresce quando não molha as 
paredes (coesão > adesão). A capilaridade é importante quando 
usamos tubos menores que cêrca de 3/8" em diâmetro. 
N.T. - Manual de Hidráulica -- 2.• ed. -·José M. de Azevedo Netto, pág. 13"Coesão - permite às partículas fluidas resistirem a pequenos ~for<;OS de 
tensão. A formação de um jato d·água se deve à coesão. 
Quando um líquido está em contato com um sólido, a atração exercida pelas 
moléculas do sólido pode ser maior que a atração existente entre a molécula 
do próprio líquido. Ocorre, então a adesão. Na superfície de um líquido em 
contato com o ar· têm-5e a aparência de formação de uma verdadeira película 
elástica: é que a atração entre as moléculas do líquido é maior que a atração exer-
cida pelo ar e as moléculas superficiais atraídas para o interior do líquido tendem 
a tomar a área da superfície um mínimo. É o fenômeno de tensão superficial. 
As propriedades de adesão, coesão e tensão superficial são 
responsáveis pelos conhecidos fenômenos de capilaridade. 
CAP. 1 PROPRIEDADES DOS· FLUIDOS 1 
Pressão nos fluidos. A pressão em um fluido é transmitida 
com igual intensidade em tooas as direções e atua normalmente 
à qualquer plano. Em um mesmo plano horizontal as intensidades 
de pressão em um líquido são iguais. Medidas de unidades de 
pressão são acompanhadas pelo uso de vários tipos de mané)metros. 
A não ser que se indique o contrário, pressões manométricas ou 
relativas serão usadas através dêste livro. Pressões manométricas 
representam valores acima ou abaixo da pressão atmosférica. 
"'UNIDADE DE PRESSÃO ou PRESSÃO é expressa como 
fôrça dividida pela área. Em geral 
p (Jb/ft2 ou dP (lh) psf) = dA (f't2) • 
Para condições onde a fôrça P é uniformemente distribuída sôbre 
uma área, nós temos: 
p (lb) 
p (psi) = A (ft2) e p' (psi) = 
p (lh) 
A(~n2) 
N.T. - No sistema métrico usaremos kg/m2 ou kg/cm2 ou ainda kg/mm2• 
Diferença de pressão. A diferença de pressão entre dois 
pontos em diferentes ní~eis de Uf!l líquido é dada por: 
(7) 
onde w = unidade de pêso do líquido (lb/ft3 ou kg/m3) e h2 - h1 = 
= diferença de cotas (ft ou m). 
Se o ponto 1 está situado na superfície livre do Jíquido e h 
está diretamente abaixo, a equação acima se transforma 
p = w h (em psf gage ou kg/m2 manométrica). (8) 
Para obtermos a pressão em psi, nós usamos: 
, p wh ( . , . ) p = 144 = 144 em psi gage ou manometnca. (9) 
Estas equações são aplicadas enquanto w, é constante (ou 
varia tão pouco em relação a h que não acarreta êrros no resultado). 
N.T. - Será interess:rnt.e lembrar neste parágrafo que as unidades usuais de 
pressão são: 
1 atm = 10,33 metros de coluna d'água (mca) ~ 1 kg/cm2 
1 kg/cm2 = 104 kg/m? 
1 psi ~ 0,7 mca ~ 7 X 10-~ kg/cm2• 
Encontramos essas unidades usadas indistintamente na prática. 
8 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Variação de pressão eni um fluido comprêssível. As 
variações de pressões em um flui<Jo compressível são usualmente 
muito pequenas em virtude dos pequenos · pê$0s unitários e das 
pequenas diferenças de cotas que são consideradas nos cálculos 
em Hidráulica. Onde tais diferenças devem ser consideradas para 
pequenas variações de cotas dh, a lei de variação de pressão deve 
ser escrita 
dp = - wdh. (10) 
O sinal negativo indica que a pressão decresce quando a altura 
aumenta, com h positivo. Para aplicações, vide Problemas 29-31. 
Altura de carga ou altura de pressão h. A altura de ·carg~ 
h, representa a altura de uma coluna de um fluido homogêneo que 
produzirá uma dada intensidade de pressão. Então: 
. p (lb/ft2) 
h (ft de flmdo) = w (lb/ftª) , (11) 
ou 
. p (kg/m2) 
h (metros de flmdo) = w (kg/mª) . 
N.T. - Também encontraremos além de altura de carga as denominações de 
p<>tencial de. pressão, energia de pressão ou piezocarga. 
Módulo de elasticidade volumétrico (E) - "Bulk Mo-
dulas". O módulo de elasticidade volumétrico (E) expressa a 
compressibilidade de um fluido. É a relação da variação da 
pressão unitária para a correspondente variação de volume por 
unidade de volume. 
E= -:v = :~!f?t: = lb/in2 (anàlogamente kg/cm 2): (12) 
Compressão de Gases. A compressão de gases pode ocorrer 
de acôrdo com as várias leis da Termodinâmica. Para uma mesma 
massa de gás sujeita a duas diferentes condições, 
(13) 
onde: 
p pressão absoluta em lb/ft2 (kg/m2) 
v volUme em ft3 (m3) 
W pêso em lb (kg) 
w pêso específico em lb/ft3 
R constante do gás em ftfR (rrifK) 
T Temperatura absoluta em ºR (460 + ºF) ; (ºK). 
CAP •. 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 9 
PARA CONDIÇÕES ISOTÉRMICÂS (temperatura constante) 
a express;~l3) acima se transforma -em: . 
Wt Pt 
- = - = constante. 
Wz P2 
(14) 
Também: 
E = p (em psf ou kg/m2) (15) 
PARA CONDIÇÕES ADIABÁTICAS ou ISENTRÓPICAS 
(não ,há troca de calor) as expressões acima se transformam em: 
r),.,.A",_/ ... '( -~ ~· , •. !:!~ ..... -(~ ·~~- ('-_; . . \ :) -. J~ .. 
piv~':·=p2~z'º e . .:(~)Te= Pi= constante.·\ (16) 
W2 . P2 / 
. ·- . -
Também: 
T ( )
<k-1)/k 
2 P2 (l7) Ti = p_1 ' 
e 
E= kp (em psf ou kg/m 2), (18) 
onde k é a relação entre o calor específico a pressão constante e 
o calor específico a volume constante. É conhecido como o ex-
poente adiabático. 
A tabela IA no Apêndice indica alguns valores típicos de R 
e k. Para muitos gases, R multiplicado pelo pêso molecular é 
cêrca de 1544. 
N.T. -No caso de trubalharmos no sistema métrico obteremos o valor de 848. 
Na e11uação (2) multipliquemos ambos os membros pela massa molecular de um 
gás: 
pvs M = ilfRT ou pV = RT. 
Nesta expressão R, cujo valor é independente do gás e se obtém pelo produto 
da massa molecular pela constnntfl específica do gás, é den(lminadn constante 
universal dos gases, enquanto V é Q ,·olume ocupado pelo mol de quaiquer gás. 
Obtemos. pela introdução dos >a!ores correspondentes, R = g,iB kgm/kmol•K; 
se. aa invés de usarmos o kmol, usamos a lb.mol e utilizamos as unidades inglêsus 
encontraremos para R aproximadamente 1545. 
Pressões perturbadoras. As pressões perturbadoras obrigam 
um fluido a se mover em ondas. Estas ondas de pressão se movem 
a uma velocidade igual àquela do som através de um fluido. A 
velocidade ou celeridade, em: mfs (ftíseg) é expressa como: 
e= V Eíp; (19) 
10 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
onde ·E deve ser em: kg/mi (Íh/ft2). Para gases esta velocidade· 
acústica é 
e = v'kiiP" = v kg R.T ; (20) 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
1. Calcular o pêso específico w, o volume específico V9 , e a 
massa específica p do metano a 27°C e 9 kg/cm2 absoluta. 
Solução: 
Da tabela iA no Apêndice, R~ 53 m/0 K. 
. , . p ·9,0 X 104 -, 
P"eso espec1f1co w = RT = 53 (27J + 27) 
9,0 X 104 
53 X 300 = 5,66 kg/mª .. 
Volume específico.tia= ! = ~.~ = 0,177 m3/kg. 
Massa específica p = 5,66 kg/m3• 
/2. Se 6 m3 de óleo pesam 4 800 k4 calcular seu pêso específico 
w, sua massa específica p e sua densidade. 
Solução: 
Pêso específico w = 4 ~OO = 800 kg/m3• 
Massa específica p = ~ = 800 kg/m3• 
g 
• u·6Ieo 800 
Densidade = Wl.ltll& = 1 COO = 0,800. 
3. A 32°C e 2,1 kg/cm2 o volume específico v., de um certo 
gás era 0,70 m3/kg. Determinar a constante específica do gás R 
e a massa específica p. 
Solução: 
Uma vez que: 
= __]!_ _ R =___E_= p u. =; 2,1 X 104 X 0,70 = 48 20 m.kg. 
w RT. ' então wT T · 273 + 32 ' kg<>K 
w 1/1:111 l 1 3 Massa específica p = - = -- = - = -- = l 43 kgfm·. g g 7Jafl 0,7 • 
,J 
CAP. 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 11 
4. (a) Determine a variação de volume de 0,03 m3 de água 
a 27°C quando sujeito a um aumento de 21 kg/cm2 na pressão. 
(b) Dos seguintes dados de teste determinar o módulo de elasti-
cidade volumétrico da água: a 35 kg/cm,2 o volume era de. 0,03 m3 
e a 225 kg/cm2 o volume era de 0,0297 m3• 
Solução: 
(a) Da tabela lC no Apêndice E a (27-C) é (22 750 kg/cm2). Usando a 
fórmula (12) 
t1dp' do=-~= - 0,03 X 21 -s 3 3 22750 =-2,77XIO m ou =-27.7cm. 
(b) A definição associada com a fórmula (12) indica que as correspondentes 
variações na pressão e no volume devem ser consideradas. Aqui. um aumentona pressãó corresponde a um decréscimo no volume. 
E = _ dp' _ _ (225 - 35) _ ~ . 2 
dv/v - (0,0297 - 0,03)/0,03 - 1•90 X 10 kg/cm · 
5. Um cilindro contém 0,375 m 3 de ar a 49ºC e a 2,8 kg/cm 2• 
O ar é comprimido até 0,075 m3• (a) Considerando-se as condições 
isotérmicas, qual é a pressão do nôvo volume e qual é o módulo 
de elasticidade volumétrico? (b) Considerando condições adia-
báticas qual a pressão e a temperatura finais e qual será o módulo 
de elasticidade volumétrico ? 
Solução: 
(a) Para condições isotérmicas, Pi 111 = P2 V?· 
Então: 2,8 X io4 X 0,375 = (p2' X io4) 0,075 e P2' = .14 kg/cm2• 
O módulo E = p' = 14 kg/cm2• 
(b) Para condições adiabáticas p 1 v1 k = P'! 112 k e a tabela IA no Apêndice 
ilOS fornece k = 1,40. 
Então: (2,8 X 104) (0,375)1•4º = (P2' X 104) (0,075) 1•4º 
p2' = 26,6 kg/cm2• 
A temperatura final será obtida pelo uso da equação (17) 
T2 = ( 26,7 )0,1011,4, 
(273 + 49) 2,8 
E o módulo E= kp' = 1,40 X 26,6 = 37,24 kg/cm2• 
6. Da "International Criticai Tables", a viscosidade da água 
a 20"C é 0,01008 poises. Calcule (a) a viscosidade absoluta em 
.12 AlECÂNICA DOS FLUIDOS 
lb s/ft2• (b) Se a densidade a 20"C é 0,998, calcule o valor da vi!i-
cosidade cinemática em ft2/s. 
Solução: 
O poise é medido em dioa segundo/centímetro2• 
Uma vez que 1 lb = 444·800 dinas e 1 ft = 30,48 cm nós obtemos: 
lhseg .444·800d·s • 
1 ~ = 30,48 cm2 = 4711,7 poJSeS; 
{a) µ em lb seg/ft2 = 0,01008/478,7 = 2,11 X 10-5; 
(b) ,, em ft2/seg = _E_ = _E,_ = . p.g = 2,11 X 10-s X32,2 = 1,091 X io-5. 
p w/g w 0,998 X 62,4 
7. Converter 15,14 poises para a viscosidade cinemática em 
ft2/s se o líquidó tem uma densidade de . 0,964. 
Solução: 
Os pas.~os ilustrados no problema 6 podem ser considerados ou, um fator 
. 1 3"? 
adicional pode ser estabelecido par-J água a partir· de --. - X 
6
-·- = 0,001078. 
. 478,7 2,4 
Portanto v em ft2/s = 15,14 X 0,001078 = O 0169 
densidade = 0,964 ' · 
8. Converta uma ,viscosidade de 510 segundos Saybolt à 60"F 
(16ºC) para viscosidade cinemática v em ft 2/seg (m2/s). 
Solução: 
Dois conjuntos de fórmulas são dadas para estabelecermos esta conversão 
quando o viscosímetro Saybolt Universal é utilizado: 
(a} pa1·a t ~ 100, 
~id i > 100, 
(b) para l ~ 100, 
para l > 100, 
µem poises = (0,00.225 t - 1,'15ít) X densidade 
µ em_poises = {0,00220 l - 1,35/l) X densidade; 
11 em stokes = (0,00226 t - ·1,95/l) 
11 em stokes = (0,00220 l - 1,35/l), 
r. 1de t =segundos Sayholt. Para converter stokes {cm2/segundo) em m2/se-
gt~ndo basta multiplicar por 10-4; para convei:-ter em ft2h. dividimos por (30,48/2 
ou 929. 
Usando o grupo '(b), e uma vez que l > 100, 
v = ( 0,00220 X 510 - !i:) 9~ = 0,001205 ft2/s 
11 = ( 0,00220 X 510 - ~·::) 104 ~ 1,119 X 10-4 m2/s . 
CAP. 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 13 
9. Discutir as características de cisalhamento dos fluidos para 
os quais foram desenhadas as curvas da Fig. 1-2~ 
t 
S61ido Ideal 
.. 
--
Fig. I-2 
Solu~ão: 
(a) Os fluidos Newt.onianos comportam-se de acôrdo com a lei T = µ(dV/dy), 
ou a tensão cisalhante é proporcional ao gradiente de velocidade ou à deformação 
cisalhante. Assim para êstes fluidos a curva que exprime a relação entre tensão 
cisalhante e o gradiente de velocidade é uma linha reta passando pela origem. 
A inclinação da reta determina a viscosidade. 
(b) Para o fluido "ideal", a resistência à deformação cisalhante é nula, 
e portanto a curva coincide com o eixo dos XX. Embora não hàja nenhum 
fluido ideal, em certas análises a suposição de um fluido ideal é útil e justificada. 
(e) Para o sólido "ideal''. ou elástico, nenhuma deformação ocorrerá sob 
quaisquer condições de carga, e a curva coincide com o eixo dos YY. Sólidos· reais 
possuem uma certa· deformação e dentro do limite de proporcionalidade (lei d4' 
Hooke); a curva representativa é uma fü:h:: >eta quase na vertical. 
(d) Fluidos Não-Newtonianos deformam-se de tal modo que a tensão 
cisalhante não é proporcional à deformação, ex~et.o, talvez para tensões cisalhantea 
muito baixas. A deformação nestes fluidos pode ser considerada plástica. 
(e) O material ·plástico "ideal" poderia suportar um certo valor de tensão 
cisalhante sem deformação e tlaí."em diante êle se deformaria proporcion~lmente 
à tensão de cisalbament.o. 
10. Referência Fig. 1-3. Um fluido tem uma viscosidade 
absoluta de 0,0010 lb s/ft2 (0,0048 kg·s/m2) e densidade de 0,913. 
Calcular o gradiente de velocidade e a inte·nsidade de tensão ci8a-
lhan te na base e· nos pontos a l" ('°'.'o' 25 mm), 2" ("' 50 mm) e 3'' 
('=""' 75 mm) da base, considerando (a) a distribuição da velocidade 
linear, (b) a distribuição da velocidade parabólica. A parábola 
na figura tem seu vértice em A. A origem é B. 
14 MECÂNICA DOS FLU.IDOS 
Solução: 
Fig. 1-3 
{a) Para umn .distribuição linear, a relação entre a velocidade e a distância 
;y é V= 15y. Então dV = 15 dy ou o gradiente de velocidade é d.Y/dy = 15. 
Para y = O, V = O, dY/dy = 15 segundos -1 e 
T = µ (dV/dy) = 0,0010 X 15 = Ó,015 lb/ft2 (0,073 kg/m2). 
(b) A equação da parábola deve satisfazer à condição de que a velocidade 
é nula em B. A equaçiio da parábola é V = 45 - 5 (3 ~ ;y)2• Então dV/dy = 10 
'(3 - y) e tabelando os resultados teríamos: 
y V 
1 
dV/dy r = 0,0010 (dV/dy) 
o o 30 0,030 lb/ft2 (0,146 kg/m2) 
1 25 20 0,020 lb/ft2 (0;097 kg/m2) 
2 40 10 0,010 lb/ft2 (0,048 kg/m2) 
3 45 o o 
Podemos observar que ónde o ~cliente é nulo {o_ zero ocorre na_ linha de 
centro· de um tubo escoando sob pressão, como será visto mais tarde) a tensão 
ciSéliÜauie i.a1uitém é nuia. 
Notemos que a unidade de gradiente de velocidade· é segundo-1, e então o 
produtoµ (dV/dy) = (lb s/ft2) (s-1) = lb/ft2 (kg/m2) que são as unidades da tensão 
de cisalhamento T. 
ll. Um cilindro· de 120 mm de raio gira concêntricamente 
dentro de um cilindro fixo de 126 mm de raio_. Ambos os cilindros 
têm 300 min de. comprimento. Determinar a viscosidade_ do líqui-
do que enche o espaço entre os cilindros se um torque de 0,1 kg·m 
é necessário para manter uma velocidade angular de 60 rpm. 
Solução: 
(a) O torque é transmitido através do fluido colocado no cilindro externo. 
Uma vez qu_e o espaço entre os cilindros· é pequeno, o' cálculo pode ser feito sem 
integração. 
CAP; 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 15 
Velocidade tangencial do cilindro interno = r6' = (0,120 m) (211" rad/s) = 
-= O, 753 m/s. 
Para o ~ueno espaço entre os cilindros, o gradiente de velocidades pode 
ser considerado uma linha reta e o raio médio pode ser usado. 
Então: dV/dy = 0,753/(0,126 - 0,120) = 125, 3 (m/s}/m, ou s-1• 
O torque aplicado = torque resistente 
0,10 = T (áre~} (t-raço} = T (2 '1f' X 0,123 X 0,300} (0,123} e T'"" 3,50 kg/m2• 
Então: µ = -t/ (dV/dy} = 3,5/125,3 = 0,027 kg·s/m2• 
(b) Para uma aproximação matemática maiS exata, Usaremos o cálculo 
integral como se sugere: 
Como antes 0,10 = .T (2 11" r X 0,3)r do qual T = 0,048/il. 
dV, T 0,048 d ., • - l ºda.>- V · Agora -d = - = ----;-- , on e as varlaveJS sao a ve oc1 ..., . e o raio r. y µ µr . 
A velocidade é 0,753 m/s no raio interno e zero no raio. externo. 
Reagrupando a expressão acima e substituindo ( - dr) P<>r dy (o sinal nega-
tivo indica que o r decresce quando V aumenta}, nós obtemos: 
Então: 
J:Vint 0,048 Ío0,120 - dr dV=-- --v e:tt µ 0,126 ,:i 
o 048 [ 1 ]º·120 Vint - Vext = -· -'- -
µ r 0,126 
0,M8 ( 1 1 ) (0753- 0) = -- -- - -- da qual 
• µ 0,120 0,126 
P. = 0,0255 kg·s/m2• 
/12. Mostrar que a intensidade de pressão em um ponto é 
a mesma em tôdas as direções. 
Fig. I-4 
Solução: 
Consideremos .um elemento de prisma triangular de um líqwdo em repouso 
solicitado pelo fluido ao seu redor. Os ~alares médios das pressões. unitári.as 
16 lllBCÂNICA DOS FLUIDOS 
nas três superffoies são p1, P! e ]13.Na direção z as fôrças são iguãis e opostas, 
portanto se eliminam. 
ou 
ou 
e 
ou 
O ~mat6rio das fôrças nas direções z e y nós fornece 
2: X = O, P2 - Pa sen 8 = O 
P2 (dy dz) - P3 (ds dz) sen 8 = O 
}; Y = O, P1 :-- Pa cos 8 - dW = O 
. ' 
Pi (dz dz) - pa (ds dz) cos8 - w (! d:z: dydz) =O. 
Uma vez que dy = ds sen B e dz = ds cos 8. as equações 'reduzem-se a: 
J12dydz - patlydz =O ou 
P1 d:z:dz - PJdzdz - w (Í dzdydz) =O 
PI- pa - w(!dy) =O. 
(1) 
. (2) 
Como o prisma elementar tende a um ponto, dy tende a zero como um limite 
e as pressões médias torna1Jl-5e uniformes ou mesmo "pressões em um ponto". 
Então colocando dy = O na equação (2) nós obtemos P1 = p2 e daí PI = P2 = pa. 
/13. Deduza a equação (p2 - Pi) = w (h2 - hJ. 
Fig. 1-5 
Consideremos uma porção AB do líquido da Fig. 1-5 como um corpo livre 
de set.ão reta dA, que se mantém em equilíbrio pelo seu próprio pêso e pelos efeitos 
de outras partículas do líquido sôbre o corpo AB. 
Em A a fôrça atuante é P1 dA (a pressão em kg/m2 vêzes a área em m2); em 
Bela é P2 dA. O pêso do corpo livre AB é W = w 11 := wLdA. As outras fôrça;i 
que atuam sôbre o corpo AB são normais aos seus lados, e apenas algumas destas 
são mostradas no d~enho. Tomando 2:X = O, tais fôrças normais não aparecem 
na equação. Portanto, 
p2 dA - Pr. dA - wLdA sen O = O. 
Uma vez que L sen 8 = ~ - hi. a equação acima se transforma 
CAP. 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 17 
/14. Determine a pressão em kg/m2 a uma profundidade de 
6 m abaixo da superfície livre de ~m volume d'água. 
Solução: 
Usando um valor médio_ dç 1000 kg/m3 para w 
p = wh = 1 000 kg/m3 X 6m = -6 000 kg/m2• 
N.T. - Quando se trabalha no sistema inglês, -resolve-se êste problema com as 
seguintes unidades: 
w = lb/fí3 .· . p' = _.!!!._ = 2,4 i t X 20 t = 8,66 psi g. p = psi .} h 6 lb'f 3 r 
h = ft 144 144 in2/ft2 
- 62,4 • A l h. o l" A razao 144 ocorre mwtas vezes e o eitor gan ara tempo uti izando 
0,433 como quociente. ~ re~íproca é 2,31. 
115. Determine a pressão em kg/m2 a uma profundidade de 
10 m em um óleo de densidade 0,750. 
Solução: 
p = wh = 0,750 X 1 000 X 10 = 7 500 kg/m2 manométrica. 
/16. Determine a pressão absoluta em kg/m 2 no problema 14 
quando o harômetro indica 760 mm de mercúrio, densidade 13,57. 
Solução: 
Pressão absoluta = pressão atmosférica + pressão devida a 6 m de água 
= 13,57 X IG3 X 0,760 + 103 X 6 = 16,3 X 103 kg/m2• 
N.T. - f: comum usarmos as unidades de pressão em ~tm ou kg/cm~. Teríamos 
6 ,...., 6 pa = j)atm + psm = 1 atm + 10,33 atm- l; atm 
1 atm = 10,33 rri.c.a (metros de coluna d'água} 
1 atm,...., 1 kg/cm2• 
/17. Que profundidade de óleo, densidade 0,750, produzirá 
uma pressão de 2,8 kg/cm2 ? Qual a profundidade em água? 
Solução: 
hõteo = _P_ 
w61eo 
2,8 X 104 ---'--'-'--~ = 37 ,3 m 
0,750X11>3 
hAgua = _P_ = 2.8 X 104 = 28 m. 
Wâgua 103 
18 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
/ÍS. (a) Converter a altura de carga de 4,5 m <le água para 
metros de óleo; densidade 0,750. 
(b) Converter a pressão de 610 mm de mercúrio para metros 
de óleo, densidade 0,750. 
Solução: 
(a) h61eo = lir.gua 4,5 
d61eo 0,750 = 6 m 
(b) h61eo = li água 13,6 X 0,610 = 11,05 m. d61eo 0,750 
19. Prepare uma diagrama de tal modo que a pressão mano-
métrica e a pressão absoluta possam ser comparadas fàcilmente, 
tlentro de limites considerados. 
A 
(Presslles em kg/crri) T • 
3man 
-.---
-0.51 ma" -0,56 man 
_L. -t-
B 0,47 abs 
Zero Jlbsoluto 
Tl .. 
4 abs 
'-i>renã;-atmo~férica 
local~ 1 
1,03 abs 
! Zero Absoluto -1.03 man ou -1 man 
e 
Fig. 1-6 
Solução: 
Consideremos o ponto A, na Fig. 1-6, representando uma pressão absoluta 
de 4 kg/cm2• A pressão manométrica dependerá da pressão atmosférica no mo-
mento. Se tal pressão é normal ao nível do mar (1,03 kg/cm2), então a pressão 
manométrica no ponto A será 4 - 1,03 = 2,97 kg/cm2• Poderíamos ter uma 
pressão barométrica local de 1 kg/cm2, então a pressão manométrica seria 4 - 1 = 
= 3 kg/cm2 •• Suponhamos que B represente uma pressão absoluta de 0,47 kg/cm2 • 
Êste valor é indicado gràficamente abaixo do padrão 1,03 kg/cm2 e a pressão 
manométrica de B é 0,47 - l,03 = - 0,56 kg/cm2• Se a pressão atmosférica 
local é de 1 kg/cm2 então a pressão manométrica de B será 0,47 - 1 = - 0,53 
kg/cm2• 
Suponhamos que C representa uma pressão de zero absoluto. Esta é equi-
valente à pressão manométrica negativa "padrão" de - 1,03 kg/cm2 e a uma 
pressão manométrica negativa normal de - 1 kg/cm2• 
CÁP. 1 PROPRIEDADES DOS lq.Uil>OS 19 
As conclusões a serem consideradas são important.es. As pressões mano-
métricas negativas não deve~ exceder a um limite teórico da pressão 
atmosférica normal ou a um.valor padrão de - 1,03 kg/cm2 • A pressão absoluta 
não pode ter valores negativos especificadas para êles. 
/20. Na Fig. 1-7 as áreas do êmbolo A e do cilindro B são 
3 800 mm2 e 380 000 mm2 respectivamente e o pêso de B ~ 4 000 kg. 
O recipiente e as conexões estão cheias de óleo de densidade O, 750. 
Qual a fôrça P necessária para o equilíbrio, desprezando-se o pêso 
de A? 
Fig. 1-7 
Solução: 
Determinemos primeiro a pressão unitária atuante ~o êmbolo A. Uma 
vez que XL e XR estão ao mesmo nível no mesmo líqwdo, então a pressão em 
XL = pressão em XR, ou pressão abaixo de A + pressão devida a 4,8 m de 
• pêsode B 
oleo = ár.:a de B · 
4000 kg Substituindo, pA' + wh = -38,oo x 10-2 m 2 
pA' + (0,750 X 103) 4,8 = 10 526 kg/m~ e pA' = 6 926 kg/m2 • 
Fõrça P = pressão uniforme X área = 6 926 X 3 800 X 10-61 = 26,3 kg. 
-- -3,6 :m 
e 3m 
Fig. 1-8 
/21. Determine a pressão manométrica em A devida à de-
flexão do mercúrio (d = 13,6), no manômetro U mostrado na 
Fig. 1-8. 
20 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Soluçiio: 
B e C estão ao mesmo nível no mesmo líquido, mercúrio; portanto poderemoe 
igualar as pressões manométricas em B e C. 
Pressão em B = pressão em C 
PA + wh (para água) = pD + wh (para mercúrio) 
pA + IG3 (3,6 - 3,0) = O + 13,6 X 103 (3,8 - 3). 
Resolvendo, pA = 10 280 kg/m2 = 1,028 kg/cm2 C!:! 1 atm. 
Uma outra solução, utilizando-se a pressão de coluna d'água usualmente 
requer menos aritmética: 
Altura da coluna d'água em B =altura da coluna d'água em C 
PAI"' + 0.6 m de água = 0,80 X 13,6 m de água. 
Resolvendo: pAfw = 10,28 m de água e 
pA' = 10,28 X 103 = 10 280 kg/cm2, como anteriormente. 
1'22. Um óleo de densidade 0,750 escoa através de um bocal 
indicado na Fig. l-9 e causa a deflexão do mercúrio no manômetro U. 
Determine o valor de h se a pressão em A é de 1,5 kg/cm2 • 
ou 
e 
Solução: 
Pressão em B = pressão em C 
pA' + wh (óleo) = pD' + wh (mercúrio) 
1,5 X I<l4 + (0,750 X 103) (O,l!OO + h) = (13,6 X I03)h 
h = 1,21 m; h = l 210 mm. 
Usando m.e.a. como unidade: 
li 
Ar G 3,.2rn 
0,11 Ili. 
- D +-h E .!:.. 3m 
t B e LiquiduB 2,6jnac _ D 
Deruidade 1,6 
Fig. 1-9 Fig. 1-10 
Altura da coluna d'água em B =altura de coluna c;l'água em C 
1,5 X In4/IG3 + (0,8 + h) 0,750 = 13,6 h :. h = 0,1'.?l m como antes. 
CAP. 1 PROPRIEDAD!l!I DOS FLUIDOS 21 
23. · Para uma pressão manométriea em A de :-- 1 000 kg/m 2 
determine a densidade do líquido B da coluna manométrica d:.t. 
Fig .. 1-10. 
Solução: 
Pressão ·em C = pressão em D 
PA +wh. =p.1..1 
- ÍOOO + (1,6 X 1<13) 0,5. = pD. = - 200 kg/,ri2. 
Agora ]J(1 = pD = - 200 kg/m! Ullia vez que o pêso de 0,550 m de ar pode 
··ser despremdo sem intrOduiirmos &oro 'considerável 
Também PB = PP = O. 
Assim, pressão em G =.pressão 'em . E - presSão de (3,200 - 3,0)m do 
líquido manométrico 
]J(1 = PB. - (d X Iói) (3,200 - 3,0) 
- 200 = O - (d X 103) 0,200 e d = 1,00. 
124. Para uma leitura manométrica em A de - 0,175 kg/cm~ 
determinar (a) a elevação dos líquidos nas colunas piezométricas 
abertas E, F e G e (b) a deflexãodo merciírio no manômetro em 
U na Fig. 1-11! 
El.19,51u_ J' A E G. 
Ar 
e 
Fig. 1-11 
Solução: 
(a) uma vez que o pêso !!Specífico do ar (Cêrca de 1,28 kg/m:i.) é muito pequeno 
comparado com o dos líquidos, a presSão na cota 14,7 m pode ser ~nsiderada 
- 0,175 kg/cm 2 sem introduzirmos êrro considerável. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Para coluna E: 
A cota em L sendo considerada como se indica, (manométrica) temos 
pK = pL : • pH + wh = O 
ou 
- 0,175 X 104 + 0,7 X 103 h = O e h = 2,5m: 
Então o nível em. L será 14,7 - 2,50 = 12,20 m. 
Para coluna F: 
Pressão na cota 11,4 = piessão na cota 14,7 +pressão do líquido de den-
sidade 0,7 = (- 0,175 X 104) + (0,7 X 103) (14,7 - 11,-1) = 560 kg/m2; que deve 
ser igual à pressão em M. Assim a altura de carga em M (ou pressão piezométrica} 
será 560 X 103 de coluna d'água, e a coiuna F subirá 560 mm acima de M ou 
à cota lJ ,960 m em N. 
Para coluna G: 
Pressão na cota 7,8 = pressão à cota 11,4 +pressão de 3,6 m de água 
ou 
po = 560 + 3,6 X 103 = 4 160 kg/m2 
que deveria ser a altura de carga em R. Então a pressão em R é 
4 160 ? 6 d l' .d 
1,6 X 103 = -, m o 1qu1 o, e a coluna G subirá 2,6 m acima 
de R ou à cota 10,40 m em Q. 
(b) Para o manômetro de coluna, usando m.c.a. 
altura piezométrica em D =altura piezométrica em C 
13,6 ht = altura piezomé~rica à cota 11,4 +altura piezométrica de 
7,2 m de água 
13,6 ht = 0,560 + 7.2 = 7,760 
25. Um manômetro diferencial é colocado entre as seções A 
e B em um tubo horizontal, no qual escoa água. A deflexão do 
mercúrio no manômetro é de 576 mm. o nível mais próximo de 
A sendo o mais baixo dêles. Calcular 'l diferença de pressão entre 
as seções A. e B em kgím~. Considerar a Fig. 1-12. 
Solução: 
Nota: Um eshôço será sempre necessário à clareza da análise de todos os 
problemas bem como à redução de erros. Me;mo uma simples linha reta poderá 
nos auxiliar. 
Pressão em C = pressão 1:m D 
p.tfw - : = [pB.1w - (z + 0,:>76) l + 13,6 X 0,576. 
CAP. l PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 23 
Então PA/W - DB/w =diferença de pressão = 0,576 (13,6 - 1) =7;25 m.c.a. 
e 
Se (pA' - ps') fôsse negativo, a interpretação correta do sinal se.ria que a 
pres8ão em Bera maior do que A de (,2 X 101 kg/m2• 
Manôm~tros diferenl"iais devem ser "Eangrados" (retirada de ar) antes da 
leitura ser feita. 
- D 4;5m 
3,6m 
3.0m 
E 
D 
376 mm 
T 
===~-l.2tn 
A B 
Fig. I-12 Fig. 1-13 
26. A perda através do dispositivo X deve ser medida por 
um manômetro diferencial usando um óleo de densidade 0,750 
como fluido indicador. O líquido que se escoa tem uma densidade 
de 1,50. Determinar a diferença de pressão entre A e B para a 
deflexão do óleo indicado na Fig. 1-13. 
Solução: 
Pressão em C = pressão em D 
pB - (1,5 X 103) 0,6 - (0,750 X 11>3) 0,9 = PA - (1,5 X 101) 3,3. 
Então pA - pB = 3175 kg/m2 e a diferença em 
• . 3 475 ~ d l' "d metros de liquido = l,5 X 103 = 2,3;, m e 1qu1 o. 
Outro método 
Usando metros de líquido (d = 1,50) 
altura de carg-d em e = !!ltura de carga em r 
ps/w - 0,6 - 0,750 X 0,9 = PA/W - 3,3. 
1,50 
24 MECÂNICA: DOS FLUIDOS 
Então pA/w - pB/w = diferença de alturas de carga = 2,35 rn de líquido 
<.Y>moantes. 
@. Os recipientes A e B contém água sob pressões de'3 kg/cm2 
e 1,5 kg/cm2 respec~ivamente. Qual será á deflexão do mercúrio 
J\O manômetro diferencial na Fig. l·l4? ··---·--···--
Solução: 
Pressão em C = pressão em D 
3 X 104 1,5 X 104 ~ + :i: + h = 103 - y + 13,6 h (m.c.a). 
Recúmpondo: 30 + :i:.+ h = 15 - y + 13,6 h 
15 + :i: + y = 12,6 h. 
Substituindo :i: + y = 2 m e operando obtemos li = 1,35 m. 
O leitor poderá notar que a escolha de unidade em kg/m2 ou kg/cm2 envolveria 
mais cálculos, porém a probabilidade de cometermos enganos poderia recomendar 
o uso de tais unidades ao invés de m.c.a (metros de coluna d'água). 
Água 
l__ E 
T _5.,0n1 
:1: 
TLI~' h t 
.*; - D 
A 
_J,Gm 
..\gua. 
28. A pressão no nível A-A é de 10 mm de água e os pêsos 
específicós do gás e do ar são 0,560 kg/m3 e 1,26 kg/m3 respectiva-
ménte. Determinar a leitura da água no manômetro que mede 
~ pressão de gás ao nível B na Fig. 1-15. 
Solução: 
'<:onsideremos que os valores do w do ar e do gás permanecem constantes, 
para· os 90 m de diff!'rença de nível. Em virtude dos pêsos específicos do gás 
CAP. 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 25 
e do ar serem da mesma ordem de grandeza, a var.iação na pressão atmosférica 
com a altitude deve ser levada em consideração. O uso de pressões absolutas 
é recomendado. 
Pressão absoluta Pc = pressão absoluta pD. 
Pressão atmosférica pE + 103 h = pressão absoluta PA - li,56, X 90 (A} 
A pres>ão absoluta em A será determinado em têrmos de pressão atmosférica 
cm E, obtendo-se primeiro a pressão atmosférica em F e então pA. 
Pressão absoluta PA = [atmosfera pE + 1,26 (h + 90 + 0,09}] + 0,09 X 103• 
Substituindo êstcs valores em (A}, cancelando a pressão atmosférica pE e 
desprezando os têrmos de ·pequeno valor, temos: 
102 h = 90 (l,26 - 0,56 + I) = 153 :. h = 0,153 m ou 153 mm de água. 
29. Qual é a intensidade de pressão no oceano a uma 
profundidade de 5 000 ft, consid_erando-se que (a) a água salgada 
é incompressível e (b) a água salgada é compressível e pesa 64 
lb/ft3 à superfície~ E = 300 000 psi. 
Solução: 
(a) Intensidade de pressão p = wh = 64 (5000} = 320 000 psf man. 
(b) Uma vez que massa fornecida não varia de pêso, quando ela é compri-
mida, dW = O; então: 
dUi = d (W17) = w d11 + 11 dw = O ou d11/TJ = - dwíw. 
Das &111ações (10) e (12), dp = - w dh e d11/TJ = - dp/E. 
Substituindo em {A), 
dp/E = dw/w. 
Integrando, p = E ln w + C à superfície, p = P!'· w· = u:o; então 
C = po - Elnwa 
(A} 
(8) 
p = E ln w + po - E ln 1co ou (p - po} = E ln (w/u:o}. (C) 
Substituindo - wdh dw dp = - w dh em (8), --E-- = -;;;- ou dh = - E~w • 
w· 
Integrando, h = E/w + C1. 
A superfície, h = O, w = uo; então C1 = - E/u:o, h = (E/w - E/u·o) 
e daí 
u·oE 
w=----
u:oh+E 
(64} (300 000 X 144) = 6-1,5 lb/ft3• (64) ( - 5000) + (300 000 X 144) 
De (C) teremos: 
p = (30 X 104 X 144) ln (64,5/64) = 323 X 103 psfg (man.) 
(D} 
2Ci l)lECÂNICA DOS FLUIDOS 
30. Calcule a pressão barométrica em psi a uma altitude de 
4 000 ft se a pressão ao nível do mar é de 14,7 psi. Considere 
condições isotérmicas a 70"F. 
Solução: 
· O pêso específico do ar a 70°F é w = p 
R (460 + 70) 
onde R = 53,3 ft/0 R. 
Da Equação {10): d11 = - wdh = - p dh 53,3 {530) , 
ou 
dp/p = - 0,000 Õ351 dh. (A) 
Integrando {A), ln p = - 0,000 035 4 h + e onde e é a constante de inte-
gração. 
Para determinar e: quando h = O, p = 14,7 X 144 = 2 116 psf abs. 
Portanto e = ln 2 116 e ln p = 0,000 035 4 h + ln 2 116 ou 0,000 035 4 h = 
= ln 2 II6/p. (B) 
Transformando (B) em log10 2,302 6 log 2 116/p = 0,000 035 4 (4 000) log 
2 116/p = 0,061 6; 2 116/p = antilog 0,061 6 = 1,152 
2116 , 2 ll6 
P = 1,152 psf e p 1,152 X 144 = 12•7 psi. 
31. Deduzir a equação geral da relação entre pressão e elevação 
para as condições isotérmicas, usando dp = - w dh. 
Solução: 
P d. - . t' . - p po t ~ ara con 1çoes 1so erm1cas a equaçao wT = Wo To , rans1orma-se em 
011 w = wop/po. 
Ent.Uo: 
dh = - dp = - .!.'!.. X dp • Integrando f" dh = - ~ f P dp 
w u:o p J,.. wo Jp. p 
e 
h - hi; = - .!.'!..(ln p - ln pn) = .!.'!..(ln Pi> - ln p) = .!.'!..ln.!!!!... 
WO Wo U:O p 
. Realmente, a temperatura da atmosfera decresce com a altitude. Para uma 
solução exata necessitaremos de conhecer as variações de temperatura com a 
altitudt! e· o· uso da lei dos gases 
p w T = constante. 
CAP. 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 27 
32. Desenvolver a expressão da relac;ão entre a pressão mano-
métrica p dentro de uma #rOtícula de.líquido e a tensão superficial u. 
, a d[, 
dP,y 
--dP:dL 1 
d }-x 
l' 
adL 
---adL 
Fig. 1-16 
A tensão superficial na superfíde de uma pequena gôta de líquido faz com 
que a pressão interna seja maior do que a externa. 
A Fig. 1-16 mostra as fôrças que causam o equilíbrio na direção dw1 xx· de 
metade de uma gotícula de diâmetro d. As fôrças u · dL são de\· idas à tensão 
superficial ao longo do perímetro e as fôrças dP:i: são as comporn,11ll'~ 11a dirt·çãe> 
XX das fôrças p·dA (vide Capítulo 2). 
Então, do 2: X = O, 
soma das fôrças à direita = soma das fôrçl);, à esquerda 
u fdL = fdP:i: 
wnsão superficial X perímetro = pressão X área projetada 
q (1f d) = p (1f cf!/4) 
ou p = 4 u/d em unidade de pressão manornétrica. As unidades dtJ tensão 
superficial são kg/m \lb/ft). 
Pode-se ohsen·ar que quanto menor fôr a gotícula, maior será a pressão. 
33. Uma pequena gôta de água a 27°C está em contato com 
o ar e tem um diâmetro de 0,500 mm. Se a pressão 'interna à 
gotícula é de 57,4 kg/m2 maior que a atmosférica, qual é o valor 
de tensão superficial ? 
~olução: 
<T = Í pd = i (57,4) kg/m2 X 0,5 X 10-3 m = 7,175 X 10-3 kg/m. 
34. Calcular a altura aproximada a que subirá, em um tubo 
capilar exposto à atmosfera, um líquido que molha o tubo. 
28 .lllECÂNICA DOS FLUIDOS 
Solução: 
A elevação t>m um tubo de pequ1>110 diâmetro pode· ser determinada aproxi-
mHdamt>nlt, se conside1'11rmüs a massa do liquido ABCD na Fig. 1-17 como um 
corpo lh·rn. 
1 !ma vez que 2: Y = O; nós obtemos componentes da fôrça devida à tensão 
snperfidal (1iscendente) - pêso do volumt• ABCD (descendente) + fôrçn devida 
à prei;..,,ào AB (asct>ndcnte) - fôrça de\·ida à. pressão em CD (descendente) = O 
011 
+ (<T f dL) sen á - w (11" d2/.i X li) + p (área AB) ....,. p (área CD) = O. 
Pode ser verificado que as prt>SSões aos níveis AB e CD são ambas atmosfé-
ricas: A,-sim os (1ltimos dois têrmos do lado esquerdo da equação se anulam e, 
uma .,.,.;, q1m <T f dL = u (11" d), n6s obtemos, 
li = · 4 <T SP.n ª em melros. 
wd 
Para o corrípleto "molhamento", como de água sôhre vidro limpo, o ângulo a 
é es."f>nrial~nente 900. Maiores detalhes não são ·necessários aqui. 
Em trabalhos experimentais, evitar erros sérios devidos à capilaridade, 
usando tuhos em tôrno de 3/8" (9,5 mm) de diâmetro ou maiores. 
Fig. 1-17 
35. Estimar a altura a que a água a 2lºC subirá num tubo 
capilar de diâmetro 3,05 mm. 
Solução: 
Da tabela lC, <T = 0,01)1.iO kg/m. Considerando a = 90° para um tubo 
limpo: 
4 X 0,00740 
103 x 3,05 x 10-3 = 0•0097 m 
h = 9.ímm. 
CAP. 1 PROPRIEDADE.$ DOS FLUIDOS 29 
PROBLEMAS SUPLEMENTARES 
.zz prob, 
36. Se a massa específica de um líquido é 1,62 slug/ft3, determine seu ~o 
específico e sua densidade. . 
Resp.: 52,2 lb/ft3; 0,837. 
37. Verifique os valores da massa específica e do pêso específico do ar 'a 
80-F indicados na tabela lB. 
38. Verifique os valores dos pesos específicos do dióxido de carbono e do 
nitrogênio na tabela IA. 
, ~ A que pressão est.ará o a~ pesando ~.JJ9.J!>/ft3 a 120-F i'_ o~ ! 
_,/ Resp.: ~ · ., '' 
40. Dois pés cúbicos de ar à pressao atmosférica são comprimidos a 0,50 ft3• 
Para condições isotérmicas, qual é a pressão final? 
Resp.: 58,8 psia. 
41. No problema anterior, qual seria a pressão final se nenhum calor ·é 
perdido durante a compressão? 
Resp.: 102 psia. 
42. Determinar a viscosidade absoluta do mercúrio em lb s/ft2 se a ~-iscosi­
dade em poises é 0,0158. 
Resp.: 33 X io-6 lb/ft2• 
43. Se um óleo tem uma viscosidade absoluta de 510 poises, qual é súa 
viscosidade no sistema fps (foot-pound-second)? 
Resp.: 1,07 lb s/ft2• 
1 
44. Quais são as viscosidades absoluta e cinemática no sistema fps de un1 
óleo de 155 segundos Saybolt para viscosidade, se a densidade do óleo é 0,932'i' 
Resp.: 646 X io-& lb s/ft2; 358 X 10-& lb s/ft2• 
45. Duas grandes superfícies estão separadas entre si de l" (25,4 mm) ·e 
o espaço entre elas está cheio de um líquido de viscosidade absoluta 0,02 lb s/ft~ 
(0,976 kg·s/m2). Considerando o gradiente de velocidade linear; qual é a fôrça 
necessária para empurrar uma placa muito fina de 4,0 ft2 (0,368 m2) de ·área •à 
uma velocidade constante de l ft/s (0,3 m/s) se a placa está a 1/3" (8,46 mm) de 
uma das superfícies ? 
Resp.: 4,32 lb; l,96 kg. 
46. O tanque da Fig. 1-18 contém óleo de densidade 0,750. Determinar 
a leitura no manômetro A em psi. 
Resp.: 1,16 psi. 
47. Um tanque fechado contém 2 ft de mercúrio, 5 ft de água, 8 ft de óleo 
de densidade 0,750 e um espaço de ar acima do óleo. Se a pressão no fundo do 
tanque é de 40 psi manométrica, qual seria a leitura do manômetro no tôpo do 
tanque? 
Resp.: 23,4 psi. 
30 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
48. Considere-se a Fig. 1-19_ O ponto A está 1,75 ft abaixo da superfície 
do líquido (densidade 1,25) no recipiente. Qual seria a pressão em A em psi 
manométrica se o mercúrio se elevasse· ·de 13,5" no tuho? 
RP.so.: - 5,66 psi. 
j_ 
9" 
T 13,5" 
_J_ 
Fig. 1-18 Fig. 1-19 
49. Considere-se a Fig. 1-20. Desprezando-se o atrito entre o pistão -A 
e ó tanque de gás, determinar a leitura do manômetro B en:i polegadas de coluna 
de água. Considerar o gás e o ar com pesos específicos constantes e iguais a 0,0351 
e 0,0750 lb/ft3 respectivament.e, 
Resp.: 17,9 in ~e água. 
Fig. 1-20 
50. Tanques A e B contendo óleo e glicerina de densidades respectivamentc 
iguais a 0,780 e '1,25 são unidos por um manôrnetro diferencial. O mercúri" 
no manôrnetro está ao nível de 1,60 no lado A e 1,10 no iado B. Se o nível da 
superfície da glicerina no tanque B fôsse 21,l a que nível estaria a superfície do 
óteo no tanque _A ? 
Resp.:· Nível 24,90. 
:fij O recipiente A, cota 8,00 contém água sob 15 psi de pres..«ão. O reci-
piente B, cota 12,00, contém um líquido sob 10,0 psi de pressão. Se a deflexão 
CAP. 1 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 3l 
do manômetro diferencial é de 12" de mercúrio e o nível mais baixo estando no 
lado A à rota 1,0, qual será a densidade do líquido no recipiente B? 
Resp.: 0,50. 
~-/ No tanque do lado esquerdo na Fig. 1-21, a pressão do ar' é - 9·pol. 
de rrt-efcúrio. Determinar o nível do líquido. do manômetrd no lado direito da 
coluna em A. 
Resp.: 86,1. 
r 
1 /. 
'· 
~106,jl_ 
2,86 psi 
Fig. 1-21 
• 
53. Os compartimentos B e C na Fig. 1-22 estão fechados e cheios de ar. 
O barômetro indica 14,5 psi. Quando os nianômetros A e D indica
1
m os valores 
assinalados, qual será o valor de .r no manômetro E (líquido indicador: mercúrio)? 
Resp.: 5,96 ft. 
54. O cilindro e o tubo indicados na Fig. 1-23 contêm óleo de densidade 
0,902. Para uma leitura rnanométrica de 31,2 psi, qual será o pêso total do pistão 
epêsoW~ 
A 
! 
30.0 psi 
Resp.: 136 800 lb. 
B 
Ar 
\l_ 
l 
J 10,0' 
6' 
Pistiio·. 
Fig. l-2:1 
32 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
55. Consideremos a Yig.· 1-24, que leitura em A. eausará a elevação da glice-
rina ao nível B? O pêso específico do 61eo é 52 lb/Ct3 e da glicerina· é 78 lb/ft1• 
Resp.: 5,06 psi. . . . 
B 
Fig. 1-24 
56. Um dispositivo hidráulico é usado para suspender um "truck" de 10 t 
se o 61eo de densidade 0,810 atua sôbre o pistão com uma pressão de 177 psi, quul 
será o diâmetro necessário? 
NOTA: 1 ton = 2 000 lb. 
Resp.: 12~'-
57. Se o pêso especifico da glicerina é 79,2 lb/ít3, qual a pressão de sucção 
neces.c,ária para elevar verticalmente a glicerina de 9" em um tubo de 1/2" de 
diâmetr.o? 
Resp.: - 0,412 psi. 
58. Qual a pressão interna de uma gôta d'água que tem 0,06" {2,12 mm) 
de diâmetro quando a temperatura é de 700F {2,l0 C}? . 
Resp.: 0.0276 p«i g. 
)i 
\}.CAPÍTULO 2 
FÔRÇA HIDROSTÁTICA NAS SUPERFÍCIES 
Introdução. Os engenheiros devem calcular as fôrças exercidas 
pelos fluidos a fim de projetarem as estruturas satisfatoriamente. 
Neste capítuloas três características da fôrça hidrostática serão 
apreciadas: intensidade, direção e sentido. Adicionalmente, a locali-
zação, ou melhor, o ponto de aplicação também será determinado. 
Fôrça exercida por um líquido sôbre uma área plana. 
A fôrça P exercida por um líquido sôbre a área A é igual ao produto 
do pêso específico w do líquido, da profundidade h., do centro de 
gravidade da área e da área. A equação é: 
P = wh., A, (1) 
as unidades sendo: 
lb = lb/ft3 X ft X ft 2 ou kg = kg/m3 X m X m2• 
1 
Notemos que o produto do pêso específico w pela profundidade 
do centro de gravidade da área representa a intensidade de pressão 
no centro de gravidade de área. 
A linha de at;ão da fôrça passa pelo centro de. pressão que pode 
ser localizado pela aplicação de fórmula: 
r 
leu , 
Ycp = --4- + Ycu' Ycu · ·--··· 
onde leu é o momento de inércia de área em_!:.~l~çª~· ªº~ eixo_ que 
passa pelo centro de gravidade. As distâncias y são medidas ao 
longo do plano a· partir de um eixo situado na i.nterseção do plano 
com a supnfície do líquido, ambos prolongados se necessário. 
A componer(/e horizonla.1 da fôrça hidrostática sôbre qualquer 
superfície (plana ou irregular) é igual à fôrça normal à projeção 
vertical da superfície. A componente atua passando pelo centro 
de pressão para a projeção vertical. 
34 MECÂN"ICA DOS FLUIDOS 
A componente verlical da fôrça hidrostática sôbra.. uma superfície 
qualquer (plana ou irregular) é igual ao pêso do volume de líquido 
acima da área, real ou imaginária. A fôrça passa pelo centro de 
gravidade do volume. 
Tensão circunferencial. A tensão circunferencial {psi ou 
kg/cm2) é criada nas paredes de um cilindro sujeito à pressão in-
terna. Para cilindros de paredes finas (l < 0,10 d), 
intensidade de tensão <T (psi) ~ pressão p' (psi) X raio r (in) (3) 
espessura l (in) 
Tensão longitudinal em cilindros de paredes finas. A 
tensão lo11gitudinal (psi ou kg/cm 2) em cilindros de paredes finas 
fechados é igmil à metade da tensão circunferencial. 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
(/1,) Desenvolver (a) equação para fôrça hidrostática agindo 
em uma área plana e (b) localizar a fôrça . 
. Fig. :?-1 
Solução: 
(11) Con8Í<li-remos a rela A IJ r!'presentando uma área pia.na sujeita à 
pn•ssiiu d1• 11111 íluido e tendo uma inclinação O 1·om a horizo11lal, como mostra 
a Fig. 2-1. Considt>remos um demento de área tal que cada partícula esteja 
à nwsma dislâneia li abaixo da i<uperfície cio líquido. A faixa horizontal ha-
dmrada, ,: ''omo la! uma áre-.t, •~ a pressiio ,; uniforme sôbrn esta área. Então 
a ffirça """ alua sôhre a área dA é igual a intensidade da pressão uniforme p, 
vêzes a Ítrea d1t ou dP = pd A = wh dA. 
CAP. 2 FÔRÇA HIDROSTÁTICA NAS SUPERFÍCIES 35 
Somando-se tôdas as fôrças que atuam sôbre a área e. considerando-se 
que h ~ ysen 8, 
P = .! ~h dA = f w (y sen 8) dA, 
(w sen 8) f y dA = (to sen fJ) YCfl A; 
onde w e 8 são constantes, e da estática, 
f ydA = yqdA. 
Uma vez que hco = Yco sen 8. 
P = whc0 A. (1) 
N.T. - A expressão (1) nos mostra que: a resultante das press9es exercidas por 
um fluido sôbre uma área plana é igual ao pêso de coluna líquida tendo por base 
a área considerada e para altura a profundidade do seu centro de gravidade. 
Se notarmos que Pcg = tohc,,, pressão no centro de gravidade, podemos 
também verificar que a resultante das pressões exercidas por um líquido sôbre 
uma área plana é igual ao produto dessa área pela pressão em seu centro de 
gravidade. 
P =pcqA. 
(b) Para localizar a fôrça P, procederemos como na estática, considerando 
os momentos. O eixo O é escolhido como a interseção da área plana com a su· 
perfície da água, ambos prolongados se necessário. Tôdas as distâncias y são 
medidas a partir dêste eixo, e a distância à fôrça resultante é chamada Ycp, que 
é a distância ao centro de pressão. Uma vez que a soma dos momentos de tôdas as 
fôrças em relação ao eixo O deve ser igual ao momento da fôrça resultante. temos: 
f (dP X y) = P X ycp. 
Mas dP = wh dA = w (y sen 8) dA e P = (to sen 8) ycq A. Então, 
. . í -
tw sen tJ)} y" dA = (w seu 8) (ycg A) Ycp. 
Uma vez que f y2 dA é o momento de inércia da área plana em tôrn• • 
do eixo o. 
~ 
Yc,, A = Ycp· 
Em uma forma mais conveniente aplicando o teorema dos eixos 
lcg + Ay2cg /Cf/ Ycp = =--A-+ Ycg. 
YcgA Yco 
(2) 
Notemos que a posição do centro de pressões é sempre abaixo do centro de 
gravidade da área, ou (Ycp - Ycu) é sempre positivo. uma vez que lcg é sempre 
36 MECÂNICA. DOS FLUIDOS 
2. Determinar a posição lateral do centro de pressão (abscissa). 
Referência Fig. 2.;l. 
Solução: 
Em geral a abscissa do centro de pressão não é necessária para resolver 
muitos problemas de engenharia concernentes às fôrças hidrostáticas, ocasio-
nalmente, entretanto, esta informação ·pode ser necessária. 
Usando o esquema do problema anterior, a área dA é escolhida como 
(dzdy) de modo que o braço da alavanca x é convenientemente usado. Consi-
derando os momentos em relação a YY1, 
. PZcp = f (dP x). 
Usando os valores deduzidos no Problema 1, 
(whq, A) Zcp = f p (dx dy) x = f wh (dx dy) z, 
ou 
(w sen li) {yqr A) :rep = (w sen 8) f zy (dx dy); (3) 
uma vez que h = y sen fl. A integral representa o produto de inércia da 
área plana em tômo dos eixos X e Y escolhidos, designado por lzy. Então: 
(4) 
Se um dos eixos considerados fôsse eixos de simetria da área plana lzy 
seria nulo e a posição lateral (abscissa) do centro de pressão situar-se-ia no 
eixo dos YY que pássaria pelo centro de gravidade (não mostrado na Fig. 2-1). 
Notemos que o produtO de inércia em tôrno dos eixos que passam pelo centro 
de gravidade (/zy)q, pode ser positivo ou negativo, de modo que a abscissa 
do centro de pressão pode situar-se à direita ou à esquerda do eixo dos YY. 
!ç;_'=·'. ~ • .. ".. .. 
/ "'l .ut:Lt:1·wmac a resuuame P devida à ação àa água na área 
AB.f.'etangular de 1 m X.2 m, indicada na Fig. 2-2 abaixo. 
Solução: 
... p = whcg A = I@3.kg/m3 X (1,5 + 1) m X (2 X 1) m2 = 5 000 kg. 
Esta resultante a~ no centro de pressão que está situado a uma distância 
YCJJ do eixo 01' e, 
1· /1 ~"~3/12 ., ., ..... -~--,\ 
YCJJ = Y<v ~ + Y<v = 2,5 (2 X 1) + 2,5 = l~ + 2,5 ~ 
0_0 Determinar a fôrça resultante devida à ação da água na 
área triangular CD de 1,5 m X 2 m indicada na Fig. 2-2. O vértice 
~ais elevado do triângulo é e. 
CAP. 2 FÔRÇA HIDROSTÁTICA NAS SUPERFÍCIES 
Solução: 
PcD=10a.(1+ ! x2xo.101) G x1,5x2) 
. 3 ( 5,828) 
= 10 -3- 1,5_ = 2 914 kg. 
37 
Esta fôrça atua a uma distAncia Ycp do eixo 02 e é medida ao longo do plano 
da área CD. 
1,5 (23)/36 . 1,942 
J'cp = (1,942/0,707) (1/2 X 1,5 X 2) + 0;101 = 0,081 + 2,74 = 2,821 m de 02 
!C I~ I""· _,__ ___ 6 til-----
Fig. 2-2 Fig. 2-3 
5. A água sobe ao nível E no tubu localizado no tanque ABCD 
da Fig. 2-3. Desprezando-se o pêso do tanque e do tubo, (a) 
determinar e localizar a fôrça resultante átuante sôbre a área AB 
que tem 2,4 m de largura, (b) determinar a fôrça resultante na 
base do tanque, (e) comparar o pêso total da água ~om o resultado 
em (b) e explicar a diferença. 
Solução: 
{a) A profundidade do centro de gravidade da área AB é de 4,5 m abaixo 
da superfície da água (nfoel E). Então: 
P = whA = 103 (3,6 + 0,9) (2,4 X 1,8) = 19 440 kg, 
atuando à uma distância de: 
2 .. 1 (l,8)3/12 
Yci> = 4•5 (2,4 X l,8) + 4,5 = 4,56 m de O. 
(b) A pressão na base BC é uniforme; portanto a fô,ça 
P = pA = (wh) A = 103 (5,4) (6 X 2,4) = 77 760 kg. 
(e) t> pê~o total" de água W = 10ª (6 X 2,4 X 1,8 + 3,6 X 0,1) 
~ 26 280 kg. Um corpo livre com o volume da parte i11.íerior do tanque 
(cortado por um plao~ horizontal justame~te acima do nív.el BC) indicará 
--
38 l\IF.CÂNICA DOS FLUII>Ol:I 
uma fôrça para baixo sôbre a área BC de 77 760 kg, tensão verti~lnas paredes 
do tanque, e a reação do plano de apoio. A reação deve ser igual ao pêso total 
da água ou 26 280 kg. A teDBão nas pl'redes do tanque é causada pela fôrça 
ascendente no tôpo AD do tanque que é igual a: 
P AD = (wh) A = 108 (3,6) (14,4 - 0,1) = 51 480 kg. 
Um aparente paradoxo é asaim esclarecido, uma vez que, para o corpo livre 
considerado, a :;orna das fôrças vertical é zero, isto é: 
77 760 - 26 280 - 51 480 = o e, portanto, 
a condição de equilíbrio é satisfeita. 
6. A comporta AB na Fig. 2-4_ (a) abaixo, tem 1,2 m de largura 
e é fixa em A. O manômetro G indica (- 0,15 kg/cm2) e um óleo de 
deusidade· 0,750 é utilizado no. tanque à direita. Que fôrça hori-
zontal deve ser aplicada em B para equilibrar a comporta AB? 
1 
T 
T 
1-8 m 
_L 
0,99 nt },2 UI 
t 
6 -IAIO ki: .,._. 1455 kg 
B-F 
e 
Fig. 2-4(a} Fig. 2-4(b) 
Solução: 
As fôrças atuantes sôbre a comporta devem ser determinadas e localizada~. 
l'ara o lado direito, temos: 
Pó!eo = whq, A = {0,750 X 103) 0,9 (1,8 X 1,2} = 1 455 kg 
para esquerda atuando em: 
1,2 (l,8}3/12 
ycp = 0,9 (l,2 X l,8} + 0,9 = 1,2 m de A. 
l 
Poderíamos verificar que a pressão atuar.te no lado direito do retângulo 
AB varia linearmente da pressão zero ao valor devido aos 1,80 m de óleo (p = 
= wh é uma equação linear). O diagrama de pressão ABC indica êst.P. fato. 
Para o caso da área retangular, o centro de gravidade desta área de pressões 
coincide com o centro de pressão. O centro de gravidade está localizado a 
·2 3 (l,8} = 1,2 m de A, como foi calculado acima. 
CAP. 2 FÔRÇA HIDROSTÁTICA NAS SUPERFÍCIES · 39 
Para o lado esquerdo. é necessário converter a pressão negativa devida 
ao ar para seu equivalm1te em metros de !igua, 
h = _ ..!!.... = _ 0,15 X 104 
10 103 - 1,5 m. 
F..sta pressão negativa equivale a têrmos 1,5 m a menos de água abaixo 
do nível A. :f: conveniente e útil empregarmos uma superfície imaginária 
de água (l.W.S), 1,5 m abaixo do nível real e resolver o problema pelo uso.di-
reto das equações básicas. Assim: 
Págua = 103 (2,1 + 0,9) (1,8 X 1,2) = 6 480 kg, 
agindo para a direita no centro de pressão. 
Para a área retangular submers~, 
ou o centro de pressão está a (3,09 - 2,1) = 0,99 m de A. 
Na Fig. 2-4(b) o diagrama mostra as fôrças que atuam sôbre a comporta 
AB. A soma dos momentos em relação a A deve ser 'nula. Tomando o 
sentido do movimento dos ponteiros do rel6gio como positivo. 
+ l 455 X 1,2 + l,8F - 6 480 X 0,99 = O 
e F"' 2 600 kg da direita para esquerda. 
/'!. O tanque da Fig. 2-5 
contém óleo e água. Determinar 
a fôrça resultante no lado ABC 
que tem 1,2 m de largura. 
Solução: 
A resultante das fôrças em ABC 
é iguai a (PAB + PBc). C .. ku!tui•->o; 
1;ada uma delas, localizemo-las e, usan-
do o princípio de momentos, determim:· 
mos a posição da resultante sôbre o 
lado ABC. 
Fig. 2-5 
A _j_ 
IWS 0,6 lll 
t 
2,4m 
(a) P AB = (0,800 X 103) (l,5) (3 X 1,2) = 4 320 kg atuando eín um ponto 
? 
a i" (3) m de A ou 2 m abaixo. A mesma distância poderia ser obtida pela 
fórmula, como segue: 
1
•
2 <33)/l2 + 1,5 = 2 m de A. 
Ycp = 1,5 (1;2 X 3) 
(b) A água está atuando na área BC e qualquer líquido superposto pode ser 
convertido em uma equivalente profundidade de água. Empreguemos uma 
MECÂNICA DOS FL"t;JDOS 
superfície de água imaginária (IWS) para êste segundo cálculo, localizando a 
(IWS) pela mudança de 3 m de 6leo para 0,8 X 3 = 2,4 m de água. Então: 
PBC = 103 (2,4 + 0,9) (1,8 X 1,2)'.::::'. 7 130 kg atuando no centro de 
pressão. 
l,:Z (l,8)3/12 Ycp = + 3,3 = 3,38 m de O ou (0,6 + 3,38) = 3,3 (1,2 X 1,8) 
= 3,98m de A. 
A; fôrça resultante é igual a 4 320 + 7 13(1 = 11450 kg atuando no centro de 
pressão para área total. O momento desta resultante = a soma dos momentos 
«tas s1,1as. componentes. 
Usando A como um eixo de referência, 
11 450 Y cp = 4 320 {2) + 7 130 (3,98) e 
Ycp = 3,23 m de A. 
Outros métodos de resolução podem ser empregados mas acreditamos 
que o método ilustrado reduzirá os erros no julgamento e nos cálculos. 
8. Na Fig. 2-6 a comporta ABC é articulada em B e tem 
Fig. 2-ó 
1,2 m de comprimento. Des-
prezando o pêso- da comporta, 
detérminar o momento desequi-
librador devido à ação da água 
na comporta. 
SoJuçã~: 
PAB = 103 (1,2) [(2,4/sen 6(}<>) = 1,2] 
2 
= 3 980 kg, atuando a 3 (2,4/ 
/0,866) = l,85 m de A. 
PBc = 103 (2,4) (0,9 X 1,2) = 2 590 kg, atuando no centro de gravi-
dade de . BC, uma vez que a .pressão sôbre BC é uniforme. Tomando-se 
~omentos em relação a B (considerando positivo o momento no sentido do 
movimento dos ponteiros do relógio). 
Momento desequilibrante = 3 980 X 0,923 - 3 000 X 0,45 = 2 320 kg· m no 
sentido considerado. 
Á. Det~rminar a fôrça resultante devida à ação da água na 
á.rea v~rtical indicada na Fig. 2-7(a) e localizar o centro de pressão 
em coordenadas x e y. 
Solução: 
Dividir a área em um retângulo e um triângulo. A fôrça total atuante é 
igual à fôrça P 1 atuando DO retângulo mais a fôrça P2 atu .. ndo no triângulo. 
CAP. 2 FÔRÇA HIDROST.\TICA N.AS SUPERFÍOIES. 4t 
(a) P1 = 103 (1;2) (2,4 X 1,2) = 3 456 kg atuando a .!. X 2,4 = 1,6 m da 
f,. XX · 3 super icie , 
P2 = 103 (3) ( ~· X 1,8 X 1,2) = 3 240 kg atu~ndo a, 
Y. 1,2 (l,8)3/36 
cp = ( 
3 ! X 1,2 X 1,8) + 3 = 3,06 m abaixo de XX. 
A fôrça resultante: 
p = 3456 +3240 = 6696kg. 
Tomando-se momentos em relação ao eixo dos XX 
6 696 y cp = 3 456 (1,6) + 3 240 (3,06) 
Y cp = 2,36 m abaixo da superfície XX. 
(b) Para localizar o centro de pressão no ·eixo das abscissas (XX),. usamos 
o princípio dos momentos depois de têrmos localizado z 1 e z2 para o reiângulo e 
para o triângulo respectivamente. Para o retângulo, o centro de pressão paltl 
cada taixa horizontal de área dA está a O,~ ril de. YY; portanto o seu centro e·~ 
pressão está a 0,6 m dêste eixo. Para o triângulo, a cada área dA corresponde 
um centro de pressão, portanto a mediana contém todo8 os centros de pressão 
(L.G.) e o centro de pressão de todo o triângulo pode ser ag0ra calculado. Veri-
ficando-se a Fig~ 2-7(b) e usando-se semelhança de triângulos, z210,s = 1,14/l,8, 
do qual z2 = 0,38 m de YY. 
f,_ 
Fig. 2-7 ta) Fig. 2-7 (b) 
Calculando-se os momentos: 
6 696 XcP = 3 456 (0,6) + 3 240 (0,38) e Xcp = 0,49 m de YY. 
Um outro método poderia ser usado pura localizar o centro de pressão. Ao 
invés de dividirmos a área em ·2 partes, calculamos a posição do centro de gravi-
dade da área total. Usando-se o teorema dos eixos paralelos, determina-se o 
42 !l!ECÂNICA DOS FLUIDOS 
momento de inércia e o produto de inércia da área .total em relação aos eixos!1<1ue 
passam pelo centro de gravidade. Os valores de ycp e :rcp são então calculado.Q 
·pelas fórmulas (2) e (4) dos Problemas 1 e 2. Em geral êste processo não tr'"' 
nenhuma vantagem especial e pode envolver muita aritmética . 
...{@ A comporta AB de I,8 m de diâmetro na Fig. 2-8 gira 
em tôrno do eixo horizontal e localizado a 100 mm abaixo do ~entro 
de gravidade. A que altura h pode a água subir sem causar um 
momento desequilibrante (no sentido do movimento dos ponteiros 
do relógio) em tôrno do eixo e? 
Fig. 2-8 
Solução: 
Se o centro de pressão e o eixo C coincidirem, não haverá momento des>!-
quilibrante atuando na comporta. Determinando a posição do centro de pressão, 
Então, 
tr (I.3)~/64 O 100 (" d' d ) 
Ycp - ycg = (h + 0,9) Í7r (l,8)2/4l = ' m ica o 
h = 1,12 m acima de A. 
II. Considere-se a Fig. 2-9. Qual será a m1mma largura b 
para a base de uma barragem de 30 m de altura, se considerarmos 
que a pressão sôbre a barragem varia uniformemente desde a altura 
de carga na base até zero no tôpo e se c~siderarmos também uma 
pressão de gêlo P1 de 18 720 kg por metro linear de barragem no 
CAP. 2 FÔRÇA HIDROSTÁTICA NAi;SUPERFÍCIF.S 43 
tôpo ? Para êste estudo consideremos: a resultante das. fôrças de 
relição cortando a base no. têrço médio da mesma (em O) e ~ pêso 
da alvenaria como 2,50 w. 
p, 8m 
Fig. 2-9 
Solução: ,. 
Na Fig. 2-9, H e V são as componentes da reação da fundação atuando ery/ 
O. Consideremos um comprimento de 1 m de barragem e determinemos tôdas 
as fôrças em têrmos de w e b, como se segue: 
Pn = w (15) (30 X 1) = 450 w~g, 
P, =área do diagrama ·de carga, 
l ' 
= 2 (30w) (b X 1) = 15 bwkg, 
W1 = 2,5 w (6 X 30 >'. 1) = 450 w kg, 
w~ = 2.!'>,,. [ + x 30 (h - 6) J x l = 37,5 r.b - 6) kg, 
Pr = 18 720 kg, como foi" dado para pr&são de g~lo/metro. 
Para achar o valor de· b nas condições de equilíbrio, determinamos os mo-
mentos destas fôrças cm relação ao eixo O. Considerando os momentos no sentido 
do movimento dos ponteiros do relógio como positivos: 
- (3º) - (b) '(2 ) 4:>0 w 3 + b wb 3 - .450 w 3 b :- 3 -
- ~ 37,5 w (b - 6) [: (b - 6) - : ] f + 18 720 (30) = (), 
S,implificanoo e resolvendo para w = i 000 kg/m:t, 
b2 +10b-735=0 e b = 22,55 m de largura .. ·. 
• MECÂNICA DOS FLUIDOS 
. . 
;fa~ Det.erminar e Iocàlizar as eomponent.es· da fÔrçá resultante· 
da aÇão da água· s~bre a área curva .B .na Fig. 2-IQ, p0r metro 
ile seu · comprimento ? · · 
Solução: 
Pa = Côr~ sôb~ a projeção ~ertical da _curva CB = 10 llcg AcB 
= 101 (1) (~ X 1) ;,. 2 000 kg at~and~ _a ! • (2~ = .. 1.33 m de C; 
Pv = peso da água acima da área AB = 10• (11" 2!/4 X i'j = 3.140 kg, 
atu~ndo no centro de gràvidade do volume de líquido. o centro de g~vidade 
. 4 . 
de um quadrant.e de círculo está localizado à distância de 3· r/1r de cadu um 
dos -raios perpendiculares entre si. Assim, 
i'cp = 4/3 X 2/'lf" = 0,85 m à esquerda. da linha BC. 
Nola: Cada fôrça dP atua normalmente à curva AB e quando prolongada 
passará pela charneira . C. A Côrça resultante também -paSEará por C. A rim 
de confirmar o que Coi dito,. consideremos os momei\tos das ~mponentes em 
relatão a C1, 
?Me= - 2 000 X-1,33 + 3140 X 0,85~ O (satisfatório}. 
.A 
Fig. 2-10 Fig. 2-11 
IÍ.3. O cilindro na Fig. 2-11 ~m um diâmetro de 2 m, pt>Sa 
2 300 kg e te~ 1,5 m de comprimento. Determinar as reações em 
A e B, desprezando-se o a trito. 
Solução: 
(a) A reação em A é devida à componente horizontal da fôrça exercida 
f:elo líquido atuando no cilindro ou 
PH = (0,800 X 1113) (1) (2 X 1,5.) = 2 <IOO kg ~ a direita. 
CAP. 2 .l'ÔRÇA llIDROSTÁTiOA. NAS SUPERl'ÍOIES 45 
Portanto a reação em A deverá ser cf8 2 400 kg para a ~rda. 
(b). A reação em B ó a aoma·algébriC)ll. do·~ do Cmndro e da compo~nté 
verticál devida à r&rça exercida pelo líquido." A superf'icie curva CPB aolleitada 
pelo Úqµid~ compõe., de uma part.e cancava para baixo- CD, e.uma outra côoca• 
va para cima - DB. A. componente vertical é u. soma alSébrica das fôrças 
descen~entes e Uoend~ntes. . . . 
. . 
Ascendente. P. =-~ do lí~do (real ou imaginário) acima da· curva Dl~­
= 0,800 X 103 X 1,5 (área do setor DOB +área do quadrado DOCB) 
Descendente P. "" 0,800 X °103 x 1,5 (área hachmada DEC). 
. : . . 
Nota:odo que o quadrado ·DOCE asc.-e:odente m~nos a á~ DEC d~ndentê. 
resulta no quadrante !fe círculo DOO, a componente vertical será: 
resultante P, = 0,800 X 103 X 1,5 (set.or DOB + DOC) ascendente 
.,, 1,2 X 103 ( ~ 1r 12) - 1884 kg para cilDll• 
F'malmente, l:Y =O; 2··100 - 1884 - B =O. 
Neste problema particular, a 
componente ascendente (empu~o) 
é igual ao pê!!<> do líquido deslo-
cado à esquerda do plano verti-
cal COB. 
.!Í4. Considerando-se a. 
Fig. 2-12 determinar as fôr-
ças horizontal e vertical de-
vidas à água atuando em um 
cilindro de 6 ft de diâ.metro, 
por pé de · compri01ento. 
SOiução: 
(a) PH = fôrça sôbre CDA - fôrça sôbre AB. 
Usando a projeção vertical de CDA e de AB, 
w = 62,4 lb/ft3 
PH (CDA) "." 62,4 (4 + 2,?6) (5,12 X 1) 
.""" 2 090 lb para· a direita 
!J;.. 51.6 kg. 
~.~12 
PH (AB) o 62,4 (4 + 4,68) (0,88 X 1) = 477 lb para esquerda. 
46 KECÂNICA DOS J'LUD>OS 
Componeht.e resultante PB - 2 090· - 477 - 1613 lb puá mreita. 
(b) P. - f&rça aacendent.e sabre DÂll ~ f&rça deacenclent.e_salmt DC 
"" pesa de (volume DABFED - volume DCGED). 
A . 6rea hachurada (volume) está contida. em cacl!l Úlil dOB . volumes acima. 
sendo uma. rarÇa para baixo e outra pua cima. Aaaim elila ae cancelam e, 
componente vertical P. • p@so do volume DABFGCD~ 
Dividindo est.e volume em formas geométriças convenient.es, 
P. = peso do (retlnguio GFJC + triingulo C.ÍB + aemic&mlo CDAR) 
= 62,4 (4. X 4.,24 + ! X 4,24 X 4.,24. + t r 32) (1) 
= 62,4 (16~96 + 8.98 + 14,14) .. 2 500 lb para cima. 
Poderia ser pedida a localização de:sta component.e vertical resultante;· em-
·pregaríamos então o priDcípio dos moment.os. Cada componente das 2 SOO lb 
resultantes agiriam através do centro de gravidade do volume conespondente. 
Os centros de gravidade _aio encontrados pela estática e a equação dOB momentos 
poderá ser escri&I!- (veja Problemas 7 e 9 neste capítulo). 
15. Na Fig. 2-13 um cilindro de 2,4 Ili feeha um furo retan-
gular em um tanque que tem l m de comprimento. Com qne 
fôrça o cilindro será pressionado contra o fundo do tanque em 
lirtude da profundidade de 2. 7 m de água ? 
Solução: 
Componente resultante f • = fôrça para baixo sôbre CDE - f&ça para 
cima sôbre CA e BE 
P. = 101 X l [ ( 2,1 X 2,~ - ! 7r 1,22) - 2 ( 2,1 X 0,16 + 
+ ~ 1r 1,2: - ! X 0,6 X 1,04)} 
P. = 2 180 - 7M = 1 976 kg para baixo. 
CAP.·2 PÕRÇA HIDROSTÁTICA NAS SUPDrlCIES 47 
16. Na Fig. 2-14; o cilindro de· 2 m de dilmetro pesa 200 kg 
e repousa no fundo deu~ t.aµque qqe,mede 1 m de comprimento. 
Água e· 6Jeo são colocados .lias pc>rçõei à esqaerda e à. direita do 
tanque a profuildidades de O,,S ·.e l m respectivameqte. Determmér 
a intensidade das componentes homonial e vertical da ~ultant.e 
que mantém o cilindro em contat.o oom o. tanque em R 
Soluçhs 
P11 - compo.iiente a6bre AB para esqUeida - comiionente ll&bre CD 
para dinita; 
- 0,750 X io~ X 0,5 (1 X 1) - io& X 0,25 (O,S ·x 1) .,. 250 kg paru 
esquerda. 
P. = componente ascendente s&lm! AB + componc:ntti ascendente 
aôbre CB; 
- peso do quadnmtti de 6Ieo + p8so do (setor-triiugu)o) de água 
1 . (1 . 
=- 01sox 1oa x 1 x-r11 +· 101 x1 - r · 11 -
' . • . 6 . 
- ! X 0,5 v'o07s r-. 788.kg para cima. 
AB compou,eotes que retêm o cilindio:sio ~lt kg para a direita e 788 kg para baixo. 
Fig. ~15 
. 11. A escora semicônica ABE indicada na Fig. 2-15 é usada 
para suportar .uma tôrre semicilíndrica ABCD. Calcular as com-
ponentes horizontal e vertical da fôrça devidas à ação· da água: na 
esror.l ABE. 
48 )IECÂNICA. DQS FLUIDOS 
Solução: --
. Ps • rarça s6bre a projeção vertical do semicone; 
... 1oa (1,S + 1) (i X 3 X 2) =- 7 soo kg par~ ~eita; 
P, "" pêlM> do volume de água acima. da superCiCie curva {imaginiria), 
"" 101 (volume do. semicone + volume do semicilindro), 
· ( 1 r 1i 1. ') .· 
""' 1oa 2 X - 3 - X 3 + 2 1f' 1i X 1,5 = 3 925 kg para cima. 
18. ·Um tubo de aço de 48" de diâm.etro ··~ 1/4" transporta 
óleo de densidade 0,822 sob uma pressão de 400 ft de óleo. . De~r­
niinar. (a) a tensão no aço e (b) a espessura de aço· necessária 
. pa'ra suportar ~ma pressão de 250 psi com uma tensão. permissível 
de . 18 000 psi. 
Solução:. 
(ª) ( ·nsio .) p' (pressãq em psi) X r (raio em pol) tr te emps1 = • 
· l(espessura em pol) 
(b) tr = p'r/l, 
. . 
. · (0,822 X 62,4 X 400)/144 X 24 · 
13650 
.• 
= . 1/4 . = psi. 
18 000 = 250 X 24/t, t = 0,333". 
19. Um tonel de madeira com 20 ft (6 m) de diâmetro externo 
é carregado com 24 ft (7,2 m de salmoura, densidade 1,06. As seç()es 
de madeira são cintadas por fitas de aço de 2"/(50,8 mm) de largura 
'T 
1 
20' 
Fig. 2-16 
e 1/4"/(6,3 ~in) de espessura, as quais têm umatenSão adm~sível 
de 16 000 pSi -(1120 kg/cm!)_. Qual o espaçamento entre as cintas 
próximas à base do tonel desprezando-se a tensão inicial ? Consi-
derar a ·Fig .. 2-16 .. 
FÔRÇA IIIDBOSTÁTICA NAS SUPERl'fa . 49 
Soluçlor 
A rarça P representa a BOllJ!l de tadas aa component.eli homontais .. pequena 
Cclrça dP a bando ao longo da l:lis\Ancia. y no tonei, e as f8rçu. T iepreaentom 
a teiisão ti>tal suportada p0r uma cinta, devida à carga na dis~ia 7 consider!ida. 
Uma vez que a somà das f8rçaa na direÇio X dev~ ser ztro, 2T.:- P. ~O ou _ 
· 2 .<área de aço~ tendo no aro) ""p' X Z ~jeçio do semicilindio, 
2 (2 X 1/4) 16 000 - (l,06. X 62,4 X 24/144) (20 X 12)'), 
y ""6,05" ·de es~~mento en~e as c~tas. 
N.T. '""'": Se utilizúsemos o sis.;,ma métrico; 
2T=P, 
2 (0,0508 X 0:0063) l 12o X 104 =- (l,Ó6 X 101 X 7,2) 6 y, 
0,672 X 104 = 45,S _X 103-y • : • y = 0,157. m -· 157 ~. de esPi-
çamento. 
PROBLEMAS SUPLEMENTARES 
]U.~à1 -@. Para uma barragem AB na Fig. 2-17 de 8 (t(le ci>mprimen&Ô, det.erminar 
a compressão no suporte. CD devida à pressão ~ 6gua (B, C 8 D são pinos). 
&.p.: 15 aso lh;· · 
A 
• 1 
Fig. 2-17 
21. Uma comporta retangular A.B de 12 ft de altura por 5 Ct de largura 
é pivotada em ~m ponto a 6 in aba~ do seu centro 'l:le gravidade. A altura total 
de água é de 20 rt. Que fôrça horizontal deve ser .aplicada à base da comporta 
para equilibrá-la ? 1 
&.p.:·34301h. 3l!'J71~ 
€
1 Determme a dimeosio z de maneira que a tensão total na barra BD, 
na F"ig •. 2-18, não seja maior do ·que 18 O~ lb, usando um comprimento de 4 ft 
perpendicúlar ao· papel e considerando as extremidades B e D como pinos. 
Rup.: 8,87 Ct. 
~ Certo 61eo de densidade 0,8 age sclbre uma área tria~lar vertical cujo 
ápice está à supen.ICÍe' do óleo_ () triângulo tem 9 ft de altura e 12 ft de largura. 
5Ó MECÂNICA -DOS Jl'LUU>OS 
-lima ârêa ietaliguiar :vertical de 8 ft de alblnl é r~da à base de lZ'ft do trilngwo 
e é solicitada pela '8ua. Detetmine a intensidade e a posição de farÇa resultante 
same á _ 6i:ea t.otat --· - · --
-' 
Rup.: 83 ooO lb;· 12,18 ft abaixo do nível 
Fig. 2-18 
(-.._·. . ·. . . 
'U~ _Na F"ig. 2-19 abaixo, a comporta 'All e f"uada ·em B e tem 4 ft de largura. 
_ Que rárça vertical apliáada no centro de paridade da. coiD.DOrta, qué pe.. ·4 SOO lb, 
podm mant.@.la na PoeiçãO de eqUillbrib il - -
.. . . ' . . .. 
Rup.: 12:120 lh. 
('- . 
\~~· A 1'1g. 2-20 representa a_ seção.ftta de um tanque que tem 20 ft de oom-
~nto. A_ água está no nível AE. Determinar (a) -a f&rça tQtd atuante 
~ BC e (b) a félrÇa total atuante na extremidade ABCDE (mtensidade e 
posição). -
Rap.: 200 000 lb; 911 '!60 lbà 11,17 ri.--
- 8' 
t 
.F'ig.- 2-21 
26. Na Fig. ~21 acima, uma comporta semicilindrica · iem 4-ft ·de diâmetro 
e 3 7ft de comprimento. Se o coeficiente de atritd êiitre a- comporta e sU.s guia .. 
é 0,100,. deteDninar a .fôrça P neoessirla para levantar á· com~i'ta de- 1 000 lh. 
Rap~: - 347 lb. 
CAP. 2 FÔRÇA _HIDROSTÁTICA N,AS sUPERJriClls .·51 
· 27 •. Um tan~ com lateJ'llis v~rticais contêm 3 rt de merc6ri~ e . 16;5 f 
de água. Detennjne a farça total sôbre uma porção quacfiada de. um dos kdOs 
área. de 2 ft X 2 ri; metade desta áreia . esta~do situada ~ix~ dá superf"tcie do 
mercúrio. Os lados do.quadrado são verticais. e horizontais. : ' ·· · 
. . ~ . . . 
Re11p.: 4 .910 ib, 16,63 ft al)aixo da super(icje. 
28~ Um trilngulo is6scele!t, oom .base de 18 ft e. altura de 24 f~ el~ illl!!rso 
verticalment.e em 6leo de 0,8 de densidade, com seu eixo de simetriit nÀ horizontal •. 
Se a altura de carga sôbre o eixo horizontal é de 13 ft,.detennine a Mrça ·mutta~t~ 
atuante sôbre uma face do tri~do e li>çalim, vertiealmente •. ()~ntro de p~o. 
. . . 
. Re11p.: 140 400 lb, 14,04 ft. 
29. A que profundidade pooeria um quadrado de ·4 rt ·de 'ado, com 2 ladÔS 
hori:r.ontais, ser ·submerso em água de modo que o centro de pniSsão esteja 3 in 
abaixo do centro de gravidade? Qual a fôrÇa total sôbre o quadrado~ 
Rap.: . 3,33 ft; 5 330 lb. 
Fig. 2-22 Fig. 2-23 
30. Na Fig. 2-22, o cilindro de 4 Ct de diâmetro e 4 (t (le compriment.o é 
$Olk·itado par ~·~ à ·esqce~da {! por óleo de u~u:sithtde 0,8 à àireita.. Deteri;ninnr 
(a) a fôrça normal em B se o cilindro pesa 4 000 Ib· e (b) a Côrça hori:r.ontal devida 
ao óleo e à água, se o nível do óleo cai de l ft. 
Rup.: 1180 lb; 3 100 lb para direita. 
31. Na Fig. 2-23, para um· comprimento de s·rt, determinar o rpomento 
desequilibrante em relação à charneira O devido à água ao nível .A. 
Rup.: 18 000 Ct lb no sentido de rotação dos pontell'os do relógio. 
32. O tanque cuja seÇão reta é indicada na Fig. 2-24 tem 4 ft de compri-
mento e está cheio d'água sob pressão. Determinar as componentes .da fôrça 
necessária para manter o cilindro na posição indieada,. desprezando o· p&o do 
cilindro. 
Rup.: 3 250.lh para baixo. 4 580 lb para esquerda. 
52' . !olECÂNICA DOS J'LUIDOS 
33. Determinar, por- pé de oompriAJlento, as oomponentçs -horizontil -.e · 
vertjcal .. da ~o da égua atuando sôbre a comiiorta do tipo · Tainte\. · (oompc)r.ta 
de iegmento) indicada na. Fig. 2-25. · 
Re•p.: 3 120 e 1 130 lb .. 
o 
Fig. 2-25 
(~. Determinar a fôrça vertical atuante sôbre um dome semicilíndrico in· 
clicado-' na Fig. 2-26, quando o manômetro. A indica 8,45 · psi. O comprimento 
do dome li de 6 ri; 
Rap.: 25 400..lh. 
Fig. 2-26 
,'J.t;. 8P. o dome no nrohlema anterior fôr transrormado nara uma formn 
hémisf'Jrica de mesmo di~tro, qtial Será a 'rôrça vertical solicibtnte jl 
Re11p.: 13 600 lb. 
6' 
t 
ló" 
Fig. ;-21 
CAP. 2 FÔRÇA. HIDROSTÁTiCA. NAS SUPERFÍCIES· 53 
36. · Considerando.se a F'1g. 2-21, det.ermÍuar . · (a) a Mrça exercida pela 
água· sôbre a placa. da base AB do tubo de 2.ft de dilmetro .e (6) a fôrça total 
sôbre o plano e. . 
Rup.: 3 140 lb; 44 400. lb. 
. . 
37. O cilindro indicado na F'ig. 2-28 tem lOCt de comprimento. Con-
sidetando condições estanques em A e o cilindro irrotacional, qual será o pko 
do cilindro necessário para impedir. o movimento ascendent.e il 
&11p.: 12 700 lb. 
. I'= 0,150 
Fig. 2-28 
38. Um silo tubular de madeiia de 48" de diâmetro é cintado por fita de 
o((> de 4" de largura e 3/4/' de espessura. Para uma tensão permissível de 16 6CO 
psi no aro e uma pressão interna de 160 psi, determinar o ·espaçame~io entre as 
fitas. 
Re11p.: 12,5 in. 
• 1 (39.' Pata a barragem de montantes parab6licos indicada na Fig. 2-29, qual 
o mÓmento em relação a A por (t de parede criado pela altura de 10 (t de água ? 
tD =s 64 lb/ft3). 
Rup.: 25 200 ft lb no sentido c:ontrário ao movimento dos pon-
t<?iros do rel6gio. , / l 1 ;, f, ~ : ;_ :: : , ' 
' ·::;:i..\.S' i r\ 1:,- Si,H· 1 
(, 
Fig. 2-29 Fig. 2-30 
40. . O tanque indicado na Fig. 2-30 tem 10 (t de comprimento e a base 
inclinada BC tem 8 (t de ·largura-. Que altura de mercúrio· ocasionará um mo-
JlEC~CA DOS l'LJJiD(JS 
nien~ resuitanie ·em b de C, devido aos UqUidO., de 101 300 rt U, no senUdo 
. de ·rotação dos ponteirai do rel6gio i' · 
lte1p.: 2a 
·'Fig •. 2.31' . 
· 41. A comporta iDdii;itda ná Fig. 2.s1 tem 20 rt de oe>mJ>fÜneiit-9. QWüa 
·~as reações Dll chameiía O devidas à ágwt. ~ :verifi~ se o to?qlie em ieliaçio 
· ª o é iiiilo.: · · 
. . . 
Ré11p.: 30 600 lh.; 61 ·100·~'.-
42.· Considerar a Yig. 2-32. Uma placa chata pintada em C tem uma forma . 
que satisfaz a équação r + 1,5 y = 9. Qua.l se~á a fôrça exereida pelo 6leo 
sôbre a· placa e qual será o forque em tôrno de e-devido ao 6leo i' . 
Re11p.: 6 %40 lh, . 16 400 ft lb. 
43. Na Fig. 2-33~ a comporta ABC de forma parab6lica está pivotada em 
A e é sÓlicitad~ por um óleo pesando 50 lb/ft1• Se o centro d~ gravidade da oom-
porta está em B, qual ·aeve ser o. ~ da .mesma por pé de oomprimento (perpen-
·.55~ .~ paPen'. fim.~ ~·o:·~· uistai' o vértice da ~ ' o 
oonioA.· '· · · 
' .,~; . 408 lb/ft. .· . 
. y 
Fig. 2-33 
4'. Na Fig. 2-M, a comporta automática ABC pes& 1,50 t/fi ·e aea cent.io· 
· 4e graVi4de estA a 6 ft à ~ta do eixo A. Em ~de do uivei da 6gUa· h.dicada· 
na· .rigma, a ci>m~a se abrirá i' . . · . 
&..P.: ·si!n. 
-1 
/ 
\ / 
\/ 
CAPITULO. 3 
EQUILÍBRIO DOS cORPOS IMERSOS E- fi,lJTUANTES 
Princípio de Arquimedes. O princípio de Arquimedes tem 
sido usado pelo homem há cêrca de 2 200 anos. O volume de rim 
sólido irregular pode ser determinado através de determinação da 
perda apar~nte de pêso quando êle está totalmente imerso em um 
liquido de densidade conhecida. A densidade dos líquidos pode 
ser determinada por meio da profundidade de flutuação do hidrô-
metro. Aplicações mais avançadas incluem problemas de flutuação 
em geral e, projetos de arquitetura naval. 
Qualquer corpo imerso ou flutuante em um líquido, está 
sujeito à uma jôrça de-êquilfbrio (empux9) Igual ao pêso do líquido 
deslocado. O ponto de àplicação desta fôrça é chamad~ centro 
de empuxo (NT). 
N.T. - O ponto 'de aplicação da Cõrça de equilíbrio se denomina no caso de 
corpos .flutuantes •. centro de flntuação ou centro de carena. 
Estabilidade de corpos imersos ou flutuantes. Um corpo 
submerso estará em equilfbrio estável quando o centro de gravi-
dade do corpo estiver diretamente abaixo do centro de. em_puxo 
(gravidade) do líquido deslocado. Se os dois ponto~· ~ófu~idem, 
;--ooq;;--ime~· está em e-qliilíbrio indiferente. 
Para a estabilidade de cilindros e esferas flutuantes o centro 
de gravidade do corpo deve estar abaixo do centro de empuxo. 
A eslabilid9de de ou.lros objetos flutuantes dependerá do momen-
to pêso próprio-empuxo do líquido, desenvolvido quando o centro 
de gravidade e o centro de carena se deslocam do alinhamento ver-
tical devido à mudança de posição do centro de carena, voltando 
o corpo à posição inicial (equilíbrio estável) ou girando até alcançar 
uma posição ·de equilíbrio diíerente do anterior (equilíbrio instável). 
O centro de empuxo se deslocará, se o objeto flutuante se inclinar; 
CAP. 3 EQUILÍBRIO OOs CORPOS 57 
~ 
. .1 
a forma do líquido desloeado muda e ~ntio o seu centro de gravida:de 
mudará de ·pOaição. 
PROJJLEMAS RESOLVIDOS 
' 
1. Uma pedra pesa 40 kg no ar e quando imersa:'na água 
pesa 25 kg: Determinar o volUme da pedra e sua densidade. 
Fig. 3-1 
Soluçílo1 
. . 
Todoa oa problemas em engenharia devem ser analisadoà pelo uso do dia-
grama do corpo livre. Á rigura a~nta uni Peso total de 40 kg, a . ~o é .de 
25 kg par.a. cüiia, e a f6rça resultante lle equilíbrio (empuxo) P, atuindo para cima. 
De l: Y = O n6s t.emoa: 
40 - 2S - P, = O • • • P, = IS kg. 
Uma vez que o em13uxo = pêso do líquido deslocado, 
IS = 103 X 11 e 11 = IS X 103 m1• 
Densidade = · pêso da pedra = 40 = 2 67 pêso de igual ·volume de água IS '.. · 
2. Um objet.o prismático de 200 mm de espessura, por 200 mm 
de largura e 400 mm de compriment.o foi pesado na água à uma 
Fig. 3-2 
profundidade de SOO mm e se encontrou o pêso de 5 KfS. Qual 
é seu pêso no ar e sua densidade ~ 
58 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Soluçãos 
C.Oiisiderando o diagrama do corpo livre na Fii. 3-2. l:Y - O; então, 
W - P9 ...,. 5 • O · ou (1) W - 5 + P,,. 
Empuxo · P. = P@so do líquido. desloçac,lo 
"" 10' (0,2 X 0,2 X. 0,4) = 16 kg. 
· Da equação (1) 
W = 5 + 16 = 21 kg e dens ... 21/16 ... 1,31. 
3. Um hidrômetro pesa 2,2 g e tem uma haste cilíndrica 
na sua parte superior medindo. 3 mm de diâmetro. Qual será a 
düerenç;i de altura de flútuação do hidrômetro em um óleo de 
densidade 0,780 e em álcool de densidade 0;82H 
Solução: 
densidade 
0,821 
Para . a posição 1, na F'ig. 3-3 no álcool. 
P""eso do bidrômetro = p@so do líquido deslocado 
22 X 10-3 = 0,821 X 101 X111 • • • • 111 = 2,70 X :io-t m~. 
Para posição 2 
2,2 X Iô-3 = 0,780 X 1oi (111 + Ah) = 0,78 X 103 (2,70 X 10-t + 
:+lrcsx 10-ª?hJ. 
Donde tiramos h = 18,l inm. 
4~ Uma peça de madeira· de densidade 0,651 tem uma base 
quadrada com 80 mm de lado e 2,00 .. m de altura. Quantas gramas 
d~ chumbo pesando 11,2 g/cm3 devem ~r fixadas a uma das extré-
midades da peÇa a ÍlDl de que ela flutue com 0,3 m fora da água il 
CAP. 3 EQ11ILlBRIO DOS CORPOS 59 
Solaclloa · 
NsO total de madeira e do chumbo .,. pêào de Agua deslocada. 
. . . 
[0,651 X 1.01 .X 2 (0,080)2 + 11,2 X lo' 11) - lo' [(0,080)1 X l,i + e) 
donde • o;a 2,5 X 10-4 m1• . 
O pílso do chumbo será: 11 200 X o - 2,8 kg. 
5. Qual ·a· fração de· volume de uma peça de .me.tal. de den-
sidade 7,25 que flutua acima da superfiCie de mercúrio (densidade 
13,57) em . uni recipiente ? · 
;,_~-~~::;-~,'.z ~!z, ;~:: : '.~ :~~~---·:·~-:. 
.. ~ .. ~ ~ 
F~. 3-4 
Solução a 
O diagrama do corpo livre indica que, de :?Y.,. O, 
W - P. = O ou pílso do corpo "" farça de empum (peao deslocado do 
. mercúrio). · 
7,25X101 11=13,57X101 11', 
a relação de volume é então rifo= 7,25[13,57 = 0,535. 
Portant.o a fração do voiume. acima do mercúrio = l - 0,535 b 0,465. 
6. Uma caixa retangular aberta (7,5 m X 3 in de ·base por 
3,6 m de. altura) pesa 34 toneladas e está· mergulhada em. água. 
(a) Qual a altura submersa? (b) Se a água tem 3,6 m de profun-
Jídadé qual o pêso de pedras que colocado na caixa causará o re-
pouso: da mesma no fundo ? 
Solução: 
(a) P@so da caixa= pílso d~ocado de água, 
34 000 = 103 (7,5 X 3 X Y) • • • Y = 1,51 m submersa. 
(b) Pêso da caixa mais as pedras = pílso do líquido deslocado, 
34 000 + W. "' 103 (7,5 X .3. X 3,6) 
w. - 47 000 kg de pedra. 
7~ Um bloco de madeira 'flutua em água. com 50 mm proje-
tados acima da superfície da água. .Quando colocado em glicerina 
60 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
de densidade 1,35, o bloco se projeta· 76 mm acima da ~uperffcie 
dêste líquido. Determine a densidade da madeú-a. 
Soluçloa 
Pêso t.otal do blooo é (a) W = d X 101 (A h) e os p&os deslocados· de 6gua 
e glicerina são respe(:tivamente; (b) Ww = 103 A (h - 0,05) e (é) Wo = 1,35 X 
X 101 (la - 0,076). 
Uma vez que o pêso de cada liquido deslocado é igual ao pêso do bloco, 
(b) "" (e) ou: · 
103 A (h - 0,05) = 1,35 X 103 A (h - 0,076) • • • h = 150 mm. 
Uma vez que (a) = (b) d X 103 A X 0,150 = 103 A (0,150 - 0,05) d = 0,666. 
8. A que profundidade um trnnco de 2,4 m de diâmetro X 
X 4,5 m de comprimento e de densidade 0,425 mergulhará em água? 
Fig. 3-5 
Soluçio: 
A Fig. 3-5 é apresentada oom o centro O da peça acima da superfície da água 
porque a sua densidade é menor que 0,50. Tivesse a densidade -0 valor de 0,5 
então o tronco estaria semisubmerso. 
Pêso total do tronco· = p&o do liquido deslocado, 
set.or - 2 triângulo 
( 28 1 0,425 X 103 X 1í X l,2t X 4,5 = 103 X 4,5 360 l,2t 1r - 2 X 2 X 
X l,2sen8 X l,2cos8). 
Simplificando e substituindo (sen 8 cos 8) por l sen 2 8, 
0,425 1r = 8 7r/180 - l:sen 2 8. 
CAP. 3 EQUILÚIBIO DOS CORPOS 
Resolvendo por t.entativas sucessivas: 
f . 
1,335 = 85 r/180 - t (0,1737) 
1,335 ~ 1,397, 
1,335 b 1,449 - i (0,242) . 
I,335 _,. 1,321. 
Os valores apresentados são externos à resposta. 
61 
3) fJ = 83° 10' : l,S3S b 1,451 - i (0,236) :. 1,333 (muito próximo)• 
A profundidade de flutuação D<J = .,. - [OD = 1,2 - 1,2 coa 83° 10' = 
= 1,2 (1 - 0,119) = },OS m. 
9. (a) Desprezando a espessura da parede do tanque na 
Fig. 3-6(a), se o tanque fiutua na posição indicada qual será o seu 
pêso? (b) Se o tanque é seguro de tal modo que o tô~ está a 3 m 
abaixo da superfície da água, qual será a fôrça na parte interna 
do tôpo do tanque ? 
Soluçio: 
(a) P&o do tanque = p&o do líquido deslocado 
= 103 7f' 0,62 (0,3) = 339 kg. 
(b) O espaço ocupado pelo ar será menor à nova profundidade, indicada 
na Fig. 3-6(b). Comiderando que a temperaturado ar é constante, então para 
as posiçõe3 (a) e (b), 
Fig. 3-6(a) Fig. 3-6(b) 
PA 11A = PD 111) (unidades de pressão absoluta devem ser usadas) 
to (10,3 + 0,3) (1,2 X área) = w (10,3 + 3 + y) (y X área), 
o que resulta y2 + 13,3y - 12,72 = O cuja raiz positiva é Y = 0,85 m. 
A pressão em D = 3,85 m de água = pressão em E. Portant.o a fôrça na 
part.e interna superior será whA = 103 {3,85) 7f' O,Cí2 = 4 350 kg. 
62 llEC1NlcA DOS l'LUIDOS 
10. Um navio; com os bordos verticais pr6xim~s ~ linha 
da água, pesa 3 600 t e stibmergé 6,6 m em água salgada, (to' = 1,025 . 
. g/cmª). A deS<;arga de 182 t dó lastro da água diminui.a profundi-
dade p8ra 6,3 in. Qual seria a profundid&de d. do navio eiD água 
oomumit 
~lação: 
Em virtude da forma .Submersa não ser conhecida, é nielhor resolver &te 
problema através dos volumes deslocado8. O decrésc:Ímo de 0).m foi ·causádo 
pela redução no pêso de l,82 t ou, 
182 000 = tDll = 1,025 X 10* (A X 0,3) onde 
e representa o volume eatre as profundidades 6,6 m e 6,3 m, e (A X 0,3) repre-
eenta a área à linha d'água X 0,3 m. ou o mesmo volume 11 • 
.Então: 
e = A X 0,3 = 182 000/1,025 X 103 = 591 m3/m de profundidade. 
Empuxo B = 111 X wlnme de líquido deslocado. Entlr<> Bfr11 - volume 
deslocado. 
Da C"igura, a área bar.limada verticalmente é a diferença entre os volumes 
deslocados de água fresca e água saJgada. Esta diferença pode ser expressa como 
( 3:_~8 - l,o!"~ IOª ) e &t.e volume é também igual a 591 y. EquaciO-
uaildo estes valores, y = !),014 m a profundidade d = 6,3 + 0,014 ""' 6,314 m. 
11. Um barril contendo água pesa, 130 kg. Qual será a 
leitura na balança se uma peça de 50 mm X 50 mm de madeira 
é fixada verticalmenf.e na água a uma profundidade de 0,6 m ~ 
Para a Côrça atuante devsá existir uma Côrça de reação igual e oposta. ·Ao 
empuxo exercido pela. água CODtn. o fundo da peça de madeira se opõe a ~ 
CAP. 3 EQ~RIO DOS CORPOS 63 
de 58 mm X 50 1D111 de madeira atUante de cima pna baixo com igual iotemidade. 
F.sta rarça inedir6 o acréicimo na leitura . da escala. . 
P. • 10' X 0,05 X 0,05 X 0,6 • 1,5 kg. 
Leitura na escala· - 130+1,5 • 131,51'.g. 
12. ·um bloco de madeira de 1,8 m X 2,4 m X ~ m (6' X 8' X 
X 10') flutua em 6leo de densidade 0,7514 Um binário na direção 
do movimento dos ponteiros do Ml6gio mantém o bloco na posição 
indicada na página 3-8. Determinar (a) o empuxo atuante sôbre 
o bloco e seu ponto de aplicação, (b) a intensidade do binário 
atuando no bloco, e (e) a localização do metacentro para posição 
inclinada. 
Solução: 
(a) Pêso do bloco = pêso do prisma triangular de 61eo 6'mpuxo) 
W = B' = 0,751X10'(} X 2,4 X 1,385 X 3) = 3 745kg. ' 
Então B' = 3 745 kg atuando. de baix9 para cima através do centro de gra-
vidade O' ao líquido deslocado. O centro de gravidade encontra-se a 1,599 m 
de A e 0,462 m de D, como indica a f"igura. 
AC .. AR + RC = AR +LO' ... 1,599 cos 300 + 0,462 sen 300 = 1,616 m. 
A fôrça de empuxo de 3 745 atua de baixo para cima através do centro de 
gravidade do 61eo deslocado, que está a 1,62 m à direita de A. 
64 llECÂNIC., DOS FLUIDOS 
lb) Um método p&ra obt.enção de intensidade do binário equilibrador (que 
deve ser igual a int.ensidade do binário externo para equihôrio), consiste em det.er-
minar a excentricidade e. Esta dimensão é a distância entre ·as duas fllrÇas 
iguais e paralela 1 W e B' que constituem o binário. 
e = FC = AC - AF = 1,616 - Ali' = 1,616 - 1,489 = 0,127 m, 
uma vez que AF = AR + RF ... AR - Glt sen 300 = 1,385 + 0,207 (t) = 1,489 m. 
O binário We ou B'e = 3 745 X 0,127 = 476 kg·m. 
Assim ·O momento ou binário para manter o bloco na posição indicada deve 
8er 476 kg. m no sentido do movimento dos ponteiros do relógio. 
(e) O ponto de interseção da Côrça de empuxo e o eixo de sinietria SS é cha-
mado metacentro (ponto M). Se o metacentro está localizado acima do centro 
de gravidade do objeto flutuante, o pêso do objeto e a fôrça de empuxo formam 
um momento restabelecedor nas posições inclinadas. 
A distância metacêntrica MG = MR - GR = _!i!2_ - GR = 6•231 
sen 300 1/2 
- 0,207 = 0,255 lJl. 
Poderíamos notar que a distância MG multiplicado pelo seno do ângulo 8 
é igual à excentricidade e (prêviamente calculada p<ir outro processo). 
Em arquitetura naval, um ângulo externo de cêrca de 100 é tomado como 
limite de inclinaçãó para o qual a distância metacêntrica MG pode ser considerada 
constant.e. 
F6rmulas para determinação do. metacentro podem ser deduzidas, mas tais 
estudos fogem à idéia de um trabalho introdutório à mecânica dos fluidos. 
PROBLEMAS SlJPLEMENTARES 
13. Um objeto pesa 6S lb no ar e 421 lb na água. Determinar seu volume 
e densidade. 
Rcsp.: 0,369 ft.1 ; 2,83. 
14. Um objeto pesa 65 lb no ar e 42 lb em 6leo de densidade 0,75. 
Determinar seu volume e sua densidade. 
Resp.: 0,491 ft1; 2,12. 
15. Se o alumínio pesa 165 lb/ft3 (2), quanto pesará uma esfera de 12'' 
(304 mm) de diâmtltro quando imersa em água i> E quando imersa em um líquido 
de densidade 0,75 ? 
Resp.: 53,6 lb; 62,0 lb. 
16. Um cubo de alumínio de 6" (152 mm) pesa 12,2 lb quando imerso em 
água. Qual será seu pêso ap11ente quando imerso em um líquido de densidade 
1,25 i> 
Resp.: 10,25 lb. 
CAP. 3 EQUILÍBRIO DOS CORPOS 65 
11; Uma pedra ptl88 135 lb e quando ela foi lançada em um. tanque de base 
quadrada de 2' de lado, Q peso da pedra na água. era de 72 616. De quanto iubiu 
a água no tanque. 
Rap.: 3". 
18. Um cilindro &o de 3 rt de diAmetro e 5 Ct de comprimento pesa 860 lb. 
(a)· Quan~ libras de chumbo pesando 700 lb/tt1 devem ser f"uados à parte externa 
do fundo paria que o cilindro flutue verticalmente com 3 rt submersos jl (6) Quantas 
libras se colocadfts dentro do cilindro il 
Rap.: 510 lb; .465 lb. . 
19. Um hidrômetro pesa 0,0250 lb e sua haste tem uma seção reta de 
0,0250 in2• Qual a diférença na altura de flutuação ·para líquidos de densidades 
1,25 e 0,90? 
Re11p.: 8,62". 
20. Qual deverá ser o comprimento de uma peça de madeira de 3" x· 12", 
densidade 0,50,·que suportari um menino de 100 lb na água salgada se êle fica 
em pé na madeira ? 
Rup.: 12,2 ft. 
21. Um objeto que tem o volume de 6 ft.1 necessita de uma fôrça de 60 lb 
para mantê-lo imerso em água. Se uma fôrça de 36 lb é necessária para mantê-lo 
imerso em outro líquido, qual será a densidade dêste lfquido il 
Rup.: 0,937. 
22. Uma barcaça de 10 ft de profundidade tem uma seção trapezoidal de 
30 ft de largura na parte superior e 20 rt de largura na parte inferior. A barcaça 
tem 50 ft e suas. extremidades são verticais. Determinar (a) seu pêso, se ela 
desloca 6 Ct de água e (6) o calado, se 84,5 t de pedra são colocadas na barcaça. 
Rup.: - 431 000 lb; 8 ft. 
23. Uma esfera de 4 ft de diAmetro flu'ua semisubmersa em água salgada 
(64 lb/ft3). Qual o peso mínimo de concreto (150 lb/ft3) a ser usado ~mo âncora 
para submergir a esfera completamente il 
Re11p.: 1875 lb. 
24. Um "ioeberg" pesando 57 lb/Ct.3 flutua no oceano (64 lb/ft.3)} com um 
volume de 21 000 ft3 acima da superfície. Qual é o volume total do ioeberg? 
Rup.: 192 000 rt3• 
25. Um balão v8zio e seu equipamento pesam 100 lb. Quando inflado 
com gás pesando 0,0345 lb/Ct3 o balão fica esférico e tem 20 ft de diâmetro. Qual 
é a carga máxima que o balão poderá levantar, considerando o ar com 0,0765 lb/Ct3 ? 
Rup.: 76lb. 
26. Um flutuador cúbico de 4 Ct pesa 400 lb e é ancorado por meio de um 
bloco de concreto que pesa l 500 lb no ar. Nove polegadas do flutuador sub-
66 
llkltpm qU&ndo a oorreat.e lipda ao concreto 4 retesada. Que. acréscimo .. no 
nível da água tirará o CODCNto do fundo 1 · O c:Oncreto pesa 150 _lb/ft1• 
~p.: 6,U ia.. 
. . 
%1. Uma barcaça retansular cujas dimeDllÕes eXt.eÍnai lio 20 ft de largul'll•· 
60ft de comprimento e 10 ft de altura,pesa ·350 ·ooo lb. · Eia flutua em água 
salgada· (UI= 6"lb/fi1) .;. e o centro de gravidade da barcaça carregada está a 
4,50 ft da part.e superior. (a) Localizar o centro de empux9 quando equilibrado e 
(b) quando a barcaça adema 100, e· (e) localizar o inetaC11ntro para a adérnagem 
a 100. 
Rup.: A 2.Z8 ft do . fundo na linha de centro; U;28 ft à direita, 
4,17ft acima do CG. 
28. Um cubo de 6", 1 feito de aluniínio e está suspenso p<ir uma cinta. O 
cubo está submerso, melade em óleo (d "" 0,80) e a outra metade em água. 
Determinar a t.ensão na cinta se o alumínio pesa.· 165 lb/ft.1• 
Rup.: 13,61 lb. 
29. Se o cubo no poblema precedente estiver metade no ar e metade no 
óleo, qual seria a t.ensão Dll cinta 1 
Rup.: 17,51 lb. 
TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE MASSAS LÍQUIDAS 
Introdução. Um fluido pode estar sujeito à translação ou 
à rotação com acelerações constantes, sem moviment.0 relativo 
entre partículas. Esta é uma condição de equih'brio relativo e 
o fluido está livre de cisalhamento. Não existe de um modo geral, 
nenhum movimento entre o fluido e o recipiente. ~ leis da ·está-
tica dos fluidos ainda aplicadas, são modificadas a fim de se consi-
derar os efeitos da aceleração. 
Movi01ento horizontais. Para movimentos horizontais, a 
superfície do líquido apresenta-se como um plano inclinado. A 
inclinação do plano será determinado por: 
t (} = ~ (aceleração linear do recipiente, ft/s2 ou m/s!) . 
g g (aceleração da gravidade, ft/s2 ou m/s2) 
A dedução da equação geral é apresentada no problema 4. 
Movimento vertical. Para o movimento vertical, a pressão 
(psf ou kgim1) em quaiquer poni.o do iíquido é dada por; 
onde o sinal positivo é usado com uma aceleração cons~nte as-
cendente e o sinal negativo com uma aceleração constante descen-
dente. 
Rotação de massas· fluidas ~ Recipientes abertos. A 
forma da superfície livre do líquido em um recipiente rotativo é 
a de um parabolóide de revolução. Qualquer plano vertical pas-
sando pelo eixo de rotação e que corte o fluido produzirá uma 
68 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
A equação geral da parábola é 
onde x e y são coordenadas, em metros {pés), de um ponto qualquer 
da superfície, medido, a partir do vértice, no eixo de revolução e 
"' é a velocidade angular constante em rad/s. A dedução desta 
equação é feita no problema 7. 
Rotação de massas fluidas - Recipientes fechados. A 
pressão em um recipiente fechado será aumentada em razão da 
rotação do recipiente (vide também Cap. 12). O aumento de pressão 
enÚe um ·ponto no eixQ de rotação e outro ponto a x metros do eixo é, 
"'? p = W- x2 (psf ou kg/m2) 
, 2g 
ou, o acréscimo de altura de carga (ft ou m) é, 
p w2 . 
- = y = -x• 
w 2g 
cuja equação é semelhante -à equação pata recipientes abertos em 
rotação. Uma vez que a velocidade linear V = wx, o têrmo 
x2 w2/2g = V2/2g que nós reconheceremos mais tarde como pressão 
cinética ou ta_quicarga, em metros ou pés. 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
,,.-~, 
( l. ) Um tanque retangular de 6 m de comprimento por 1,8 m 
de pn;fundidade e 2,1 m de largura, contém 0,9 m de água. Se 
a aceieração linear horizontalmente na direção do comprimento do 
tanque é de 2,41 m/s2 (a) determinar a fôrça total devida à ai;ão 
da água em cada extremidade do tanque e (b) mostrar que a dife-
rença entre essas fôrças é igual à fôrça perturbadora necessária 
para acelerar a massa líquida. Referência Fig. 4-1. 
Solução:· 
(a) a'celeração linear 2,41 , tg 9 = aceleração de gravidade = 9,81 = º·245 e 9 = 14º 15 · 
Da figura, a profundidade d no lado mais raso é d = 0,9 - y = d = 0,93 X 
X 0,245 = 0,165 m e a altura no Jado mais fundo será 1,635 m. Entào 
P AB = w1rq A = 10' (1,635/2) (l,635 X 2,1) = 2 810 kg 
Pen "' uiliq, A = 103 (0,165/2) (I,65 X 2,1) = 28,6 kg, 
CAP. 4 TRANSLAÇÃO DE ROTAÇÃO 
( b) F3rça ~ os ma8aa de 6gua X aceleração linear .,. 
"" 6 >('2,1X0,9X10' X 241 = 27s0k 
9,81 . • g. 
69 
e P Ali - PDC "" 2 810 ·- 28,~ = 2 781,4 tg ·que satisfaz,· considerand~ a pre-
cisão da réglla de . c6lculo. . 
1 
l--6m~ 
Fig. 4-1 Fig. 4-2 
• 0,918 
m 
....L. 
/\ 
: 2. · Se 9 tanque no problema l está cheio d'água e é acelerado 
na dí;eção de seu comprimento à·razão de 1,5 m/s2, quantos litros 
d'água ·iranshord~ão? Referência Fig. 4-2. 
Soluçlio: 
Inclinação da superficie = tg B = 1,5/9,81 = 0,153 e a queda na super-
fície = 6 tg B = 0,918 m. 
Volume derramado = 2,1 X seção triangular inatcada na Fig. 4-2 = 2,1 X 
X (Í X 6 X 0,918) = 5,78 m3 = 57801. 
/~ Um tanque tem base quadrada de 1.,5 m de lado e contém 
0,9 m de água. Qual deve ser a altura de seus lados a fim de não 
haver perda de água, quando a aceleração é de. 3,6 m/si paralela 
a um p~r de lados ? 
Solução: 
Inclinação da superfície = t.g B = 3,6/9,81 = 0,366. 
Acréscimo (ou queda) na superfície = 0,75 t.g B = 0,75 X 0,366 = 0,275 m 
O µ1nque deve ter no mínimo 0,9 + 0,275 = 1,175 m de altura . 
. 4.i Um recipiente de água aberto é acelerado para cima num 
plano' inclinado a 30°, a 3,6 m/s2• Qual o ângulo formado pela 
superfície da água com a horizontal? 
Solução: 
Considerando a Fig. ~3, as fôrças atuantes em cada massa elementar dM 
são e pêso W verticalmente para baixo e a fôrça P exercida pelas partículas vizi-
nhas de líquido. F.sta fôrça P é normal à superfície do líquido, uma vez quê 
não há nenhuma componente de atrit.o. A fôrça resultante Fz (devida a W e P) 
para cada partícula' de líquido deve ser ascendente no plano dos XX e inclinada 
de a = 30- com a horizontal e deve causar a aceleração a,.. Na figura (b) en-
contramos o ·diagrama vet.orial. As seguintes equa~ podem ser estabelecidas. 
70 
. .V (1) F:a ... ....,...._ 
g 
llECÂNICA DOS J'LUIJ;>OS 
ou 
(2) F;sen a ;.. P cos 8 - W 
(3) F:a cos a - P.sen li do dia~ma vetorial. 
Fig. 4-3 
Multiplicando-!!e (2) por sen IJ e (3) por cos IJ e resolvendo simultheament.e: 
F,.8enasenlJ + Wsen8 -F,.cosacoslJ =O 
Fs ·sen8 
W = cosacos8-senasen8° 
Substituindo em (l) e simplü1C&ndo, 
(4) ~ = ----1---- do que, uma vez que a = 39" g cosa c:otg li - sen a 
(A) cotg 8 = tg 30" + g 300 = 0,577 + 
9
•
81 
= 3,71 
ªª 008 3,6 .x 0,866 
IJ = ISo S'. 
NoTA: Para um plano horizontal, o llngulo a reduz-se a ()o e a equação (4) acima 
transforma-se em afg = tg IJ que é a equação dada para um movimento de acele-
ração horizontal. Para aceleração descendente, o sinal de tg 300 torna-se negativo 
na equação (A). 
5. Um tanque cúbico está cheio ·com 1,5 m de óleo de densi-
dade 0,752. Dete~ a fôrça atuante na parede lateral do tanque 
(a) quando a aceleração é de 4,90 m/s' verticalmente para .cima e 
(b) quando a aceleração é de 4,90 m/s! verticalmente para baixo. 
CAP. 4 71 
· Soluçlo1 
(~} ConsidereJllf)S a F'ig. 4 onde.· apueoe a clis&rib~o de carrepmenw· 
t ;~ a vertical ... B.. Em B il inte~dti .de'~ sefã:. · 
· ... 
PB - toh (1 +; )-·0,752 XlQ'(l,5r(1 + :::)~ u~k;/m'. 
F&çit P AB .. área. ~o diagrama. de 
car8a X.1,5 m de oompriinento - Ci X 
X l 690 X 1,5) 1,5 _, l 902 kg. ·· .. 
Uma 01*!! a01tiç1o seria . 
P AB "'.' whq A =- [ 0,752 X 10' (0,75) 
'(i + !::)} à:s x1,5)-·1902~· 
~6) . . PAB - t 0,752 X'l~~0,75!>) (1,- :::)J .. (~,5 X l,5) a ~~·1',·,, 
6. Determinar a p~o no Cund~ do tanque dó. Probleina 5 
quando a a'OOieração fôr de. 9,81 m/s' verticairDenie para .baixo~ 
·. Soluçlo: 
J)B =- 0,752 X 10' (1,5) (1 - 9,81/9,81) = O. 
Portanto, para uma massa líqúida em queda livre, a pressão dentro da JJlll-
em qualquer ponto é nula,.isto. é, é a da·atmosfera envolvente. F.ata concluaiio 
·é important.e quando consi~m!JS um fluxo de ãgua em queda através do espaço. 
(i~) Um recipiente aberto parcialmente cheio com um líquido 
gir~t'iui tômo de uní eixo veri~~ a uma velocidade angular cons-
tante. Deierminar a ~quação ·da· superfície livre do líquido depois 
de adquirira mésma velocidade angular do recipiente. 
(a) 
A0··.·F e 
W . f1Peoe11 p 
, . ' 
B -----J 
· Puni · 
(61 
72 HBCÂNICA DOS FLUIDOS 
A rigura (a) representa uma aeçãQ do recipiente rotativo e uma partícuJa A. 
à didacia z do eixo de rotação. As tõrças atilantes sôbre a masa A são o p8ao 
W verticaJmente para baixo e P que é normal la superfície do líqajdo, · uiDll vu 
que não há fllrça de atrito. atuando. A aceleração da massa A. é z "19, dirigida 
para o eixo de rotação. A direcio da resultante das (arças W e P deve ser a mesma 
desta aOl!leraçio, como molltla a F"ig. (6). 
Da 2.• lei de Nltwton, Fs "" M ~ ou 
Del:Y .. o 
Dividindo (1) por (2) 
(1) Psen 8 .. ..!!'.'..X zc.12 
g 
(2) Pcos8 = w 
zc.1' (3) tg8"" -· 
~ 
Agoia, 8 é também o ângulo entre o eixo dos XX e uma tangente à curva 
traçada a partir de A na F"ig. (a). A declividade desta tangente é tg 8 ou dy/dz. 
Substituindo em (3) acima, 
"'' dy/dz "" z c.12/g eia qual, por integração y = 29 r + e •. 
Para determinar a collillfante dt. integração C1: 
Quando % = O, y = O e C1 = O. 
"' r_ 8.i Um tanque cilíndrico aberto. de 1,8 m de altura e 0,9 m 
... J 
de diâmetro, contém 1,35 m de água. Se o cilindro gira em tômo 
do seu eixo geométrico, (a) que yelocidade angular const.ante 
pode ser alcançada sem transbordamento de água e (b) qual é 
a pressão no fundo do tanque em C e D quando w = 6 rad/s ? 
Solução: 
(a) Volume do parabolóide de re-
volução = t (volume do cilindro cir.,. 
cunscrito) = Hí 1r 0,92 (0,45 + yi)). 
Se nenhum líquido Côr derramado, 
êste volume deverá ser igua! ao volume 
1'• acima do nível original da .água A-A ou 
.J_ X l [f 1r 0,92 (0,45 + Y1)] = l 1r 0,9' (0,45) 
e Y1 = 0,45 m. 
Para generalizar, o ponto no eixo 
de rotação desce de um valor igual ao 
acréscimo do líquido nas parede1 do 
recipiente. A partir desta informação, 
os coordenadas z e y dos pontos B aão 
respectivamente 0,45 m e 0,9 ru a· partir 
da origem S. 
Então 
"'2 
0,9 =- 2 X 9,Sl (0,45)
2 
e "' = 9,3 rad/s. 
CAP. 4 TRANSLAÇÃO DE ROTAÇÃO 73 
(b) Para_ w = 6 rad/s 
-~ M . . 
y = 2g r = 2 X 9,81 X (0,45)
1 
.. 0,37 m de S. 
A origem S desce de l y = 0,185 m e S está agora a 1,35 - 0,185 ~ 1,165 m 
do Cnndo do tanque. 
Nas i;iaredes do tanque a altura = 1,165 + o,:H = 1,535 m (ou 1,35 + 0,185 = 
= 1,535 m) · 
Em G, Pc =- Uih = 101 X 1,165 = 1 165 kg/m! 
Em D, /1d = wh = 101 X 1,535 "" 1 535 ~/m!. 
(V Considere o tanque no Problema 8 fechado estando o espaço 
com ar sujeit.o a 15,5 psi. Quando a velôcidade . angular fôr de 
12 rad/s quais serão as pressões em psi nos pontos C e D na Fig. 4-7? 
X-+-...__.__ 
2,11' l j 
Fig. 4-7 
Uma vez que não há alteração no volume de ar dentro do tanque, o volúme 
acima do nível AA = volu{lle do pa'rabol6ide, 
ou 
também 
(1) f 11" 32 X 1,50 = t 11" Z!2 Y2; 
( (12,0f ' 2) Y2 = 2 (32,2) Z% 
Resolvendo (1) e (2) simultâneamente, z24 = 3,02. Então z2 = 1,32 ft 
e 12 = 3,89 ft. 
Da figura, s está situado a 6 - 3,89 = 2,11 ft acima de e. 
Então: 
p.,' = 15,5 + toh/144 = 15,5 + 62,4 (2,11)/144 = 16,4 psi 
74 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
122 • 
Para determinar a presllio em D: altura de carga )'1 = 2 X 32,2 (1,5)
2 
"' 
- 5,02 ft acima de S "' pD' = 62,4 (5.02 + 2,11)/144. + 15,5 "' 18.6,psi. 
. ~ (a) A que velocidade deverá girar o tanque do ~oblema 9 
a fim de que o centro do fundo fique com altura nula de água ? 
(b) Se a placa circular do fundo tiver 1/4" de espessura, qual será 
a tensão da· mesma i' 
011 
Solução: 
(a) A origem S estari agora situada em C na Fig. 4-7. 
Volume acima da superf'tcie líquida = volume. do parabolóide 
c1> l 7f' 32 x 1,5 ... t 1(' z22 C6.o); 
. . , w' 
também (2) r = 6,0 = 2 X 32,2 zi 
De (1) e (2) nos_ o~temos w2 = 12 (32,2)/1,125 = 343 e w = 18~6 ra.,d/seg. 
, ""' d h . (18,6)2 (1,5)2 (b) PD = 15,S. + 144 , on e = )'1 = 2 X 32,2 = 12,l ft 
. 62,4 X 12,1 
20 
• 
PD' = 15,5 + 144 = ,7 +psi. 
D p'r 20,7X18 = 1490 • Tensão em =- <ID = t = 114 pn. 
S'D 
11. Um tanque cilíndrico fecha-
do de 6 ft de altura e 3 ft de 'diâme-
tro contém 4,5 ft de água. Quando 
a velocidade angular fôr constante a 
20 rad/s, qual a porção do tanque que 
estará descoberta ? 
Suluçio: 
A fim de estimar a curva pambólica a 
ser traçada na figura anexa, o valor de y 3 deve 
·er calculado p1imeiro. 
20: ( 2 f Ya = 2 X 32•2 1,5) = 14,0 t 
e a superfície curva da água pode ser agora 
i--::;........J"-....._'Jl determinada, indicando S abaixo do fundo do 
tanque. Segue-se: 
Fig • ..:.a. 
( 20: 2 1) Yl - 2 X 32,2 Z1 
%fP . . ' 
(2) y2 = 6 + Yl = 2 X 32~ z2' e, uma vez que o volume de ar é constante, 
CAP. 4 TRANSLAÇÃO DE.ROTAÇÃO 75 
(3) t r (3,0)2 X 1,50 • volume (parabol6ide SAB - parabol6ide. $CD) • 
• J 7f' %22 Y2 .- J 1r z12 Yl• 
Substituindo os valonis de (1) e (2) e reaolvendo 
:r12 • 0,0792 e :r1 • 0,282 ft. 
POrtanto, a área descobto..ta ... 11" (0,282)t • 0,249 ft2• 
. @ Um cilin~o de ~ Ct ,de dilm~tro e. 9 ft de altura ~a~ 
oomplê'tamente cheio com glicenna (densidade 1;~~) sob uma pressao. 
de 35,2 psi na parte. superior. As chapas de aço . que formam o 
cilindl-o .são de 1/2" de espessura e admitem uma tenSão máxima 
de 12 000 psi. Qual a velocidade máxima em mm que. poderá ser 
imposta ao cilindro li 
Solução: 
Para as especificações dó tanque e para a tensão circunferencial, 
a- - p'i'/I, PA' "" a- l/r .,. 12 000 (1/2)/36 "' 167 psi. 
Também, PA' - :E pressões (35,2 imposta + devida a 9 ft · de glicerina + 
+devida à rotação) 
. ou 167 = 35,2 + 1,6 X 62,4 X 9 + w
2 X 32 X 1,6 X 62,~ . 
144 2 X 32,2 144 
w - 3ó rad/s ou 344rpm. 
As condições de pressão são mostradas gràficament.e na Fig. 4-9 abaixo, fora 
de escala. A linha RST indica a pressão de 50,8 ft de glicerina acima do tôpo 
do tanque antes da rotação. A curva parah61ica de pressão com vértice em S 
é causada pela velocidade angular constante de 36 radfs. Se o ·tanque f&se 
abastecido sem estar sob pressão, o vértice :$ coincic:lliia com a parte inte~i:la su-
perior do tanque. 
,,___ .,, __ ___....,.. 
1 
Fig. 4-9 Fig. 4-10 
76 .MBCÂNICA DOS J'LUIOOs 
13. Um tubo de 76 mm de diâmetro, 12 m de ~mprimento 
é abastecido com 61eo de densidade 0,822 e então fechado. Colocado 
na posição horizontal, êle recebe uma rotação.de 27,5 rad/s em tômo 
de um eixo vertical a 305 mm de uma daS- extremidades. Qual 
a pressão em kg/cm2 desenvolvida na extremidade mais afastada 
do tubo? 
Solução: 
Como já Coi veriCicado. a pressão através do comprimento AB na Fig. 4-10 
aumentará opm a rotação. A uma certa velocidade de rotação a pressão incre-
mentada tenderia a comprimir o líquido e causari8 um decréscimo de pressão 
em A. Uma vez que oa líquidos são pràticamente incompress!veis, a rotação 
não diminuirá nem aumentará a pressão em A. Entre A e B a pressão aumen-
tará com o quadrado de diat.Ancia ao eixo YY. 
Para determinar a pregão em B: 
(1) (27,S)" 
.Y1 = ~ X (0,305)1 = 3,58 m. 
(2) {27,5f .ri = 2g X (l,5)2 = 86,6 m e 
(3) PB' = 0,82% X le>I (86,S - 3,58) = 6,82 X 104 kg/mi. 
PROBLEMAS SUPLEMENTARES 
14. Um recipiente paráalmente cheio com água é acelerado horizontalmente 
a uma aceleração constante. A inclinação da superCície é 300. Qual a acele-
ração do recipiente ? 
Reap.: 18,6 rtfsl. 
15. Um tanque aberto. de base quadrada, de 6 ft de lado pesa 770 Jb e 
contém 3 ft de ligu11. ~ie é solicitado por uma fôrça perturbadora de 2 330 lb 
paralelamente a um par de lados. Qual· deve ser a altura dos lados do tanque 
a fim de não derramarmos á,gua? Qual é a fôrça atuante no lado onde ocorre 
a maior profundidade? 
Rup.: 3,93 ft, 2 890 lb. 
16. Um tanque aberto de 30 ft de comprimento por 4 ft de largura e 4 ft 
de altura está cheio com 3,2S ft de 61eo de densidade 0,822. ~le é aceleradouniformemente do repouso até 45,0 ft/s2• Qual é o menor espaço de tempo em 
que o tanque pode ser acelerado sem derramarmos 6leo? 
Resp.: 28 segundos.. 
17. Quando um tanque l'elaogular aberto, de 5 ft de largura, 10 n de com-
primento e 6 ft de profundidade, contendo 4 ft de água é acelerado horizontal-
CAP. 4 TRANSLAÇÍOD.E.BOTAÇÃO 77 
mente paralelamente ao seu comprimento, à .rasl? de 16,1 ft.{s2, qual a quantidade 
de água derramada il 
&1p.: 25Ct. 
18. A que aceleração deve o tanque no problema anterior. se ~locar a 
f"un de que a profundidade na extremidade dianteira seja nula jl 
Rap.: . 19,3 ft/s2 
19. Um tanque aberto é acelerado para baixo em um plano inclinado de 
15° a 16,l Ct.{s1• Qual a inclinação da auperflcie da água jl 
Rap.: 29" l'. 
20. Um vaso contendo 6leo de densidade 0,762, move-ee verticalmente 
para cima com uma aceleração de + 8,05 ft,/s2• Qual é a pressão à profundidade 
de 6ftil 
Re•p.: 357 lb/ft2• 
21. Se a aceleração no problema 20 f8sae - 8,05 ft/s2, qual seria a pressão 
à profundidade de 6 ft il 
Rap.: 214 lb/ft2• 
22. . Uma f3rça perturbadora vertical de 60 lb acelera ascensionalmente 
um volume de 1,55 ft1 de água. Se a ~ tem 3 ft de profundidade em um tanque 
cilíndrico, qual é a f8rça atuante no fundo do tanque jl 
Rap.: 157 lb. 
23. Um tanque cUíndrico aberto de 4 ft de diâmetro e 6 ft de altura está 
cheio de ãgua e gira em tôroo de seu eixo a 60 rpm. Qual o volume de líquido 
derramado e qual a altura da ãgua no eixo il 
Rap.: 15,3ít1; 3,55 ft. 
M. A que velocidade deveria ser girado o tanque no problema 23 a fim 
de que a parte central do fundo do tanque tenha uma altura nula de ãgua il 
Re•p.: 9,83 rad/s. 
25. Um recipiente fechado, de 2 ft de dilmetro está cheio de ãgua. Se o 
recipiente é girado a 1 200 rpm, qual o acréscimo de pressão que ocorrerá no tôpo 
do tanque. 
Rap.: 106 psi. 
26. Um vaso aberto de 18", é cheio de água e girado em tôrno do seu eixo 
vertical à tal velocidade que a superfície da água a 4" do eixo faz um lngulo de 
400 com a horizontal. Determinar a velocidade de rotação. 
Rap.: 9 rad/s. 
27. Um tubo U em esquadro tem 12" de largura e contém mercúrio que se 
eleva a 9" em cada perna, quando o tubo está em repouso. A que velocidade 
deve o tubo ser girado em tôrno de um eixo a 3" de uma das pernas de modo que 
nii<i haja mercúrio nesta perna do tubo jl 
Rap.: 13,9 rad/s. 
78 
•· Um tubo de 2'' de diimetro e 7 ft de comprimento est6 ta""mpaclo e cheio 
de 6gua sob U,5 psi de pesaão. Colocado na poeiçlo horizontal. Ale é pado em 
t.4rno de um eixo veitical pasando por uma das extremidade& . e à velocidade 
de S rad{a. Qual aeri a pressão na outra extremidade il · 
Rup.: 15.S psi. 
29. Uma bomh!t centrífuga possui um rotor de 5 lt de diãmetro, cuja rota-
ção é ·de 1 500 rpm. Se• carcaça está cheia de 6gua, qual será a altura de carga 
•nvolvida peia rotação il · 
Rup.: 2390ft. 
ANÃLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA HIDRÃULICA 
Introdução. A teoria matemática e dados experimentais· têm 
desenvolvido soluções práticas para muito!! problemas hidráulicos. 
Importantes estruturas hidráulicas são agora, projetadas e cons-
truídas sõmente depois de extensos estudos de modelos ierem _sido 
efetuados. · A aplicação da ao~ dimensional e da semelhança 
hidráulica permite ao engenheiro organizar e simplificar as expe-
riências e analisar o resultado das mesmas. 
Análise dimensional. A análise dimensional é a matemática 
das dimensões das grandezas e é outro instrumento útil à moderna 
medoica dos fluidos. Em uma equação, exprimindo uma relação 
f"mica entre quantidades, uma igualdade numérica e dimensional-
mente absoluta, deve existir. Em geral, tôdas essas relaçõe~ f'JSicas 
podem ·ser reduzidas a grandezas fundamentais -de fôrça F, com-
primento L e tempo T (ou massa M, comprimento -L, tempo T). 
Algumas aplicações: (1) conversão de sistemas de unidades, 
(%) desenvolvimento de equações, (3) redução do número de va-
ria"'-'!!! neceesárias em um programa experimental, (4) estabele-
cimento dos princípios do projeto de modelos. 
O teorema das variáveis 7r de Buck.iogham é esboçado e · ilus-
trado nos problemas de 13 a 17. 
Modelos hidráulicos. Modelos hidráulicos, em geral pódem 
ser modelos reais ou deformados. Modelos reais ou verdadeiros 
possuem tôdas as características import.&nt.es do protótipo, redu-
zidas à escala (geom~tricamente semelbant.e) e satisfazem às res-
trições do projeto (semelhança cimemática e dinâmica). As com-
. parações modêlo-protótipo têm demonstrado claramente que a 
correspondência de comportamento, muitas vêzes ultrapassa os 
}imites esperados, como tem sido verificado pelo sucesso operacional 
de muitas estrilturas projetadas a partir de modelos. 
80 MECÂNICA DOS .FLUIDOS 
Semelhança geométrica. Existe semelhança geométrica 
entre modêlo e protótipo, se as relações entre as dimensões corres-
pondentes no modêlo e no protótipo são iguais. Tais relações podem 
ser escritas: 
e 
L-ia1o = Lrw,, ou 
4rot6tipo 
Amoc111o 
Âprot6tipo 
(1) 
(2) 
Semelhança cinemática. A semelhança cinemática existe 
entre modêlo e protótipo (1) se as trajetórias das partícuhts móveis 
homólogas forem geometricamente semelhantes e (2) se as relações 
das velocidades de par:Uculas homólogas forem iguais. A seguir 
algumas relações úteis: 
Velocidade: v. L,,./T,,. L,,. T,,. L, (3) -=---= L11 + T11 = T, v11 LJT11 
ª• 
L,,JT,,.z L,,. T z L, (4) Aceleração: "' -=---= r+ri=Ti 
ª11 L,JT112 11 11 , 
Vazão: Q. L,,.
3/T,,. L,,.ª . T,,. L,' (5) Q11 = L11ª/T11 = L11' ~ 
-=-· 
T11 T, 
Semelhança dinâmica. A semelhança dinâmica existe entre 
sistemas geométrica e cinemàticamente semelhantes, se as relações 
entre tôdas as iôrças homóiogas no moàêlo e protólipo forem as 
mesmas. 
As condições necessárias para urna completa semelhança foram 
desenvolvidas a partir da 2ª. lei de Newton, 2: F.,= Ma.,. As 
fôrt.as atuantes podem ser uma ou urna combinação de muitas das 
seguintes fôrças: de viscosidade, de pressão, de gravidade, de tensão 
superficial e de · elasticidade. Desenvolve-se a seguinte relação 
entre as fôtças atuantes no modêlo e protótipo: 
2: fôrças (viscosidade +-+pressão ~gravidade +-+tensão superficial 
2: fôrças (viscosidade +-pressão+-+ gravidade +-+tensão superficial 
+-+ elasticidade),. M. ª• 
+-+ elasticidade)11 M11 a11 
CAP. 5 ANÁLl&I!; DIMENSIONAL 81 
A RELAÇÃO DE FÔBÇAS DE INÉRCIA ê expressa pela seguinte 
fórmula: 
Fr = fôrçamoc1ao = M. a.. = p. L,.: X L~ = Pr Lr' (·· . .b.)' 
fôrçaprot6tipo .MP aP Pp L, Tr · Tr 
(6)' 
Esta equação expressa a lei geral de semelhança dinAmica entre 
modêlo e prot6tipo e é conhecida como a equação de Newton. 
RELAÇÃO DE FÔBÇAS: INÉBCIA-PBESSÃO (número de Euler), 
dá-nos a seguinte expressão (usando T = L/V) 
RELAÇÃO DE FÔRÇAS: INÉRCIA-VISCOSIDADE (número de Reynold1) 
é obtido de 
Ma Ma pLt V1 
TÂ (~)A µ ( ~) Lt µ dy 
RELAÇÃO DE FÔRÇAS: INÉRCIA-GBA TIDADE 
Ma pL2 yz 
Mg = pL'g 
A raiz quadrada desta relação, 
número de Fraude. 
V1 
=-Lg 
V 
....; Lg, 
pVL (8) =-·-· µ 
é obtida de 
(9) 
é conhecida como 
RELAÇÃO DE FÔRÇAS: INÉRCIA-ELASTICID~E (número de Cauchy) 
é obtida de: 
Ma 
EA = 
pL2 yi 
EL2 
(10) 
d d la V ' h "d , A raiz quadra a esta re Ção ....;-- , e coo ec1 a como o 
1.úmero de Mach. · E/p 
RELAÇÃO DE FÔRÇAS: INÉRCIA-TENSÃO SUPEBfICIAL (número 
de Weber) é obtida de 
Ma pL2 V2 = pL V1 • (11) 
o'L = <TL <T 
82 lllECÂNICA. DÓS PLUJDOS 
Em geral, .o engenheiro está interessado no efeito da fôrça 
dominante. Em muitos problemas de escoamento de . fluidos, a· 
·gravidade, a viscosidade e/ou a elasticidade predominam, mas não 
· necessária e simultaneamente. As soluções neste livro cobrirão ca-
sos onde uma fôrça predominante influi no escoamento, outrasfôrças causam efeitos perfeitamente oompensados ou desprezíveis. 
Se muitas fôrças conjuntamente afetarem as condições do escoamento 
o problema se toma complexo e estará fora das limitações ·d&te · 
livro. Os Problemas 21 e 34 sugerem as possibilidades. 
Relação de ·tempos. As relações de tempos estabelecidas 
para escoamento governados essencialmente pela viscosidade, pela 
gravidade, pela tensão superficial e pela elasticidade são respecti-
vamente: 
(vide Problema 20) 
Tr= j Lr (vide Problema 18) 1 9r · 
Tr= Lr 
V Er/Pr 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
(12) 
(13) 
(14) 
(15) 
1. Exprimir cada uma das seguintes grandezas (a) em têrmos 
de fôr!:~ F, comprimento i e t~mpo T P. (b) em têrmos de massa 
M, comprimento L. e tempo T. 
Solução: 
(a) (b) 
Grandezas Símbolo FLT MLT 
(a) Ãrea A em mt A Lt Li 
(b) Volume V em mª li Lª Lª 
(e) Velocidade V em m/s V Lr-1 Lr-1 
(d) Aoeleraçã<, a ou g em m/s2 a,g LT-' Lr-2 
(e) Velocidade angular "' em rad/s 
"' 
r-1 r-1 
(J) Fôrça F em kg F F MLT-7 
(g) Massa M em kg - r/m M FPL-1 M 
(h) P&o específico ar em kg/m3 ID FL.a ML-t r-2 
CAP. 5 ANÁLJSE DIHENSJONAL 83 
Grandezaa Sfmbolo FLT MLT 
(i) M8881l específica /' em kg s2/m4 p FPL-4 ML-1 
(J) Pressão p em kg/m2 p FL-2 ML·1 r-2 
(k) V'l8C08idade Absoluta p. ~m kg/ s/m2 Jli FTL-t ML-1 r-1 
(l) Viscosidade cinemitica 11 em m'/s 11 L' r-1 L' r-1 
(m) M6dulo de elasticidade E em kg/m.2 E FL-1 ML-1~2 
(n) Potência P em kg m/s p FLT-1 ML-2 T-3 
(o) . Torque T em kg m. T FL ML2 T-2 
(p) Vazão Q em m1/s Q L1 T·1 Lªr-1 
(q) Tensão cisalhante T em kg/m" T FL-2 ML-1 r-2 
(r) Tensão superiICial 6 em kg/m 6 FL-1 MT'"' 
(•) Peso Wem kg w F MLT-2 
(f) Vazão em Pêso W em kg/a w pr-1 MLT-1 
2. Esta'beleça uma equação para a distância percorrida por 
um corpo em queda livre no tempo T, considerando-se que a dis-
tância depende ·do pêso do corpo, da aceleração da gravidade e 
do tempo. . 
Soluçilo: 
Distância • =J(W,g, T) 
ou 
• =- K W• t/' 'J'C 
onde K é um coeficiente adimensional. geralmente determinado e.q>erimentalmente. 
:Esta equação deve ser dimensioqalmente homogêoea. Os expóentes de 
cada uma das grandezas devem ser os mesllios em ambos 08 membros da equação. 
Podemos escrever 
F- L1 T 0 "" (F") (L6 T-76) ('J'C). 
Relacionando 08 expoentes_ de F. · L e T respectivamente,_ n6s obtemos O = a, 
.1 = b e O = - 2b + e, do C{Jê, a = &, ó =- l e e = 2. 
Substituindo 
• = Kg'l'2. 
Notemc>s que o expoente do pêso W é zero, significando que a distância 19 
independente dó pêso. O fator K deve ser determinado. por anilise f"'JSica e/ou 
experimentação. ' 
3. O número de Reynolds é uma função da massa específica, 
da viscosidade e da velocidade de um fluido, e de ·um comprimento 
característico. Estabeleça o número de Reynolds pela análise di-
mensional. 
Solução• 
ou 
Rg =J(p,p, V,L) 
Rg = K tf' p" JI" Lll. 
84;' MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Então, dimensionalmente, F" Lº T 0 = (F" 1'2° L.....fo) (Ft TI> L-2•r (Lº T--:) (L") 
RelacionaodQ os expcieotes de F, L e T respectivameote, 068 obtemoa: 
O - a + b; b - - 4a - 26 +e + d; O = 2a + b - e; 
donde a - - b; e .,. - b; d = .,.- b, substituindo, 
Os valores de K e b devem ser determinados por análise il8ica e/ou experimental-
mente. Aqui K-1 e b= -1. 
4. Para um líquido ideal, exprimir o fluxo Q através de um 
orifício em têrmos da massa específica do líquido, do diâmetro do 
orificie e da diferença de pressão. 
Soluçlo1 
Q -J(p,p.d) ou 
Então, dimensionabnente, F" L2 T-1 = (F" r-a L-4") (P L-21>) (LO) e O= a+ b; 
3=-4a-2b+c e -l-2a, 
do qlie a "" - !. b = l e e = 2. 
Substituindo, Q .,. K p-1/i plft d2 
fluxo ideal 
O fator K deve ser obtido pela· análise iISica e/ou experimentalmente. Para um 
orificio na parede lateral de um tanque sob pressão h, p = wh. Para obter a fór-
mula familiar de orifícios no Capítulo 9, façamos K = v'2 (r/4). Então, 
fluxo ideal Q = v'2 (r/4) d2 V w h/P. 
mas g = w/p, portanto fiuio ideal Q =imP V2°ih. 
5. Determinar a pressão dinâmica exercida pelo escoamento 
de um fluido incompressível sôbre um objeto imerso, considerando-se 
que a pressão é uma função da massa específica e da velocidade. 
Solução: 
p =J(p. Y) ou 
Dimensionalmente, 
e 1 = a; - 2 = - 4a + 6; O = 2a - b do que, a = l; b = 2. · 
Substituindo, 
P = Kp V1. 
CAP. 5 ANÃLmE DIHENSIONAL 85 
6. Considerando-se a energia fornecida por uma bomba como 
função da massa específica do fluido, do fluxo em m'/s e da altura 
de carga íomecida, estabelecer uma equação pela anâlise dimensional. 
Soluçilos 
ou 
p -}(111,Q,H). 
P - KuPQ' 118. 
Diqiensionalmeot.e.. F1 L 1 r-1 ... (F" L-lo) (Llb T-") (U), 
e a = l; 1 .,. - 3a + 36 + e; - 6 - - 1 do que, a = l; 6 = 1 e e =- 1. 
Substitúindo, 
p ... KUIQH. 
7. Um projetil é lançado sob um ângulo 8, com velocidade 
inicial V. Determinar o curso R no plano horizontal, conside-
rando-se que o curso é uma função de V, 8 e g. 
Solução: 
Dimeosionalmeote, 
R =J(V,g,8) ... K V4 /fJc. 
L1 = (LG T""G) (LI> y-21>). 
Uma vez· que 8 é adimeosioDlll, êle não aparece em (8). 
(A) 
(8) 
Resolvendo para a e b; a = .2 e 6 = - 1. Substituindo, R = K V'/g. 
Obviamente esta equação aio satisfaz, por não fazer referência ao ângulo 8 de 
lançamento. O Problema 8 mostrará como se poderá obter uma solução. 
8. Resolver o Problema 7, utilizando uma notação vetor-
-direcional. 
Solução: 
Em caso de deslocamentos bidimensionais, as component.es X e Y podem ser 
introdu."!idas a fim de proporcionar uma a.uáiise mais compieta. 
equação (A) no Problema 7 pode ser escrita 
R., = K V.,ª V1/' g1/ f14. 
Dimeosionalment.e, 
L.,1 = (L:z" T-4) (Li/' T-6) (l,,i" ~"). 
que nos fornece: 
L.,: l=a 
Então, a 
(C) 
T: 0=-a-b-2c 
L,i: O= b +e. Fig. 5-1 
Então a = l; b = 1 e e = - 1. Substituindo em (C), 
R = K( YsgV11). •D) 
86 
Do diagrama:· vetorial, CUJ8 • VJV,seill - Y11/V e CUJ8sen8:, V., VJY'. 
Substiluindo em (D), 
R-K"rCUJ8~8-K Y'ae~u. 
g' ' 2g 
Y'a8n2i Da mecâOica, · R é usualmente escrito ---g 
portanto K = 2 na equação (E). 
(E) 
9. Considerando que a fôrça resistente exercida por um fluido 
em escoamento sôbre um objeto é função da massa específica, da 
viscosidade e . velocidade do fluido, e de um comprimento caracte"" 
rístico do corpo, desenvolver uma equação geral para fôrça. 
Solução: 
F = J (p, p., L, V) ou 
e l=a+b; 0=-4a-2b+e+d; 0-2a+b-d. 
~ preciso que se note que temos um D~ de inc6gnitaa superior ao de 
equações. Um dos métodos de resolução comiate em expliciblr 3 das inc6gnitas 
ein função de uma quarta. Explicitando em função de b, temos: . 
a=l-b; d=2-b; e-2-b. 
Substituindo, 
Multipliquemos por 2/2 e reagrupemos os têrmos a fün de apresentarmos 
a expressão acima. com um aspecto mais usual: 
( VLp)-l> V2 F=2Kp -- L2 -· .. ., 
' ,. , -
Uma vez que V L p é o número de Reynold• e L2 representa uma área, po-
. demos escrever: P. 
F = [2K RB-1>] pA _!: ·ou 
2 
10. De~nvolver uma expressão para tensão cisalhante em 
um fluido que se escoa em um tubo, considerando-se que a tensão . 
é uma função do diâmetro e da rugosidade do tubo, da massa 
específica, velocidade e viscosidade do fluido. 
Solução: 
.,. =J(V,d,p,µ,K) ou 
CAP• 5 AN~ DDCENSlONAL 87 
A rugosidade relativa K é 'usualmente expresaia como 11ma relação entre o 
tamanho daa protuberlnciu superf"iciais e o dilmetro do tubo, f/d, sendo pQrtanto 
,adimeusiousl. · Então: · · 
e 
Explicitando em função de. d, temos: 
Substituindo, 
( Vdp)-4 · T =e -;;:- K• Y:p ou T = cc' RB-d) V2p. 
11. Desenvolver a expressão para perda de _carga em um tubo 
horizontal para escoamento turbulento incompressível. 
Soluçiloa 
Para qualquer fiuido, a perda !fe carga é representada pela queda no gradiente 
de pressão e é uma medida ·da resistência ao escoamentoatravés do tubo. A 
resistência é uma função do diílmetro do tubo, da viscosidade e musa específ"ica 
do fiuido, do comprimento do tubo, da velocidade do fiuido e da rugosidade K 
do tubo; Podemos escrever: 
(p1 - P2) = J (d, p, p, L, V, K), 
ou 
(1) 
O expoente do comprimento L é unitário, dado êst.e obtido de experiências 
e observações. O valor de K, como já foi explicado no problema anterior, E/d, 
é adimensional. Podemos, então, escrever: 
i 
e 1 = b +e; - 2 ~ a - 2b - 4c + 1 +e + j - j; O = b + 2c - e. 
Explicitando em função de e: 
e= e - l; b =·2 - e; a= e - 3. 
Substituindo em (1): 
88 MEC1NICA DOS 'FLUIDOS 
Dividindo os têrmos à esquerda por to e à direita iíelo seu equivalent.e pg, 
n. - ,,. . e <fld'f L <cr-' v• P~1 "'--> ~ - perda .. da carga - ---'.:.......:--=---'"----=~ 
to pg • 
o que se transforma em (multiplicando por 2/2): 
. ( e )' L Y1 [ d.,...2 yr2 pr2 ] 
Perda de carga = 2 C d d 2g p..,...2 ""'. 
=- K' (Rf1) (_f_) ( Y1) = j _f_ Y1 (f6rmula de Darcy). d 2g d 2g 
12. Estabelecer uma expressão para a energia fornecida a 
uma hélice considerando que a energia pode ser expressa em função 
da massa específica do ar, do diâmetro, da velocidade do flúxo 
de ar, da rotação, do coeficiente de viscosidade e da velocidade do 
som. 
Solução: 
Energia= K pG d"VC c.P I'• cl, usando como unidades Cuodameotais M, L e T, 
Então: 
l=a+e donde tiramos: a = 1 - e 
2=-3a+b+c-e+J 
-3= -c-d-e-J 
Substituindo: 
ReQl'ganizam!o " agrupando os termos. n6s obtemos: 
b=5-2e-c-J 
d = 3 - e - e-j. 
Examinando os tênnos entre par@nteses, verificamos que êles são adimensio-
nais. O primeiro pode ser escrito como o número d~ Reynolds, uma vez 
que V = c.i : • O segundo têrmo é uma relação da hélice, e o terceiro têrmo, 
velocidade para celeridade, é o número. de Mach. Combinando todos êstes têrmos, 
a equação apresentar-se-á assim: 
Eoeqpa = C' p c.i3 d'. 
13. Esboçar o processo a ser seguido quando o teorema das 
variáveis r de Buckingham é usado. 
CAP. 5 ANÁLlSB DIMENSIONAL 89 
Iab0dução1 
Quando o n6mero de grandezas físicas ou ~ri6veis rar igual a quatro º .. 
mais, o· t.eorema de Buckiqbam Comece um excelente instrumento pelo 111.J8l 
estas grandezas podem ser organizadas em pequeno número de símboloa, ~pa­
mentoa adimensionais, a partir dos quais uma· equação poderá ·ser dedu.zida. 
()a grupos adimewrionais são chamados tamiOB 1r •. Sob aspecto mstemá&ico: 
se existirem n grandezas f'micas 9 (tais como velocidade, massa específica, VÍllOOl!i--
dade, pressão e área) e k unidades fundamentais (tais como rarça, comprimento e 
tempo ou 1118111111, comprimento e tempo), podemoa escrever: 
li (91. 9!. Ili ...• q,.) - o. 
F.eta equação pode ser substituída pela equação 
onde qualquer tênno 1f' depende não mais do que (k + 1) grande7.llll f'JSicas 9, e 
cada um dos têrmos r é indepeJ1dente, adimensiooal e função monômia das grun-
d-. 9. 
Proceaeo1 
I. Regiatrar as n grandezas f'ácas 9 que entram no problema, anotando 
8Ull8 unidades e o número k de unidades fundamentais. Serão (n - k) têr!JlOS 7r. 
2. Selecionar k destas grandezas, dimensionais e não tendo duas a duas 
as mesmas dimensões. Tadas as unidades fliDdamentais devem ser incluídas 
coletivamente nas grandezas escolhidas. 
3. O primeiro têrmo r pode ser expresso como um produto destas grandezas 
escolhidas. cada ums delas elevada a um expoente desconhecido, e uma outra 
grandeza elevada a uma potência conhecida (usualmente tomada como unitária). 
1 
4. Manter as grandezas escolhidas em (2) · como . variáveis repelilüxu e, 
escolher uma das variáveis remanescentes para estabelecer o próximo têrmo r. 
Repetir êst.e processo para os sucessivos têrmos r. 
S. Para cada têrmo ?r, d .. t .. rmirnir os expoentes desconhecidos pela análise 
dimensional. 
Relações úteis: 
a. Se uma grandeza é adimensional, ela é um .têrmo r, sem seguir o processo 
acima. 
b. Se duas grandezas físicas quaisquer tivere~ as mesmas dimensões. sua 
relação será um dos tênnos 1f'. Por exemplo, L/L é adimensional e é um têrmo 1f. 
e. Qualquer têrmo 1f pode ser substituído por qualquer potência dêst.e tênno, 
incluindo r-1: Por exemplo, 11"3 pode ser substituído por 7T3', ou 1f'i por l/r!. 
d. Qufl.lquer têrmo r pode s~r multiplicado por uma constante numérica. 
Por exemplo, r 1 pode ser substituído por 3 ir1• 
e. Qualquer têrmo -:r pode ser expresso como ums função de outros têrmos r. 
~ exemplo, se existirem 2 têrmos 1f', r1 = 4> (iri). 
90 MECÂNICA. DOS FLUIDOS 
14. Resolver o Problema 2, usando o teorema de Buckingham. 
Solucilos 
O problema pode ser expresso estabelecendo-ee uma função da distincia 11, 
p@so W, aceleração da gravida4.e _ g e tempo T igual a uro, ou, matemàticament.e: 
I.• Etapa 
li(•, W,g, T) ""o. 
Relacionar .as grandezas e as unidades: 
11 = co~primento L;. W = fôrça F; g = aceleração L/T2; T = tempo T. 
Existem 4 grnlidezas rmcas e 3 unidades fundamentais, portanto (4 ...., 3) ou 
1 têmio r. 
2.• Etapa 
E'l(,1)lhendo a, W e T como grandezas f"JSicas, Comecemos 3 unidades funda- · 
mentais F, L e T. 
3.• Etapa 
Urna vez que as grandezas f"JSicas heterogêneas não podem ser adicionados 
ou subtraídas, o têrmo ré expresso como um produto, como se segue: 
(l} 
Usando a homogeneidade dimensional, temos: 
Igualando os expoentes de F, L e T, respectivamente, n6s obtemos Yt = O; z1 + 
+ l = O; z1 - 2 = O, donde z1 = - l; y1 = O e Zt = 2. Substituindo_ em (1), 
WoT2g 
r1 = .-1 WoT2g- ----· 
li 
Resolvendo para 11, e notando que l/r1 = K, n6s obtemos /1 = .Kg T2. 
15. Resolver o Problema 6, usando o teorema de. Buckingham. 
Solução: 
O problema pode ser escrito matemàticamente, como 
J (P, w, Q, H) "" o. 
As grandezas físicas com suas dimensões em unidades F, L e T são: 
Potência P = F L T"1 Vazão Q "" L3 r-• 
P&o específico w .. F L-3 Pressão H = L 
Existem 4 grandezas f'asicas e 3 unidades fundamentais, então (4 - 3) ou 
1 têrmo r. 
F.scolhendo Q, w e. H como as grandezas com expoentes desconhecidos, n6s 
estabelecemos o têrmo r como se segue: 
r 1 = (Q'<' (u:"') (IP') P ou r, ~ (Lb' ~) (Ji'll' L-311') (L•~) (FLT"'). (1) 
<:AP. 5 ANÁistSE DIMENSIONAL 91 
Igualando .os expoentes de F, L e T, temos: O - 1'1 + l; O - - %;. - 1 e 
·o "' 3%1 - 3f1 + 11 + 1, donde %1 - - l; 11 - - ·1; 11 - - 1. Substituindo 
em (1), 
p 
11'1 .. <r1111-1 IJ1, p... ou P - KmQH. 111QH 
16. Resolver o Problema 9, usand~ o teorema de Buckingham. 
Soluçloz 
Podemos expressar o problema do seguinte modo, 
~(F,p,p.,L, V)"' o. 
Ais grande7.llll · f':isicas com suas dimensões em unidades F, L e T são: 
F&ç&F-F 
Massa especírica p .. FT2 L_,, 
Velocidade V ;.. Lr-1 
Viscosidade absoluta p. - FTL-Z 
Comprimento 1,, "' L. 
Existem 5 grandezas Cfsicas e 3 unidades fundamentais, poibanto (5 - 3) -· 2 
tbmos 11'. 
Escolhendo o comprimentO L, a veloddade V·e a 111111188 específ'ica p, é:omo 
as 3 variáveis repet.iiivá.s, . com expoentes deiconbecidos, n6a estabelecemos os 
t&mos r: 
(1) 
Igualando os expoentes de F, L e T, n6s obtemos O = c1 + l; O = a1 + b1 -
- 4 ci; O = - bi + 2 c1, do que tiramos ci .. - l; b1 = - 2; a1 = - 2. Subs-
tituindo em (1), r1 = F/I.1 V2 p. 
1 
Para determinarmos Ó segundo têrmo r, mantemos as 3 primeiras grandezas · 
f'JSicas e anexamos uma outra grandeza, neste C8llO a viscosidade absoluta µ. 
(Vide Problema 13, item 4.) 
(2) 
Igualando os expoentes de F, L e T, obtemos O = c2 + l; O··= a2 + bi -
- 4 c2 - 2; O = - b:z + 2 c2 + l, donde c1 .. - l; bi = - 1 e a2 = ...:. l. 
Alssim: r2 = µ/LVp; Esta expressão pode ser escrita rz = LVp/µ, que reco-
nhecemos como o número Reynolds. · 
A nova relação, escrita em função de 11'1 e 11'2, é: 
( F 
1L Vp) 0 Ít L2 V2 P • ~ = • 
ou 
Fôrça F = (L2 V2p)}2 ( L ;P), 
que pode ser. escritaV2 F = (2KRB) pL2 - • 2 
92 
Como V pode ser tomado como ulna ãrea, a equação rmat pode ser eStabeledda 
como F "" CD p A ~ (vide Capítulo 11). 
17. Resolver o Problema 11, usando o teorema de Buckingham . 
. Solução: 
Matemàticamente, o problema· pode ser assim expresso: 
j(4p, d, p., p, L, V, K) ""O, 
onde K é a rugosidade relativa ou a relação entre o tamanho das irregularidades 
da superfície e o diâmetro d do tubo (veja Capítulo 7). Ns grandems fisicas 
com suas dimensões em unidades F •. L e T são: 
Queda de pressão 4p FL-2 Comprimento L = L 
Diâmetro d L Velocidade V= Lr-1 
Viscosidade ahsoluta p. FTL-2 Rugosidade relativa K = LJL2. 
Massa específica p = FT2 L--4 
E.-<istem 7 grandezas físicas e 3 unidades fundamentais, portanto (7 - 3) =- 4 
têrmos 'li". Escolhendo o diimetro, 11 velocidade e a massa esPec:ifica como v:i-
riãveis repetitivas com expoentes desconhecidos, os têrmos 1r são: 
T1 = (L"'1) (L111 1'11) (Fª1 T'J1 L--f•i) (FI.-~) 
r2 = (L"'2) (L112 T-1'2) (Fª2 -r-:•2 L--4•2) (FTL-'l) 
ri = (f."'3) (L113 1'13) (F•3 r:•a L--4•2) (L) 
r4 = K = LJL,. 
Igualando os ~xpoeµtes thmo a têrmo, resta: 
r 1 : O = z1 + l; O = z1 + :r1 - 4 z1 - 2; O = - :r1 + 2 z1. Então, zi = O; 
Yl = - 2; Z1 = - 1. 
r 2 : O = z2 + l; O = z2 + :rz - 4 z2 - 2; O = - Y2 + 2 z2 + 1. Então, zz = - 1; 
Y% =s - 1; Z2 :== - 1. 
r 3 : O = z3; O = :1:3 + y3 - 4 ZJ + l; O "" - y, + 2 za. Então, :1:3 = - l; Y3 = O; 
Z3 = 0. 
Portanto, os têrmos 7r são: 
7r = ,r- y-2 p-1 L\ = .:l.p (número de Euler) 
l 1' pV2 
ou d V p (número de Reynolds) p. 
L 
r 3 = d-1 Vº pº L = d (como deveria ser esperado, vide item b, Problema 13) 
7r4 = LJL, = .!.. (vide Capítulo 7). 
d 
CAP. 5 ANÁLISE DIMENSIONAL 93 
As novas relações podem ser escritu, 
( .!e_ dVp L e) li pV2' -1'-. d' d ,,,. o. 
Resolvendo para Ap, 
Ap = ; Y2h(RB, ~ , +). 
onde p = 111/g. A. perda de carga poderia ser, então, 
Ap Y2 (·L e) 
- = - (2) · Jz RB - - · 
U1 2g 'd'd 
Se se desejasse obter a equação de Darcy, a experiência e a análise indicam 
que a queda de pressão é uma função de L/d à primeira potência, portanto, 
~ = - · - · 2 ·ia Rg ....!.. , A Y2 L ( ) 
U1 2g d • d 
que pode ser expressa como 
~ = (fatorj) (;) (!';). 
Nala 1: 
Se o escoamento lõsse compressível, outra grandeza f'JSica, módulo de elasti-
cidade volumétrica E, poderia ser incluída e o quinto têrmo r seria a relação 
adimensional E/p Y2, que é usualmente reescrita sob a forma V/VEfp~ que é 
o número de Macb. 
1Va1a %: 
Se a gravidade participasse do problema geral de escoamento, a fôrça gra-
\'Ítacional seria outra grandeza física e um sext.o termo r seria a relação adimen-
sional V'/g L, que é o número de Froude. 
Nola 3: 
Se a t.ensão superficial fT entrasse no problema geral de escoamento, outra 
grandeza f'JSica seria adicionada e o sétimo t.êrmo r tomaria a forma de Y2 Lp/fT, 
que é o número de Weber. 
18; Para modêlo e protótipo, mostrar que, quando a gravidade 
e a inércia são as únicas grandezas influentes, a relação das vazões 
Q é igual à relação de comprimentos elevada a cinco meios. 
Solução: 
A. ·relação ·de tempos deve ser estabelecida pelas condições que inDuenciam 
:q0 escoamento. Podemos escrever as seguintes expressões para as f8rças de 
_gravidade e de inércia, · . / 
Gravidade: 
Inbcia: 
'· w,,. fDm i:_i • 
---- -x---111r1.,• F11 Wp 111p Lp3 • 
Igualando as relações de fôrças: 
a qual, quando solucionada para Tr, iJC&: 
Pr L, 
·Tr1 .. i.,X- --· 
llJr !Ir 
(l) 
Reconhecendo que o valor de g., é nnitário, e substituindo na expressão de 
relação de Duxos, temos: 
(2) 
19. Para as condições estatuídas no problema anterior, esta-
belecer (a) a relação de velocidades e (b) as relações de pressão 
e fôrça. 
Solução: 
(a) Dividindo ambos os têrmos da equação (1) do Problema 18 por Lr2, 
temos: Tr2/Lr% = L,/Lr2 • g, ou, uma vez que V= L/T, Vr2 =.Lr11r:. 
Mas o valor de f1r pode ser considerado unitário. Isto significa que, para 
modêlo e protótipo, Vrz = Lr, que pode ser chamada a lei de modelos de Froude 
para ·relações de velocidacfe. · 
. i:_2 
(b) A relação de fôrça para fôrçaa de pressão = : Lp! = Pr Lr2 • 
A·relação de fôrça para fôrças de inércia = Pr1;4 = 111rLr3 • 
Tr 
lgualand0-0s-, obtemos Pr Lr2 = 111r L. 
Pr = t11rLr. (1) 
Para estudos de modêlo com uma superf"Jcie livre, os números de Froude de 
modêlo e de protótipo são os mesmos. Oa números de Euler também_ o são. 
CAP. 5 ANÁLISE DIMENSIONAL' 95 
Ulllllldo Vr2 - L,, n6s podemos escrever a Equação (1) da seguinte forma: 
e, uma vez que F - pA, 
Fr • Pr Lr2 • Wr L,1 .• (2) 
20. Desenvolver a lei de Reynolds, de modelos para· relações 
de t.empo · e velocidade para líqtiidos incompressíveis. 
Solução a 
Pai:a um escoamento sujeito Wiicamente às l8rças de inércia e v;iscosidade 
(outro.a efeitos são desprezados), estas C8rças pua modêlo e prot6tipo devem ser 
determiiiadaa. 
Para inércia: 
F,,. a L, 
- - Pr L, X - 2 (do problema anterior). Fp. Tr 
Para viscosidade: 
F. . T'a A.,. p. (dV/dy),,. Aa 
F,,, - T'pÂp = #lp (dV/dy'),,,Ap 
µ... (L,,JT,: S< 1/1-) r_2 
µ,,, (LJT,,, X 1/1..p) L,,2 
PrL.2 Tr---· 
llr 
µ L,.t 
·uma vez que 11 = -, n6s podemos escrever Tr = -. 
p ~ 
A rehlti!!> !!e ve!oc!dades, V, = LrfT, = (L/L,1) · v, = ;:. . 
(1) 
(2) 
F.screvendo estas duas relações em têrmos de modelo e protótipo, nós obtemos 
de (2): 
v.. ""' Lp -~-x-· v,,, 11p L. 
Grupando os têrmos do modêlo e protótipo, fica V,,.L,,Jv,,. = V,,,L,,111,,, •. que o 
leitor poderá reconhecer como: o número de Reynolds para modêlo = número 
de Reynolds para prot6iipo. · 
21. Um 61eo de viscosidade cix!emática igual a 4,7 X 10-1 m2/s 
deverá ser usado em um prot6tipo em ~e as fôrças dominantes 
são as de viscosidade e de gravidade. Um modêlo na ·escala 1:5 é 
desejado. Qual a viscosidade do líqtiido do modêlo necessária 
96 MECÂNICA. DOS FLUIDOS 
para que· os números de Froude e Reynolds sejam os mêsmos, no 
modêlo e no protótipo? 
Soluçí101 
Usando as relações de velocidades para a lei de Froude e Reynolds (vide 
Problema 19 e 20): (L,. g,)1/1 ,,.· '11,./L,.. 
Uma vez que g,. = l, L,.3/% = Pr e 11r = (1/5)3/t = 0,0894. 
1 · ·r· Jf,,. ""' 0 0 1 · 21 sto s1gm 1ca que - = 0,0894 = 7 lO'"' e v,,. = ,42 X l - m ,s. . l'p 4, X 
Usando as relações de tempo, aceleração e· descarga, teremos· o mesmo re-
sultado. Por exemplo, as relações de tempo sendo igualadas (Problemas 18 e 20), 
teremos: 
L,.1/2 Pr Lr' µ 
---:-r:1 .• --, ou urna vez que 9r = l, -!. = 11, = L,.312 como antes. gr''~ µ, Pr • 
22. Água a 16°C escoa a 12 ft/s (3,6 m/s) em um tubo de 6" 
(152 mm). A que velocidade deverá escoar um óleo médio a 32°C 
em um tubo de 3" (76 mm) para que os escoamentos sejam dinâ-
micamente semelhantes? 
Solução: 
Uma vez que o escoamento em tubos está sujeito unicamente às íôrças de 
viscosidade e de inércia, o número de Reynolds é o critério de semelhança. Outras 
propriedades do fluido em escoamento, tais como elasticidade e tensão supentcial, 
bem como as fôrças gravitacionais nãt> afetam a figuração do escoamento. Assim 
para a semelhança dinâmica, 
Vd V'd' 
-=--' 11 11' 
RB para. água = RB para óleo. 
obtendo valores para viscosidade cinemática da Tabela 
2 no Apandice e substituindo 
12,0 X 6/12 V' X 3/12 t/ ,..., , 
1.217 X lo-' = 3,19 X 10_. • V' = 63 f s = 19,Q m,s. 
N. T. Utilizamos os valores diretamente da Tabela 2 e fizemos a conversão 
sõmente no resultado. 
23. Ara20"C(68°F)escoa através de um tubo de (610 mm)24" 
a uma velocidade média. de 1,8 m/s (6 ft/s). Para que haja 
semelhança dinâmica, qual o .diâmetro do tubo que, carregando 
água a 16ºC (60"F) e 1,1 m/s (3,65 ft/s), poderia ser usado? 
CAP. 5 ANÁLISE DtlrlENSIONAL 97 
Soluçãos 
Igualando os n6meros de Reynolds:1,8 X 0,61 l,l ·x d 
1,6 X 10-t X 0,093 .,. 1,217 X 10-t X 0,093 :. d ... 0,076 m (3''). 
'M. Um modêlo l: 15 de um submarino deve ser testado em 
um tanque de provas contendo água salgada. Se o submarino 
se move a 12 mph, a que velocidade deverá o modêlo ser tracionado 
para haver semelhança dinâmica~ 
Solução: 
Igualando os números de Reynolds para modêlo e prot6tipo: 
12 · L Y X L/15 V 180 h -.,,-= .,, = mp. 
25. Um modêlo 1: 80 de um aeroplano é testado a 20"C no 
ar, o qual tem a velocidade de _45 m/s. (a) A que velocidade 8eria 
a modêlo impelido quando completamente submerso. em água a 
27°C? (b) Qual seria a fôrça resistenté de um prot6tipo no ar, 
cujo modêlo na água representa uma resistência de 0,57 kg? 
Solução: 
(a) ~gualnndo-se o8 númeriis de Reynolds: 
45XL .VL 
16 x 10-1 x o,093 = Q,93_x_1_0_,""',..x-o-,o-9_3_ 
\. 
ou V = 2,62 m/s na água. 
(b) Uma vez que p varia com pVS, igualandlHle ()8 números de Euler, 
ou 
Más as fôrças atuantes são (pressão ·X área) ou p L1; portanto, 
ou 
Fr = Pr Vr1 Lr1 (equação). (6) 
Para obtermos a velocidade do protótipo no ar, igualemos os números de 
Reynolds: · 
V,,. L,,. = Vp Lp 
Par Var 
ou 45 X L,./80 = Vp Lp e Vp = 0,56 m/s. 
9S KEOÂNICA. DOS FLUIDOS 
Então: 
0,57 -( 1,94 ) ( 2,62)' (...!...)' -Fp 0,0023 0,56 80 8 · Fp= 200g. 
26. Um modêlo de um torpedo é testadó em um tanque de 
provas a uma velocidade de 24 m/s. :&pera-se que o protótipo 
atinja a velocidáde de ~ m/s em água a 16°C. (a) Qual a escala a 
ser utilizada para o modêlo? (b) Qual deverá ser a velocidade do 
inodêlo se testado em um tonel aerodinâmico à pressão de 20 atm 
e à temperatura constante de 27°C ? · 
Soluçãos 
(a) Igualando número de Reynolds para prot6tipo. e modêlo. 
6 X L = <24> X (L/z) ou z = 4. A escala do modêlo é 1/4. 
JI JI 
(6) Para o ar, da Tabela lB a viscosidade absoluta é 3,85 X 4,88 X 10-1 
kg s/m2 e a lll88lla llSpeclf'JC&: 
P 
= ..!!:._ = --1!_ _ 20 X 104 ,...., 2 32 kg/ a g g RT 9,81 X 29,3 (273 + 27) = ' m 
6 L V L/4 
l.217 X 101 X 0,093 = (3,85 X 10-:7 X 4,88/2,32) 
V= 17,l m/s. 
27. Uma bomba centrífuga bombeia um óleo lubrificante mé-
dio a 16ºC ·e a 1200 rpm. Um modêlo de bomba, usando ar a 200C 
deve ser testado. Se o diâmetro do modêlo é 3 vêzes o diâmetro do 
prot.ót.ipo, a que ve!oeid:ide deverá o modêlo operar? 
Solução: 
Usando velocidades periféricas (que· é igual ao raio vêzes a velocidade an-
gular em rad/s) como as velocidades no númerq de Reynolds, nós obtemos: 
(d/2) CaJp (d) (3d/2) Cr1m (3d) 
·188 X ur X 0,093 = 16,0 X 10-i X 0,093 
e portanto Cr1p = 106 w,,, e e.>,,. = 1200/106 = 11,3 rpm. 
28. Uma asa de avião de 0,9 m de corda deverá deslocar-se a 
145 km/h no ar. Um modêlo de 76 .mm de corda deve ser testado 
em um túnel aerodinâmico com a velocidade do ar de :i73,5 km/h. 
CAP. 5 ANÁLISE DIMENSIONAL 99 
Para a temperatura de 20"C em cada caso, qual deverá ser a pressão 
no túnel aerodinlmico ? 
Solução: 
Igualando os números de Reynolds, e usando as mesmas unidades 'para as 
velocidades 
173,5 X 0,076 
vtúnel 
Jltónel = 1,5 X 10-8 m2/s. 
145,0 X 0,9 
16 X l~ X 0,093 
A. pressão que produz esta viscosidade cinemática para o ar a 20-C pode ser 
determinada recordando-se que a viscosidade absoluta não é afetada pela·variação 
dt> pressão. A viscosidade cinemática é igual à viscosidade absoluta dividida 
pel~ mnssa específica. Mas a massa específica aumenta com a pressão (teiDpe-
raturn constante), então; 
Crl. 
11=-p e 
15Xl~ 
1,5 X 10' = lO. 
Assim a nuwa espe(:ífica do ar no túnel deve ser 10 vêzes mais que a normal (20-C} 
e a pressão resultante no túnel deverá ser de 10 atm. 
29. Um navio cujo compriment.o do casco é de 138 m deve 
navegar a 7,5 m/s. (a) Determinar o! número de Froude, NF. 
(b) Para que haja semelhança dinâmica qual será a velocidade de 
um modêlo 1: 30, arrastado através da água. 
Solução: 
(a} NF = __ V_ = 7,5 = 0,207. 
../fi, v'9,81X138 
(b) Quando dois escoamentos com contornos geomàtricamente semelhantes 
são influenciados. pelas fôrças de inércia e de gravidade, o número de Froude. é 
a relação marcante no estudo do modêlo. 
Então NF protótipo = NF modêlo 
ou 
V V' 
ViL = v7fJ 
uma vez que g = g' ·em pràticamente todos os casos, podemos escrever 
V V' 7,5 V' 
v' L . = VL ' v' 138 ;= V 138/30' 
V'= ·l,36 mfs para o modêlo. 
100 xEcÂNICA DOS FI.UIDOS 
30. Um modêlo de vertedor deve ser construído na "escala de 
l : 25 perpendicularmente a uma calha que tem 0,6 m de largura. 
O prot6tipo tem 11,25 m de altura e a altura máxima de carga 
esperada é de 1,50 m. (a) Qual a altura do modêlo e qual a altura 
de carga que deveria ser usada no modêlo. (b) Se a vazão no mo-
dêlo a 0,06 m de pressão é 0,0200 m3/s, qual a vazão -por metro de 
protótipo que pode ser esperada? (e) Se o modêlo apresenta um 
ressalto hidráulico de 25,0 mm, qual será o ressalto no protótipo i> 
(d) Se a energia dissipãda no modêlo para o ressalto hidráulico é 
de 0,15 HP, qual será a energia dissipada no protótiJ)o? 
Solução: 
U comprimento no inodêlo 1 
(a) ma vez que, comprimento no prot6tipo 25 , altura no modêlo 
1/25 X 11,25 = 0,45 m pressão no modêlo = 1,5 X 1/25 = 0,06 m. 
(b) Do Problema 18, <b = L/"2, uma vez que a fôrça de gravidade predo-
mina, então Qp = J!;;'I = 0,0200 (25 X 25 X 5) = 62,5 m3/s. 
Esta quantidade pode ser esperada para 0,6 X 25 = 15 m de comprimento 
do prot6tipo. Assim o fluxi> por metro de prot6tipo = 6!?,5/15 = 4,16 m3/s. 
(e) h... 25,0 = L,. ou hp = - =·-- = 625 rum (altura do re.ssalto) L,. 1/25 . . 
F, L,. tor Lr3 Lr (d) Relação de Potência P, = (kg m/s), = -- = ----'-
T, V L,./gr 
Porém, Pm ( 1 )7i2 (/r = 1 e w,. = l. Então - = J}! = -Pp 25 
Pp = P.,,. (25)711 = 0,15 (25)7/! = 11. 700 HP. 
31. Um modêlo de um reservatório é esgotado em 4 minutos 
pela abertura .de uma comporta. A escala do modêlo é 1: 225. 
Quanto tempo se gastará para encher o protótipo ? 
Solução: 
Uma vez que a• gravidade é a fôrça dominante, a relação Q, do Problema 18 
é 5/.. . Om Lm
3 T,,. 
igual a L,. •. Também <b = Q; = Lp3 + Tp · 
Então: 
L511 = .L,.3 X .Ji e T11 = T ,,JL,.tl2 = 4 (225)1/t = 60 minutos. T,,. 
CAP. 5 ANÁLISE Dllrf.ENSlONAL 101 
32.- Um "pier" retangular em um rio tem 1,2 m de largura 
por 3,6 m de compriment.o e uma profundidade média de água 
de.2,7 m. Um mo~êlo é construído na escala 1: 16. A vélocidade 
de escoament.o de 0,75 m/s é mantida no modêlo e a fôrça. atuante 
no modêlo é de 0,40 kg. (a) Quais serão os valores da velocidade 
do protótipo e a fôrça no mesmo? (b) Se uma onda padrão no 
modêlo tem 0,05 m de altura, qual será a altura esperada de onda 
na extremidade do ancoradouro?' (e) Qual é o coeficiente de re-
sistência? 
Solução: 
(a) Uma vez que as fôrças gravitacionais predominam; do Problema 19, 
nós obtemos: 
Também, 
(b) Uma vez que 
V. 0,75 e p = (l/l6)11l = 3 m/s. 
F 0,40 ,...., 64 k . p = 1 (l/16) = 1 o g: 
V. v'Lm. . ,- - 3 v'.; = ~, v hp =·v' 0,05 X 0,?5 ; lip=0,895 m,....., 0,9 de altura de onda. 
(e) Fôrça resistente = 
vi (1,2 2,7) (º·75)3 
= CDp A 2 ;0,40 =CD (10)3 16X16 - 2- e. CD= 1,12. 
Podemos também usar os valores do prot6tipo: 
(3)2 
1640= CD 101 (1 •. 2 X 2,7) 2 e Co = 1,12 como se esperava. 
33. A resistência medida na água, de um modêlo de um navio 
de 8 ft de compriment.o, movendo-se a 6,5 ft/s é de 9,6 lb -(a) Qual 
seria a velocidade de um protótipo de 128 ft? (b) Que fôrça seria 
necessária para acionar o protótipo a esta velocidade em água sal-
gada? 
Solução: 
(a) Como as fôr{'as de gravidade predominam, obtemos 
(h) 
v .... _,- _,-
Vp. = V Lr = V 8/128 
F,,. ' 
- = rDrLr e, F11 = Fp . 
e Vp = (Si~ui = 26 ft/s. 
9
•
6 
= 40 300 lb. (62,4/64,0) (l/16)3 
100 MECÂNICA. DOS FLUIDOS 
:&.te último valor poderiaser obt.ido usando-ee.a fórmula para t'arça-resistente: 
. . A 
F&ça ~istente - C1p2 vt. 
Para modêlo: 
62.4A · 2 9,6 .,. Cr29 (l6)2 (6,50) 
C1 A 9,6 (16)1 
e, 2f "" 62,4 (6,50)2 • (1) 
Para protôt.ipo: 
fôrça = ~! 6:;º A (26,0)2 e, C1A fôrça T ... 64,o c26>' . (2) 
Igualando (1) e (2), uma vez que o valor de CJ é o mesmo para protótipo e modêlo, 
obtemos: · 
9,6 (16)2 fôrça· ~~~- "" , donde, fôrça = 40 300 lb, como anteriormente. 62,4 (6,s)i 64,o (26,o)' 
34. (a) Determinar a escala do modêlo quando ambas as fôrças 
de viscosidade e gravidade são necessárias para assegurar a seme-
lhança. (b) Qual deveria ser a escala do modêlo se um óleo de 
viscosidade 100 X ID-' ít'/s fôsse usado nos testes do modêlo e se 
o líquido protótipo tivesse uma viscosidade de 800 X ID-' ft'/s? 
(e) Quais· seriam as relações de velocidade e de vazão· para êstes 
líquidos para uma escala de 1: 4 (modêlo-protótipo)? 
Solução: 
(a) Para esta situação os números de Reynolds e Froude devem ser sat.isfeitos 
simultâneamente. Igualaremos as relações de velocidades para cada número. 
Usando as informações dos problemas 19 e 20: 
(P/C..,.) = v'L;g;, uma vez ciue !Ir = l; Lr = Pl13• 
( 100 X 10_. )"'13 !. (b) Usando a relação de comprimentos acima, Lr = 800 X 10-. = ,. 
A . escala do modêlo é, p0rtanto, l : 4. 
(e) Usando as leis de modêlo de Froude (vide Problemas 18 e 19) 
Vr = -../L:; = YLr = Vi = } e, Qr = c..,.5/t = (l/4)$/2 = 1/32 
ou, usando as leis de Reynolds (vide Problema· 20) 
V, = ~ = 100/800 = l_ e 
L,. 1/4 2 
.,,, 
Q, = Ar V, = L,.1 X L; = Lr ,,, = 
= _.!_ (~) =..!_. 
4 .800 32 
CAP. 5 ANÁLISE DIMENSIONAL 103 
PROBLEMAS SUPLEMENTARES 
35. Verificar_ a expressão T = µ (dV/d:y), dimensionalmente. 
36. Mostrar que a energia cinética de um oorpo é igual a KMY2, usando 
os métodos de ~nálise dimensional. -
37. Usando métodos da análise dimensional, provar que a fôrça centrifuga 
é igual a KMV'-/r. 
38. Um corpo cai livremente da altura 11, a partir do repouso. Desenvolver 
uma equação para velocidade. -
- Resp.: V=- K vsg. 
39. Um ootpo cai livremente, a partir do repouso, durante um tempo T. 
Desenvolver uma equação para a velocidade. 
Rup.: V = Kg T. 
40. Desenvolver uma e:q>ressão para a Creqüência de um pêndulo simples, 
codsiderand<He que ela é uma função do comprimento e da massa do pêndulo, 
e da aceleração da graYidade. ' 
Resp.: KvfiL_ 
41. Considerando que o fluxo Q sabre uma barragem retangular varia 
diretamente com o comprimento L e é uma função da altura de carga H e da 
aceleração da gravidade g, estabelecer a fórmula para o fluxo na barragem. 
Resp.: Q = K L H a/t g1f1. - -
42. Desenvolver uma equação para a distância S, percorrida por um corpo 
em queda livre, considerando que a distância d,epende da vclocidad' inicial V, 
do tempo T e da aceleração da gravidade g. , 
Resp.: S = K V T (g T/V)/' 
43. F.stabelecer a expressão para o número de Froude, se êle é urna funçlo 
da velocidade V, da aceleração da gravidade g e do comprim1mtn f,, 
Resp.: Ny = K (V2/Lgt". 
44. F.st.abelecer a expressíio do número de Weber, se êle é urna função da 
velocidade V, da massa específica p, do comprimento L e da tensão superficial <T. 
Resp.: N.,, = K (p L V'-Jur-d. -
45. F.stabelecer um número adimensional, sabend()..jl8 que êle é uma função 
da aceleração da gravidade g, da tensão superficial <T, da viscosidade absoluta µ 
e da massa específica p. 
Resp.: Número = K(<T3 p/g µ4}tl. 
46. Considerando que a fôrça resistente de um navio é uma função da 
viscosidade absoluta µ e da massa específica do fluido p, da velocidade V,- da ace-
leração da gravidade g e do tamanho (fator de comprimento L} do navio, e8tabe-
lecer a fórmula da fôrça resistente. 
Resp.: Fôrça = K(Rg-0 Ny--tlp V1L7}.-
104 MECÂNICA DOS J'LUIDOS 
,1. Resolver o problema 9 incluindo o efeito da compressibilidade pela 
adição da variável celuülmk e, velocidade do_ som. 
Rup.: Fôrça .. K' R1r6 NM-. p A V2/2. 
48. Moatrar que, para orifícios geom~tricamente semelhantes, a relação 
de velocidades é essencialmente a raiz quadrada da relação de alturas de quede. 
49. Mostrar que as relações de tempos e de velocidades quando· a tensão 
superficial é a rarÇa domina~t.e. são: 
~ Pr Tr = Lr1 x-. ITr j-;- . e Yr = 1 L,.~ respectivamente., __ 
SO. Mostrar que as relações de tempos e de velocidades quando a elastici-
dade é a rarça dominante, são 
. Lr J& 
Tr = V E,/Pr e Yr = 1 p; re11pectivamente. 
51. .Um modêlo de um vertedo.r é construído. na escala 1 : 36. Se a velo-
cidade e a descarga do modêlo são 1,25 ft/s e 2,50 ftª/s respectivamente, quais 
serão os -valores com!Spondentes para o prot6tipo ? 
Rup.: 7,50 ft/s e 19 440 ftª/s. 
52. ·A que velocidade deverá ser testado, em um túnel aerodinâmico, um 
modêlo de asa de avião de 6 in de corda, de maneira que o :número de Reynolib 
seja o mesmo do protótipo, de 3 ft de corda,_ movendo-se a 90 ritph? O ar está 
sob pressão atmosférica no túnel aerodinâmico. 
Rup.: 540mpb. 
53. Um 6leo (v = 6,09 X 10~ ft2/s) escoa a 12,0 ft/s em um tubo de 6". 
A que velocidade deve a água a 600F correr em um tubQ de 12" a fim de que os 
números de Reynolds sejam iguais? 
Re•p.: 1,20 ftjs. 
5-!. Geso!ien a 60-F flue e 10,0 !t/s em um tubo de 1". Que diâmetro de 
tubo deverá ser usado para transportar água a 600F a 5,0 ft/s, a fim de que os nú-
meros de Reynolds sejam iguais il 
Resp.: 13,3". 
55. Água a 60-F escoa a 12,0 ft/sec em um tubo de 6". · Para que houvesse 
semelhança dinâmica {a) qual deveria ser a velocidade de um óleo médio a 90-F 
em um tubo de 12" il (6) Que diâmetro de tubo deveria ser usado se o óleo tivesse 
uma velocidade de 63,0 ft./s il 
Re•p.: 15,75 ft/s, d = 3,0 in. 
56. Um modêlo é testado em ar padrão (68°F = 2) a uma velocidade de 
90,0 ft/s. A que velocidade deveria ser testado quando completamente submerso 
~m água a 60-F em um tanque de provas para {)h~r condições de semelhança 
dfuâmica? 
Resp.: 6,8" ft./s. 
CAP. 5 ANÁLiSE DIMENSIONAL 105 
57. Um barco de s·12 ft de Õomprimento deve se deslocar a uma velocidade 
de 22,4ft/s. A que' velocidade deveria ser testad.o um modêlo geom~tricameníe. 
semelhànte de 8 ft de comprimento. 
Rup.: 2,80 ft/a. 
58. Que rarça seria exercida contra uma parde d'áfr'la se um modêlo 1 : 36 
que tivesse 3 ft de comprimento experimentasse a ação cie uma rarça de onde 
de 27 lb~ 
Rup.: 11 700 lb/fi. 
59. Um objet.o submerso é ancorado em água doé:e (600F = ) que escoa à 
velocidB.de 8,0 ft/s. A l'eSisúncia de um modêlo de 1 : 5 em um tWiel aerodinl-
mico em condições padrões é 4,5 lb. Que fôrça atuará no prot.ótipo sob condi-
ções de liemelhança dinamica ? 
Rup.: 21,7 lb~ 
.60. Para um escoamento com·viscosidade e pressão como rarças dominan-
tes, estabelecer uma expressão para relação de velocidades e para a relação de 
perdas de carga para modêlo e prot.6tipo. 
Rup.: Vr .,. Pr Ltfp.~ e LHr = · Vr p.,/tDr Lr. 
61. .Desenvolver uma relação paia o fator de· fricção J se este coeficiente 
depende do diilmetro do tubo d, da velocidade média V, da massa especifica do 
·nuido p, da viscosidade do . fluido p. e da rugosidade absoluta do tubo e. Use 
o teorema de Buckingham. 
Rup.: f = 9 (R.B, Efá). 
CAPÍTULO 6 
FUNDAMENTOS DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS 
lnt~o~ução. Do capítulo 1 ao 4 consideramos os fluidos em 
repouso, nos quais somente o pêso dos mesmos era a propriedade 
importante. Êste capítulo esboçará os conceitos adicionais neces-
sários ao estudo de escoaµiento de fluidos. O escoamento dos 
fluidos é complexo e ·nem 8empre sujeito à análise matemática 
exata. Diferentemente dos sólidos, os elementos de um fluido 
em escoamento podem possuir diferentes velocidades e podem estar 
sujeitos a· diferentes acelerações. Os três conceitos que se seguem 
são importantes: 
(a) o princípio daoonservação de massa, a partir do qual a 
equação da continuidade é desenvolvida; 
(b) o princípio da energia cinética, a partir do qual algumas 
equações são deduzidas, e 
(e) o princípio da quantidade movimento, a partir do qual 
as equações que determinam as fôrças dinâmicas exercidas pelos 
fluidos em escoamento, podem ser estabelecidas (vide Capítulos 
II e 12). 
Escoa1nento de fluidos: O escoamento de fluidos pode ser 
estável ou instável; uniforme ou não-uniforme; laminar ou turbu-
lento (Capítulo 7); uni, di ou tridimensional; e rotacional ou irrota-
cional. 
Realmente o escoamento unidimensional de um fluido incom-
pressível ocorre quando a direção e a intensidade da velocidade 
é a mesma para todos os pontos. Entretanto, aceita-se a análise 
de escoa.mento unidimensional quando uma única· grandeza é tomada 
ao longo do filête central e, quando as velocidades .e acelerações 
normais ao escoamento são desprezíveis. Em tais casos os valores 
médios da velocidade, da pressão e da altura são considerados 
como representantes do escoamento como um todo e, pequenas 
CAP. 6 FUNDAMENTOS DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS 107 
., ... " 
variações podem ser desprezadas. Por exemplo, o escoamento em 
tubulações curvas é analisado por meio· de princípios de esco~ineutos· 
unidimensional, apesar do fato de que a ~trutura é tridimensional 
e a veloeidade varia através das seções normais ao escoari1e11to. 
O escoamento bidimensional ocorre quando as partículas do fluido 
se movem em planos ou em planos paralelos e, suas trajetórias 
são idênticas em cada plano. 
Para uni fluido ideal, no qual não existe tensão cisalhante, 
e portanto não há torques, o movimento de partículas fluidas em 
tôrno de setis próprios centros de massa não pode existir. Tal 
escoamento ideal é chamado escoamento irrotacional e pod~ ser 
representado por uma rêde fluida. No capítulo 4, o . líquido em 
tanques rotativos ilustra o escoamento rotacional onde a velocidade 
de cada partícula varia diretamente com a distância ao centro 
de rotação. 
Escoamento permanente. Se em um ponto, a: velocidade 
de sucessivas partículas do fluido ~ a mesma em sucessivos es~ços 
de tempo, teremos o escoamento permanente. Assim, a velocidade 
é constante em relação ao tempo~ ou éJV/éJt = O; porém ela poderá 
variar de ponto a ponto, ou seja em relação à diStância. Esta 
afirmativa implica em que outras variáveis também deverão ser 
constantes e_m relação ao tempo: éJpféJt = O; éJpféJl = O; éJQ/éJl = O 
etc. As condições de escoamento permanente são comumentc 
encontradas em problemas práticos de engenharia, por exemplo: 
j tubulações transportando líquidos sob altura de. carga constante, 
'ou orifícios escoando à pressão constante etc. Êstes escoamentos 
. podem ser uniformes ou não-uniformes. / 
" --- - -- ---------- ---.. .~ 
A complexidade do escoamento variável está fora dos limites 
dêste livro de introdução à l\'Iecânica dos Fluidos. . O que caracte-
riza, o escoamento variáv~l é a variação de condições de ponto a 
ponto em relação ao tempo, assim éJ V/éJt ~ O etc. O problema 7 
desenvolve uma equação geral para escoamento variável e o ;capí-
tulo 9 apresentará· alguns problemas simples nos quais a pressão 
e. a vazão variam com o tempo. 
Escoamento uniforme. Quando a velocidade não varia em 
direção e intensidade de ponto a ponto , ou éJ V/éJs = O, temos um 
escoamento uniforme. Esta condição implica em que outras va-
riáveis do escoamento sejam constantes em relação à distância, ou 
éJy/éJs = O, éJpféJs = O; éJpféJs = O etc. Os escoamentos de líquidos 
108 MECÂNICA DOS J'LUIDOS 
sob· pressão em tubula~ longas de diâmetro constante, são 
uniformes quer sejam peimanentes ou não. 
Quando a velocidade, a profundidade, a pressão etc., variam 
ie ponto a ponto em um escoamento, êSte será não-uniforme. 
éJV/às ~ O etc. (vide Capitulo 10). 
Linhas de corrente. Linhas de corrente são curvas imagi-
nárias tomadas através do fluido para indicar a direção da velocidade 
em diversas seções do escoame:t;1.to no sistema fluido. Uiqa tangente 
à curva em qiialquer ·ponto representa a direção instaritânea da 
velocidade das partíOYlas fluidas naquele 'ponto. A direção média 
da velocidade pode ser representada do mesmo modo pelas tangentes 
à linha de corrente. Uma vez que o vetor velocidade tem uma 
componente nula normal à linha de corrente, é evidente que não 
poderá haver nenhum fluxo perpendicular às linhas de corrente 
em nenhum ponto. 
Tubos de corrente. Um tubo de corrente é um tubo imagi-
nárjo envolvido por um conjilnto de linhas de corrente, que deli_. 
mitam o escoamento. Se a seção do tubo de corrente fôr suficien-
temente pequena, a velocidade do. ponto médio de qualquer seção 
poderá ser tomada como a velocidade média para. a seção. O tubo 
de corrente será usado para a dedução da equação de continuidade 
para escoamento permanente unidimensional de fluido incompres-
sível {Problema 1). 
N.T. - Desde que a "parede" do tubo consista de linhas de corrente não poderá 
haver fluxo de líquido através dela. 
Equação de continuidade. A equação de continuidade re-
sulta do princípio de conservação de massa. Para o es.!!oamento 
permanente a massa de fluido que passa por tôdas as seções de uma 
corrente de fluido por unidade de tempo é a mesma. Isto pode 
ser escrito: 
(1) 
ou 
Wi Ai Vi = w:r A:r V2 (em kg/s ou lb/sec). (2) 
'• 
Para fluidos incompreensfveis onde wi = w2, pràticamente, 
temos 
CAP~ 6 FUNDAltENTOS DE. BSCOAMENTO DOS FLUIDOS . 109 
onde A1 e Vi são respectivamente a seção reta em m2 (ou ft2) e a 
velocidade médiit da corrente em m/s (ou ·Ít/sec) na Seção 1, com 
os têrmos semelhantes para a seção 2. (vide Problema 1). As 
unidades de vazão comumenté são m'/s, m1/h, l/min e l/h. Em 
unidades inglêsas encontramos cfs (cubic feet/second ou ft1/sec), 
galão por minuto (gpm) e milhão de galões por dia (mgd) usados 
em abastécimenfo de água. A equação de coôtinuidade para es-
coamento permãnente, bidimensional, de fluido incompressível é: 
(4) 
onde os têrmos A,. representam áreas normais. aos respectivos 
vetores;..velocidade (vide Probiema 10 e 11). 
A equação de continuidade para escoamento tridimensional é 
deduzida no Problema 7, para escoamentos permanente e variável. 
A equação geral é reduzida para as condições de escoamento 
permanente para escoamentos bi e unidimensionais também. 
Rêdes fluidas. São desenhadas para indicar <::onfigurações 
fluidas para escoamentos bi, ou àté mesmo, tridimensionais. A 
rêde consiste de (a) um sistema de linhas de correntes de tal modo 
espaçadas, que a quantidade de fluxo q é a mesma entre cada par 
sucessivo de linhas; e (b) outro sistema de linhas normais às linhas 
de corrente e de tal modo espaçadas que a _distância entre as linhas 
normais é igual à distância entre as linhas de corrente adjacentes. 
Um número i.nimito de linhas de corrente é necessário para 
1
confi-
gurar completamente o escoamento sob dadas condições-limites. 
Entretanto, é usual tomar-se um pequeno _número de tais linhas 
de conrentes, desde ·que seja alcançada uma precisão aceitável. 
Conquanto a técnica do desenho de rêdes esteja fora dos limites 
introdutórios à Mecânica dos Fluidos, a importância das mesmas 
será considerada (vide Problemas 13 e 14). Depois de se ter obtido 
uma rêde fluida para uma configuração particular, ela .pode ser 
usada para todos os outros escoamentós irrotacionais, desde, que 
as configurações sejam geomeíricamente semelhantes. 
Equação da energia. A equação da energia resulta da 
aplicação do princípio de conservação de energia ao escoamento. 
A ener~~ia que um fluido em escoamento possui é oomposta da 
energia interna e das energias devidas à pre~o. à velocidade e 
f p-;~iÇão. Na direção do escoamento, o princípio da energia é 
sintetizado por uma equação geral, como segue: 
110 MECÂNICA.DOS FLU,IDOS 
( Energia · )-· ( Ene,rgia ) ( Energia ) -na Seção 1 + Adicionada - Perdid~ "".'.'._ 
- . . / 
· · { Energia ) ( Energia ') /. ·, 
• - Retirada . = . na Seçã~ 2 - · '·e~ 
Esta equação para escoamento permanen~ de flriid9s. incom-
pressíveis, nos quais a variação de energia ·interna é desprezível 
simplifica-se: 
tp 1 l-'1 2 · ) (Pz V22 ) ~ + -2 + Z1 + HA - HL - Hg = - + -2- + Zt • . w; g w g (5) 
Esta . equação é conhecida como o teorema de Bernoulli. No 
problema 20 acharemos a ·dedução- da equação 5 e sua modifi-
cação para fluidos compressíveis. 
As unidades .usadas são kg · m/kg de fluido ou metro do fluido· 
No sisteina inglês (ft Jb/lb) de fluido ou ft de- fluido. Esta equação 
é pràticamente a base da solução para os problemas de escoamentos 
de líquidos. Escoamentos de gases, muitas vêzes, envolvem prin-
cípios de termodinâmica e transferênda de calor, assuntos êstes 
que . fogem aos objetivos dêste livro. . 
Taquicarga. A taquicarga ou altura cinética ou ainda pressão 
cinética ou de velocidade, representa a energia cinética por unidade 
de pêso que existe em um ponto particular. Se a velocidade em 
uma seção 'reta fôsse uniforme, então a taquicarga calculada com 
esta velocidade uniforme ou média, seria ·a ve_rdadeira energia ciné-
tica por unidade de pêso do fluido. Mas, em geral, a distribuição 
de velocidade não é uniforme. Encontraremos a energia cinética 
rt:a.l a.tra.v~ da. iutt:gra.!tãu de linha de corrente à linha de corrente, 
da difer~ncial das energias cinéticas (vide Problema 16). O fator 
de ci>rreção a da energia cinética, a ser aplicado ao têrmo V!êdio/2g, 
é dado pela expressão: 
onde: 
1" = velocidade média na seção reta, 
iJ =velocidade de um ponto qualquer da seção, 
A =área da seção. 
(6) 
Indicações: para distribuição uniforme de velocidade a = 1,0; 
para escoamentos turbulentos a = 1,02 a 1,15; para escoamento 
CAP. 6 FUNDUlENTOS DE ESCOAl'olEN'l'O DOS FLUIDOS 111 
laminar a= 2,0. Uma vez que a taquicarga é uma pequena per-
centagem de energia total, em geral a é t.omado igual ·a 1;0, sem 
êrro -oon~iderável no resultado. . 
Aplicação do teorema de Bernoulli. A. aplicaÇão deve ser h>\ ~istemática e racional. ~ seguinte procediment.O é sugerido: 
! . · \ '\ (1) Desenhar um esbôço do sistema, escolhendo e identificando 
' . \~ tôdas as seções do escoamento em estudo. 
,. (2) Aplicar a equação de Bernoulli na direção do escoamento. 
\ t~~ 
Designar um plano de referência para cada equação es-
crita. Os sinais negativos devem ser evitados e reduziremos 
assim a possibilidade de erros. 
Ca1cular a energia a montante da Seção 1. A energia 
deve ser em kg· m/kg que se reduz -a metros (ou pés) 
de fluido. Pa"°a líquidos a energia de pressão pode ser 
expressa em unidades manométricas :Ou absolutas. Ali 
unidades manométricas são mais simples pàra líqui~os 
e serão usadas ao longo dêste livro. Unidades de pressão 
absoluta serão usadas quando o pêso específico w não 
fôr constante. Como na equação de ooqtinuidade, V1 é 
considerada como a velocidade média na seção, sem perda 
apreciável de precisão. 
\ 
\ 
\ 
(1) Adicionar, em metros (ou pés) do fluido, qualquer energia 
fornecida por dispositivos mecânicos, tais como bombas . 
• 1 (5) Subtrair, em metros (ou pés) do fluido, qualquer perda 
de energia durante o escoamento. 
(6) Subtrair,. em metros (ou pés) do.fluido, qualqÚer energia 
extraíd; por dispositivos mecâoicos, tais como turbinas. 
(7) Igualar êste somatório de energias à. soma das energias 
de pressão, de velocidade e de elevação na Seção 2. 
(8) Se as duas taquicargas são desconhecidas, relacioná-las 
entre si por meio da equação da continuidade . 
. 
Linha energética. A linha energética é uma representação 
gráfica da energia em cada seção. A energia total (como um valor 
linear em metros ou pés de fluido), em relação a um plano de refe-. 
rência, pode ser determinado para cada seção representativa e, a 
linha assim obtida é de grande valia na resolução de problemas de 
escoamentos. A liµha energética se inclinará na direção do escoa-
mento, exceto onde por meio de dispositivos mecânicos, houver 
adição de energia. 
112 MECÂNICA DOS FLUID03 
iinha piezomêtrica. A lin4a piezométrica se situ~ · abaixo 
de linha energética de uma distância igual a presrão Cinética ou 
taquicarga para cada .seção considerada. As duas linhas· são para-
lelas para tôdas as seções de áreas iguais. A ordenada entre o 
centro do escoamento e a linha piezométrica é a . piezocarga na 
seção. 
Potência. A potência é calculada pela multiplicação do nú-
mero de kg de fluido em escoamento por segundo (w Q) pela energia 
H em kg · m/kg. 
Potência P = w Q H = kg/m3 X m3/s X m ·kg/kg= kg· m/s. 
Potência ct1 = w Q H/15. 
Em unidades inglêsas: P = lb/ft3 X ft3/s X ft · lb/lb = lb · ft/s 
HB = w Q H/550. 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
Fig. 6-1 
1. Desenvolver a equa-
ção de continuidade para es-
coamento permanente de (a) 
um fluido compressível e (b) 
um fluido incompressível. 
Solução: 
{a) Consideremos o fluxo atra-
vés de um tubo de corrente nas 
quais as Seções 1 e 2 são normais 
às linhas de corrent.e que compõem 
o tubo. Para valores da massa es-
pecífica P1 e veloci41ade normal Vi. 
a .waSl!ll por wiidade de U.mpo que pit>lllll na Seç~o l é P1 Vi dA, uma vez que 
Vi dAi é o volume por unidade de tempo. Semelhantemeote, P! V2 dA2 é a 
massa que passa pela Seção 2. Considerando que para o escoament.o permà-
nent.e a massa é constante em relação ao tempo, e que nenhum fluxo atraves-
sará o tubo de corrente, a massa através do tubo de corrente é constante. Assim: 
(A) 
As massas es~üu:as Pi e P2 são constantes para qualquer seção dA, e as 
.velocidades Vi e V2 representam as velocidades do tubo de correntes às Seções 
l e 2 respectivamente. Então: 
' Pi_ Vi 1. dA1 = P2 ~2;;,2~A2 . 
. Integrando, 
(B) 
CAP. 6 FUNDUIENTOS DE F.SCOAHENTO DOS FLUIDOS ll3 
(b) Para fiuidos incomp~(veia (e para alguns. casos de compreuíveis). 
a musa eapecír~te ou P1 "" "2· P.ortantó: · . 
Q = A1 Y1 • Ai V1 ... constante (m1/s). (C) 
Assim a vazio é constante ao longo de um coajunto de. tubos de correu.. A 
velocidade média na seção, pode ser usada em muitos C8808, nas equações de 
continuidade .(B) e (C). · 
2. Quando 1800 l/min escoam através de um tubo de 200 mm 
de diâmetro, que mais ~rde é reduzido para 100 mm, quais serio 
as velocidades médias nos dois tubos ? 
Solução: 
1800 -Q = 60' l/s X 10 1 m3/s = 0,030 m1/s, 
v; Q (m3/s) Q,030 0,030 
200 = A (m:t) = t 11" (0.2)' . = 0,955 m/s; V100 = l 1r (O,l)2 = 3,82 m/s. 
3. Se a velocidade em um tubo de 350 mm de. diâmetro é 
de 0,5 m/~. qual será a velocidade em um jato de 70 mm de diâmetro 
saindo de um bocal fü:ado ao tubo ? 
.Solução1 
Q = Aaao Vaao = A10 V10, ou uma vez que as áreas variam com l:P; 
(0,350)2 Yaoo = (O,o7)2 Vio. 
Então: 
Y.,o = (0,35/0,07)2 V3IO = 25 X 0,5 m/s = 12,5 m/s. 
4. Em um tubo de 150 mm escoa ar sob uma pressão mano-
métiica de 2 kg/cm2 e uma temperatura de 27°C •. Se a pressão 
barométrica fôr de 1 kg/cm2 e a velocidade fôr de 3 m/s, quantos 
quilos de ar por segundo estarão es<'.oa.ndo ? 
Solução: 
A lei dos gases requer unidades absolutas para pressão e temperatura. Assim: 
p (2 + 1) X 104 3 X 104 1 
taar = RT = 29,3 (273 + 27) = 29,3 X 300 "" 3•41 kg/m' 
on~e R"' 29,3 para o~. da Tabela 1 no Apêndice. 
W em kg/s = wQ = t0A110 V llO = 3,41.kg/m3 X l 11" (0,15)' m2 X 3 m/s = 
= 0,181 kg/s. 
5. Dióxido de carbono passa pelo ponto A em um tubo de 
80 mm de diâmetro a uma velocidade de 4 m/s. A pressão em A 
é de 2 kg/cm2 e a temperatura é de 200C. No ponto B à jusante 
a pressão é de 1,4 kg/cm2 e a temperatura é de 300C. Para uma lei-
114 MECÂNICA. DOS FLUIDOS 
tura barométrica de 1 kg/cm2, calcular a velocidade em B e 
comparar a vazão em· Ae B. O valor de R para o dióxido de 
carbono é 19,2 da tabela 1 no Apêndice. 
Solução: 
PA · 3 X lo' 2 4. X 104 
WA = RT = 19,2 X 293 = 5,33 kg/mª; WB = l~,2 X 303 = 4,13 kg/mª. 
(a) W em kg/s = WA ÂA VA = WBÂB VB. Mas ÂA = BB, então: 
WA VA = WB Ys = 5,33 X 4 = 4,13 VB e Vs = 5,16m/s. 
(b) A vazão em kg/sé constante, porém os fiuxos em m1/s serio diferentes 
em virtude do pêso específico não ser constante. · 
QA = ÂA VA = t 1r (0,08)% X 4 = 0,021 m1/s; QB = ÂB VB = ! 7r (0,08)2 X 
X 5,16 = 0.026 m1/s. 
@ Qual o menor diâmetro de tubo necessário para transportar 
0,3 kg/s de ar com uma velocidade máxima de 6 ro/s ? O ar está 
a 27"C e sob uma pressão de 2,4 kg/cm2 (absoluta). 
Sol11ção: 
p 2,4 X 104 I 1 
War = RT = 29,3 (273 + 27) '= 2,73 kg m, 
W = 0,300 kg/s = wQ .. Q w 0,3 ª' ou = - = -- = o,um,s. 
w 2,73 
Ãrea mínima necessária A = vazão Q mª/s = O,ll = 0,1832 m2• 
velocidade média V 6 
Portanto, diâmetro mínimo = 0,153 m ou 153 mm. 
7. Desenvolver a equação geral da continuidade para escoa-
mento tridimensional de ·um fluido compressível (a) para escoa-
mento variável e (b) para escoaménto permanente. 
Fig. 6-2 
pu(dy d:) + 
a + h(pudydz)dz 
CAP. 6 FU~D.UIEl\'TOS DE FSCOAMENTO DOS FLUIDOS 115 
Solução: 
(a) 'Fixemos as componentes da velocidade n..S direções z, y e z 'como u, 11 
e tO respedirninente •. Consideremos o fluxo através do paralelepÍ~Q elementar 
dz, dy, dt. A massa de Cluido que escoa na direção de uma face·dêste volume 
na unidade de tempo é qual à mussa específica vê:r.es a velocidade. normal à "face,· 
v@:r.es a seção reta, ou. nu direção :r; pu (dy dz). Na direção z, ós fiuxâ!i s~o apro-
ximadamente (vide Fig 6-2). 
Flux~ a mont.'inte pu (dy dz) e fiuxo a jusante pu (dy dz) + :z. (pu dy. dz) dz. 
A diferença entre êsses fiuxos é . - :z (pu dy dz) dz ou - ::r (pu dz dy dz)~ 
8" escrevermos expressões .semelhantes para o fiuxo resultante nas direções y e z, 
e' somarmos êstes valores, n6s obteremos: 
Estas grandezas tornam-se mais precisas, conforme dz, dy e dz tendem a 21ero. 
A real MriaçOO de massa den~ro do paralelepípedo é: 
a Jp 
Tt (pd:r dy dt) ou Tt(dz dy dz), 
onde ap/at é a variação da massa ·específica no volume elementar em relação ao 
tempo. Uma vez que o fiuxo resultante é igual à variação de massa n6s obtemos:· 
[ a a a 1 ap - az pu + ay Pll + a; pw dz dy dr; ~ ãi' (dz dy dz). 
1 
Assim a equação da continuidade para escoamento tridimensional variável 
de fiuido compressfrcl transforma-se em: 
[
a a a ]. ap 
- -pu+-po+-pw =-· 
az ay ª% at (A) 
(b) Para escoantento permanente; as propriedades do fiuido nã~ variam 
com o tempo, ou ap/at = O. ~ equação de continuidade para escoamento per-
manente de Cluido compressível, será então: 
, (B) 
Além disso, para escoamento permanente o fluido incompressível (p = cons-
tante) a equação tridimensional se transforma em: 
ªª ª" ª'° éJ:r + éJy + éJz ~ O. (C) 
Se éJw/éJz =.O, o escoamento permanente é bidimensional e: 
ªª ao ál: + éJy =O. (D) 
116 ME~ICA. DOS FLUIDOS 
-Se awtaz = O e aotay = O o escoamento permanente ~ unidimensional e 
teremos: 
au 
az =o. 
F.sta F.quaçilo (E) representa o escoamento uniforme. 
8. Verificar st: a equação da continuidade para fluido incom-
pressível em escoamento permanente, é satil!feita quando as com-
ponentes da velocidade são expressas por: 
u = 2x2 - xy + z2; v = x2 - 4 xy + y 2 e w = - 2 xy - yz + y 2• 
Solução, 
Diferenciando cada componente em· relação à dimensão apropriada 
au1az = 4z - r. ª"'ªy = - 4z + 2y; ª"''ª' = - y. 
Substituindo na equação (C) acima, (4z - y) + ( - 4z + 2y) + ( - y) ~ O. 
Satisfaz. 
9. Para um escoamento permanente de fluido incompressível 
as componentes da velocidade são dadas por: µ = (2 x - 3 y)t; 
v = (x - 2y)t e w = O. Verificar se a equação da continuidade 
é satisfeita. 
Solução: 
Diferenciando cada componente em relação à dimensão apropriada. 
Substituindo em (C) do Problema 7, resulta nula a soma das componentes. 
Satisfaz. 
10. Para escoamento permanente de fluido incompressível, 
serão possíveis os valores u e v abaixo ? 
(a) u = 4xy + y 2; ri = 6 xy + 3x, 
(b) u = 2 x2 + y 2; ri = - 4 xy. 
Solução: 
A equação (D) do Problema 1 deve ser satisfeita para o escoamento bidimen-
sional indicado. 
(a) iJujiJz = 4y, Õv/Õy = 6z, 4y + 6z ?! O • 
F.scoament.o impossível. 
(b) au1az = 4z, ª"'ªy = - ü, 4z - 4z = o. 
F.scoamento possivel. 
CAP. 6 FUNDAMENTOS DE ESCOA:r.tL'\TO DOS FLUIDOS 117 
11. Um fluido escoa entre duas placas convergentes que têm 
400 mm de largura, e· a velocidade varià de acôrdo com a expressão 
-" = 2 .!!._ (1 - ....!!... )' • 
llmu no no 
o 
Para valores de na = 50 mm e 
"""'" = 3 m/s df.lterminar (a) o 
fluxo total em m3/s, (b) a ve-
locidade média . para a seção, 
e (e) a velocidade média para 
uma seção onde n = 20 mm. Fig. 6-3 
Solução: 
(a) A vazio/unidade de largura perpendicular ao papel é: 
q =- .r. 11 dn =- 2 llm&x .r. (n - n'!./no) dn = ..!._ llJDax 1lo =-
no 0 3 
= O,OS m3/a por metro de largura e o fluxo total Q = 0,05 X 0,4 = 0,020 m1/s. 
(6) A velocidade média Vo = q/no = 0,05/0,05 =- 1 m/s ou Vo = Q/A = 
=- 1 m/s. 
(e) Usundo a equação (4), Vo A,.o = V1 A,.1; 1 X 0,05 X 0,4 =-
= Vi (0,02) (0,4); V1 = 2,5 m/s. 
12. Se as intensidades e as direções das velocid~des são 
medidas em. um plano vertical YY a distâncias separadas de Ây, 
mostra que o fluxo q por" unidade de largura pode ser expresso 
por l:v2 Ây 
X 
(b) 
Fig. 6-4 
118 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Soluçíio: 
Fluxo por unid1ide de largura =·q = l: il.q, onde ca.da il.q pode ser expresso 
cómo 11 (il.A,.). 
Da Fig. 6-4(b); A'B' = il.A,. = il.y cosa. Então q = l: 11 (il.y OOlra); q = 
= l:11,. il.y/unidade de largura. 
13. (a) Esboçar um processo para desenhar a rêde fluida para 
escoamento. bidimensional permanente de um fluido ideal entre 
os .limites indicados na Fig. 6-5. 
(b) Se as velocidades uniformes na Seção 2 são 30 ft/sec e os 
. valores de .1.n2 são 0,10 Ct cada um, determinar a vazão q e a velo-
cidade uniforme à Seção l, onde os valores de .1.n1 são 0,3 ft. 
Fig. 6-5 
Solução: 
(a) O processo de preparação da rêde para êste caso pode ser aplicado a 
casos mais complexos. Para um fluido ideal procedemos da seguinte maneira: 
1. Dividimos o fluxo. em uma seção reta entre as camadas limites, em um 
número de faixas de ig!J!!is larguras il.n (usando uma unidade de espessura perpen-
dicular ao papel). Cada faixa representa um tubo de corrente limitado por linhas 
de corrente ou por umà linha de corrente e uma parede. O fluxo entre as paredes 
é igu11imente dividido entre os tubos e llq :::::::'. »(/ln) = constante onde il.n é medido 
normalmente à velocidade .local. Uma vez que: . 
entiio: 
A. relação se torna mais precisa quanto menores forem os valores de /ln e 11S. 
Um número suficiente de linhas de corrente deve ser escolhido de modo que 
alcancemos uma precisão aeei&ável, sem desnecessários refinamentos e detalhes. 
2, A fim de estimar a dinçiío das linhas de corrent.e são desenhadas linhas 
normais ou eqüipotenciais. Estas linhas estão espaçadas de tal modo que llS = 
= il.n. ~ linhas eqüipot.eoáâis devem ser perpendiculares às linhas de corrente 
em cada interseção e às paredes, uma vez que as paredes são linhas de corrente. 
Assim, o diagrama parecerá wn grup0 de quadrados (aproximadamente) ao longo 
de tôda a rêde. 
CAP. 6 FUNDAMENTOS DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS 119 
3. Variações no contôrno do tubo de corrente ou nas proximidades impos-
sibilitam o traçado de bons quadrados. Modifibações no esbôço inicial serão 
necessárias, e uma veriCicação útil será desenhar linhas aiagonais em todos os 
"quadrados". Estas diagonais, traçadas em ambas ·as ~. formariam 
·também quadrados aproximados. 
4. .Ns paredes, por si s6, usualmenterepresentam linhas de oorrente. Se 
'lSSim não Côsse, a rêde Guida não representaria a verdadeira comiguração do 
es~mento. Por exemplo, onde o escoamento se separa da . parede, a parede 
.p<ir si s6 nesta região não pode ser usada como uma linha de corrente.: Em geral, 
onde ocorrem escoamentos divergentes, . zonas de separação podem ser desen-
volvidas. 
Soluções matemáticas para escoamento irrotacionais são baseados na defi-
nição da f~rrenle, cuja definição inclui o princípio da continuidade e ns 
propriedades de uma linha de corrente. A vazão 1/1 de uma linha· de corrente 
é 'uma constante (uma vez que nenhua.i fluxo poderá atni.vessar a veia fluida), 
e se 1/1 pode ser estabelecido como uma função z e y, a linha de corrente (veia) 
pode ser "traçada". Semelhantemente, as linhas eqüipotenciais podem ser 
definidas como 4' (z, y) = constante. Destas expressões n68 podemos deduzir 
que u = iJl/l/iJy e· ' = - iJl/l/iJz para linhas de corrente e u. = - iJ4'/iJz e. 
' .,. - iJ4'/dy para linhas eqüipotenciais. · · · · · 
Estas equações devem satisfazer a equação ·de :Laplace,_ isto é; 
iJ!.i/I iJt.,/I azq, azq, 
iJzZ + iJyZ = 0 OU iJz!- + ôy2 = 0, 
- d • ·dad iJu + a, O e a equaçao e oontinUl e ·az iJy = · 
Em geral, as funções eqüipotenciais são determinadas e traçadas em gráficos. 
Então as linhas de corrente ortogonais são verificadas para indicar o flu_xor Estas 
soluções exatas são apresentadas em textoa de Mecânica dos Fluidos Avançada, 
Hidrodinâmica e Variáveis Complexas. 
(b) Fluxo/unidade de largura 
q = :?; Aq = q,. + qb + qc + qd + q. = 5 (tz) (A,..) . 
.Para largura unitária, 
A,.. = 1 (.ân,,) e q = 5 (30) (1 X 0,1); q = 15 ft3/unid. largura. 
Então para Ãn, = 0,30 ft, 5 111 (0,30 X 1) = 15 ou •1 = 10 ft/s, 111 pode também 
ser encontrado, a partir de: 
11Jo. '.'.:::: .ân,/.ân,, 11J30 '.'.:::: 0,1/0,3; 11, '.'.:::: 10 ft/s. 
14. Esboçar as linhas de corrente e as linhas eqüipotenciaif 
para as configurações indicadas na Fig. 6-6. (A área não marcada 
é reservadá, para uso do leitor.) 
Solução: 
1. Dividir c!ada largura em 4 partes iguais ou tubos de corrente onde o 
escoamento ocorre entre paredes paralelas (em AA e BB). Tentar configurar 
o caminho de uma partícula ao longo .de uma dessas linhas de corrente, esboçar· 
120 HEC1NJCA DOS FLUIDOS 
a linha 1-1, por exemplo (vide problema anterior). Proceder do mesmo modo 
para as outras duas liobas de corrente. 
A 
A B 
Fig. 6-6 
2. As linhas eqilipotenciais devem ser. pel'}lendiculares às linhas de corrente 
em todos os pontos e também às paredes. Elas deveriam ser localizadas de tal 
modo a formarem quadrados aproximados. Iniciando da seção central esboçar 
estas linhas ortogonais em cada direção. O uso freqüente de borracha será ne-
cessário antes da obtenção, de uma rêde fluida satisfatória. 
3. Desenhar diagonais (linhas tracejadas) para verificar a perfeiçã" do 
traçado da rêde. Estas diagonais deveriam formar quadrados. 
4. No esquema acima, a área C foi dividida em 8 tubos de oorrente. Verifi-
camos que as formações menores se aproximam mais da configuração de quadrados 
do que a maioria. Quanto maior fôr o número de linhas de corrente, melhores 
serão os "quadrados" obtidos. 
IS. A Fig. 6-7 apresenta uma linha de corrente para escoa-
ment.o bidimensional e suas linhas eqüipotenciais anotadas de 1 
a 10, cada qual normal à linha de corrente. O espaço entre ·as 
linhas eqüipotenciais é dado na segunda coluna da tabela abaixo. 
Se a velocidade_ média entre l e 2 é 0,50 ft/sec, calcular (a) as 
velocidades médias das linhas de corrente .entre cada linha eqüi-
potenciai e ttJ) o tempo que levará uma partícula para se mover 
de 1 a 10 ao longo da linha de corrente. 
1 
Fig. 6--7 
Solução: 
(a) Considerando a relação entre velocidade e .ó.n no Problema 13, 
V~ Aia.-, = V,..., "1n,-J = ... 
.CAP. 6 FUNDAMENTOS DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS · 121 
Também . l!JS.-. ::::'. ~..... AS,-1 = An.-1 ... 
Assim V .-1 ::::'. V,., (tlSr-./tlS,-1) = 0,5 (0,5/IJ,4) = 0,625 Ct/&ec. 
Semelhante!llente, V r• - 0,5 (0,5/0,3) = 0,83 ft/&ec et.c. Os vatOres aio ta-
beladoe a seguir: 
Posição tlS (ft) 
1 
AS1-,/tlS 1 
V = 0,5 (0,5) , . 
ASCt/s t = (tlS}/V• 
1-2 0,500 1,000 0,500 1,000 
2-3 MOO 1,250 0,625 0,640 
34 0,300 1,667 0,833 0,360 
4-5 0,200 2,500 1,250 0,160 
H 0,100 5,000 2,500 0,040 
6--7 0,0700 7,B3 .3,571 0,020. 
7-8 O,O-t50 11,ll 5,56 0,008 
8-9 0,0300 16,67 8,33 0,004 
9-ln 0,0208 2-UO 12,00 0,002 
~ = 2,234seg 
(b) O t.empo de percurso entre 1 e 2 é iguol à distancia 1 a 2 dividida pela 
velocidade média de 1 a 2, ou t.-, = (0,500/0,500) = 1 segundo. I~lmente, 
i,-1 = 0,400/0,625 = 0,6-iO segundos. O tempo totol do percurso 1-10 ó a soma 
doe valores da última coluna, 2,23-1 segundos. 
16. Deduzir a expressão para o fator de correção da energia 
cinética para escoamento permauente de fluido incompressível. 
Solução: 
A energia cinética real de uma partícula é ! dM r?, e assim para um e>coamento 
fluido a energia cinética total é, 
1 1 , rw w r 
- (dM)"' =; j - (dQ)u~ = -1 (udA)u2• 2 A • A g 2g A . 
Para calcular esta expressão devemos integrá-la ao longo da área A. A 
energia cinética calculada por meio da veloddade média em uma seção é j (w Q/g) 
v!_ed = ! {w A/g) v!ec1· Aplicando o fator a· à esta expressão e comparando-a 
à verdadeira energia cinética, nós obtemos: 
17. Um líquido escoa atravé.s de um tubo circular. Para 
uma distribuição de velocidades satisfazendo a equação v = Vmu 
(r.2 - r2)/r_'1., determinar o fat.or a de oorreç.ão da energia ciné-
tica~ 
122 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Solução: 
Calculemos a velocidade média de modo que a equação do Problema 16 possa 
ser utilizada. Da equação de continuidade: 
Ymcci = !1.. = f,, dA ,,,; · f(•nu:.r.fr.2) (r.2 - r) (211"r dr) 
A. 'll"ro2 . 7rro2 
= ~x (r0 2 r - i') dr = 11rnaz/2. 2 1'º 
r. o 
dA® dr r 
.,.., 
(a) (b) 
Fig. 6-8 
&te valor também poderia ser obtido CODSideJ1llldo-se que a equação dada 
representa uma pará~la e que o volume do parabol6ide gerado é a metade do 
volume do cilindro circunscrito. Assim: 
volume/segundo i (rr0") 11Jnax flmax 
Vmed = , _. Lc.. = · 2 = --. 
area ue ""se 7rr0 2 
Usando o valor da velocidade média na equaçfo para a, 
( )
3· fº[ 2 -• ·2]3 a = ..!.. J -"- dA = ~ tl!nax ~· - r)/r. 27rr dr "" 2,0. 
A A V med 'll"ro 0 :.i 1IJnax 
(Vide Escoamento Laminar no Capítulo 7.) 
· 18. Um óleo de densidade 0,750 está se escoando através 
de urn tubo de 150 m111: de diâmetre sob u~a pressão de 1 kg/cm2 • 
Se a energia total relativa a um plano' a 2,4 m ahah:o da linha de 
centro do tubo é 18 kgm/kg, determinar a vazão do óleo em m3/s. 
Solução: 
Energia por kg de óleo = ( end~gia ) + ( .end:gia ) + ( end:gia ) , 
pressão velocidade posição 
l X 1«>4 V21&0 . · 
18 = lOª X 0,75 + ~ + 2,4; donde J'.uo = 6,7 m/!'. 
Assim, Q = A150 Vi&0 = l 7r (0,150)2 X 6,7 = 0,120 m3/s. 
CAP. 6 FUNDAMENTOS DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS. 123 
19. Uma turbina gera 600 hp quando o fluxo .de água atrav~ 
dela é de 0,6 mª/s. Considerando uma e.ficiência de 813; qual 
será a altura de carga que atua na turbina? 
Solução: 
Potência utilizada =potência extraída X eficiência = (wQHr/15) X eficiência 
600 = (103 X 0,6 X Hr/15) (0,87) e Hr = 86,2 m. 
20. Deduza as equações de movimento para escoamento per-
manente de um ·fluido qualquer. 
Fig. 6-9(a) Fig. 6-9(b) 
Solução: 
Consideremos como um corpo livre a massa elementar dM de um fluido • 
. indicada na Fig. 6-9 (a) e (b). O movimento se efetua no plano do papel e a direção 
do eixo dos XX é a mesma do movimento. As fôrças normais à direção do movi-
mento não aparecem atuando sôbre o CÔrpo ·livre dM. As fôrças que ,atuam 
na direção X são devidas (1) às pressões que. atuam nas áreas limites, (2) à 
componente do pêso e (3) às fôrças resultantes (dFsem kg) exercidas pelas 
partículas fluidas adjacentes. Da equação 'I.Fz: = Ma,., nós obtemos, 
[ 1- P d.1 - (p + dp} d.1 - ::: d.1 :!! se:: f1s - :!F.! = w d: dl ( ~~ ). . {l} 
Dividindo (1) por w dA e substituindo dl/dt pela velocidade V, 
[ J!_ _ J!_ _ dp _ dlsenBz: _ dFa J = VdV. w w w wdA g (2) 
O têrmo (dFa /wdA) representa a resistência do escoamento no comprimento 
dl. .As fôrças cisalhantes dFs podem ser substituídas pela tensão cisalbante T , 
vêzes a área sôbre a qual ela a'tua (perfmetro X comprimento), ou: 
dF. = TdPdl. 
Então: 
dF. T d Pdl T dl 
~ = wdA = wR' 
124 KEÇÂNICA DOS FLUIDOS 
onde R é chamado raio hidráulico, que é dormido como a relação entre a área 
da seção reta e o perímetro molhado ou, neste caso, dA/dP. A soma de tadaa as 
f&ças cisalbantes é a medida da energia perdida devida ao escoamento, e em 
kg m/kg (ou ft lb/lb) é: 
.,. dl 
perda de carga dhL ~ wR 
Para considerações futuras: 
kg/m2 X m 
kg/m3 X m2/m 
( dhL) T-wR dt. 
=m. 
(3) 
RetornandCI à Exprellllâo (2), uma vez que dl sen 8~ = dz, ela poderá ser es-
crita na forma final como: 
dp + VdV +dz +dhL =O. 
tD g 
(4) 
Esta expressão é conhecida como equação de Euler, quando aplicada a um 
fluido ideal (perda de carp nula). Quando é integrada para fluidos de massa 
específica oonstante, é coDbecida como equação de Bernoulli. A equação 
diferencial (4) para escoamento permanente é umil equação fundamental do 
escoamentO fluido. 
CASO 1. Escoamento de Fluidos lncompressiveis 
Para fluidos incomprea&eis, a integração é simpl8ll, como segue: 
11'• ? + (y• V dV + r dz + 12 dhL = O. JJt ,Jv. g Í:, 1 (A) 
A determinação do último ~rmo será discutida no capitulo seguinte. A perda 
de carga total será chamada: HL. .Integrando e substituindo pelos limites, 
(p,jw - pJÍtD) + (Vi2/2g - Vi2/2g) + (.z2 - z1) + HL = O, 
( PI V12 ) {P2 Vi
2 \ 
,-;;- + '2g + 711 - H:, = \-;; + 2;g + z2}• 
que é a forma usual em que o teorema de Bernoulli é aplicado ao escoamento 
de fluidos incompressíveis {sem adição de energia externa). 
CASO 2. Escoamento de Fluidos Compressíveis 
Para fluidos compressíveis, o têrmo J: dp não pode ser integrado Até 
l'l ID 
que w l!eja expresso em •mos da variável p. A relação entre w e p dependerá 
das condições termodinâmicas implicadas. 
(a) Para condições úalérmú:as (temperatura constante), a lei geral dos 
gases pode ser assim expressa: · 
pJUJJ. = p{m = constante ou, w = (wJÍp1) p, 
CAP. 6 FUNDAMENTOS DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS 125 
onde tsJp1 é uma constante e p deve ter µnidades absolutas. Substituindo 
em (A), temos: 
1P, d lv, VdV 1• r.· (ts/ ) + -- + dz + dhL =- 0~ Ps Pl p V1 g .. l 
Integrando entre os limites, 
ou, na forma usual: 
Pi V12 Pi V:2 
- ln p1 + -- + z1 - HL = - ln P2 + - + z2. (B) 
tD1 2g Ult 2g 
Combinando esta equação com a equação de continuidade e com a lei dos 
gases para condições isotérmicas, ficamos com uma expressão em que sàmente 
uma das velocidades é incógnita. Assim, parà escoamento permanente, 
J!J.. =.E!. = RT . 
tD1 tD2 • 
donde tiramos. 
Substituindo na forma (B) da equação de Bernoulli: 
[ Pi (Ai)2(pz)2 V22 J - lo Pl + - - -- + z1 - HL "" 
tD1 A1 PI 2g 
(Ci 
(b) Para condições adiabálica& (não hã perda ou ganho de calor), a lei dos 
gases se reduz a 
( 
tD )" p p 1l/Tt: plfk ( p ) 1fk 
- = - ou -- = -- == constante; to ~ w1 - , 
. ts1 Pi ts1 w pi 
onde k é o expoente adiabático. 
Estabelecendo e integrando o têrmo dp/w separadamente, obtemós: 
1P, dp Pll/k 1P• dp ( k ) PI [ ( P1. )(k-1)/k ] . r.o1 (p/p1)lfk = -;;;- plfk = k - 1 X W1 p; - 1 • Pt Pi 
e a equação de Bernoulli na sua forma usual se transforma em: 
[( k ) PI V1
2 J 
-- - +-- + Z1 - HL = k-I W1 2g 
[ ( k ) ( p 1 ) ( P2 ) (,.:..ll/k V2
2 J 
= -- - - +- +z2. k~ 1 W1 Pl 2g (D) 
126 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Combinando esta equação com a equação de continuidade e com a lei dos gases 
para condições adiabáticas restará. uma expressão com sôment.e uma velocidade 
i!lc6gnita: 
e a equação de Bernoulli se transforma em: 
[( k ) Pt ( P2 )211< .(A2)2 V22 J . -- - + ~ - -- + Zt - HL = k - 1 . Wt Pi Ai 2g 
= [(-k-) (..!!l.) (.1!1.)Ck-1)/k + y 22 +z•] (E) 
k - 1 Wi. pi· · 2g -
.. V Na Fig. 6-10, a água flui de A .para B à razão de 0,4m3/s. 
e a ~são piezométrica em A é: de 7 m. Considerando que não 
há perdas de energia de A a B, determinar a pressão piezométrica 
em B. . Traçar a linha energética. 
Plano Referência 
flg. f>-10 
Solução: 
Aplicando a equação de Bernoulli de A a B, referência A. Energia em 
A +energia adicionada - energia perdida = energia em B, 
( PA + V..t% +zA) +0-0= (PB + l's2 +zs). 
w - ~ -
onde VA = Q/A300 =· 0,4/l r (0,3)2 = 5;65 m/s 
Ya = C!)2 (5,65) = 1,41 m/s. 
Substituindo 
( 7 + (S,6S)
2 +o) - O= (PB + (l,4.l)2 + s) e PB = 3,60 m de água. 
2g w 2g w 
CAP. 6 FUNDAMENTOS DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS 127 
A energia total em qualquer seção pode ser determinada, escolhendo-se um 
·plano de rerel:eocia. Usando neste caso D :- D, . 
Energia em A = pA/w + YA2/2g + ZA = 7 + 1,67 + 3 = 11,67 m.·· 
Energia em B = PB/w + YB2/2g + ZB = ·3,60 + 0,07 + 8 = Ii,67 m. 
Notemos que a transformação de uma forma de emirgia para outra ocorre 
durante o e9909mento. Neste caso uma parte das energias de pressão e cinética 
em A se transforma em energia {>Otencial 
em B. 
22. Para o Venturi da Fig. 6-11, 
. a defJexão do mercúrio no manôme-
tro diferencial é de 360 mm. Deter-
minar a vazão de água através do 
Venturi se não há perdas de energia 
entre A e B. 
750 mm 
f -+. Solução: 
Aplicando a equação de Bernoulli de 
A a B, referência A, 
( PA + YA
2 
+o) _ O = 
fD 2g 
. ' 
300 mai 
= (Pª + vai + o,1so). 
fD 2g . . Fig. 6-11 
e ( PA - PB) = ( Ys
2 
- VA
2 
+o.1so). 
ID fD·. 2g 2g 
~.-·- _.) 
A equação de continuidade nos dá: 
í\ 
{ l \2 1 As Ys = AA VA ou VA = -1 V8 = - VR"' 
- . '!-.2/ 4 -
(' 
(l) 
Para o manômelro, altura de carga em L = altura de carga em R (metros d 
água), 
po/w + z + 0,36 = ps/w + 0,75 + z + 0,36 X 13,6 e j 
(pAfw - ps/w) = 5,28 m de água. 
Substituindo em (l); nós obtemos VB = 9,73 m/s e Q ::= t 7r (0;15}2 X 
X 9,74 ::= 0,172 m3/s. 
23. Um tubo transportando óleo de densidade 0,877 muda 
da bitola de 150 mm na Seção E para 450 mm na Seção R. A Seção 
E está 3,6 m abaixo de R e as pressões são 1 kg/cm2 e 0,6 kg/cm2 
respectivamente. Se a vazão fôr d~ 0,150 m3/s, qual será a perda 
de -carga e a direção do escoamento ? 
128 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Soluçlo1 
Velocidade média em cada seção = Q/A. Então: 
Vg = 0,150/f 'lf' (0,150)2 = 8.S m/s e VR = 0,150/i 7f' (0,450)2 = 0,945 m/s. 
Usando a Seção E, mais baixa,~ plano de referência, a energia em cada seção 
será: 
( p Vz
2 ) io' (8,5)2 
Em E, -;; + 2g + z = o.877 X 103 + ~ + O = 15,l m kg/kg; 
( p VR~ ) 0,6 X 10
4 + (0,9?65)2 + 3,6 = l0,5 m k<>{k.g. Em R, -;; + 2g + z = 0.877 X 103 -9 "' 
O escoamento, então, ocorre de E para R, pois a energia em E é maior que 
em R. A perda de carga pode ser encontrada usando-se as energias em E e R, 
referência E: 15,l - perda de carga = 10,5 ou perda de carga = 4,6 m de E a R. 
24~ Para o Venturi do Problema 22 considerar o ar a 27"C 
escoando com a pressão manométrica em A igual a 2,5 kg/cm2• 
Considerar ainda a deflexão no manômetro de 360 mm. Supondo 
que o pêso específico do ar é constante entre A e B e que a perda de 
energia é desprezível, det.erminar a quantidade de ar que está es-
coando em kg/s. 
Solução: 
Considerando fluxo de A para B, referência A, como no Problema 22, n6s 
obtemos: 
i5 VB2 (PA/111 - Ps1,,,) = 16 
29 + 0,75. 
(l) 
Para obtermos a altura de carga do fluido em escoamento, o pêso específico 
do ar deve ser calculado: 
IJJ = _!!__ 
RT 
(2,5 + l) 104 
29,3 (273 + 27) 
... #\ ...l . . 1 ... 3 
= J,::t1 Ag/UI. 
Para o manômelro diferencial pL = PR (em kg/m2 manométrico), ou 
P.t + 3,97 (z + 0,36) = PB + 3,97 (0,75 + z) + 103 X 0,36 
PA - PB = 361,5 kg/m2• 
Substituindo em (1), nós obtemos VB = 43;1 rn/s e 
W = wQ = 3,97 [} r (0,150)2 X 43,4] = 3,0~ kg/s de ar. 
e l 
/ 
25. Um duto horizontal de ar reduz sua área de 700 cm2 
para 200 cm2• Supondo-se que não há perdas, que varia<,'.ão de 
pressão ocorrerá. quando a vazão fôr de 0,63 kg/s de ar? Usar 
w = 0,003 g/cm3 para as condições de temperatura e pressão con-
sideradas. 
. .. 
CAP~ 6. FUNDAMENTOS DE ESCOAMENTO DOS ll'LUD>OS 129 
Soluçlor 
O 63 kg/s Q 0,21 Q - ' = 0,21 m1's· V = -'- = -- ~ 3 -'-· 3 kg/m1 ,. ' A 0,01 .. .,D, 
Q 0,21 . 
Vi =- Ai = 0,02 ... 10,5 m/s. 
Aplir.ando o teorema de Bernoulli da Seção l à Seção 2, teremos: 
( .E!. + (3,o)l +o) - o ,., (.!!!. + (l0,5)!. +o) ID 2g ID 2g ' 
ou ( P1 Pt) -;- - -;;- = 5,16 m de ar, 
e p 1' - P2' = (5,16 X 3 = 15,48 kg/m2) ou 15,48 X 10-• kg/cm2 de variação. 
Esta pequena variação de pressão justifica a suposição de Illll88ll específiro 
constante do fluido. 
26. Um tubo de 150 mm de diâmetro e 180 m de comprimento 
transporta água de um ponto A de cota 24 a um ponto B de cota 
36. A tensão de atrito entre o líquido e as paredes· do tubo é de 
3 kg/m2• Det.erminar a variação de pressão no tubo e a perda 
de carga. 
Soluçior 
(a) As fôrças que atuam sôbre a massa de água são as mesmas indicadai1 
na Fig (b) do Problema 20. 
Usando P1 = p1 AJ60, P2 = P2 A150 n6s obtemos de 'XF., = O, 
P1 Auo-:- Pt A1&0 - Wsen 8,. - T (1rd) L =O. 
lV = w (volume) = la3 (i 7r (0,150)2 X 180) e sen 8., = (36 - 24)/180 
pi[} 1r (0,150)2] - P2 [ h· (0,150)2 ] - 1113 [ l 7r. (0,150)2 X 180 J X 
.. , 12 ._ ,_ '~ O •5n' v 100 n  180 - .> \.ft A ,. V/ " .a.u = "'' 
donde Pl - J1'l = 26 400 kg/m2 ou 2,64 kg/cm2• 
(b) Usando a equação da energia, referência. em A, 
Energia em A - perda de carga = energia em B, 
( ~ + ~;2 +O) perda de carga = ( i:;' + ~=2 + 12): 
ou perdi! de carga = (pAfw - ps/w) - 12 = 26 400/1<>3 - 12 = 14,4 m. 
Outro método: 
Usando (3) do Problema 20, perda de carga = 
TL 3 X 180 
= wR = 103 X 0,150i4 = 14'4 m. 
130 MECÂNICA' DOS .FLUIDOS 
27. Deve-se retirar água 32"C de um poço à veloci&.de 2 m/s 
através de um tubo de sucção de uma bomba. Operando sob as 
· ~ondições abaixo especifica.das qual deve~á ·ser a altura máxima 
teórica, em que se pode localizar a bomba ? Condições: pressão 
atmosférica = 1 atm (absOluta), pressão absoluta de vapor = 
= 0,05 kg/cm2 (vide Tabela lc), e perda de carga na sucção = 3 
taquicargas. 
Solução: 
O pêso específico da água a 32"C é dado na Tabela lc como ("" 0,995 g/cm3). 
A. pressão mínima à entrada na bomba não pode exceder à p~o de vapor do 
líquido. A equação dá" energia será aplicada da superfície da água, externa ao 
tubo de sucção, à entrada da bomba, usando-se pressões absolutas. 
Energia à superCície da água - perda de carp = energia à entrada da bomba 
( 1 X 10
4 + 0 + o) _ 3 (2)2 = ( 0,05 X 104 + (
2
2
9
)? + z) • 
0,995 X 103 · 2g 0,995 X 103 
z = 8,735 m acima da superfície da água. 
Provàvelmente sob estas condiçôtis ocorrerão sérios problemas devidos à cavitação 
(vide Capítulo 12). 
28. Para o sistema indicado na Fig. 6-12, a bomba BC deve 
fornecer 5,62 ft3/s de óleo de densidade 0,762 ao re.servatório D. 
Supondo-se que a perda de energia de A a B é de 8,25 ft lb/flb, 
(a) quantas unidades de potên-
EL211·ª Cia deve a bomba fornecer aO 
. 
SI.Mo!.,~: 
. Bltl,15 
. JJ- : __Jg.. t .. 
B C 
Fig. ~12 
sistema? (b) Traçar a linha 
energética. 
Soiução: 
(a) A velocidade das partículas ' 
em A e D serão bem pequenas e 
portanto as taquicargas serão des-
preza~as. 
Escoamento de A pua D, referência BC (po4eriamos também usar A como 
referência), 
( PA VA
2 
) (PD VD2 ) 
--:;;- + fy + ZA - l:fBomba - Hperda = W + 2g + ZD , 
(O + desp. + 40) + H&mba - (8,25 + 21,75) = (o + desp. + 190) 
e HBomba = 180 Ct (ou ft lb/lb). 
P = ID QHBomba/550 = {0,762 X 62,4) (5,62) (180)/550 = 87,4 bp fornecidos ao 
sistema. 
CAP. 6 FUNDAMENTOS DE ESCOAMENTO DOS l'LUIDOS · 131 
Notemos que a bomba forneceu uma altura de carga suficiente para elevar o 6leo 
a 150 lt e vencer também, 30 ft de perdás na tu)>ulação. Assim 18Ó ft foram 
fornecidos ao sistema. · 
(b) A linha energética em A está ~ 50 ft acima do plano de ·referencia. 
De A a B a perda de energia é 8,25 ft e a linha energética desce d@sse valot, senilo 
portanto a elevação de B de 41,75. A bomba adiciona 180 ft de energia e a ele-
vação do ponto C é então 221,75. Finalmente, a perda de energia entre C e D 
sendo de 21,75, a elevação em D = 221,75 - 21,75 := 200. ~tes dados são 
mostrados gràficamente na Fig. 6-12. 
29. Água escoa através da turbina da Fig. 6-13 à razão de 
0,21 m3/s e as pressões em A e B são res-
pectivamep.te 1,5 kg/cm2 e - 0,35 kg/cm2• 
Determinar a potência fornecida à turbina 
pela água. 
Solução: 
Considerando escoamento de A para B, referên-
cia B, com 
V..( = 0,21/A300 = 0.21/0,07 = 3 m/s e 
VB =- 3/4 = 0,75m/s~ Fig. 6-13 
( PA VA
2 
.) (PB VB2 ) 
-;- + ~ + ZA + 0 - HTurbina = -;- + ~ + ZB , 
1,5X104 e. (3)2 +I- H = (- 0,35X104 + (0,75)2 +o) e 
103 ' 2g T 103 2g 
Hr = 19,9m; 
P = toQ Hr/15 = 103 X 0,21 X 19,9/75 = 55,7 HP à turbina. 
30. Para a turbina do Problema 29, se são extraídos 65 HP 
enqu~nto as leituras manométricas em A e B são 1,4 kg/cm2 e 
- 0,34 kgicm" respectivamente, quai seria a vazão de ãgua jl 
Soiução: 
Considerando o fhm> de A para B (referência B), 
( 1,4 X 10
4 + VA.2 + i) _ H = <- 0,34 X 104 + Y1i o) 
103 2g T l.Oª 2g + . 
V.A,% VB2 (a) Hr = 18,4 + 2g - Tg; 
Vs2 __ (.!.)4 VA2 l VA2 (b) ÂA V A. = AB VB ou 2g 2 2g = M 2g°; 
655hp= 111QHr = 103 Xl/47r(0,3)2 VAXHr (e) , 15 75 e Hr = 68,9/HA; 
132 MECÂNICA DOS 1''LUIDOS 
Comparando (a). e (e) (substituindo a energia de pressão), 
68,9/VA = 18,4 + !! (V42/2g) ou 68,9 = 18,4 V.t + 0,047 VA3• 
Resolvendo esta equação por tentativa: 
V..t = 3 m/s 
VA = 3,7 m/s · 
V..t = 3,65m/s 
55,2 + 1,27 = 56,47 ~ 68,9 (devemos aumentar V); 
68,08 + 1,71.= 69,81 ~ 68,9 (devemos diminuir V); 
67,2 + 1,7 = 68,9. 
O fluxo Q = ÂA Y..t = l 11" (0,3): X 3,65 = 0,258 m3/s. 
31. Uru óleo de densidade 0,761 escoa do tanque A para o 
.tanque E como é indicado na Fig. 6-14. As perdas de carga 
podem ser consideradas como se segue: 
Aa B =O 6 V3002' 
' 2g Ca 
D =O 4 Vl602' 
' 2g 
V300 % E= 90 V1ao2. Ba e= 90--, Da 
' 2g . ' 2g 
0,3m 
.1''ig. 6-14 
Determinar (a) a vazão Q em m3/s, 
Solução: 
(b) a pressão em e em kg/cm2 e 
(e) a potência em C, relativa a E. 
(a) A para, E, referência E 
12m 
1 
em A A para B B para C C para D D para E 
(O + desp + 12) - ( o,6 v:;2 + 9,0 v;;i2 ) + ( 0.4 ~11;~ + 9.0 ;;2 ) = 
Vaoo2 Viao2 
em E = (O + desp + O) ou, 12 = 9,6 ~ + 9.4 ~. 
CAP. 6 Jl'UN.DAMV.NTOS DE ESCOAMENTO DOS Jl'LUIDOS 133 
Também, 
( 1 )' 1 vlOOi = 2 Yuo2 = 16 Vuo'. 
Substituindo e resolvendo 
Vua2/2g-= 1,2 m; Vuo - 4,85 m/s e Q = l 'lf' (0,150)% X 4,85 = 0,087 mª/s, 
(b) A para C, referência A, 
(O + desp +O) - (0,6 + 9,0) V:;' = ( 1: + V:;' + 0,6) e 
Vaoo! 1 Y11ot 2g = 16 29 =. 0,075 m. 
Então pJw = - 1,39 m de 6leo e pc' = (- 1,59) (0,761 X 10') X 10-4 = 
= - 0,106 kg/cm2 man. 
A equação de Bernoulli deveria ser aplicada de C a E com resultados igual-
mente satisfat6rio. As duas equaç&s ·obtidas pelas duas escolhas não seriam 
independentes. 
wQHc (0,761X101) (0,087) (- 1,39 + 0,075 + 12,6) 
(e) Pc = ~ "; 75 
:::::: 10 HP, relativos a E. 
32. A queda consumida pela turbina CR na figura é de 200 ft 
e a pressão em T é de 72,7 psi. Para perdas de 2 (V22,/2 g) entre 
W e R e 3 (V2rJ2g) entre C e T, determinar (a) a vazão e (b)a 
piezocarga em R. Traçar a linha energética. 
Fig. 6-15 
Solução: 
Co linh gé • T tá ( 5 72,7 X 144 mo a a ener ~ca em es a 2 O + 62,4 
acima da cota de W, a água fluirá para W. 
+ vuz;) e bem 
2g 
134 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
(a) Considerando _escoamento T para W, referência O 
em T T para C R para W 
( 72,7X144 + vu2 +25o) - [30 V122 +20 vu2]- 200 = 62,4 2g ' 2g ' 2g 
EmW 
= (O + desp + 150). 
Substituindo V242 = 1~ V122 e resolvendo, V122/2g=32 ft ou Vu=45,4 ft/s. 
Então, Q = i 7r (1)2 X 45,4 = 35,6 ft3/s. 
(b) Considerando R para W, referência R, (pRfw + 116 X 32 + O) -
- 2 { 1~ X 32) = (O + desp + 50) e, PRftD = 52 ft. O leitor poderá verificar 
esta piezocarga aplicando o teorema de Bernoulli entre T e.R. 
Para determinar a linha energética na figura, calculemos a energia nas quatro 
seÇões indicadas: · 
Elevação da linha energética em T = 168 + 32 + 250 ,,; 450, 
em C = 450 - 3 X.320 = 354, 
em R = 354 - 200 = 154, 
1 
em W = 154- 2X16 X 32.= 150. 
No próximo capítulo será mostrado que a linha. energética é uma linha reta 
para o escoamento permanente em tubulações de diâmetro constante. A li.nba 
piezométrica será paralela à linha energética e V2/2g abaixo da mesma. 
33. (a) Qual será a pressão no nariz de um torpedo movendo-se 
em água salgada a 100 ft/s a uma profundidade de 30 ft? (b) Se 
a pressão em C na face do torpedo à mesma cota do nariz é de 
10 psig. qual será a Yelocidade relativa a êste ponto ~ 
Solução: 
(a) Neste caso, para melhor entendimento da aplicação da equação de 
Bernoulli, podemos considerar o movimento relativo de uma corrente de água 
passando pelo torpedo estacionário. A velocidade no nariz do torpedo será, então, 
nula. Supondo-se que não há perdas de cargas no tubo de corrente do ponto 
A, na.zona não turbµlenta à Crente do t.orpedo, ao ponto B no nariz do torpedo, 
a equação de Bernoulli apresenta-se do seguinte modo: 
( PA + V.&z +zA) - O= (PB + V:s2 +zs) ou tD 2g tD 2g 
30 + (100)2 + O = PB + O + O. 
2g tD 
Então ps/w = 185 ft de água salgada e ps' = wh/144 = 64 (185)/144 = 82,2 psig. 
CAP. 6 FUNDAMENTOS DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS 135 
F.sta pressão é chamada de presdo de estagnação e poderi ser expre888 por 
P• = Po + ! p Vo2 em unidade psí. 
Para posteriores discussões, vide Capítulos 9 e 11 • 
. (b) A equação de Bernoulli pode ser aplicada ou do ponto A ·ao ·ponto C ou 
do ponto B ao C. Considerando A e C, ' 
( PA + VA.2 +zA) - o=(~+ Voi +.rc) ou (ao+ (100)2 +o)= w 2g w 2g . 2g 
( 10 X 144 Vc
2 ) 
= 64 + 2g + O do que V0 = 102,3 rt/seg. 
34. Uma esfera é colocada em uma corrente de ar a qual está 
à pressão atmosférica e está· se movendo a 100 ft/s. . Considerando 
a massa éspecífica do ar constante e 0,00238 slug/ft3, (a) calcular 
a pressãô de estagnação e (b) calcular a pressão .tla superfície da 
esfera no ponto· B a 75° do ponto de estagnação, se a velocidade 
aí é de 220 ft/s. 
Solução: 
(a) Aplicando a ei:pressão fornecida no problema anterior, n6s obtemos: 
ps = Po + ! p Vo2 = 14, 7 (144) + ! (0,00238) (100)2 = 2117 + 11,9 = 2129 psí. 
(b) O pêso específico de ar = pg = 0,00238 (32,2) = 0,0765 lbfft3• 
Aplicando a equação de Bernoulli do ponto de estagnação ao ponto B, temos: 
( ps +Vi'- +o) - o= (e+ vB2 +o) ou ( 2129 +o +o)= w 2g w 2g 0,0765 . 1 
PB (220)2 
= - + --+ 0, donde PBfW = 27,05 ft de ar e PB' = wh/144 = 
w 2g 
= 0,0765 (27 050)/144' = 14,4 psi. 
35. Um grande:,tanque fechado está cheio de amôni~ sob a 
-pressão, 5,30 psig a 65°F. A amônia é descarregada na atmosfera 
através de uma pequena abertura em uma das laterais do tanque. 
Desprezando as perdas por atrito, calcular a velocidade com que a 
amônia deixa o tanque (a) considerando a massa específica ,cons-
tante e (b) considerando condições adiabáticas para o escoamento. 
Solução:' 
(a) Aplicando o teorema de Bernoulli do tanque à atmosfera, 
(5·3 ~1 144 + O + O) = (O + ~ + O) onde w1 = ;~ = 
<5•3 + 14•7) 144 = o 0613 lb/ft3• 
89,5 (460 + 65) ~-·-------------L BIBLIOTECA CENTRAL - UEA 
136 KBeÂNICA DOS JiLUfoos 
- Sufmtituindo e resolvendo V = 895 ft/seg. 
Para um p@so especifico constante w, tanto a· pressão manométrica como . 
1t absoluta podem ser usadSs.- · A pressão absoluta derierá ser IJ!lllda onde w não 
rar . constant.e. 
(b) Para Y1 = o e Zi = Zt, a expressão adiabitica (D). no Problema 20 
pode ser ~ta: · 
(-· k_) .!!!.. [t _ (1!1.) (1:-tl/k]. =. y 2t • 
k-I wt ~ -
Para amônia, k = 1, 32 da Tabela 1 do Apêndice e 
( 1,32 )· 20 X 144 [i _ ( 14,7 X 144) 0,242] = V22 = 13 900 1,32 '- l ·0,0613 20,0 X 144 2-g 
Vi = 945 ft/s. 
O.êrro que se comete usando a v~locidade baseado na suposição da massa 
específica ser constante é de cêrca de 5,33. O pêso ~pecífico da amônia no 
jato é assim calculallo: 
.E!. = ( wi)k ou ~ = ( 0,0613) 1,32 e tD2 = 0,0-:&86 !b/Ctª. 
P2 fD2 14,7 . tD2 . . • 
Apesar dêstes 20,73 de °varit~o,,na ,_massa específica, o êrro na velocidade 
QiQ.Joi ~não de 5,33•• . 'Y'~~ · . 
36. Compare a velocidade em (a) e (b) do Problema 35 para a 
pressão de 15,3 psig no tanque. 
Solução: 
p· (a) tDt = RT 30 X 144 89,5 X 525 = 0,0922 lb/ft3 e do problema anterior 
15,3 X 144 V2 . . 
00922 = 2 e V= 1240ft/s. 
' g 
(b) Usando a expressão a.diabãtica dade no problema ai?ter!or: 
V2 = 1,32 X 30 X 144 [l _ ( 14,7 X 144 )º·~•2] = 30 700 V= 1410 r .f: 2g 0,32 0,0922 30 X 144 e t s. 
O arro clue se comete usando a velocidade baseado na suposição de massa 
espécnica constante é de cêrca de 123. A variação na massa esÍ>ecifica neste 
caso é de oêrea de 423. As limitações de grandeza da velocidade serão discutidas 
no Capítulo 11. N~te caso a velocidade.-Omite para a temperatura indicada é 
de 1 412 ft/s. . 
37. Temos nitrogênio escoando de um tubo de 2" de diâmetro, 
no qual a temperatura é de 40"F e a pressão 40 psig._ para um 
tubo de l" ile diâmetro, no qual a pressão é de 21,3 psig. Calcular 
a velocidade em cada tubo, supond<>« condições isotérmicas de 
escoamenf.o e ausência de pei;-das. 
CA,P. 6 FUNDAMENTOS DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS. 137 
Soluçlo: 
Vimos no Problema 20 que a Equação ( C) para condições isotérmicas pode 
ser solucionada para V2, notando-se que z1 = z2, 
y,
2 [1 - ( A 2 .P2 ) 2] = E!.. ln (E!..) = RT ln ( ~ ) , ou · 
2g ÂtPt W1 P2 r• 
J RTln (PIÍ.Pt) 
Vi = 129 X 1 - (A2 p,jA1piJ2 • 
Substituindo no radictmdo, usando R = 55,l para nitrogênio (rabeia 1 
do Apêndice): 
V = J? )C 55,1 X 500 ln (54,7 X 144)/(36 X H4) = 875 ft/: 2 
-,-
9 l-(i)4[(36Xl44)/(54,7X144)]2 s. 
Também Vi = (AJA1) (p:/p1) V2 = (!)2 (36/54,7) (875) = 144 ft/s. 
38. No Problema 37, sendo a pressão, velocidade e temperatura 
no tubo de 2" iguais a 38 psig, 143. ft/s e 32°F respectivamente, 
calcular a velocidade e a pressão no tubo de l". Consideremos 
que não há perda de carga e condições isotérmicas. 
Solução: 
Do Problema 20 para condições isotérmicas, usando-se a F.quação (C) n<>s 
têrmos de Vi ao invés de V2, 
(a) (143)2 [l _ (_.!_) 2 ( 52,7 X 144) 2] = 55,l X 492 ln P2' X 144 • 
2g 1 · p2' X 144 52,71 X 144 
Somente uma incógnita aparece; ainda assim, a solução direta é difícil. O 
método de tentativas parece o indicado, considerando um valor de P2' no deno-
minador entre colchête. · · . ._ 
(1) CuusiUe::rauc.lo P2' ~ 52,7 ~ia, e resolvendo _pü.ra p./, v têrmc à direi!.:! 
da equação será:· 
318 [ l - 16 (1)2 ] = 27 100 ln (Pt'/52,7), 
do q1Jal p,' = 44,4 psi absoluta. 
(2) Usando-se P'l' = 44,4 psi em (a) teríamos uma desigualdade. Anteci-
pando o resultado, consideremos o nôvo valor de P2' igual a 35 psi. 
318 [ 1 - 16 (52,7/35)2 ] = 27 100 ln P2'/52,7, 
donde P2' = 35,2 psi absoluta (régua de cálculo, precisão suficiente). Para 
velocidade, 
V2 = : ~~ V1 ou V2 = : ( ~:) V1 = ~~:~ ~ !:: (~ r X 143 = 
= 855 ft/s. 
138 JilEC.ÂNICA DOS FLUIDOS 
PROBLEMAS SUPLEMENTARES; 2'. · Qual a velocidade média ~Ili um tubo de 6" que produzirá uma vazão 
deL.{Ó mgd de água ? 
Re•p.: 7,87 ft/s. 
~ Qual o tubo que poderá transpÕrtar 10,7 rt.3/s à velocidade média d~ 
.10 ft/s? 
Re•p.: 3ft. 
/Um tubo de 12" transportando 3,93 ft3/s se u~e a um tubo de 6". Achar 
a taquicarga no tubo de 6". · 
.:;!..:.;.. Resp .. : 6~1 Ct. 
~Um tubo de 6':. transporta 2,87 ft.3/s de água: O -tubo ramifica~ em 
2 tubos, um de 2" de diametro e o outro de ·411 de diâmetro. Se a velocidade 
no tubo de 2" é 40 ft/s, qual é a velocidade no tubo de· 4" ? 
Resp.: 22.9 ft/s. 
43. Velifique se as seguintes e:xpressões para as componentes d,a veloci 
dade satisfazem às condições para escoam~nto permanente e incompressíve: 
(a) u = 3 zy2 + 2:1: + r, (b) u = 2z2 + 3y, 
11 ,,;, ~ - 2.r - r. 11 = - 3 :i:y. 
Re•p.: (a) Sim; (b) Não. 
44. Um tubo de 12~' transporta óleo com uma distribuição de velocidad1 
li = 9 (ro2 - r). Determinar a velocidade média e o valor do fator de correção 
da energia cinética. 
Resp.: a = 2; V,.. = l,13 ft/s. 
45. Mostrar que a equação de continuidade pode ser escfita na forma 
l=...!..1(-11 )dA. A A Vméciia 
Ji'. Um tubo de 12'' transporta óleo de densidade 0,812 a uma razão d1 
. -~ 3,93 ítZjs e a pressão em um ponw  é 2,6°7 psig. Se o ponto  está 6,20 ft acima 
do plano de referência, calcular a energia em A em ft lb/lb. 
Resp. 14. 2 ft lb/lb. 
/ Quantas lb/s de dióxido de carbono escoam através de um tubo de 6" 
quando a pressão é de 25,0psig, a temperatura é de 800F e a velocidade média 
é 8 ft/s? 
Resp.: 0,476 lb/s. 
J'- Um tubo de 8" conduz ar a 80 ft/s, 21,5 psia absoluta e 800F. Quantas 
libras de ar estão escoando? O tubo de 8" reduz.se a 4" e a pressão e a tempera-
tura neste tubo são 19 psia e 52°F respectivamente. Achar a velocidade no 
tubo de 4" e comparar os escoamentos em ft /seg nos dois tubos. 
IJ?-1.: 3 lb/s; 343 ft/s; 27,9 ft3/s e 29,9 ft3/s. 
ft· Ar escoa com a velocidade de 16,0 ft/-s em um tubo de. 4;;. Um indicador 
le p~o marca 30 psi e a temperatura é de 600F. Em uin outro ponto o manô-
T 
FUNDAMENTOS DE ESCOAl\IENTO DOS FLUIDOS 139 
metro indica 20 psi e a te1I1pe~tura, é 80-F. P!lra uma leitura barométrica 
normal, calcular a velocidade j.{~n~ ~mpa~r o fl~xo em ft1/s para cada seção. 
Re11p.: 21,4 fts; 1,40 ft (s;, 1,87 ft /s. ' 
l_ __ . ··'L ... --· .. . : - ., 
.fi'{ Di6xido sulfuroso escoa através de um duto de 12" que se reduz'a 6" 
de dlâmetro e se lança a um reservatório. As pressões no duto e no fluxo descar-. 
regado são 20 psia e atmosférica respectivamente. A veiocidade no duto é 50 ft/s 
e a temperatura é de 800F. Calcular a velocidade do fl~xo em descarga se a 
temperatura do gás é 23°F. 
Re11p.: 244 ft/s. 
,;t{. Água escoa através de um tubo horizontal de 6" sob pressão de 60 psi. 
Considerando ausência de perdas, qual é o fluxo em ft3/s se a pressão em uma 
redução de 3" de diâmetro é 20 psi? 
Resp.: Q = 3,91 ft3/s. 
jílt' Para um óleo de densidade O, 752 escoando nas condições do Problema 51, 
qual será a vazão ? 
Re11p.: Q = 4,51 ft3/s. 
§T. Se tetracloreto de carbono (densidade = 1,594) escoar no Problema 51, 
calcular o fluxo Q. 
Resp.: Q = 3,09 ft3/s. 
~ Água eleva-se num tubo vertical de 12" à razão de 7,85 ft3/s. Em um 
ponfu A no tubo a pressão é 30,5 psi. Em um ponto B, 15 ft acima de A, o diâ-
metro é 24" e a perda de carga de A a B é igual a 6 ft. Determinar a pressão em 
Bem psi. 
Resp.: 22,l psi. 
1 
55. Um tubo de 12" eontém uma pequena seção na qua o diâmetro (, 
gradativamente reduzido a 611 e então alarga-se outra vez a 12". .A seção de 6'' 
está 2 ft abaixo da Seção A' (12") onde a pres..-.ão é .75. psi. ~um manômetro 
diferencial contendo mercúrio é colocado entre as seções de(!~ e 6" qual será 
a deflexão do indicador quando o fluxo de água fôr de ~t3/s para baixo ól 
Considerar ausência d~ perda de carga. 
Resp.: 6,46 in. 
/. Um tubo de 12" conduz óleo de densidade 0,811 à velocidade de 80 ft/s. 
Nos pontos A e B as indicações de pressão e elevação foram respectivamente 
52,6 psi e 42 psi e 100 ft e 110 ft. Para escoamento permanente, determinar 
a perda de carga entre A e B. 
Resp.: 20,2 ft. 
57. Uma corrente de água, 3" de diâmetro, descarrega-se na atmosfera 
ã velocidade de 80 ft/s. C;llcular a energia (HP) no jato usando como plano 
de referência a_quêle que passa pelo centro do mesmo. 
Resp.: 44,3 HP . 
./ Um• reservatório fornece água a um tubo horizontal de 6" de diâmetro 
e 800 ft de comprimento. O fluxo enche completamente o tubo e se descarrega 
na atmosfera ã razão de 2,23 ft1/s. Qual é a _pressão em psi à meia distâncfa no 
140. · MECÂNICA DOS FLUIDOS 
tubo, considerando que sàmente a perda de carga é de 6,~0 Ct/100 Ct de compri-
mento. 
Rup.: 10,7 psi. 
@. Um 6leo de densidade 0,750 é bombeado de um tanque para uma coluna 
através de um tubo de 24" com uma pressão no tôpo da coluna mantida em 25,5 psi. 
O ponto de dll!lcarga está a 250 Ct acima da su.Perfície. do 6leo no tanque e o 6leo 
é bombeado à razão de 22 ft3/s. Se a perda de carga do tanque ao ponto de des-
carga é de 15,7 ft, que energia deve a !iomba fornecer ao líquido? 
Resp.: 645 HP. 
@. Uma bomba retira 6gua de um poço através de um tubo vertical de 6'.'. 
A bomba tem um tubo de descarga horizontal de 4" de dilmetro, o qual 
está 10,6 ft acima do nível da água no ~· Enquanto· se bi>mbefam 1,25 ft3/s, 
manômetros pr6ximos à bomba na éntrada e na saída indicam - 4,6 psi 
e + 25,6 psi respectivamente. O indicador de descarga está 3 ft aciina do in-
dicador de sucção. Determine a potência fornecida pela bomba e a perda de 
carga no tubo de sucção 6". 
Resp.: 10,7 HP e 2,4 ft. 
p; Calcular a perda cre carga em. um tu.bo de 6" se é necessário manter a 
pressão de 33,5 psi em um ponto.a montante e 6 ft abaixo do ponto onde o tubo 
descarrega água na atmosfera à razão. de 1,963 ft3/s. 
Resp.: 71.l).fL 
62. Um grande tanque está parcialmente cheio com água; o espaço de ar 
acima da superfície está i!ob pressã.o. Uma ·mangueira de 2" é ligada ao tanque, 
descarrega água em um telhado de uma construção a 50 ft "cima do nível 
do tanque. A perda por atrit.i> é de 18 ft. Que pressão de ar deve ser mantida 
no tanque para descarregar11e 0,436 ft3/s no telhado ? 
Resp.: 32,l psi. 
@. Água é bombeada de um reservatório A de cota 750 ao reservat6ri!> 
E de ~ta 800 através de nma linha de 12". A pressão no tubo de 12" no pnntn 
D, de cota ó50 é 80 psi. As perdas de carga são: de A à bomba de sucção B = 
. . r ·. ~ 
= 2,0 ft, da descarga da bomba C a D = 38 -2 , e de D a E = 40 - · Achar a g 2g 
descarga Q e a energia fornecida pela bomba BC. 
Resp.: 5,95 ft3/s e 82 HP • 
. p(. Um tubo Venturi honzontal tem diâmetros de 24" e 18" na entrada 
e riá "garganta" respectivamente. Um manômetro diferencial colocado na en-
trada e na seção reduúda, contendo água, indica uma deflexão de 4" quimdo o 
ar escoa através do Venturi. Considerando o pêso especifico do ar como sendo 
constante e igual a 0,08 lb/ft3 e desprezando o atrito, determinar o fluxo em ft 3/s. 
Resp.: 276 ft3fs. 
65. Água deve ser sifonada de um tanque à razão de 3,15 ft3/s. A ponta 
do tubo sifão deve estar 14 ft abaixo da superfície da água. O. têrmos de perda 
de carga são 1,5 Vl/2g do tanque ao tôpo do sifão e 1 f'!/2g do tôpo ao riria! do 
CAP. 6 FUNDAMENTOS DE ESCOAMENTO DOS FLUIDOS 141 
sifão. O tôpo está a 5 ft acima da superfície da água. Determinar o diâmetro 
. do tubo neçéssário e a pressãQ no tôpo. 
Resp.: 611 ; - 6,50 psi. 
66. Uma linha horizontal de 24" conduz óleo de densidade 0,825, esw 
ândo à razão de 15,70 Ct3/s. As 4 bombas necessárias ao longo de linha .são 
iguais, isto é, as pressões no lado da sucção e do recalque serão - 8,0 psi e. + 350 psi 
respectivamente. Se a perda de carga na linha de recalque é de 6ft/l 000 ft 
de tubo, qual deverá ser a distância entre as bombas? 
Resp.: 167 000 Ct. · 
~Um grande tanque fechado está cheio de ar sob a pressão de 5,3 psig 
e à temperatura de 65•F. O ar descarrega-se na atmosfera através de uma pe-
quena abertura em uma das paredes do tanque. Desprezando-se as jierdas por 
atritO, ealcular a velocidade de escapamento do ar do tanque, considerando (a) 
mas8a específica do ar constante e (b) condições de escoamento adiabáticas. 
Resp.: 692 ft/s; 728 ft/s. 
~Para. o Problema 67, ~ a pressão fôsse 10 psi, qual seria a velocidade 
para (a) e para _(b)? 
Rup.: 855 Ct/s, 934 ft{s. 
1Í. Dióxido de carbon~ escoa de um tubo de l", onde a pressão é 60 psig 
e a temperatura é 400F para um tubo de 1/2", à razão de 0,06 lb/s. Desprezando 
o ;.trito e considerando as condições isotérmicas, determinar a pressão- no tubo 
de 1/2". 
Resp.: 2,79 psia. 
(1Õ) Uma ventoinha deve fornecer 40 000 ft3/min. Dois manômetros em 
for~de U medem as pressões de sucção e descarga. A leitura da sucção indica 
-2" de água. O indicador da descarga, localizado 3 ft acilll& do ponto no qual 
o manômetro da sucção é fixado, indica + 3" de água. Os dutos de sucção e 
descarga têm o mesmo diâmetro. Que motor deveria ser usado na ventoinha, 
se a eficiência global é 68% (w = 0,C!-75 lb/ft3 = l?) 
Resp.: 46,7 HP. 
7!. Um tubo de !.2" e!tâ se::.c!c tcs~dc para a•·aliaç;v <le pertlu. de carga. 
Quando o fluxo de água é de 6,31 ft3/s, a pressão em um ponto A no tubo é de 
40 psi. Um manõmetro diferencial é colocado entre o ponto A e o ponto B a 
jusante, que eslá a io ft mais alto que A. Qual é a perda de carga de A a B? 
Resp.: 42,0 ft. 
72. Prandtl sugeriu qne a distribuição de velocidade . para um esc<!&mento 
turbulento em condutas fechados poderia se.r aproximadamente 11 = 11max'cY/ro)l/1, 
onde ro é o raio do tubo e y a distância à parede do tubo. Determine a expressão 
da velocidade média no. tubo em têrmos da velocidade central 17max· 
Resp.: V= 0,817 umax. 
73. Qual é o fator de correção de energia· cinética para a distribuição de 
velocidades do Problema 72 ~ 
Resp.: a =· 1.06. 
74. Duas grandes placas ~tão espatadas de l". Mostrar que a= 1,54 
se a distri.buição de velocidades é representada por 11 = llmax (1 - 576r2), onde 
r é medido a partir da linha de centro entre as placa!!. 
142 MF.CÂNICA DOS FLUIDOS 
75. Ax flui iseotrôpicament.e através de um doto, cujas seções variam. Para 
lSCOllmento permanente, mostrar que a velocidade· V2 em uma seção a jusante 
Ja. Seção l pode ~ escrita: · · 
J~r = Vi <PJpl11"'" (AJA2) para qualquer forma de doto, e . 
·Z:, ""~'!-, ,. sf, t fV: .._V. = ~ V2 = Vi (pJJl2)11Tc (Di/IJ.i)2 para dutos circulares. 
i'i J.) s_ s ~-
,., ·· ~A pressão dentro do tubo em S não deve 
ser menor que 3,46 psi. Desprezando-se as perdas, 
qual a altura máxima acima de A em que S podd 
ser localizado? Referência Fig. 6-16. 
Resp.: 22 ft. 
(J1_. __ :A bomba B fornece uma altura de carga de 
140,6 ft à água, que escoa para E como mostra a 
F'ig. 6-17. Se a pressão em e é - 2 psi e a perda 
de carga de D a E é 8 Vl/2g, qual ~rá a vazão? 
Resp.: 8,91 ft3/s. 
78. A água flui radialment.e entre 2 flanges no final de um tubo de 6" como 
mostra a Fig. 6-18. Desprezando as perdl!s, se a altura· de carga em A é - l ft, 
achar a altura de carga em B e o fluxo em ft3/s. 
Rap.: - 0,15 ft; 3,88 ft.3/s. 
12" 
6"D 
A 
·:: 
El.80.0 
Fig. 6-17 Fig. 6-18 
6' Íf.-0 
'j, 
{_,-
; ~ ~~~. 
-~ 
~::. ·i\. 
;~~Y-- v~i 
79. Mostrar que ·a velocidade média V em um tubo circular de raio r0 é · 
igual a 2 11max [ 1 · ] para uma distribuição de velocidade que (K + l)(K +2) ~:~ :-. possa ser expressa por " = 11mu: (l - r/roJ"'". 
80. Ac::bar o fator de comição de energia cinética a para o Problema 79. ·: 
· ( k+ 1)3 ( k+ 2)3 ' 
Rap.: ª = 4{3k + l) (3k + 2) · 
ESCOAMENTO EM ·ENCANAMENTOS 
Introdução. O princípio da energia é aplicado à solução de 
problemas práticos de escoamento em tubos nos diferentes ramos 
da engenharia. O escoamento de um fluido real é muito mais 
complexo que o escoamento de. um fluido ideal. As fôrças de 
cisalhamento entre as partículas do fluido e as paredes envolventes 
e entre as próprias partículas do fluido resultam da. viscosidade do 
fiuido real. As equações diferenciais parciais que podem deter-
minar o fluxo (Equação de Euler). não .têm solução geral. Os 
resultados de métodos experimentais e semi-empíricos devem ser 
utilizados para se poder resolver. pi:oblemas de escoamento. 
Existem dois tipos de escoamento permanente de fluidos reais, 
e ambos devem ser compreendidos e considerados. Êles são deno-
minados escoamen~ laminar e escoamento turbulento. Diferentes 
1 
leis regem êstes dois tipos de escoamento. 
p Escoamento laminar. No escoamento lamfoar, as partícula~ 
do fluido movem-se em camadas ou lâminas segundo uma trajetória 
reta e paralela. A magnitude das velocidades das iâminas adja-
centes não é a mesma, O escoamento laminar é regido pela lei 
que relaciona a tensão de cisalhamento à relação de deformação 
angular, isto é, o produto da viscosidade do fluido pelo gradiente 
velocidade ou T = µ. dv/dy (vide Capítulo 1). A viscosidade do flui-
do é dominante e assim elimina. qualquer tendência às condições 
de turbulência. 
Velocidade crítica. A velocidade crítica de interêsse prãtico 
ao engenheiro é a velocidade abaixo da qual tôda a turbulência 
é amortecida !>ela viscosidade do fluido. Determinou-se que o 
limite superior, de interêsse prático do fluxo laminar, é representado 
por um número de Reynolds, de cêrca de 2 000. 
144 MECÂNICA DOS FLUIDOS . 
,!- _, Nlímero de Reynolds. O número de Reynoljls, que é 
adimensional, representa a razão das fôrças de inércias pelas fôrças 
de· viscosidade (vide Capítulo 5, Semelhança Dinâmica). · 
Para tubos circulares sob fluxo total: 
N .º Reynolds RB = Váp ou 
µ 
Vá· V(2ro) 
·--= ·' 
--··· 
onde GJ - V -.d ~~ - --
V = velocidade média em ft/s ou m/s -V 
(Ia) 
á = ~~tro .. do tubo em ·ft ou m, r~ = rai9 do tubo em -ft ou m 
11 = viscosidade cinemática do fluido em ft2/s ou m2/s 
p = massa específica do fluido ein kg/µi~_ou . ...slug/ft3 
µ =viscosidade absoluta em ~.~/ft; <?u;_~~~'-~2 •. ) 
Para ·seções retas não~irculares, a razão da área da seção 
para o perímetro molhado, chamado raio hidráulico R (em pés 
ou -ni) é usada no número de___Beynolds. A expressão torna-se: 
..-- -, 
•j ;: = V(4R;\ (lb) 
.,, ; 
L_.. -·-· ' 
--7.> Escoamento turbulento. No escoamento turbulento, as par-
tículas do fluido movem-se de um modo confuso em tôdas as dire-
ções. É impossível traçar o movimento de uma partícula individual. 
. A tensão de cisalhamento para . fluxo turbulento wde ser 
expressa como: 
"" T = (p. + 11) -, . áy (2a) 
onde 11 (eta) =um fator que depende da massa específica do fluido 
e do movimento do fluido. O primeiro fator (p.) representa os . 
efeitos da ação viscosa e o segundo fator (11) representa os efeitos 
da ação turbulenta·. 
. Os resultados ·experimentais fornecem meios . com os · quais 
se pode calcular . a tensão de cisalhamento no e_sooamento turhu-
·. lento. Prandtl . sugeriu que 
. , ( áv ) 2 
T = p.z dy (2b) 
CAP. 7 ESCOAHENTO EH ENCANA.MENTOs 
~ 
145 
era uma equação válida para tensão de ~isalhamento no escoamento 
turbulento. Esta expressã~ tem a desvantagem· de que o com-
primento de mistura l é uma função de y. Quanto maior a distancia 
y à parede do tubo, maior será o valor de l. Mais tarde, Von Karman 
sugeriu que 
- ( - .L) - 2 (d11/dy)' • 
T- To 1 ro - pk (d2 11/d!2)2 (2c) 
Conquanto k· não seja precisamente constante, êste número 
adimensional é aproximadamente 0,40. A integral desta expressão. 
nos leva a fórmulas_ do tipo mostrado em (7b) • 
• ~·Tensão . .de-cisalhamento--na -parede .. do ... t~b;)A tensão 
de cisalhamento na parede· do tubo, com desenvolvimento no 
.Problema 5, é: 
To = j p V2/8 em unidade8 psf ou kg/m2, (3) 
~o~de j é um fator de fricção adimensional (descrito num parágrafo :tubseqüente). \ Será mostrado no Problema 4 que a variação do cisalhamento 
numa seção reta é linear e que 
T= ( WhL) OU T = -u r. (4) 
O têrmo V To/P é chamado velocidade de cisalhamento ou 
velocidade de atrito, e é designado pelo símbolo v.. · Da expref!São 
(3), obtemos: 
(5) 
_:f~-;.;. Distribuição da velocidade. A distribuição da velocidade 
numa seção reta seguirá uma 'lei de variação parabólica para fluxo 
laminar. A velocidade máxima está no centro do tubO e é o dôbro 
da velocidade média. A equação do perfil da velocidade parai es-
coamento laminar (vide Problema 6) pode ser expressa como: 
, ( WhL) 
t1 = ti., - 4 µ L r2 • (6) 
Para escoamentos turbulentos, resultam uma distribuição de 
velocidade mais t!niforme. De dados experimentais de Nikuradse 
146 · l0!'.C1Nro.A. DOB. FLUIDOS 
e outros, as equações dos }>erf1S da velocidade, em têrmos da ~eloci­
dade central tlc ou v~locidade de cisalhamento ~.são as se~tes: 
(a). Uma fórmula empírica, 
ti = tlc (J'/ro)", (1a) 
onde . 
n = -~ para tubos. lisos, atê Ra = 100 006 · 
1 ' 
n = 8 para tubos ·lisos com Ra de 100 000 a 400 000. 
(b) Fara tubos lisos, 
t1 = t1to (5,5 + 5,75 log yv./11). (7b) 
Para o têrmo yv./11, vide o Problema 8, parte (e). 
(e) Para tubos lúos (5 000 < Ra < 3 000 000). e para tuoos 
na zona totalmente TUgosa, 
(t10 .- t1) = - 2,5 V 110/P ln y/ro = - 2,5 11• ln y/ro. (7c) 
Em função da velocidade média V, Vennard sugere que V/110 
pode ser expresso por 
V 1 
1 + 4,01 vJt8 • 
(d) Para tubos ásperos, 
11 = ti., (8,5 + 5,75 log y/E), 
onde E é a rugosidade absoluta da parede. 
(e) Para paredes lisas ou rugosas, 
Também, 
11 - V 
· _ r7 = 2 log y/ro + 1,32. 
Vvj 
· 11JV = 1,43 YJ + 1. 
(8) 
(9a) 
(9b) 
(9c) 
--_.,:_..:-~Perda de carga para esco&DJ.ento laminar. A perda de 
, carga para escoamento laminar é expressa pela equação de Hagen-
CAP. 7. ESCOAJilENTO EH ENCANAMENTOS. 147 
-Poiseuille, desenvolvida no Problem, 6. A expressão é: 
Perda de carga (m ou ft) = 
32 (viscosidadeµ) (distancia L pés ou m) (velocidade-m~a V) 
(pêso especifico w) (diâmetro d pês ou m)1 · 
32µ1:,v 
=---w d1 • (lOa) 
Em função da viscosidade cinemática, obtém-se, já que µ/w = 
= fl/g, 
(IOb) 
--{;/. Fórmula de Darcy-Weisbach. A C6rmula de Darcy-Weis-
bach, de8envolvida no Capítulo 5, Problema 11, é a base para o 
cálculo da perda de carga para o escoamento de fluidos em,. tubos 
e condutos. A equação é: 
. . distância L (m) 
Perda de carga (m) = ~efi~~e.~~-~trito f X diâmetro d (m) X 
Y1 1 LV1 \ 
X taquicarga - (m)/ = f - - ·j' 2g : d 2g 
1 
------·-
Como foi visto no Capítulo 6, a taquicarga. epta na seção 
reta é obtida multiplicando-se a velocidade média elevada ao 
quadrado (Q/A) 2 por um coeficiente a e dividindo-se por 2g. Para 
o escoamento turbulento em tubos e condutos a pode ser conside-
rado como unitário, sem causar êrro apreciável nos resultados. 
p Coeficiente de atrito. O coeficiente de atrito f pode ser 
encontrado matemàticamente para 9 escoamento laminar, mas não 
se tem ~enhuma relação matemática simples para a variação de f em 
relação ao número de mynolds no qtie diz respeito a fluxo turbulen-
to. Além disto, Nikuradse e ouÍros determinaram que' a rugosidade 
relativa do tubo (razão e~tre a grandeza das imperfeições super-
ficiais e o diâmetro foterno do tubo) também afeta o valor de J. 
(a) Para fluxo laminar, a Equação (lOb) acim~ pode ser ex-
pressa como: 
Perda de carga (12a) 
148 HECÂ.NICA DOS n.umos 
ASaim, para o escoament.o laminar de qualquer fluido ~m qualquer 
lulió, ·o valor de I é: 
(12b) 
R8 t.em, na prática, um valór máximo. de 2 000 para o escoa-
mento laminar 
(b) Para escoamento turbulento, muit.os pesquisadores têm con-
seguido equacionar o valor de f partindo dos resultados, de expe-
riências próprias e de outros. 
(1) Para fluxo turhulent.o em tubJJs lisos e rugosos, as leis 
gerais de resistência podem ser deduzida de: 
(13} 
(2) Para tubos lisos, Blasius sugere que, para o número de 
Reynolds entre 3 000 e 100 000, 
---'? J = 0,316/RB 0•25• (14} 
Para valores de RB até cêrca de 3 000 000, a equação de Von 
Karman; modificada por Prandtl, é: 
l/VJ = 2 log (RB yÍ) - 0,8 .. (15) 
(3) Para tubos rugosos, 
l/Vj = 2 log r0 /E + 1,74 (16) 
(4) Para todos os t1tbos, õ Instituto de Hidráulica e muitos 
engenheiros consideram a equação de Colehrook aplicável ao cálculo 
de}. Esta equação é: 
(17) 
Complementando esta equação; t.emos diagramas disponíveis 
que nos dão a relação entre o coeficiente de atrito e o número de 
Reynolds e a rugosidade relativa Ef d. Dois dêstes diagramas estão 
incluídos no Apêndice. O Diagrama A-1 (o Diagrama Moody, 
publicado por cortesia da Sociedade Americana de Engenheiros 
Mecânicos) é geralmente usado quando o fluxo Q é conhecido, 
, CAP. 7 ESCOAMENTO D ENCANAMENTOS 149 
e o Diagrama A-2 é usado quando o fluxo vai ser calculado. ~te 
último diagrama foi primeiramente sugerido por S.P. Jobnson e 
por Hunter Rouse. 
Deve observar-se que, para tubos lisos, onde
0 
o valor de E/d 
é muito pequeno, o primeiro têrmo do colchête em (17) pode ser 
desprezado; assim, (17) e (15) são idênticos. Da mesma forma, 
se o n.0 de Reynolds fôr muito grande, o segundo têrmo do colchête 
em (l 7) pode ser desprezado; em tais casos, o efeito da viscosidade 
pode ser desprezado, e j depende da rugosidade relativa do tubo. 
Esta afirmativa é gràficamente mostrada no Diagrama A-1 pelo 
fato de que a curva se toma uma horizontal para valores altos do 
n.º de Reynolds. 
Antes da utilização das fórmulas e gráficos, deve o engenheiro 
estimar a rugosidade relativa do tubo, partindo de sua própria 
experiência combinada com a de outros. Uma sugestão de valores 
do tamanho das imperfeições superticUiis para novas superfícies, 
é parte integrante dos Diagramas A:.l e A-2. 
__ Outras perdas de car~a (acidentais):' Outras perdas de 
altura âe -cargâ, oomo -nas . conexões-- de tubos, por exemplo, são 
geralmente expressas como: 
Perda de carga ft = K('f%/2g). (18) 
Vide Tabelas 4 e 5 do Apêndice. 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
vx:y Determinar a velocidade crítica para (a) um óleo com-
bustível médio a 60"F fluindo por um tubo de 6" e (b) água a 60"F 
(l6°C) 11uindo no mesmo tubo. 
Solução: 
(a) Para fluxo laminar, o valor máximo para Rs é 2 000. Da Tabeia 2 
do Apêndice, a viscosidade cinemática a 60"F é 4,75 X 10-5 ft2/s. \; . -
, 2 000 = Rs = Vc d/v = Vc(Í)/(4,75 X Io-5); Vc = 0,190 ft/s (0;057 m/s) •. 
(b) Da Tabela 2, v = 1,217 X 10-0 ft2/s para água a 600F. 
2 000 = Vc Cl> (l,217 X 10-ó) Vc = 0,049 ft/s. ("" 0,0015 m/s). 
\ // \.)\/ 7f Determinar o tipo de escoamento num tubo de 12" quando 
(a}'água a 60"F flui a uma velocidade de 3,50 ft/s e (b) óleo com-
bustível pesado flui à mesma velocidade. 
150 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Sol~: 
(a) RB = Vd/11 - 3,50(1)/(1,217 X 10-6) = 288 000 > 2 000. O escoamentó 
é turbulento. 
(6) Da Tabela- 2 do Apêndice 11 ~ 221 X lo-6 ft2/s e 
RB'"' Vd/" = 3,50 (1)/(221 X lo-6) = 1580 < 2 000. 
o escoamento é lammar . 
. ; 'y. Qual o diâmetro dó tubo que descarreg~á 90 gpm_ de 
-cSleo oombustível médio a 40"F (v = 6,55 X 1()-6 ft2/s) supondo-se 
laminar o escoainenfu. -
Solução: 
'Q = 90/(7,48 X 60) =- 0,201 ft3/s. 
V = Q/A = Q/f r d1 = 4 Q/r tP = 0,804/r d2 ft3/!!. 
_ - Vd 0,804 ( _d _ ) 
RB = --;-• 2 000 = 1 1fál - ó,55 X Io-6 , . d = 1,95 ft. 
Usar um tu~ de 2 ft de_ dj~etro.,,; 
/ j~- - - -- --- -- - -
' -4. 'Determinar a natureza da distribuição da tensão de cisa-
Jliãmeó"to numa seção reta de um tubo circular na ~ntal, sobcondições de esçoamento constante. 
Perda de carga A. 
Linna k_-_j_ 
energética-;J l°;T 
% Pl,.o-~~ T ... 
- ... 
---·@dAdT 
.._...,......,......,......,......,......,...-'"...,...-""-...,...-4-"""""°"-....... ...,......,....-
~ 
(<>) 
Solução: . 
Tensão de Veloeidade 
cisalhamento 
(b) (e) 
Fig. 7-1 
(d) 
(r) Para o corpo livre na Fig. 7-l{a), uma vez que o lluxo é constante, 
cada partfcula ~move para a direita sem aceleração. Assim, a soma das fôrças 
ua direção X deve ser igual a zero. 
PI (r r) - Pt (-r r) - T (21f,. L) = o ou _(p1-Pt)1' T = • 2L 
(A) 
CAP. 7 ESCOAMENTO EM ENCANAMENTOS 151 
Quando r = O a tensão de ciSalhamento T é nula ·e quando r = ro· a t,ensãc1 To 
na parede é um múimo. A variação é linear.e está indicada na Fig. 7-l(b). &ta 
equação (A) é válida tant.Q ·para Dt ~ i;minar qqanto turbulent.o, pois que ne-
nhuma limitação quanto ao ~ foi imposta na ded11ção. 
Desde que (p1 - 112)/w. representa a qrieda na linha de energia .ou a perda 
hL de altura de carga,. multiplicando-se a Equação (A) por. w/111 tem-se, 
wr(pi-P'l) T=-2L UI ou B 
( 5. ) Desenvolver t! .~r~o para a tenSão ,de. cisaJliaJl)en_lQ . 
na 'pai~de de um ·tubo.· . . ------
Solução: 
Do Pr ble 4 h 2ToL 4ToL o ma , L:a -- = --. 
L ~ t111'11 wd A ·fórmula de narcy-Weisbach é 
c.=f"d2g• 
· Igualando estas expressões, 
4ToL =f~ ~ e To =f..!!!.... ~ -fp "V!/8. 
wd d2g g8 
\ 
\. : 6. Para um escoamento laminar constante (a) qual é a relação 
.1 entre a. velocidade num ponto da seção reta e a velocidade no centro 
da tuhulação e (b) qual é a equação da distribuição.da velocidade? 
Solução: 
(a) Para Buxo laminar, a tellllão de cisalhamento (vide Caprtulo 1) é T =- -
- p. (do/dr). Igualando êste valor com o de T na Equação (A) do Problema 4, 
temlJI!: 
do (pi - />'J)r 
- p. b = 2L • 
Uma vez que (p1 - /1'1.)/L não é uma função de '" obtemos: 
r.. Pi - P2 .fo (pi - P2)r - d" = --- rdr e - (11 - 11c) = 4 ,. L .· , ~ 2.p. L o ,. 
ou 
(A) 
Mas a i>erda de carga em L (ft ou metros). é hL = (p1 - Pt)/w; logo, 
t11hLr 
e:s::oc---· 
4p.L 
(B) e (ô) 
152 MECÂNICA DOS'· FLUIDOS 
{6) Desde que a velocidade na parede é. nula, quando r ,: ro. 11 ... O em 
(A), e temos: 
(p1 - Pt) ru' 
11o = 4 P. L (na linha do centro). (C) 
Assim, generalizando· 
.!'·-·"• ·-- ---··-~ 
'11 = P~; {' (ro! - r}. \ 
-~·------···· 
(D} 
\ l i 
\:JJ 7. Deseoyolver a expressão para a perda de carga num tubo, 
considerando-se o escoamento laminar constante de um fluido in-
compressível. Referir~ à Fig. 7-1 (d) do Problema 4. 
Soluçlo: 
('• 
Q f11dA Jo 11(2rrdr) 2r(p1 - Pt) ('• ' ~ 
Ymecl""T"" fdA = rro! = 7rro2(4p.L) Jo (r~ -r)rdr, 
de onde 
{p1 - P!) ro2 Ymed = · 8p.L (A) 
Assim, paro escoamento laminar, a velocidade m('Clia é metade da velocidade 
máxima 11o na F.quação (C) do Problema 6. Reagrupando {A), obtemos: 
Pt - PI da de 8p.Ll'med ; 32p.LVmec1. {B) 
--10-· = per carga = -·-wro! =. w <fl 1 
._,...-.-_. 
F.stas expressões a pticam-(18 ao eseo<µnenlo laminar de todos os.jluiOO. em todos 
OI t:all& e t:DlllluJ&. 
Como foi mostrado no princípio dêste capítulo, a expressão para perda de 
carga para escoamento laminar na f6rmnla de Darcy é: 
i ti" L V2. L V2 \ 
: Perda de carga= - - - =J--· I RE d 2g d 2g 
8. · Determinar .(a) a tensão de c.i81l_lltªmento nas paredes de 
. . .-·-·----- . . ... 
um fübo dé 12" de diâmetro quando o fluxo de água causa uma perda 
de carga de 15 ft em 300 ft de comprimento de tubo (4,5 m em 
apsoximadam~nte 90 m), (b) a tensão de cisalhamento a 2" (50 mm) 
da linha de centro do tubo, (e) a velocidade de cisalhamento, 
(d) a velocidade média para um valor def = 0,050 e (e) a razão v/v •. 
SoJ..po: 
(a) Usaod<>-6e a Equação (B) do Problema 4, quando r = ro, a tensiio de 
cisalbamento na parede é : 
CAP. 1 iSCOAlllENTO EH ENCANAMENTOS 
To = tD hL rô/2L = 62,4 (IS) l/600 = 0,78 lb/Ct1 = o;OOS3 psi (3,71 X 10-1 kg/cnh 
(b) Uma vez que T varia linearmente da liÓha de centro aié a parede, 
T ~ ! (0,0053) "' 0,0018 psi (1,26 X lo-& kg/cm'). 
(e) Pela Equação (S), h =-v'T'ii = V0,78/1,94 = 0,634 ft/s (0,016 m/s). 
L V2 300 V2 (d) Usando hL = j T 2 temos . IS = 0,050 - 1- 2· e V = 8,03 ft/s ( """2,4 m/s). g g 
Por outro lado: Da Equação (3), To = jp V'/8; 0,78 = 0,050 (1,94) V'/8 
e V = 8,03 ft/s. . 
(e) De To = p. (1/;y) e v = p./p, obt.emos To = p• (1/;y) ou To/P = • (11/y). 
Desda que To/P = w.2, temos 11• 2 = 11 (11/;y); o/»• 2 = ;y/11 e o/-o. = 11.y/11. 
· 9.: Se no problema anterior, a água escoasse por um conduto 
de ';reção retangular de 3' X 4' (90 X 120 cm) de igual comprimento 
e mesma perda de carga, qual seria ª' tensãQ de._cisalhamen._tQ entre 
a água e a parede do condutor? 
Solução: 
Para condutores não circulares, o raio hidráulico é a dimensão hidráulica 
apropriada. Para um tubo circular, 
Raio hidráulico R = __ á_r_ea_da_seça~-º-· - 7r tfl/4 d ro 
perímetro molhado = ----;d = T = 2 · 
Substituindo-se r = 2R na Equação (B) do Problema. 4 
r ~ w hL R ::.1 69 A. 11 ~' r3 X.!) . L -30~~-, · 2\ 3 + 4) = 2,67 psf = 0,185 psi (0,013 kg/cm2). 
10. Um óleo lubrificante médio, de densidade 0,860, é bom-
beado através de 500 m de um tubo horizontal de 50 mm de diâ-
metro, à razão de 0,00125 m3/s. Se a queda de pressão é 2,1 kg/cm 2, 
qual {a viscosidade absoluta do óleo? f, ,_ _yJ)d 
Solução: 
Supondo-se o escoament.o laminar e reCerindo-se à Expr~o (B) no Problema 7, 
obtemos: 
32 p. LV med . .!L 0.00125 
<Pt - /12) = ,P onde Vmed = A = l r (O,OSO)~ = 0,635 m/s. 
154 MECÂNICA. DOS FLUIDOS 
l..ogo, 
(2,1 X_ 10') = 32 µ (500) (0,635) (0,05)2 e p. = 0,0051 kg·s/m2 • 
Pnru se verificar a hipóteSe inicial de escoamento laminar, avalia-sé o número 
de Heynolds para as condições do escoamento. Assim, 
Rs = Vtl = l'd w = . 0,635 X 0,0~ X 0,860 X li>I ;...., S4S • 
.,, p. g 0,00;,lX 9,81 
Uma vez que Rg < 2 000, o escoamento é realmente laminar e. o valor de 
p está correto. 
: 11. Um óleo de viscosidade absoluta 0;01 kg·s/m2 .e densidade 
0,850 corre através de 3 000 m de um tubo de ferro fundido de 
300 mm de diâmetro à razão de 0,5 m3/s. Qual a perda de carga 
no tubo? 
Solução: 
Q 0,05, Vd~) 
= 0,707 m/s e Rg =- -,-·-; = 
• . f.!:-1 . . . 1: ! . 1; 
V "'" A = t 11" (0,3)' 
_ 0,707 X 0,3 X 0,85 X lo' ,...., l 840 
- 0,01 X 9,81 ' \
/\.!:: . ;; 
1 ' 
-----·-·-··t-· -· 
o que Bignifica que o escoamento é laminar. Logo, ; '· 
64 p d 1 LV2 J=-=00348e erda ecarga= ---B11 ' d 2g· 
3000 0,712 
:= o~ x o:3 x ~ = 8,9m. 
,, 
~ · '-. 12. Um óleo combustível pesado, flui de A para B através 
d~~ 3 000 ft de um tubo de aço horizontal de 6" de diâmet!5>· A. 
pressão em A é 155 psi e em B é 5 psi. A viscosidade cinemática 
é O,OOU4 ft2/s e a densidade é 0,918. Qual a vazão em ft1/ s. 
Solução: 
·A equação de Bemoolli A-B, referência A, nos dá: 
( 155 X 144 Ve'! o) ·_ 3 000 Ye' = ( 5 X 144 Ve' o)· 0,918 X 62,4 + 211 + f i 2g Q,911 X 62,4 + 2g + 
ou 
378 = J (6 OOO)(V.a2 /2g). 
f:AP. 7 ESCOAMENTO EM ENCANAMENTOS 155 
Tanto V como f são desconhecidos e sãçi funçÕes um do out~. Se o escoa· 
mento é laminar, da Equação (B) do Problema 7, 
(p1 - 112) ,p (155 - 5) (14-i) X tW . ! . 
Vmed "" 32 I' L = 32 (0,0°'141X.0,918 X 62,4/(32,2) (3000) = 7•12 rt,s 
e Rs = 7,12 (!)/0,00444 = 800, ou seja, escoamento laminar. 
I..ogo, 
[Q = As Vs = t r (!)2 X 7,12 = J ;·lQ Ct3/s.] 
Se o eseoamçnto tivesse sido turbulenio, a equação (B) do Problema 7 não 
se aplicaria. Uma" outra aproximação será usada no Problema 15 abaixo. Além 
disto, se tivesse havido uma diferença de elevação entre os pontos A e B, o ~rmo 
(p1 - fi't) na Equação (B) seria substituído pela queda na linha piezométrica 
em unidades de pressão. 
13. Que bitola de tubo deve ser instalado para transportar 
0,03 m3/sde óleo combustível pesado a 16ºC se a perda na· altura 
disponível, ao longo dos 300 m de comprimeiito horizontal do tubo, 
é de 7m? 
Soluçio: 
~ra o óleo, 11 "" 0,00221 Ct2/s (,...,, 2 X 10-4 m2/s) e a densidade é de 0,912. 
Para um valor tão alto da viscosidade cinemática, devemos supor um escoa-
mento laminar. Assim, 
Ymed · 32µ L 
Perda de carga = ~ V. = !L = ~ = 0,0381 
Substituindo, 7 = 
e med A 1/4 7r ál J! · 
(0,0381/d2) (32) (Q,0002 X 0,912 X 103/9.81) (300) 
(0,912 X 103 ) d2 
d ~0,181 m. 
VeriCiquemos a suposição de escoamento laminar, usando-l!e d.= 0,181:_ 
Vd (0,0381/tP)d 
RB = v = 11 
0,0381 
0,181 X 0,0002 = 1.050, por_tanto laminar. 
Usar a tubulação padrão de 8". 
H. Determinar a perda de carga em 1 000 pés de um tubo 
nôvo de ferro fundido, com um diâmetro.interno de 12" sem .reves-
timento· quando: 
(a) o fluxo é de água a 60"F na velocidade de 5 ft/s e 
156 MEClNICA DOS FLUIDOS 
(b) · o fluxo é de óleo combustível médio a 60"F na mesma 
velocidade. 
Solução: 
(a) Ao se usar o diagrama A - l, a rugosidade relath-a deve ser avaliada 
e o n.• de Reynolds calcubldo. Da tabela no Diagrama A - 1 o valor de E para 
bbos de ferro fundido úão revestidos varia de 0,0004 pés a 0,0020 pés. Para 
um diâmetro interno de 1 pé e o valor estimado de E = 0,0008 pés, a rugosidade 
relativa E/d = 0,0008/1 = 0,9008. 
Usando a viscosidade cinemática da água da Tabela 2 do Apêndice, 
Re = Vd/11 = 5,00 (l,00)/(1,217 X Io-5) = 411000 (escoamento turbulento). 
Do Diagrama A - 1, para E/d = 0,0008 e Re 411 000, j = 0,0194 e, 
Perda de carga = 0,0194 (1000/l) (25/2g) = 7,5 ft. 
Ou, usando a Tabela 3 no Apêndice (sõmente para a água), j = 0,02 e 
Perda de carga = j (L/d} ( V2/2g) = 0,02 (1000/1) (25/2g) = 7,7 ft. 
(b) Para o óleo, usando a Tabela 2, RB = 5 (1)/(4,75 X 10-5) = 105 <ioo. 
Para escoamento turbulento, do Diagrama A - 1, j = 0,0213 e 
Perda de carga = 0,0213 (1 000/l) (25/2g) = 8,3 Ct. 
De W1l modo geral, o grau de rugosidade de tubos em aeniiço não pode ser 
estimado com grande precisão e assim, em tais casos, um valor preciso Je f não 
deve ser antecipado. Por esta razão, ao se usar os Diagramas A - 1 e A-2 
e a Tabela 3 pura outras superfícies que não sejam novas, sugere-se que a terceira 
casa significativa de j seja lida ou interpolada como zero ou cinco, não se ganm-
t.indo maior precisão na maioria dos casos práticos. 
Para escoamento laminar, para qualquer tubo e qualquer fluido, usar J = 6·1/Re. 
15. Os pontos A e B estão afastados de 4 000 ft ao longo 
de uma tubulação nova de aço de 6" D.I. O ponto B está 50,5 ft 
mais alto do que A e ~s pressões cm A e B ~ão respectivamente 
de 123 psi e 48,6 psi. Qual o fluxo, de óleo combustível 1.aédio 
a 70ºF, que ocorrerá de A para B? 
(Do Diagrama A - 1, E = 0,0002 ft. 
Solução: 
O número de Reynolds não pode ser calculado imediatamente. Escrevamos 
a equação de Ber.iioulli de A para B, referência A: 
( 123 X 144 + V&
2 +o) _ j ( 4 000) Ve2 =· 
0,854 X 62,4 2g · 1/2 2g 
( 48,6 X 144 Va
2 
-) 
= 0,854 X 6%,4 + 2g + SO,:> e 
CAP. 7 ESCOAMENTO EM .ENCANAMENTOS 157 
Também Rs '." Vd/'11 •. Substituindo V- na equação acima, 
R = _!!.... J 2g(l51) 
B 1f " 8000] 
ou Rg -VT = .!!.. J_ 2g (151) • 
. " ., 8000 
(A-
Uma vez que o ~rmo 151 é hL ou a queda na linha piezométrica, e 8 000 
representa L/d, a expressão geral a ser usada quando Q det1e •er determinado é: 
Rg VJ.· =- : ~2g(";_(hL) (vide Diagrama A-2 ~mbém). (B) 
Então, 
Rs VJ "" 0,500 _f-·64,4 X 151 = 13400 4,12 X 10-5 1 8 000 . . 
Uma verificação no Diagrama A-2 indicará que o escoamento é turbulento. 
Então, do Diagrama A -2, f = 0,020 para E/d = 0,000 2/0,S = 0,000 4. Comple-
tando a solução, da equaçiio de Bernoulli, acima: 
~ ....... , 
Va2 151 2, = 8 000 (0,02) = 0,944; Vs = 7,79 ítfs 
e 
· Q = As Vs = ! 11' Ci>2 (7,79) = l,53Ct3/s. 
O leitor poderá verificar a solução calculando o número de Rey-nolds e deter) 
minando o valor de f a partir do Diagrama A- 1.. 
Quando o escoamento é laminar, os métodos apresentados anteriormente 
no Problema 12 poderinm ser usados. 
16. Qual seria o fluxo de água (60"F) sob as condições do 
Problema 15 ? Usar a Tabela 3. 
Solução: 
A equação de Bernoulli 11.os fornece: 
Va2 (171,5 - 50,5) = 8 000 j 2g ; Vs2/2g = 121/8 000 f. 
A solução mais direta neste caso é supor um valor para j. A Tabela 3 indica, 
para tubo nôvo de 6", uma faixa para f de 0,0275 a 0,0175. 
Tentemos j = 0,0225. Então, 
Vs2{2g = 121/(8 000 X 0,0225) = 0,672 ft e Vs = 6,58 ít/s. 
Verificando ambos os tipos de escoamento e f na Tabela 3: 
Re = 6,58 (I/2)/(1,217 X Io-6) = 270 000, 
portanto o escoamento é turbulento. 
158 . MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Agora J, por interpolação, é 0,0210. Repetindo-se os cálculos 
Ve'f2g =-121/(8000 X 0,0210) =0,720ft ~ Ye = 6,8lft{s. 
Da Tabela 3 pani · uma precisão razoável, J ;- 0,0210. Então, 
Q = Ae Ve = l r (1/2)~ X 6,81 =- l,34ft3/s. 
!st.e método também poderia ser aplicado usando-se o Diagrama A-1, porém 
o método do Problema 15 é preferível. 
17~ Quál o fluxo de ar á 200C que será transportado horizon-
talmente, por um tubo nôv'o de aço de 50 mm D.I., à pressão abso-
lutà de 3 atmosferas e uma queda de 1,05 X 10-2 kg/cm2 em 30 m 
de tubulação. Usar E = O, 75 X 10-4 m. 
Solução: 
Do Apêndice, para 20"C, w = 0,0752 lb/ft3 = 1,23 kg/m3 e 
" = 16 X Io-6 ft.2/s = 1,48 X 10-5 m2/s. A 3 atm, w = 3 X 1,23 = 3,69 kg/m3 
e· 
" = f X 1,48 X 10-s = 0,49 X ur m3/s. 
Pura se calcular a vazão, o llr deve ser considerado como incompressível. 
Então, 
e 
L V2 (p1 - J>!)/m = Perda de car1;a = f · -d · ? ; 
. -o 
1,05 X 102 = 28;1 = J ~ . V2 e 3,69 0,05 2g . 
V2 0,0474 
2g =--1-· 
amhém do Problema 15, 
R Vtf = ~ _/ 2g (á) (hL) . 
B .,,, L 
0,05 _, 19,62 (0,05) (28.4) 
0,48 X 10-s ., 30 
Rs VJ = 10 000 (turbulento). 
Do Diagrama A-2, J = 0,025 para t/d = 0,75 X 10-4/0,05 = 0,0015. 
Então, 
V2!2g = 0,0474/f = 1,89 m; V2~ 6,1 m/s 
Q =A! V~ -t r (0,05f X 6,1 = 0,0119 m3/s de ar. 
(~s. Qual o diâmetro de um tubo nôvo de ferro fundido com 
8 000 ft de comprimento que fornecerá 37,5 ft3/s de água com uma 
CAP. 7 ESCOAMENTO EM ENCANAMENTOS 159 
queda na linha piezométrica de 215. ft? Usar a Tabela 3 parl!oi 
êste cálculo. 
Solução: 
O teorema de Bernoulli nos dá 
( p.4 + VA
2 + .) J 8 000 ir.! ( PB + Vs? ) . 
- -- zA - --·-= - ~-+zs, 
w 2g d 2g w 2g 
ou 
[ ( PA ) ( PB )] - 8 000 V
1 
- + Z.4 - - + ZB = f -- - • 
w w d ~ 
Ó têrmo à esquerda entre colchêtes representa a queda na linha piezoi:;nétrica. 
Fazendo V =- Q/A e supondo o escoamento turbulento, 
215 = 1 8 000 (37,5/Í7r'á1f. 
d . 2g 
que se simplifica para 
d5 = 1 8 000 (37,5)! = 1317 j. 
39,7 (215) 
Supondo f = 0,020 (unia vez que d e V são desconhecidos, se faz uece.ssária 
uua tentativa). Então, 
d5 = 1 (1317) = 0,020 (1317) = 26.34; d = 1,92 ft •. 
Da Tabela 3, para 
37,5 
V = 7r {l,92)21.i = 13,0 Ct/seg; j = 0,0165. 
·Para êste valor da velocidade pode exii;tir um escoamento turbulento de 
água em muitos tubOs. RecaÍcuia~do, . 
d5 = 0,0165 (1 317) = 21,70; d = 1,85 ft. 
Verificando f: V= 13,9 ft/s e a íabela 3 nos dá f = 0,0165 (cotret.0). Usar 
o lll8ÍS próximo diâmetro' padrão: tubo de 2 ft ou 24". (Verificar RB usando li 
para água a- 700F.) 
\ r · i 
,_Jj 19. Os pontps C e D de mesma cota estão afastados de 200 m 
em uma tubulação "de ·200 mm de diâmetro e estão ligados a um 
manômetro diferencial por meio de um pequeno tubo. Quando 
o fluxo de água é de 200 l/s, a deflexão do mercúrio no manômetro 
é de 2 m. Determinar· o coeficiente de ·atrito f · 
. 160 .MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Soluçio: 
(.E!.+ viio +o) _ 1 200 viia = ( pn + Y~ +o). ID 2g 0,200 2g ID 2g 
ou 
( p. - PD) = l 000 f Viro• 
. ID 2g 
(I) 
Do mnnômetrodiferencial (vide Capítulo 1), 
PL =Jlr 011 /1r:ÍID = pD/W + 13,6 (2) 
e 
( Pr.~PD) =27,2m. (2) 
Igualando (1) e {2), 27,2 = 1 Oo0j(6,36)'/2g :. f = 0,0132. 
N.T: Y = Q/A = 0,200 1/7/4 (0,2)1 = 6,36 m/s. 
20. Um óleo combustível médio, a 500F, é bombeado para o 
tanque e (vide Fig. 7-2) através de um tubo nÔV{) de aço (rebitado) 
A B 
Soluçio: 
Fig. 7-2 
de 16" D.I. e de 6 000 ft. A 
pressão eni A é de + 2 psi quan-
do o fluxo é de 7 ftª/s. (a) Que 
potência deve a bomba AB for-
necer ao óleo e (b) que pressão 
deverá ser mantida em B. Esbo-
çar a linha piezométrica. 
V: Q 7 5 O C l R' = 5,02 X 16/12 1~• = 121 000 18 = A = 1l' (16/12rl. = • 2 t,s e E 5,55 X u- . 
Do Diagrama A -1, j = 0,030 para t/d ~ 0,060/(16/12) = u,004:>. 
(a) A equação de Bernoulli, de A a C, referência A, nos fornece: 
( 2 X 144 + (5,02f + o) + H _ O 030 ( 6 000 12) (5,02)2 _ 0,861 X 62,4 2g P ' 16 X 2g 
(S~~)2 = (O + O + 80). 
Resolvendo, 
Hft = _127,3 ft e HP = w QH11 = 0,861 X 62,4 X 7 X 127,3 ~ 87. 
, . 550 550 
Potência = 87 HP . 
. O último têrmo à esquerda da equação da energia é a perda de carga do 
tubo ao tanque (vide Tabela .4 n'l Apêndice). Em geral, quando a razão (L/d) 
CAP. 7 ESCOAi\lENTO EM ENCANAMENTOS 161. 
é maior do que 2 000/l, as perdas acidentais podem ser desprcmdas 1111 equação 
de Bernoulli (aqui e~s siio canceladas). Há uma. precisão fictícia . quando tais 
perdas mínimas são incluídas no cálculo, JJOrque f não exige tal grau de precisão. 
(b) A altura da carga em B 'f'Odc ser calculada usando .Seções A e B ou. C 
e B. A primeira dei.as nos dárá menos trabalho; 
. ( V~a ) ( PB Y~a ) 
·M+-+o +i27,3 = - +-+o . 
2g ID 2g 
Assim, 
PB/ID ~ 132,7 ft e ps1 = wh/144 "" (0,861 X 62,4) (132,7)/144 .... 49,5 psi. 
As cotas da· linha piezométrica indicadas na figura são: 
Em A (100 + 5,4) = 105,4 ft 
Em B (100 + 132,7) .. 232,7 fi 
ou 105,4' + 127,3 .. 232,7 ft 
Em C = l80Ct. 
21. Em uma tubulação horizontal, em um ponto A de um 
tubo de 12" de diâmetro (f = 0,02), a altura de carga é de ~00 ft. 
A uma distância de 260 ft do· ponto A, a tubulação de 12'~ reduz-se 
subitamente para 6". A 100 ft desta redução, a tubulaçjo de 6" 
u = 0,015) expande:Se ràpidamente. para 12" e o ponto .F está 
a 100 ft desta variação de bitola. Para a velocidade de 8,025 ft/s 
. nos tubos de 12", traçar as linhas energética e piezoméjrica. Re-
ferência: Fig. 7-3. 
·I 
1 
1 
1 
201.0 
200.0 
t·:·.-.:·:·::;:···:'h:·:·:·:···:·:·:.:-:-:·:·:·:-:-:-;. •• ;.:-::;.:::::::::::::::::::" ... :;:·:-:·!·!o(-:·Y.}<·!·!·!. 
A 200'-12''. B C 100'-6" 
Fig. 7-3 
Solução: 
As taquicargas são V~2 /2g = (8,025)2/2g = 1 Ct e Va2 /2g = 16 ft. 
A linha energética cai na direção do escoamento de um valor igual à perda 
de carga. A linha piezométrica está abaixo da linha energética de um valor igual , 
.. ·.:;:.:.-· 
162 - MECÂNICA DOS Jl'LUIDOS 
à taquicarga ero cada seção. Notar na l'"igura que a linha piezométrü:a se eleva 
quando' ocorre a expausão. · 1 
· Tabela dós resultados com aproximação. de 0, l 
PERDA DE CARGA em ít Elevação Elevação 
da Linha v2 da Linha 
Em .1 1 
Energé- 2g Piezo~éf 
De Cálculo tica trica 1• 
: 
l 
A Elevaçãd O 201,0 1,0 200,0 1 
! 
B A para B 0,020 (200/1) l = ·l,0 197,0 1,0 196,0 
1 
e B pard C Kt(*) X 16 = 0,37 X 16 = 5,9 · 191,1 16,0 175,1 
D C para D 0,015 (I00/0,5) 16 = -~a U3,Í 16,0 127,1 
(V - V1~)% (32,1-8)2 
E D par:t E 
.= =9,0 134,1 1,0 133,l 
2g 6U 
F E para F 0,02 (100/l) l = 2,0 132,1 1,0 131,l 
(*) (Kc da Tabela 5; expansão súbita (D para E) da Tabela 4). 
\~//22. Um certo óleo escoa do tanque A, através de 150 m de m~a tubulação nova de 6 pblegadas de diâmetro de ferro fundido\ 
com revestimento asfáltico, para um ponto B de cota 30 na Fig. 7-4. 
Qual ê a pressão em kg/cm 2 necessária em A uara ocasionar um: 
escoamento de 12,7 I/s de 6leo? l 
(Densidade = 0,840 e v = 0,2 X 
X 1-0-5 m2/s). Usar E= 12x10-• m. 
e 
Solução: 
Vs = Q/A = 0,0127/0,0180 = 0.705 mfo. 
Fig. 7-4 
R ~ VdiP = 0.705 X 0,152 = 53 600 
E I 0,2 X 10-5 . 
Do Diagrama A-1,f = 0~5 e a equação de Bernoulli, de A para B, refe-
rência A ll08 Comece: 
·( PA + o +o) - 0,5 (0,705)2 - 0,0235 15~ (0,705)2 = [o +(O, 7052 + 6]. 
w 2g o.~ .. 2 29 2g 
Resolvendo, 
J>AÍW ~ 6,6mdéóleoep..\' = f!!h. = (0,840X101)6,6 X 10-•.- 0,55'lkg/cm1• 
CAP. 7 ESCOAMENTO EM ENCANAMENTOS 163 
23. A pressão na &ção A de uma tubula~.ão horizontal nova 
de ferro forjado de 4" D.I: é de 49,5.psi absoluta quando 0,750 lb/s 
de ar escoam is0termicamente. Calcular a pressão no tubo à Seção 
B que está a 1800 ft ·de A. (Viscosidade absoluta = 39Q X 10-9 
lb·s/ft2 e t = 900F.) Usar E = 0,0003 ft. 
Solução: 
A massa do ar varia assim-como as condições de pressão variam com o escoa-
mento. O Teorema de Bernoulli para fiuidos compressiveis foi aplicado no Ca-
pitulo 6 para condições em que uiio tinhamas peida de carga (escoamento ideal). 
A expressão básica da ener'gia, considerando a perda de carga para um L'Ompri-
mento de tubo dL e onde %1 = Zt, seria: 
dp + VdV +J dL V- =O. 
1D g d 2g . 
Dividindo por v=12g,-
, dp 2dV j 
2gfV . -'-:;;+V+ d dL = º· 
para escoamento permanente a va?-iio em massa Í' constante; entiío, W = wQ = 
= wA V e lV/wA pi1de ser sul111tituído por V no têrmo tia pressi<o riru:tira 
fornecendo, 
Para condições Í!<ot1:rmii:as, p !101 = P2Íll12 = RT ou w = p/RT. Suhsli-
tuindo w, temos, 
2gA2 (P, J:V. dV J [L 
ur! R7' .. P dp + 2 •• - 1c +--:;- df, = O, ,, ... - "1 • 1 u. .,o 
j seriao considerado uma L'Oll.'<lante, c:omn será explicado abaixo. Integrando e 
sulJ."tituindo pelos limites temos, 
~or comparação com a forma Camiliar da equação, paro z1 = z2, obtemos: 
(B) 
onde K = gA?f~ RT. Rêagrupando a Equa~o -(A): 
. W-RT[ Vi L] pl-p,2 -~- 21n-+J- . g ~% v, d (Cl 
164 . HECÂNICA DOS l'LUIDOS 
(D) 
então (C) se transforma em 
tot Yi2 Pl [ Y2 L ] (p1 - P2) (p1 + /l'I) = -- 2 ln - + 1 -
'I v. d 
2 [ 2 In . V2 + JL] Yi2 (p1 - Pt) V. d 2g. 
IDt = (l + pt/pi) =- Perda de carga. (E) 
AJJ pressões e velocidades limites serão discutidas no Capítulo 11. 
Antes de resolver esta expressão, é importante. analisar o coeficient.e j uma 
vez que a velocidade V não é constant.e para gases, onde OCOl'.rem "Variações de 
massa específica. 
RE = Vd = Vdp Wdp 
p./p p. = IO Ap. • 
.Uma vez que g ,.. ...!!. , então p 
Wd RE= --· Agp. (F) 
Devemos observar que o número de Reynolds é constante para o escoamento 
permanente, ~ vez que p. não variará se não existir variação de t.emperatura. 
O fator f por conseguinte é constante para o problema ainda que a velocidade 
varie inversamente com a pressão. Solucionando (F), usando a viscosidade 
abioluta fornecida, 
RE = 0,750 X 4/12 X 109 = 2281!00. (1í/4) (4/12)2 X 32,2 X 390 
Do jfiagrama A-1, f = 0,0205 par.a f/d = 0,0009. Usando (C) acima, 
desprezand<Me 2 ln Vz/Vi. que é muito pequeno oomparaodo-0 ao têrmo j(L/d), 
? 2 _ (0,750f X 53,3 (90 + 460) [. · 1 800 ] (49,5 X 144) - P2 - 32•2 [(r/4) (4112)~]% despr.+ (0,0205) 4112 
do qual, /l'I = 6 590 psC e Pt' = 45,1 psi absolÚta. 
Em B: 
6 590 = ª = ~ = o, 150 e f 
Ult = 53,3 (90 + 460) 0,225 lb/ft ' Vt wtA 0,225 X 0,0873 = 38•·2· t s. 
CAP. 7 ESCOAME..'\;TO F:lt F:NCA'NA:UE..~TOS 165 
Em A: 
(19,5 X 144) 
w1 = 53•3 (90 + 460) = O,M3 lb/Ct
1
, 
Vi = 0,750 - 35,Ut/s. 
0,243 X 0,0873 · 
Logo, 2 ln VJV1 = 2 ln 38,2/35,4 = 2 X 0,077 = 0,154, que é despre7.íve1 em 
relaçiio ao valor de 111 do têrmo j (L/d), portanto n pressão à seçiio B será P2' "" 
= .. 45,7 psi. 
Tendo o a.r sido considerado como incompressível, temos 
Pt - P! = j _.!:... V2 = 0,0205 X l 860 . X <35•4>' = 2 160 ft. 
IDt d 2g 4/12 2g 
âp = w1h = 0,2'1.3 X 2 160 = 525 psf = 3,64 psi. · 
e p,' = 49,5 - 3,6 = 45,9 psi, o que é uma aproximaçãobastante rigorosa. 
24. Um tubo horizontal de ferro forjado de 6" de diâmetro 
interno e apresentando alguma corrosão transporta 2 kg de ar por 
segundo de A para B. A pressão em A é 4,9 kg/cm2 absoluta e 
em B, a pressão deve ser de 4,5 kg/cm2 absoluta. O escoamento 
é isotérmico a 200C. Qual o comprimento de tubo usado de A 
até B il Usar E = 40 X 10-1 m. 
Solu9ão: 
Calculando os valores básicos (vide Apêndice para 68°F e 14,7 psi) = 1,03 
kg/cm1) 
1Dt = 0,0752 (70/14,7) = 0,358 lb/ft3 ~ 5,73 kg/m1 
IDz= 0,0752 (65/14,7) = 0,333 lb/ft3 = 5,33 kg/m3 
w 2 2 Vi~ w1A = 5,73 X l 'lf' (0,152)2 = 19•4 m/s; Vi = 5,33 .!:. (0,152)2 = 2º·8 m/s. 
4 
R 19,4 X 0,152 ,..., 
B = (I,03/4,9) (1,488 X 10-5) 945 OOO. 
Do diagrama A - I, j = 0,025 para E /d = 0,0026. 
e 
Usando a equação (E) do Problema 23, 
(4,9 - 4,5} IO' 
5,73 
2 [ 2 ln 20,8/19,4 + 0,025 (L/0,152) 1 (19,4)2/2g 
(1 + 4,5/4,9) 
[, "'2130m. 
Nota: Para o escoamento de gases em tubos, se pz não é mais do que 10% 
menor do que pi, êrro menor do que 5% na queda de pressão resultará da suposição 
do fluido ser incompressível e da utilização da equação de Bernoulli na sua forma 
usual. 
166 .MECÂNICA. DOS FLJJil)OS 
25. As cotaS dâ linha energética e da linha piezométrica no 
ponto G são 44. e 42 ft respectivamente. _Para o sistema indicado 
na ·Fig. 7-5, calCular (â) a :Potência CÓnsumida entre G e H, se a 
. linha energética em A tem cotâ 4 ft e (b) a altura de carga em E 
e F que estão na cota 20 ft (e) Calcular e esboÇar as linhas .-e~er­
gética e pieiométrica, considerando K para a ·válvula CD igual a 
0,4 e J = 0,01 para tubos de 6". 
'~ 
Fig. 7-5 
. O escoamento deve ser a partir do reservatório uma yez que a linha energética 
em G está abaixo do nível do ·reservatório.. GH é uma turbina. Antes de 
cakularmas a potência ext~ída de:vemos obt.er o valor do íluxo Q e da pressão 
ublizados. 
(a) em G: V1~2g = 2 (diferenças entre as cotas das linhas energéticas 
e piezométricas). Também Va7/2g "'.' 16 X 2,.= 32 e, · V~412g = (i/16) 2 = 
= 0,13 ft. Para obterQ: V12 = ll,34Ít/s e Q = .l/.i 'li' (l)' X Ú,34 = 8,91 ft3/s 
11.P. '." u: QHT/550 = 62,4 (8,91) (44 - 4)/550.= 40,4 extraídos. 
(b) de F a G, reíerência O: (energia êm F) - 0,0l (IOOII) (2) - (energia 
em G = 44) 
Energia em F = 44 + 6 = 50 ft. 
De E para F ref;,renci~ O: (energia em E) - (45,4 - ll,3)~/2g = (energia 
em F= 50). 
Energia em E = 50 + IS = 68 ft. 
Altura de carg& em· :-E = ·68 - (20 z + V'!/2g +32) =à '16 ft de água. 
Pressão em F = 50 - (20 + 2) ,,,,,; 28 ft de água. 
{e) Retornando a partir-de E: 
queda na linha energética D - E = 0,01 (25/0,5) (~2) = 16,0 ft 
queda na linbâ energética C - D = 0.40 (32) = 12.8 Ct 
CAP. 7 m;o()illENTO EH ENCANAMENTOS 
queda na linha energética B - C ,,;. mesma que D - E .16,0 rt 
queda na linha ~nergética A - B ""' 0,50 (32) = 16,0 ri 
(cota em D - 16,0) ,.. cota em E de 68,0; cota D :.. Si,O 
(cota em C - 12,8) = rota em D de M,O; cota C ;.. 96,8 
(cota em B - 16,0) = cota em C de 96,8; c0ta B a 112,8 
(cota em A - 16,0) = cota em B de 112,8; cota A ""' 128,8. 
167 
A linha piewmétríca está. V'/2g abaixo da liilha energética: 32,0 Ct para a 
linha de 6'i, 2ft para~ liilha de 12"' e 0,13Ct para a linha de 24". Os va!Ores 
estão indicados na Fig. correspondente; 
26. Um velho dueto retangular de 12" X 18" transporta ar 
sob a pressão absoluta de 15,2 psi e 68°F através de 1 500 pés,. com 
uma velocidade média de 9,75 ft/s. Determinar a perda de carga 
e a queda de pressão supondo-se que o duto seja horizontal e o 
tamanho das imperfeitões superficiais é de 0,0018 ft. 
Solu~o: 
O têrmo da perda de c-drgu deve ser ligeiramente alterado para aplicações 
a seções niio circulares. A ·equaçiit; resultante se aplicará ao escoamento turbu-
lento com razoável precisão. Substituir o diâmetro pelo raio hidráulico que é · 
definido como a relação entre a seção reta e o perínietro molhado, ou R = a/p. 
. . 1 
Para um tubo circular, R = 1/411" tfl/r d = d/4 e a equação de Darcy pode 
ser reescrita da seguinte forma: 
j L V' . 
Perda de carga = - - - • 
4 R 2g 
Para j e sua relação com á rug0sidad&·do conduto. e. o número de Reynolds, 
nós usamos 
R.s = Vd/v = V(4R)/v 
para o duto de 12" X 18", R = a/p = (1 X 1,5)/2 (1+1,5) = 0,30 Ct. 
e 
4VR Rs=--= 
V 
4 X 9,75 X 0,30 . 
(14,7/15,2) X 16,0 .. X lo' = 75 600• 
Do diagrama A·- 1. f = 0,024 para efd = e/4R = 0,0018/(4 X 0,30) = 0,0015. 
Perda de carga = (0,024/4) • (1 500/0,3) • [ (9,'i5)7/2g) = 44,4 Ct de ar e -queda 
de pressão = 111hf).44 = -(15,2/14,7) (0,0752) (44,4)/144 = 0,024 psi. · 
Podemos observar que a suposição de- ser ·a massa específica do ar constante 
é satisfat6rio. 
168 MECÂNICA. DOS FLUIDOS 
PROBLEMAS SUPLE!\;1ENTARES 
.atf. .Se a tensão cisalhante na p&reàe ·de um ·tubo de 12" de di&metro é 
1,óÓib/rt2 e J = 0,04, qual será a velocidade média (a) se a água estiver se 
escoando a 70"Fil (6) se_ um fluido de densidade 0,7 estiver se escoandoil 
Rup.: 10,1; 12,1 ft. 
2JC' Quais aerão 8a velocidades cisalhantes ou de atrito no problema pre-
cele'nte il -
Rup.: 0,717; 0,857 ft/s. • 
" -,J-9· Temos água esooando através de um tubo de 6" ao longo de 200 ft e 
a tensão cisalhante nas paredes é de 0,92 lb/ft2• - Determinar a perda de carga. 
Bup.: 23,6ft. 
30~; Qual o diâmetro do tubo que manterá uma tensão cisalhante na parede 
de·ó~624 par quando a água escoa através de 300 ft de tubo que causam uma perda 
de carga de 20 ft il 
Bup.: d = 0,60 ft. _/~~a velocidade crítica (inferioi-) pttra um tubo de 4" trans-porln~o -J agua a 800F. · _ 
- Bup.: 0,0558 ft/s. 
/~ -
31(' Determinar a velocidade critica (inferior) para um tubo de 4" tnms-
por~ndo óleO combustível pesado a llOOF. 
Rup.: 2,88ft/s. 
_,;t:{ Qual a queda de pressão que ocorrerá em 300 ft de tubo nôvo horizontal, 
de ferro fundido de 4" de diâmetro transportando óle«;> combustível médio a 500F 
quando a velocidade Iôr de 0,25 ft/s il 
_,, Rup.: 0,037ft. 
~ Qual a queda de pressão que ocorrerá no Problema 33, se a velocidade 
do óleo Côr de 4ft/sil _ b~ 1 A 
Rup.: 6,1 ft. 717 \ 
'J1! Considerando sõmente a perda no tubo, qual será a altura de carga 
nect!Ssária para fornecer 7,85 ft3/s de óleo combustível pesado a lOOºF através 
de 3 000 (t de um tubo nôvo de ferro fundido de 12" de diâmetro interno il Usar 
E = 0,000 8 Ít. 
Rap.: 135 ft. 
~ No Problema 35 qual seria o menor valor da viscosidade cinemática 
do ~ que produziria um escoamento laminar? 
Rap.: 0,005ft1/s. • 
Considerando sõmente a perda no tubo, qual a diferença de elevação 
-en is tanques afastados de 800 ft que forneceriam 1,1 ft3/s de um óleo médio 
de lubrificação a SOOF através de um tubo de 6" de diâmetro il 
Rup.: 49,9 fL 
BSCOillENTO EH EN~A:MENTOS · 169 
J' Um 6leo de deusidade igual a ·o.so2 e viscosidade ~mática igual a 
o,()ÍK Ct'/s escoa do . tanque A pàra o tanque B através de 1 000 rt de wn tubo 
nôvo, à razio de 3,14 Ct1/s. A altura de carga diaponfvel é de 0,527 ft. Que tubo 
devem aer usado il R~ap.: 1,97 Ct (uaar ~\ 
'Jf'- Uma bomba Comece 6leo combustível pesado a 600F atravéJ de 1 000 ft 
de um tubo de latão de 2" de dilmetro a um tanqÜe situado a 10 rt acima do 
tanque abastecedor. Desprezando as ·pequenas perdas, para um escoamento 
de 0,131 Ct3/s, determinar a bomba a ser usada (potência), se a sua efici@ncia é 
de 80%. 
Reap.: 8,2 hp. 
i \ Água a 100°F escoa de A para B através de um tubo cJe Cerro fundido de etro interno médio de 12" e com 800 ft de comprimento E = 0,002 Ct. 
O ponto B está a 30 Ct do ponto A· e a pressão em B deve ser mantida a 20 psi. 
Se estão escoando 7,85 Ci3fs através do tubo, qual deverá sér a pressão em A em 
psi? t>101.. t.( ~~ 
Resp.: 45.S psi. 
-;!J.'t-JJ . ~ Um velho tubo comercial, horizontal, de 36'.' de diâmetro internoe ·· (~ (f'f/8 ooo'ft de comprimento transporta 44,2 Ct3/s de um 61eo combustível pesado com 
uma perda de carga~~ Ct. Que pressão deverá ser mantida no ponto A, a 
montante, para manter a pressão em B igual a 20 psi~ Usar E = 0,045 Ct. 
..,; 
Resp.: 48,6 psi. i ~ 
~ Uma tubulação velha de 24" de diâmetro interno e 4 000-ft de ~om­
primento t.ransporta um óleo combustível médio a 800F de A para B. AB pressões 
em A e B são 1e3pectivamente de 57 psi e 20 psi, e o ponto B está 60 ft acima. 
do ponto A. Calcular a vazio em Ct3/seg, usando E = 0,0016 ft. 
Resp.: 25,9 Ct3/s . 
r·· " 
'\~~J(:.-~ Água escoa do tanque A, cujo nível está à cota 84 ft, para o tanque '8 cuj~;el é mantido à cota 60 ft. Os tanques estão ligados atrav~ __ umai~ 
tubulação de 100 ft de compriment.o e 12" de diâmetro_ (L ~~{),02) ,s.eguida . de • 
outra tubulaç~~- ?e.
0 
6" de diâmetro (J = 0,0lsi;' com 100 ft de compri~~~~:­
Existem dois cótovelós de 900 em cada tubulação (K = 0,5 para amba~K para 
contração ~,75 e o tubo de 12" se projeta no tanque A. Sabendo-se que a cota 
j na-redtição da linha é de S4 rt determinar as alturas de carga em cada tubulação 
no ponto de redução. 
Resp.: 28,8 ft; 22 rt. 
. ./. •Na Fig. 7-6 o ponto B está a 600 ft do reservatório. Quando a água ~~-razio de 0,5 Ct3/s calcular (a) a perda de carga devida à obstrução pareia! 
C e (b) a pressão em Bem psi (absoluta). 
Reap.: 1,1 ft; 14,2 psia. 
170 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Fig. 7-6 
., f, <õr,,,..l-, ,,. 
20' 
~-l 
. Um solvente comercial, a 70ºF, escoa do· tanque A para o tanque B ~ ~, . atra de uma lubulaçio nova· de ferro fundido, com .revestimento asfáltico, 
,,~ .. medindo 500 ft de comprimento. A diferença na elevação doil níveis do líquido 
\'.\') IY é de 23 ft. ~ tubolaçio se projeta no tanque .'.f. e duas curvas na linha causam 
uma perda de· % taquicargas. Qual será a vazão que ocorrerá? Usar E = 
= 0,00045 ft . 
. C}1~~-.. Rup.: 1,54 ft3Ís. 
,.. 
y 
\ ·z.. m dueto de aço de 2" X 4", transporta 0,64 ft3/s de água à temperatura 
J 1 60ºF e à pressão constante, apresentando uma linha piezométrica · IÇ .. 
paralela à inclinação do dueto; Qual deverá·ser·a·decli~de da·tubuiaçio··em 0 
oó°:'.>:? 1 OOOft, supondo-ee e= 0,0008S'Ct? (Usar P = 1,217 X Irrti/s.) 
. ~ . 
Jl,'>7_:1r~ ~ 3,rl·LD Rup.: 260ft. 
-··· :::) 
~ 47. QG&ndo 1,48 Ct3/s de um óleo combustível'. médio·· escoam de A para 1 o:.; 
, ,,:'B através de· 3 500 fl de uma tubulaçio nova· de 6" de ferro fundido sem reves-· 
\-\'' ., timento, a perda de carga é de 143ft. As seções-A e B estão; respectivamente' 
' às elevações ·de ·o e 60 fl e a- préssão em B é de 50 psi. Que pressão em psi deverá' 
ser mantida em A para garantirmos a vazão estabelecida? 
Rup.: 125 psi. 
48. (a) Determinar a vazão. de água através da tubulação nova de ferro 
fundido indicada na. F"ig 7-7. (b) Qual será a altura de carga em B, que está a 
100 ft do reservatório 1 (Usar Tabela 3). 
Fig. 7-7 
}6· Água a· 100-F escoe através do sistema indicado na Fig. 7-8. As tu-
bulações são de ferro fundido com revestimento asfáltico (novas); a linha de 3" 
tem um comprimento de 180 ft e a de 6", 100 ft. Os fatôres de perda de carga 
CAP. 7 ESCOAMENTO EM ENCANAllrlF..NTOS l'Tl 
rra coDeJ:ões e válvulas são: curvas de. 3", K,.. 0,4; curva de 6",. K"" 0,6; 
válvula de 6", K·- 3. ·Determinar a vazão. · · ....... 
Rup.: 0,457 ft1/s. 
1 1-M; J \J~ -IÍ2! 3" 25' 
-/'' 
Fig. 7-8 
Á Se a bomba BC indicada na Fig. 7-9 fornece 70 hp ao sistema; quando · 
o fluxo de água é de ·7,85 f&3/s a que elevação deverá set mantido· o reservatório:D? · 
Rup.: 76,6 ft. 
Fig. 7-9 
_.,-· 
~Uma bomb(l (co~ = 10 ft) fornece 7,85 ft3/s de água através de. um 
sistema horiwntal a um tanque fechado, cuja superfície líquida está à cota 
20 ft. A altura de carga na tubulação de 12" de diâmetro, no lado de sucção 
da bomba, é de - 4 ft, e na tubulação de 6", no lado de recalque, é de;+ 193,4 ft. 
A tubulação de 6" de diâmetro (j = 0,03) que tem 100 ft de comprimento, ex-
·pande-6e ràpidamente para uma tubulação de 12" U = 0,02) que tem 600 ft de 
comprimento e ter.mina no tanque. Uma válvula de 12", K = l, está localizada 
a 100 ft do tanque. Determinar a pressão no tanque acima da sui;>eriicie da água. 
Esboçar as linhas energéticas e piezométrica. 
Re8p.: 10 psi. 
é ""' . 9" diâmetro médio deveria ter um tubo de ferro fundido a fün de Co 1 Ct'~/s de água a 70-F através de 4 000 ft, com uma qur.da na linha piezo-
mé~ 70 ft? Usar Tabela 3. 
Rup.: d = 0,53 ft. 
172r/._, BC~=~ ::: F 'a...:--·~' ~~; 1 na Fig. 7-10. Det.erminar (a) a potência fJmecida à água pelú 
bomba BC, (b) ·a podncia extraída pela turbina DE e (e) a elevação a ser 
mantida no reservatório f. 
Re•p.: 1 010 hp; 71,3 hp; EI. 300. 
El.351 
1 El.331 
1 I· 
1 1 
1 
Fig. 7-10 
-· -.... ( Mj Através de uma tubulação antiga, de ferro forjado de 2" de diâmetro 
in~rn<í. sopra~ ar à temperatura constant.e de 68°F e à razão de 0,15 lb/s. A 
pressão na seção A é de 5',7 psia. Qual deverá ser a ·pressão a 500 ft de .-t na 
tubulação ? Usar E = 0,00083 ft. 
Rup.: 5,29 psia. 
( ,;(: Através de uma tubulação de 4" de diâmetro, horizontal, nova, de 
Cerr(>..forjÍldo com 200 Ct de com111~mento escoa dióxido de carbono a IOOOF. A 
pressão a montante, na seção A é de 120 psig e a velocidade média é d"' 40 ftfs. 
Supondo-se desprezível a variação de· massa específica, qual será a queda de pressão 
nos 200ft de tubulaçãoil (Viscosidade absoluta a lOOOF = 330 X 10-91bs/ft2• 
Resp.: l,79psi. J~ -J- {' n lf) "~m escoàmento laminàr ocorre ao lo:~ largo dueto retangular 
dJ'de a~:~ra. SupomhHre que a distribuição da velocidade satisfaz à equação 
11 = 16 y (3 - 4y), calcular (a) a vazão por unidade de largura, (b) o fator de 
correção de energia cinética, e (e) a razão da velocidade média para a velocidade 
máxima. 
Resp.: 4,5Ct3/s, a = 1,52; 0,67. 
~- No laboratório, um tubo pláStico de l" de diâmetro é utilizado para 
demonstrar o escoamento laminar. Se a velócidade crít.iea inferior deve ser de 
10 ft/s qual deverá ser a viscosidade cinemática do liquidQ usado ? 
Resp.: 0,000 417. 
CAP. 7 F.SCOAMENTO EH ENCANAMENTOS 173 
. ~Para o escoamento laminar em tubos, / ~·64JRs. Utilizando esta ~çi~: delienvolver a expressão da velocidade média em função d& perda 
de carga, do diametro e outros dados pertinent.es. 
Rap.: V =- gá!hL/3211 L. 
/ . 
5YDeterminar a vazão em um tubo de 12" de dilmetro se a equação de 
c:liatíibuição da velocidade é .,;. = 400 Q- - y), com a origem i;ia parede do tubo. 
l!.1!8p.: 5,25 ft1/s. 
i 
, __ ;· 
-/ 
_) 
-;... 
CAPÍTULO 8 
ENCANAMENTOS COMPOSTOS, PARALELOS, 
. . EQUIVALENTES E EM DERIVAÇÃO 
Sistemas tubUlares. Os sistemas que abastecem de água 
uma cidade ou uma fábrica podem se tornar extremamente com-
plicados. Neste capítulo somente serão considerados uns poucos 
sistemas, relativamente simples. Na maioria dos casos a água 
será' o fluido em escoamento, apesar -de que os métodos de solução 
e análise se apliquem a outros fluidos. Em geral a razão compri-
mento-diâmetro é elevada (vide Capítulo 7, Problema 20) e pequenas 
perdas -podem ser desprezadas. 
O método "Hardy Cross" de análise de escoamento em rêdes 
tubulares é apresentado nos Problemas 18, 19 e 20. V azões e perdas 
de carga nos grandes sistemas de distribuição urbana- podem ser 
analisados por meio de cálculos análogos. 
Encanamentos equivalentes. Um encanamento é_ equiva-
lente a outro ou a um sistema de outros condutos, quando para 
uma dada perda de carga, a vazão produzida no conduto equivalente 
é igual a que era produzida no sistema fcirnecido. Muitas vêzcs 
é conveniente substituir um sistema complexo por um simples 
conduto equivalente. 
Encanamentos compostos, paralelos e derivações. Enca-
namentos compostos são constituídosde tubos de_ diversas bitolas 
ligados em série. 
Encanamentos paralelos consistem de dois ou mais tubos que 
Je ramificam e se reúnem outra vez a jusante (anéis). -
Encanamentos em derivação ou ramais consistem de dois ou 
nais tubos que se ramificam e não se reencontram a jusante (proble-
ma dos reservat6rios). 
Métodos de solução. Os métodos de solu,ção envolvem o 
estabelecimento do núm~ro necessário de equações simultâneas ou 
~ ~) CA.l". 8 ENCANA~ENTOS 
o emprêgo da fórmula de Darcy, ·modificada,· na qual o coeficiente 
depende Unicamente da rugosidade relativa· do · t.ubo. Para o 
escoamento de água (ou de 01,1tro liquido de viscosida~e aproxima-
damente igual) tais fórmulas foram estudadas por Manning, Schoder, 
Scobey, HaZen-Williams e outros. 
Fórmula de Hazen-WilliaDls. A fórmula de Hazen-Williams 
será usada .neste capítulo. Neste livro as soluções. serão acom-
panhadas do uso do Diagrama B (no Apêndice) e/ou. peio uso de 
régua de cálculo hidráulico ao invés de laborio50s cálculos algébricos. 
As réguas de cálculo hidráulico poderão ser obtidas em fümas 
e8pecializadas. 
A fórmula para velocidade é: 
onde N = 1,318 para V em ft/s; R, raio hidráulico em ft; 
N = 0,850 para V em m/s e R em metros; 
S =·perda de carga unitária; 
(1) 
C1 = coeficiente de rugosidade relativa de Hazen-Williams. 
Valores para C1 são sugeridos na Tabela 6 do Apêndice. A relação 
entre esta fórmula empírica e a fórmula de Darcy será mostrada no 
Problema 1 abaixo. A maior vantagem da fórmula de Hazen-
' Williams é que o coeficiente C1 depende somente . da rugosidade 
relativa. 
No diagrama B, a vazão Q é expressa em milhões de galões 
por dia (mgd) e não em m3/s ou ft3/s. Os fatôres de conversão são: 
~ 0,0438mª/s. . . 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
l. Transformar a fórmula de Hazen-Williams na fórmula 
típica de Darcy. 
Solução: 
Sitbemos que S = h/L e· R = d/4 (vide Capítulo 7, Problema 26). Re-
sol.veodo para h, 
. . 40.83 Lº·H V 
hº ... = -- -- -· 
1,318 d°·83 C1 
1 í6 MECÂNIC,\ DOS FLUIDOS 
2g (4)1,195. ( L ) vi [ ãO.ou ] 
ou h - (1,318)1,86 d 2g yG.U tf>,16 C1l,86 = 
194 <1'·º15 ( L ) vi 
c11,a p0,11 Rpjl.15 d -2g • 
Donde 
h=ii(~) vi. 
. d 2g 
Observamos que, i1e omitirmos o pequeno valor de <1'·º15, o fator de atrito: 
li será uma (unção do número de Reynolds e do fator de rugosidade C1 para qualquer; 
líquido cuja viscosidade não varie acentuadamente com as· uiodiíicações de tem-' 
peratura. Em tais -. um valor médio (ou representativo) da viscosidade' 
seria usado como uma oonstante na f6rmula de Darcy. 
2. Compare os resultados obtidos pela solução algébricá com. 
-OS valores determinados pelo Diagrama B para (a) o escoamento 
produzido em um tubo nôvo de 12" de diâmetro com um-a queda 
na linha piezométrica de 14,4 ft em 5 000 ft de encanamento e 
(b) a perda de carga- em um tubo velho de. 24" (ferro fundido) de 
diâmetro ~ 6 000 ft de comprimento quando a vazão é de 6 mgd: 
Solução: 
(a) Algebricamente S = H,4//5 000 = 0,00288 e 
R =fd=lft. 
Da Tabela 6 no Apêndice, C1 = 130. 
Então, 
Q = A V = t 1r (1)2 [ 1,318 X 130 (f )º·83 (0,00288)º·5•] = 
= 2,38 ri.3/s = 1,54 mgd. 
Pelo diagrama. O Diagrama B é projetado para C1 = 100 D = 12" e 
s = 0,00288 uu 2,ii8 itil 000 ~t. ---
Usando ~t.es valores, Qieo = 1,17 mgd ··,(leitura feita de acôrdo com as i~-
truções anexas). ""'- ·· ~/ 
Verificand<>-« a f6rmnla de Hazen-Williams, notamos que V e Q varialn 
diretamente com o ~ficú-t,. C1. Assi~ a vazão para C1 = 130, será: · 
e 
Q130 = (130/100) (1,17) = 1,53 mgd. 
(6) Algebri~amente (C1 = 100). Q = 6 mgd = 9,28 ft3/s, 
9,28 = l 1r (2)2 [ 1,318 X 100 (2/ 4)º•81 S°•54 ] 
s ':"' 0,0020. 
Pelo diagrama: Q = 6mgd, D = 24'' 
S = 2,0 ft/l OÓO ft = 0,002 (do diagrama). 
CAP. 8 ENCANAl\iENTOS' 177 
, 3. Um tubo médio de ferro fundido de 12" de diâmetro trans-
port!l 100 l/s de água. Qual será a perda de carga em 1000 m de 
tubulação (a) usando a fórmula de Darcy e (b) usando a fórmula 
de Hazen-Williams ? · 
Solução: 
(a) V12 = 0,1/[l 11" (0,305)2 ]:::::::: 1,37 mls. Da Tabela 3 no Apêndice, 1:::::::: 
~0,0264. . 
L V2 1000 
l'erdu tfo carga = J d 2 = 0,0264 0 305 X g • 
(l,37)2 ,...., 8 3 
2 X 9,81 · ' m. 
(b) Q = 1,),10 ru3/s = 2,26 mgd e Ci = 110. 
Q 1~1ra <:1 = 100 O: ( (100/110) (2,26) 1 = 2,06 mgd. 
Do' diagrnnm n. s = 8,l rt/l 000.ft. 
Perda de curga = 8, 1 111. 
Os resultados siio IJ11slante aproximados. 
A. experiência e o hom senso· na seleção dos valores de C1 produzirão resul-
Ú1dos snt.isfutórirn; pura t!!lcoamento de águu e outros líquidos de· Yi.scosidade se-
,;1dhan1.t•. 
! Q Para uma pt!rda de carga de 5 ft/l 000 ft, e usando-se 
C1 = 100 para Lodos os tubos, quantos tubos de 8" são equivalentes 
a um tubo de 16" e a um tubo de 24"? 
Solução: 
Usando o Diagrama R, paru S = 5/1 00():. 
Qs = -0,55mgd., 
Qis = 3,40 mgd, 
Q;; = IG,ü mgd. 
1) 
As.-;irn tt-remos: Qis/Qs = 3,4/0,55 = 6,2 tulJOs de 8'', hidràulicamente equiYa· 
·l~mles a um tul•• de 16" de mesma rngosidade relativa, do mesmo modo, Q24/Qs = t· 10/0,;);j = 18,2 luhos de 8" hidr;'mlicamente equivalentes a um tubo de 24". 
i 5. Um encanamento composto, consiste de 2 000 m-. de tubo 
1. 1e 20", 1 000 rn de 16'' e 500 m de 12". Todo õ"7ncanamento 
~ nÔVo eClilft~do. -Convértt;r o sistema para (a) um 
-<iondut.o equivalPnle com 16" de diâmetro e (b) um conduto equi-
Yalenl.c d1m 3 (100 111 <le comprimento? 
Solução: 
Usar 1 :1 ~ 130 para tubo nôvo de ferro fundido. 
(a) Podemos supor uma vazão de 2,6 mgd (1121/s), (qualquer valor con-
>enieute poderá ser u~do). A fim de uR:muos o. diugrumu B, mudemos 01ao 
J>nra Q100, isto é. 
0100 = (100/130) (2,6) = 2,0 mgd .. 
178 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
82Q .. o.64 ft/l 000 ft e a Perda de Carga = o.64 X 2 -= 1,28 ( ~ 183) 
811 - 1~81ft/l.000 Ct Perda de Carga '"" 1,87 X ~ • 1,87 ( ~ 263) 
811 - 8,0 ft/l oo0 rt Perda de Carga "" 8,0 x o;5 """ 4,00 (,.., 563) 
Para Q = 2,6 mgd: Perda Total = 7,15 m (1003). 
· O tubo equivQmte de 16", deverá tramportar 2,6mgd com uma perda de 
7,~5 m (C1 ... 130). 
811 ... 1,87/i 000 = ~da de ~ga (m) 7,15 
oompr1ment.o equivalente em m .., Lg • 
Lg = 7,15/1,81 X 10-3 =- 3 823 m. 
(b) Os 3 600 m de tubo, C1 = 130, devem transportar os 2,6 mgd (1121/s) 
com uma perda de carp de 7,15-m. 
88 = Per~ de carga em m = 7,15 = 1,98/l OOO. 
comp-lDlent.o em 1 000 m 3,6 
Do Diagrama B, Ulllllldo Qloo = 2; D =- 15,5" .,. 16". 
6. Converter o encanamento . mostrado na Fig •. 8-1 em um 
encanamento equivalente de 16" .. 
Solução: 
i 
h 
t 
H 
G l100'-6"!t=o.020/ 
FATORES K 
Filtro B 
12" Curvas C e F (cada) 
12" Tê D . 
12" Válvula E 
12" X 6" Cru7.eta G (X Ys2/2g) 
6" Medidor li 
6" Curvas J, K (cada) 
6" Válvula L . 
Fig. 8-1 
= 8,0 
= 0.5 
= 0,7 
= 1,0 
= 0,7 
= 6,0 
= 0,5 
= 3,0 
&te problema poderá ser resolvido através da equação de Bernoulli, de ~ 
a M, como se segue: 
( ) ( 
curves 150) V 2 
o+o+h - s.0+2xo,s+o,1+1,o+o,02sx 1 ;; -
( 
curvas . saída 100) y8t 
- 0,7 + 6,0 + 2 X 0,5 + 3,0 + 1,0 + 0,02 X T 2g = (O + o + O) 
C,\P. 8 ·:::.~e-ANA li ENTOS. 181 
os encanamentos estão em um plano horizontal, qual será a vazão 
em cada trecho do sistema paralelo ? 
Solução: 
A queda nu linha piezométrica de A a E é de (32 - 20) = 12 m, desprezando.ae 
is pe11ue1101< valores das diferenças de taquicargas. Os Ouxos podemsér calculadoi< 
...-isto que, us declividades são conhecidas. Assim, usando o diagrama B: 
S12 = 12/3 = 4 m/l 000 m, 
Sa = 12/l := 12 m/l 000 111, 
Si.o = 12/2 = 6 111/l 000 m, 
Q12 = 1,4 mgd (41,l %) 
Qa = 0,9 mgd (26,5%) 
Qio = 1,1 mgd (32,4%) 
Total Q = 3,4 mgd (100%) 
= 61,31/s 
= 39,51/s 
= 48,21/s 
= H91/s. 
10. o Problema 9, tivesse o fluxo total sido de 285 l/s (6,5 mg<l} 
<11ml seria a ·perda decarga crue ocorreria entre ~4 e E e como seria 
o fluxo () dividido no sistema ? Usar duas soluções, o método. 
percentual e o método de encanamentos equivalentes. 
Solução: 
Em um sistema paralelo, a grandeza hidráulica comuin é a perda de carga 
através da malha (AE). A solução será feita_ como se o Problema 9 não tivesse-
sido resolvido. Supondo-se uma perda de carga de 6 m, de A a E, os valores 
du vazão para a perdn de carga considerada podem ser\ obtidos do diagrama B_ 
\ 
Sn = 6/3 = 2 mfl 000 m; Q12 = 0,95 mgd (41,33) \ -_b i. :", 
Sa = 6/1 = 6 111/l 000 m; Qa = 0,60 mgd (26,2%) 
~1o = 6/2 = :1 m/l 000 m; Qio = 0,75 mgd (32,5%) 
Q Total = 2,3 mgd (100%). 
Q12 = 41,6 ljs; <is = 26,31/s; Qic = 32,851/s; QT = 100, 751/s. 1 
(a) Método Percentual 
O fluxo em t"mla trecho do em·anamento será uma percentagem constante 
lo fluxo total atrun:,; do encanamento, para uma faixa razoável de perda de carga .. 
As 1icrce11ta1,<e11s indicadas acima aproximam-se bastante àas percentagens àet.er-
minadas no ProLll.'ma 9 (dentro da precisão do Diagrama ou da régua de cálculo). 
Aplicando-se est.;.1s percetltagens ao flws:o fornecido de 285 l/s {6,5 mgd): 
f)12 = 41,3 X 6,5 = 2,69 mgd; S12 = 13,5 m/l 000 m; LllA-E = 40,5 m 
f)a = 26,2 X 6,5 = I ,70 mgd; Sa = 40 m/l 000 m; LIIA-E = 40,0 m 
Q10 = 32,5 X 6,5 = 2,ll mgd; 810 = 20 m/l 000 m; LHA-E= 40,0 m 
fl = 6,5 mgd. 
f:-;te m;:todo permite uma verificação nos cálculos, como foi apreseul.ad<.> 
1ci111a para os valores das três perdas de carga. 
{b) Método do Encanamento Equivalente (usar um diâmetro de 12")-
0 cálculo dos escoamentos para uma perda de carga suposta, deve ser feito 
idênticamente ao primeiro método. Usando os· valores cima, para uma perda 
de ;·arga de 6 m, uma vazão de 100,75 l/s (2,3 mgd) é produzida no sistema em 
182 -MECÂNICA DOS FLUIDOS 
~'questão. Um encanamento equivalente deve produzir a mesma" vazão para a 
perda de cargo de 6 m, isto é, 
Q = 100,751/s (2,3 mgd). Perda de carga "" 6 m e 
S1z - 10,1/l 000 do diagrama B. 
Cálculo de Lg: 
h - 6 
S = - · 10 1 m/l COO m =- - e LB = 594 m (tubo 12", C1 = 100) Lg' ' Ls 
Para a vazão fornecida de 285 l/s (6,5 mgd), Su = 68 m/l 000 m e a perda de cargn 
total A - E = 68 X 0,59-1 = 40,4 m. COm esta perda de- carga, os três valores 
da vazão podem ser obtidos. 
11. Para o sistema apresentado na Fig. 8-4 (a) qual será 
a vazão quando a queda na linha piezométrica de A a B fôr de 
200 ft? (b) Que comprimento de tubo de 20" (C1 = 120) será 
equivalente à Seção AB ? 
5000'-12" 
_A __ 1~00_00_·_-_u_"_~w'""f ___ ~_=_1_2º __ JJ~z;.......~s~oo~o~·-~2~0·_·_--=-B 
e, =_120 - - e,= 120 
3000'-16" 
C1=120 
Fig.M 
Soluçio: 
(o) A solução mais direta será obtida através da suposição de uma qued;i 
na linha piezométrica (perda de carga) de W a Z. A suposição deverá ser arom-
panhada de uma conclusão .lógica. 
Por exemplo, suponhamos uma perda de carga de 30 ft de W a Z. Então, 
do Diagrama B, 
Sir= 30/5 = 6m/l 000 m e Qiz = (120/100) (l,74) = 2,1 m~ (26%) 
S11 = 30/3 = 10 m/l 000 m e Q1e = (120/100) (5,0) = 6,0 mgd ('743) 
Total Q = 8,l mgd (1003). 
A perda de carga de A a B pode ser calculada para êste fluxo total de 8,1 mgd. 
Para empregar o Diagrama B, usar Q100 = (100/120) (8,1) = 6,75 mgd. 
De A a W, Su = 2,45 ft/l 000 ft, Perda de Carga = 2,45 X 10 = 
= 24,5 Ct (23,93) 
De w a z' (comp foi suposto acima) = 30 ft (29,33) 
De Z a B, Sio = 6 ft/l 000 Ct, Perda de Cargas = 
= 6 X 8 = 48 Ct (46,83) 
Perda de Carga Total para Q (8,1 mgd) = 102,5 ft. 
Aplicando-ae êst.es wlores pereentm1is à perda de carga fornecida, de 200 ft, 
temos: 
CAP. 8 ENCANAMENTOS 
· (Perda de Carga)A-'IV reul = 200 X 23,93 = -17,8 ft; Si• =. ·11,8/10 o;a 
= 4, 78 ft/l 000 CL 
(Perda de Carga)w-z real =.200 X 29,3% = 58,6 Ct. · 
(Perda de· Carga) Z-8 fei1I = 200 X 46,8% = 93,6 Ct; &o = 93,6/8 = 
. -~M~& . 
Do Diagrama B, a vazão no luho de 2·'" é (120/100) ·(9,75) = ll,7 mgd. 
Como uma verificação, no tulx> de 20" Q = (120/100) (9,8) -ll,7 mgd. 
183 
EsLa vazio é dividida no lre..!10 n:z de acôrdo com as percentagens culculadas 
acima, 26% e 74%. 
(b) Usando as infomu1ções do item (a) . para o sistema de A a B, unia 
vazio de 8,1 mgd é produ7.idu com uma queda na linho piezométricn de 102,5 ft. 
Para 8,1 mgd cm um tuho dr. 20", C1 = 120, 
&, = b,0 fl/l 000 rt = 1,02,5/LE ou LB = 17 100 ft. 
12. Na Fig. 8-5, qual será a altura de carga em A e B, 
quando a bomba YA fornece 140 l/s? Esboçar a linha piezomé-
trica. 
Solução: 
EJ.em 
Y=15 
y 
167,8 m 
r-.._ 
: --~~-1 - ____ El.66. 
1 
1 
1 
1 
1 
1 5000 m-16" 1 
.A c,=100 B 
llombn El.16 
Fig. 8-5 
·Reduzamos o encauornento múltiplo BC (paralelo) a um encanamento equi-
valente de 16", C1 = 100. Assim fazendo, simpiificamos o sistema para um 
só tubo de m..sma rugosidade relativa. Supondo-se uma queda ·:na linha piezo-
métrica de 6,6 m de B a C, 011 seguint.es valores são obtidos através da régua de 
cálculo hidráuliw (o leitor poderá verificar os valores usando o Diagrama B), 
S10 = 6,6/3 = 2,2/l 000 ; Q10 ,;, 0,57 mgd (24,9 J/s) 
Ss · = 6,6/3,3 ~ 2/1 000 ; Qa = 0,34 mgd (14,91/s) 
Total Q = 0,91 mgd (39,81/s). 
Para Q = 0,91 mgd (39,8 V:J) e D = 16" (C1 = 100); 
S1s = 0,435/l 000 = 6,6/LE e LE = 15 172 m. 
O Cluxo da. bomba no re'lt!rvalório é de 140 l/s, ou seja, aproximadament4! 
3,2 mgd; Pura (l~ 172 + 5 000) = 20 172 m de encanamento equivalente de 16" 
a perda de carga de A a C será: 
S1s = 4,55/l 000; Perda de Carga = 4,55 X 20,17 = 91,8 m. 
184 MECÂNICA DOS l'LUIDOS 
Assim, a. cota da lin1ia piezométrica em A· será. de (66 + 91,8) ... 157,8 111, 
com~mostraarigura.Aqueda de A para Bseráiguala (4,55 X 5),ouseja, 22,75 m, 
e a cota em ·B será da (157,8 - 22,75) = 135,05 m~ Podemos considerar 135 m, 
pois o valor 157,8m foi arredondado •. 
Altura da cargÍa em A = 157,8 -15 = 142,8 m. 
Altura da carga em B = 135 . - 15 = 120 m. 
13. Na F1g. 8-6, qual o sistema de maior capacidade, ABCD 
ou EFGH? (C1 = 120 para ambos os encanamentos). 
9000'-16" 6000'-12" - 3000'-10". 
A B e D 
11000'-18" 5000'-8'' 2500'-10" 
E FI r H 7000'-'10" 
Fig. 8-6 
Solução: 
Supor Q = 2 mgd em ABCD. O autor usa a réP.a de cálculp hidráulico 
para a resolução dfste problema, porém, êle pode ser perfeitamente resolvido 
utili7.ando-se o Diagráma B. 
811 = 1,33/l 000, Perda de Carga = 1,33 X 9 = 12,0 ft 
SI! = 5,35/l 000, Perda de Carga = 5,35 X 6 = 32,l ft 
S10 = 13/1000, Perda de Carga = 13 X 3 = 39,0ft 
Para Q = 2 mgd, Perda de Carga Total = 83,l ft. 
Para o encanamento EFGH, determioemos a perceotagem de um fiuxo Q 
em cada ramal. Supor a perda de carga de F a G igual a 24 ft. Então: 
Sa = 24/5 = 4,3 Ci./l OOG it e Qs = 0,65 mgd (40,i %) 
810 = 24/7 = 3,43 ft/l 000 ft e Q1o = 0,97 mgd (59,93) 
Total Q · = 1,62 mgd (1003). 
Para comparar as capacidades, várias alternativas se apresentam. Em vez 
de usarmos comprimentos equivalentes, n6s poderíamos calcular a perda de carga 
causada por uma va:zão de 2 mgd atrav~ de cada sist.ema. O sistema de menor 
perda de car~ t.eria a maior capacidade. Ou n6s poderíamos achar o flwto Q 
causado pela mesma queda na linha piezométrica em cada sistema. O sist.ema 
de maior va:zão seria, làgicament.e, o de maior capacidade. Nest.e problema, 
comparemos a perda de carga de 83,l ft em ABCD quando Q = 2 mgd, com o 
valor da perda de carga obtida para EFGH para a mesma va:zão. 
(a) Para Qm = 2 mgd, S11 = 0,75 ft/l 000 ft: Perda .de Carga BF = 8,3 rt. 
(6) Para Qa = 40,13 X 2 = 0,80 mgd 
Sa = 7,1 ft/l 000 ft; Perda de Carga FG = 35,5 ft, 
CAP. 8 ENCANAMENTOS 185 
·ou 010 = 59,9% X 2. = 1,20 mgd (verificar) 
· (S10 = 5,1 Ct/J.. 000 Ct; Perda de Carga = · 35,5 ft). 
(e) Para Q10 · = 2 ll]gd, S1o = .13 ft/l 000 ft; Perda de ~rP. = 32,5 Ct. 
P..ua Q = 2 mgd, Perda totalde E a H = 76,3 ft. 
Portanto, o sis~a EFGH tem maior capacidade. 
14.. Na Fig. ~7, a vazão do reservatório A é de 4381/s (10 mgd) 
Deter~nar a potência consumida pela turbina DE, se a pressão 
em E é de ( - 3 m), · Esboçar as linhas piezométricas. 
Fig. 8-7 
Solução: 
A análise dês..~ tipo de problema poderia se concentrar no ponto C de junçiio. 
Primeiramente, a soma dos fluxos que chegam a C deve sêr igual à soma de fluxos 
que partem de e. Segundo, a cota da linha piezométrica em e é muitas vê?.eS 
a r.bave da solução. 
Para calcularmos a elevação da linha piezométrica em C, 1 suponhamos a 
perda de carga de A a C igual a 7,2 m. Então: 
S20 = 7,2/1,8 = 4 m/l 000 pi; Q%O = 6,5 mgd (2851/s) (42,0%) 
Su = 7,2/2,4 = 3 m/l 000 m; Q,.4 = 9,0 mgd (3941/s) (58,03) 
Total Q = 15,5 mgd (6791/s) {100%). 
Aplicando estas percentagens à· vazão fornecida de A a C: 
Q'/JJ = 4,20 mgd (185 l/s); ~ = 1,77 .m/l 000 m; Perda de Carga =. 3,J8 m •.. 
Qu = 5,80 mgd (2531/s); &_4 = 1,33 m/l 000 m; Perda de Carga = 3,18 m 
(verificação). 
Assim a elevação da linha piezométricá em C = 66 - 3,18 = 62,82 m. 
Baseados nos cálculos acima, verificamos que a linha piezométrica tem 
uma queda de 2,68 m de B a C e o escoamento se dará de B paro C. Asl!im, 
Também: 
s'J(J = 2,68/2 400 = 1,12 m/l 000 m, Q::'. 9,6 mgd {"' 420 l/s). 
Fluxo a partir de e = Fluxo para e, 
Qc-D = 438 + 420 = 8581/s (19,6 mgd). 
-·· 
~ 
186 MECÂ..'iIC.\ DOS JfLUIDOS 
Assim, S.10 = 2,68 Ql/l 000 m, LHc-D "" 8,04 m, e a elevaçi~ da linha pie-
mmétrica· em D será íde ~2,82 - 8,04 ·"'" 54,78 m •. 
p tê . bso Ida "'QHT 101 X 0,858 (54 m 78 - 21} = 384 HP. o nc1aa rv -~= . 75 
15. Na Fig. ~. a válvula F está parcialmente fechada, oca-
sionando uma pe_rda de carga de 3,6ft quando o fluxo através da 
válvulà é de 0,646 mgd. Qual será o comprimento do tubo de 10'' 
para o rese1·vatório A i\ 
1 
Fig. 8-8 
Solução: 
F .ua DB, Q = 0,646 mgd e 812 = 1,4/1 OOOft.,,.IV ~ ~· S '\... ~~.· -k< .i 
A perda de carga total de D a B = 1,4 X 1 + 3,6 = 5 ri, dando. uma cota 
cm B d~ IS Ct (considerando a cota de E = O). 
P.Jra BE, 8ii = (IS - O) /S = 3/1 000 ft. é Q = 1,46 mgd. 
Para AB, Q = 1.46 - 0,646 = 0,81 mgd e 810 = 3,45/l 000 C~ 
,- _.,---t> cl..v -~ !\ 'S- .2.. . -:.. _:, 
.J/ EnÍão, de 8 = h/L; L = h/8 4._6913,45 ""' 0,870 em 1 000 Ct. L = 870 ft. 
--·6'i'' "' b (:; -D ,Aí}. ;... (--,i::; - g D 
· 16. Devemos bombear água à razão 4e 2,0 ft1/s, através de 
4 000 ft de um encanamento nôvo de ferro fundido a um reserva-
tório, cuja superfície está a 120 ft acima do nível infürior da água. 
O custo anual do bombeamento dêsses 2 ft3/s é de US$ 5,0 por pé 
de .recalque, e o custo anual do próprio tubo é de 10% do seu custo 
inicial. Supondo-se que a tubulação de ferro fundido instalada 
custe US$ 140 p~r tonelada para classe B (pressãÓ de 200 ft), tendo 
os seguintes pesos por ft: 6", 33,3 lh; 8", 47,5 lh; 10'', 63,8 lb; 12", 
82,1 lb; e 16", 125 lb. Determinar a bitola do 1::ncanamento mais 
econômico para a instalação. 
Solução: 
Na tabela abaü:o será mostrado um sum&rio dos cálculos efetuados para o 
encanament.o de 12". A perda de carga no encanamento de 12.'', usando C =- 130 
para tubo nôvo de feno fundido será 2,06 ft/l 000 ft. (usando régua de cálcUJo 
hidráulico). 
CAP. 8 ENCANAJUENTOS 187 
Portanto, a altura de recalque total - 1%0 + 4 X 2,06 =. 128,2 lt. 
Cusio do bombeamentó = 128,2 X~ .. $UI :por ano. 
:Custo da &ubulação .instalada "" $140 X4 000 X 82,1/2.000 - SZJ 000. 
Custo anual da ~çio = 10% X $23 000 = $2 300'. · 
Tabelando l!s~ vali>res para a oomparação com os ~Utl'O!J encanamentos 
em estudo, t.emos: 
D s Perda de Altura total Custo antiai para 2 ft3/s 
in ftil 000 ft Carga de recalque = B9mbeamento + Custo do 
(em ft) -12o+LH(ft) Tubo = Total 
6" 59,0 236 356 $1780 $ 933 $2713 
8" 14,8 59,2 179,2 896 1330 2226 
10" 5,00 20,0 140,0 700 1790 2490 
12~' .2.06 8,2 128,2 641 2300 2941 
16" 0,515 2,1 122,1 611 3500 411J. 
O. encanamento econ&Dico será o de 8". 
17. Para· os níveis de água, constantes, .indicados na Fig. ~9(a), 
'luais serão as vazões verificadas ? 
Fig. 8-9(a) 
Solução: 
Q .. 
__ 1;15 
IR 
5,15 1 
si 1 
1 1. 
1 1 
1 1 
1 
-1,47 o +3,55 
(Q~b. -Qforn.) 
Fig. 8-9(b) 
Em virtude da impossibilidade de calcularmos a elevação da linha piezomé-
t.riéa em e (tôdas as·vazões •são desconhecidas), o problema será resolvido por 
t.entativas sucessivalJ. Considerem99 a elevação da linha piezométrica em e 
igual a i90 ft. Com esta suposição, o escoamento para o reservatório B ou a 
partir de B será n1;1lo, reduzindo.ee asaim os c6lculos a serem feitos. 
Portanto, para a elevação ·da tinha piU.omét.rica em C = 190. 
Szc = (212 - 190)/8 = 2,75 ft/l 000 n e Q = 7,15 mgd, chegando a e. 
Su ~ (190 - 100)/4 = 2%,5 ft/l 000 ft e Q = 3,60 mgd, saindo de C. 
188 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
O exame· destas vazões nos nlOStra que a linha piezométriâl em· C deveria 
ser mais elevada, di!sse modo, reduzindo a vazio de A e aume~tando a vazio 
para D, assim ooino adicionando· um escoamento para B. A fim de encontrarmos 
um valor ra7.oável Para a elevação em C, suponhamos um valor de 200 Ct. Assim, 
t.e,~~~~l> ·~_ P:~ ;oo.f~,<f<~i/'?;/fC:;i;;:~~#;;Ji:.''/,i:.'g;J~;J:;,;;~~ii.W ·:'/~y"':::tc:! 
. &, = (212 - 2D0)/8 = 1,5 ft/l 000 ft e Q = 5,15 mgd chegando a e. 
S1e = (200 - 190)/4 = 2,5 ft/l 000 ft e Q = 2,82 mgd saindo de C. 
S12 = (200 - 100)/4 = 25,0 Ct/l 000 ft e Q = 3:80 mgd saimie de C. 
o fluxo a partir de e é igual a 6,62 mgd em contraposição a~ fluxo para e que 
é de 5,15 mgd. Usando a Fig. 8-9. (b) como um esquema para uma terceira su-
posição racional, UlllllllOS os pontos R e S locados. A reta 8ssim desenhada in-
tercepta o eixo das ordenadas Qrecb• no ponto 5,7mgd (em escala). V'mto que 
os valores. no grá6ro não variam linearmente, usemos a vazão recebida em C, 
ligeiramente maior, digamos 6,0 mgd. 
Para Q = 6,0 íngd chegando a C, St, = 1,98 ft/l 000 ft, a Perda de Carga 
(A - C) = 1,98 X 8 = 15,8 Ct, e a linha piezométrica em C apresenta uma 
cota de (212 - IS,,8) = 196,2 Ct. Então, 
S1e = 6,2/4 = 1,,55 ft/l 000 ft, Q = 2,17 mgd fornecido por C 
Su = 96,2/4 = %4,05 ft/l 000 ft, Q = 3,73 mgd fornecido por C 
FJu~o total a partir de (i, Q = 5,90 mgd. 
Esta- aproximaPD é suficiente para o nosso caso. (Uma elevação da linha 
piezométrica em C de cêrca de 196,5 Ct provàvelmente comprovaria um fluxo 
fornecido por e de circa de 5,95 mgd.) 
13. DesenYolver a expressão utilizada para o estudo de escoa-
mento em uma rede de distribuição. 
D 
Fig. 8-10 
Solução: 
O método de análise; desenvolvido pelo 
ProC~r Hardy Cross, consiste na pressu-
posição de vazões, através da rêde, e no ba-
lanceamento, então, das perdas de carga cal-
cuiaàas. Em um sistema àe encaeameni.o 
tipo anel, indicado na Fig. 8-10, para o 
nuxo correto em cada ramal do anel, 
LHABC = LHADC ou LHABC - LHADC =O (l) 
A fim de utili:Gmnos esta relação, ·a fórmula da vazão a ser usada deve ser 
escrita sob a forma LH = kQn. Para a fórmula de Hazen-WilJi .. -- oSta expres-
são é LH = ~Q1·111i. · 
Mas uma 'Vez que são admitidos fluxos Q0 , o fluxo exato Q em qualquer 
encanamento da rede pode ser expresso como Q = Q0 + A, onde A é a correção 
a ser aplicada a (}. Então, usando o teorema binomial, 
kQi,llli = k (Qo + A)l,86 = k (Qol,86 + 1,85 Qo1,sr.-l A + ... ). 
Os têrmos, .ª partir do segundo, pOdem ser desprezados, unia vP.z que A é pequeno 
em comparação a 0.. 
CAP. 8 ENCA.NAllENTOS 189 
Para o a~l -da Fig. 8-10, substituindo em (l), temos: 
k (Qo1•81 + 1,85 Qoº•86 A) - k (Qo'1!86 + 1,85 Qo'º·86 A) = O, 
k (Qo1•86 - Qo•1•86) + l,85k (Qoº•86 - go'º•.86) A =O. 
ResOlvê~~<i ·~ifai ·A;,_;,~}~:;.ifG-,<>'.·-·: / •, iI:·tr·ii~: -·~>·~~.,~~~$\~%f'-~',\\~~i~•• 
Generalizando, 
k ( Qo 1,86 _Qo'l,86) A = - ---'-=---=-'---
1?85 k(Qoº•86 - Qo'º•86) 
:2; kQo1•85 
ll = - 1,85 l; kQoº•86 • 
Mas kQ01•86 = LH e kQoº·86 = (Ll-1)/Qo- Portanio: 
·.,·':.· 
(2) 
(3) 
l;(LH) 
A = - 1,85 :2; (LH/Qo) para cada trecho de uma r@de. (4) 
Ao utilizarmos a Expres&io (4), devemos tomar cuidado com relação ao sinal 
do numerador. A Expres&io (l) indica que os escoamentos no sentido de rotação 
dos pont.eiros do relógio podem ser considerados como produzindo perdas de carga 
de mesmo sentido, o mesmo acontecendo com o escoamento. em sentido contrário 
à rotação dos ponteiros do relógio e as perdaS neste sentido. --Isto significa que o 
sinal negativo é considerado para tôdas as condições do escoament.o no sentido 
contrário à rotação dos ponteiros do relógio, a saber, vazão Q e perda de carga 
LH. Portanto, para evitar elJ"OS, esta notação deve ser observada ao longo de 
tôda a solução. Por outro lado, o denominador de (4) é sempre positivo. 
Os próximos dois pr~bleID.~ ilustrarão como a Equação (4) é utilimda. 
~ -
19. O sistema de di$tribuição por anel. Fig. 8-11, é o mesmo 
sistema que -aparece como parte do Problema 11. 1 Para Q = 
= 11,7 mgd, qual será o _fluxo em cada trecho do anel, usando o 
método de Hardy Cross ?, . 
,_-, 
5000'-12" 
C1:: i:c 
Q w 
3000'-16" 
1; c,=o120 
·.;1• Fig. 8-11 
Solução: 
,;:::· 
Consideremos os valores de · Qiz e Qis respecti~mente iguais a 4 mgd e 
7,7 mgd. Abaixo apresentamos uma tabela que ·resume os cálculos efetuados 
(atentar para Qis = - 7,7 mgd). oS valores de S são calculados através da n:gua 
de cálculo ou do ábaco; LEI = S X L, e LH/Qo pode ser calculado. N:otar 
que o amplo :2; LH indica que as vazões Q não estão bem balanceadas. (Os 
valores foram pressupostos deliberadamente para produzirem &te alt.o 2: LH, 
11 fim de ilustrarmos o proces&<>;) 
190 MEC..~NICA DOS FLUIDOS 
L (ft) 1 Qo (mgd) 1 · S 1 LH, ft . LH/Qo 
Supost.o 1/1 000 
D A 
16" 3 000' - 7,7 -16,3 - 48,9 6,4. - 0,85 - 8,55 
l l: = 11,7, l l: = +48,6 30~. ·1 11,1 
A=_ l:LH {+ 48,6) -·-·. 
= - 0,85mgd. 1,85 l: (LH/Q) 1,85 (30,8) . 1 
Então os valores de Qi serão {4,0 - 0,85) = 3,15 mgl( e (- 7,7 - 0,85) = 
== - 8.SS mgd. Repetindo os cálculos: : .. · 
s 
1 
LH LH/Q1 íl --A·- 1 °" . . .. (. f. 
12,5 62,5 19,80 ;:~ 0,06 3,09 
- 19,8 - 59,4 6,95 
!:.í 
- 0,06 - 8,61 
l l: = + 3,1 26,75 J -· - ~ 11,70 
Não é necessário prosseguirmos nos cálculos, urna ve:i; que a réi,'11a ou o ábaco 
não podem ser lidos com precisão de 0,06 mgd. O ideal seri11 ler l: Lll igual 
a zero, mas êste objetivo é raramente atingido. 
f: interessante notar que no Problema 11 a quantid!!de do.fluxo que escoam 
na tubulação de 12" era de 26% de 11,7 mgd, ou seja, 3,05 mgd, o que é uma ve-
rificação bastante satisfatória. : i · 
20. Na Fig. 8-12 está repres~nt.a1fo. f'Squ~màticameute uma 
rêde de distribuição, com as vazões indicadas para cada trecho. 
No ponto A, a cota é 200 ft e a altura de carga é de 150 ft. A cola 
em I é de 100 ft. Determinar (a) as vazões. através da rêde e 
(b) a altura de carga em /. (Usar C1 - 120.) 
Solução: 
(a) O inétodo de resolução pode ser assim esboçado: 
(1) Supor uma distribuição do escoamento, analisando anel por anel, neste 
caso, anéis I, II, IJI e IV. Examinar cuidadosamente cada jµnção ou n6, de 
modo que o fluxo que chega ao ponto seja ipl ao fl~o que dêle sai (princípio da 
continuidade). 
(2) Computar para cada anel a perda de carga em cada encanamento do 
mesmo (utilizando equações, diagrama ou régua de cálculo). 
CAP. 8 E N.C AN AK EN TOS 191 
(3) Somar as perdas de carga ao redor de cadLanel, com o devido cuidado 
eara o aioal (a s0ina dás perda& Béndo nula ~ Qi estarão corrigidos). . 
(4) Somar os valores de (LH/Qi) e calcular o t&rmo de .correção .::1 para 
da l . . :i/;~·~:,f,)~e ~~·-«> ~i~é~1?~~~, -~g;~~ik!io, -~;;ájf~~~~~~'::';1 
diminuindo os valores supostos de Q. Para C8808 onde um tubo pertence a dois 
anéis, a diferença entre os dois .::1 deve ser aplicada como a pr6pria correção para 
a vazão Qi coDBiderada (viae aplicação abaixo). 
(6) Continuar o processo até que .::1. seja desprezível. 
~ 
.. 
1 
~ 
.... 
.. 
i 
o 
o 
e 
.... 
i! 
F 
.... 
.. 
e 
,. .. 
G 
2mgd 
3000'-20" B 3000"-20" 
4mgd 
-· 3mgd 
~ ,~ 
I i ... II õ 
o 
o 
.... 
2mgd E 1,Smgd 
3000'-16"' "'-.. 3000'-12'' 
'!.t 
?. "'~rt 
i.. e i t ... IlI IV o 
o 
o 
.... 
2mgd H lmgd 
3000'-16" t 3000'-12" 
2mgd 
Fig. 8-12 
e 
-tmgd 
!i .. i § 
.... 
Q...2,Smgd 
-~ 
As div~rsas etapas acima descritas Coram transportadas para. um quadro, 
usando-se ,a régua <le .::lilcuio hidráulico (ou á.bacoa) para obtenção dos têrmos 
de perda de carga em ft por mil ft (S). Os ~-alôres de LH são ·obtidos através 
_da multiplicação de S pelo número de mil ft do encanamento em questão. Os 
,·alores de Lll divididos por Q são também tabelados. 
Os têrmos .à. são calculados [Expressão (4), Problema 18] do seguinte modo: 
- (- 3.29) - (- 13,18) ' Ax = 1,85 (5,M) = + 0,31 .à.m= 1,85 {l4,i7) =;+ 0,50 
An = - {- 2,76) = + 0,13 A1v = - (+5,01) =- 0,12. 1,85 (11,39) 1,85 (22,58) 
Para o trecho EF no anel /, o têrmo ~ resultante será (A1 - âm) ou [ + 0,31 -
- ( + 0,50)) = - 0,19. O têrmo ~ para o anel 1 está combinado com o A 
do anel III, uma vez que o trecho EF aparece em l.'<lda um dos anéis. Do mesmo 
mr..do, para o trecho FE no anel III, o .::1 resultante é (.lrn - .11) ou [ + 0,5 -
- ( + 0,31)1 = + 0,19. Yerificamos que os t.êrmos .::1 resultantes têm o mesmo 
Trecho D, pol L, ft 
Q, ~ 1 s 1 LH 
1 
= "t/lOW LH,ft Ti À Qs 
AB 20. 3 000 4,0 1,62 4,86 1,22 +0,31 4,31 
BE 16 4000 1,0 0,37 1,48 1,48 +o,31- (0,13) ... +o.ia 1,18 
EF 16 3 000 -2.0 -1,33 -S,99 2,00 +O,Sl-(0,50) • ~0,19. -2,19 
FA 24 4000 -6,0 -l11U -5,64 0,94 +o.n -5,69 
2: "" -3,29 5,64 
BC 20 3 000 3,0 0,95 2,85 0,95 +0,13 3,13 
CD 16 4000 2,0 1;33 5,32 2,66 +0,13 2,13 
DE 12 3 000 -1,5 -3,15 -9,45 6,30 +0.13-(-0,12) ... +0,25 -1,25 
EB 16 4000 -1,0 -0,37 -1,48 1,48 +0,13-(0,31) ... -0,18 -1,18 
2: .... -2,76 11,39 
FE 16 3 000 2,0 1,33 3,99 2,00 +o,5o- < +o,31)"" +0,19 . 2,19 
EH 12 4000 1,0 1,48 5,92 5,92 +o,5o- < -0,12) = +0,62 1,62 
HG 16 3 000 -2,0 -1,33 -3,99 . ,2,00 +o,5o -1,50 
GF 16 4000 -4,0 -4,85 -19,40 4,85 +0,50 -3,50 
2: ""' -13,48 14,77 
ED 12 3 000 1,5 3,15 9,45 6,30 -0,12- (0,13) ... -0,25 1,25 
'DI 12 4 000 1,0 1,48 5,92 5,92. ...:.0,12 0,88 . 
IH 12 3 000 -1.0· -1,48 -4,44 4,44 -0,12 -1,12 
l/E 12 4 000 -1,0 -1,48 -5,92 5,92 - 0,12-(0,50) .. -0,62 -1,62 
.. 
- ... 
.. 
· -- - 2:. :.;; +s.01 . . ·-· ...... --·- ··- ....... .. . . -- ........ --·-...-·· 22,58 
CAP. 8 ENCANAMENTOS .1.93 
valor absoluto, poréai sio de süiaú opo1fos • . Isto é fàcilmente compreensível, 
uma vez que, o fiuxo em EF no anel I é cpntrário à. rotação do& ponteiros do 
r«rlógio, ao passo que em FE no anel III o ftuxó tem o sentido de rotação horário. 
J . . . . 
Det.erminação ·dos valores de Q2 para o segundo cálculo: 
QAB = (4,00 + 0,31) = 4,31 mgd, 
e~quanto que 
QEP = (- 2,00 - 0,19) = - 2,19 mgd e . f.!PA = (- 6,00 + 0,31) = 
. = -5,69m~. 
O processo se repete até que os têrm<is  sej!lm insignificantes em relação 
à precisão esperada, mantendo-se em mente a precisão. dos valores de C1 e da 
régua de cálculo ou de ábacos. Os valores rmais da vazão nos encanament.os são 
apresentados na última coluna do terceiro quadro. 
.Trecho 1 ~ 
1 
s 
1 
LH LH/Q 1 Â 
AB 4,31 1,86 5,58 1,29 +O,!.O 
BE 1,18 0,51 2,04 1,72 +0,20+negl = +0,20 
EF -2,19 -1,57 -4,71 2,15 +0,20- (0,06) = +0,26 
FA -5,69 -1,28 -5,12 0,90 +0,20 
1 
2: = -2,21 6,06 
' 
BC 3,13 1,02 3,06 0,98 negl 
CD 2,13 1,48 5,92 2,79 negl 
DE -1,25 -2,28 -6,84 5,SO negl-0,19= -0,19 
EB -1,18 -0,51 -2,04 l,72 negl.,... 0,20 =-0,20 
1 
1 
2: = +0.10 10,99 
FE 
1 
2,19 
1 
1,57 
1 
4,71 2,15 
1 
-0,06-0,20= -0,26 
EH 1,62 3,65 14,60 9,02 -0,06-0,19= -0,25 
HG -i,5ô -2,37 • -h n nr 
1 
-U,lY .l,ao -v,uu 
GF -3,50 -3,75 -15,00 4,28 -0,06 
2: = +1,94 l'i,03 
1 
ED 1,25 1 2,28 6,84 5,42 +0,19+negl= +0,19 DI 0,88 1 l,18 4,72 5,38 +0,19 
IH -1,12 i -1,83 -5,49 4,9i) +0,19 
HE -1,62 -3,65 -14,60 9,02 +0,19-(-0,06) = +0,25 
2: = -8,53 24,73 
Uma vez que as somas dos valores das perdas de carga são pequenas para 
tôdos os anéis, poderemos considerar os valores apresentados na citada coluna 
<iomo corretos dentro da precisão esperada. O leitor poderã prat.icar, calculando 
os valores seguintes de Â, depois Qs, etc. 
196 lIECÂNICA DOS FLUIDOS 
T eõricamente, quantoi t.ubos de 16" seriam necessários jl QuantoS de 20"? Quantos 
de 24"? Quantoi de 36'; ~ · 
Re1p.: 8,46; 4,68; 2,90; 1. 
;ri. Verifique as relações no Problema 25. usando um núxo de 12 mgd com 
qualquer declividade suposta para a linha piezométrica • 
.X" Qual a perda de çarga em uma tubulação nova de ferro fundido, com 
um diâmetro de 16". que ériaria a mesma vazão q;ué ocorre ·em um tubo nôvo 
de. 20" com uma queda na linha piemmétrica de 1 ft/l 000 ft jl 
Resp.: 2,97Ct/I 000 ft. 
28. Um encanamento composto ABCD ciomiste de 20 000 ft de tubo de 16", 
10 000 ft de tubo de 12" e 5 000 Ct de 8" (C1 = 100). (a) Determinar a vazão 
quando a perda de carga de A a D é de 200 ft. (b) Qual o diâmetro do tubo com 
5 000 ft de comprimento, colocado paralelamente ao tubo de 8" exis~nte e ligado 
a êle em C e D, que fará a nova Seção C - D ser equivalent.c à Seção ABC (usar 
C1 = 100)? (e) Se 8 000 Ct de tubo ·de 12" foram fixados entre C e D, paralela-
mente ao tubo de 8" CD, qual.seria a perda ·de carga total de A a B, quando 
Q = 3ft3/s? 
Resp.: 1,4 mgd; 6,6"; 135 ft. 
29. Um encanamento composto ABCD consiste de 10 000 Ct de tubo de 20", 
8 000 ft de 16" e L pés de 12" (C1 = 120). Qual o comprimento L que permitirá 
que o encanamento ABCD seja equivalente a um outro de 15", e 16 500 ft de 
comprimento, C1 ~ 100 il Se o comprimento da tubulação de 12" de C a D 
fôsse de 3 000 ft, qual seria o fluxo que ocorreria para uma perda de carga de 135 ft 
de A a D? . -
Resp.: 5 000 ft, 4,4 mgd. 
30. Converter 3 000 ft de tubulação de 10" e 500 ft de 6" colocadas em 
série, em um comprimento equivalente de tubo com 8" de diâmetro (C1 = 120 
· oara todos). 
Resp.: 4 550 ft. 
31. Os reserva~rios A e D estão ligados entre si, através de: 8 000 ft de 
tubo de 20" (A - B), 6 000 ft de tubo de 16" (B - C) e 2 000 ft de · uma 
bitola desconhecida (C - D). A diferença entre os níveis dos reservatórios é 
de 85 ft. (a) Determinar o diâmetro da tubulação CD de modo que 4,5 mgd 
fluam de A para D, usando C1 = 120 para todos os íubos: (b) Qual será a vazão 
produzida, se a tuhulação CD tiver um diâmetro de 14" e se uma tubulação de 
12" é ligada em B; paralelamente a BCD, com 9 000 ft? 
' Resp~: 13"; 6,45 mgd. 
32. Um sist.ema tubular (C1 = 120) é composto de 10 000 ft de tubo de 30" 
(AB). 8 000 ft de 24" (BC) e, de C a D, de dois tubos de 16" em paralelo, cada 
um com 6 000 ft de comprimento. (a) Para uma vazão de 9 mgd de A pa~a D 
qual será a per~a de carga ? (b) Se uma válvula em um dos tubos de 16" estiver 
fechada, qual a variação na perda de carga que ocorreria para _a mesma vazão ? 
Re.sp.: 78 ft; ·variação de 94 ft.· 
CAP. 8 ENCANAMENTOS 197 
/.. Na Fig. 8-13, para uma altura de carga em D de 100 ft, (a) calcular 
a pot8ncia lbmecida à turbina DE, (b) se a tuhulaçio vacejada r&se instalada 
(3 000 Ct de 24''), qual seria a potencia disponível para a tlÍrbina, se a va7.ão r&se 
de 13 mgdil (C1 = i20) 
/Rup.: 15,4 HP e 208 HP. ..·:.~-· ... 
4000'-1011 tO" El.O,O 
c.=120 B :A 
}'ig. 8-13 Fig. 8-14, 
. L Nn .Fig. 8-14, qudndo as alturas de carga em A e B siio de 10 ft e 295 ft 
· respedivamente, a bomba AB fornece 100 HP ao sistema indicado. Qual n 
cota em que - deve ser mantido o reservatório D il 
Resp.: 150,6 ft. Y-. É necessário fornecer 13,7 mgd ao ponto D, na Fig. 8-15, à pre$ão de 
40 psi. Det.erminar a pressão em A, 
Reap.: 45,8 psi. 
A 
Et~.,..B=I0,1 
Fig. 8-15 Fig. 8-16 
36. (o) ~a Fig. 8-16, a pressão no ponto de abastecimento D é de 30 psi 
quando 11 yaziio de A é de 6 mgd. As válvulas B e Cestão Cechadas. 1 Determinar 
a f·ota do ponto A. (b) A vazão ê a pressão em~(a) permal!ecem constantes, mas 
11 válvula C está completamente aberta e a válvula B está parcialmente aberta. 
S.: a nova cota do reservatório A fôr 211,3 ft, qual oerá a perda de carga através 
da válvula B i.I 
Resp.: 22·1; 20 fl. 
/. Det.erminar o fluxo através de cada tubulação do encanamento mostrado 
na 1-'ig. 8-17. 
Resp.: 4,61 mgd; 3,52 mgd e 1,15 mgd. 
Bomba 
Hg. ·g..17 Fig. 8-18 
JB: A bomba XY, na cota 20 ft, Cornece 3 mgd através de 6 000 ft de tubo 
nôrn de ferro fundido de 16" (YW). A pressão de descarga em Y é de 38,7 psi. 
198 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Em W, dois tubos são ligados ao de 16", um de 12" de diAinetro (C1 ·= 100) com 
2 500 Ct de comp.·imento ligado ao reservat6rio A, cuja linha· de fluxo está na 
cota 10() fteoutro de2 OCO ftdecomprimentoe.com um diâmetro de 10" (C1 = 130) 
ligado ao reservat6rio B. Determinar a cota. de B e os riuxos recebidos ou forne-
cidos pelos reservatórios. 
Bup.: 14,0 ft; l mgd e 4 mgd. 
39. Quando QED = QDc = 6,5 mgd, determinar a leitura 1.uanométrica. em 
E e a ele~-ação do reservat6rio B, na Fig. 848. 
Rup.: 70 psi; El. 181,2. 
40. Na Fig. 8-19, temos água escoando através do tubo de 36" à razão de 
22,3 mgd. Determinar a potência da bomba XA (78,5% de eficiência) que pro-
duzirá os escoament.os e as elevações para o sistema se a alturi- ~·., carga em X 
fôr nula. (Esboçar as linhas piezométricas.) 
Rnp.: 250 HP. 
Fig. 8-19 Fig. 8-20 
41. Que vazão deverá a bomba fornecer, na Fig. 8-20, quando o fluxo 
através da tubulação de 36" fôr de 30 mgd e qual a altura de car~ em A ? 
Rnp.: 25,2 mgd; 190 rt. 
42. A altura de carga em A, na Fig. 8-21, na bomba AB, é de 120 ft, quando 
a variação de energia no sistema devido à bomba, fôr de 153 HP. A perda de 
carga através da válvula Zé de 10 ft. Determinar a elevação do reservatório T. 
F....-sLoçar a!t linhas piezornétricas. 
Rnp.: 87,4ft. 
_____ 
1
El.130,0 
ELI00,0 _ 
W.''~" J\ )--~- EI.? 
Jo.._ 11 ' sooo'.:.24" '-~ f \ El.45,D;;t( z 
,..,,.,. \El.33,0/ 1 ......, C1= 120 ( ~.,.../ 1 .__) ... R El.37,9 
(todos os ?"taos). 2l. l'9 _ J , .a.:: S tZ'' •. 
A B 
Fig. 8-21 Fig. 8-22 
43. A vazão total de A, na Fig. 8-22, é de 9 mgd e o fluxo para o reservat6rio 
B é de 6,M mgd.. Achar (a) a elevação de B e (b) o comprimento do tubo de. 
24". 
Rap.: EI. 94,2; 7 280 ft. 
.CAP. 8 ENCANÂKENTOS 199 
44. Quais aio os flwroa (recebidos ~u fome«:idos) para cada reservat6rio 
lia Fig. 8-23 ~ 
Reap.: . 3,42; O; 1,87 e 1,53 mgd. 
Fig. 8-23. Fig. &-2' 
45. Se a altura de ~.em Fé.de 150ft, determinar os fluxos através do 
sistema da F"ig. 8-24. . 
Reap.: · 2,35; 2,51; 1,22 · e 6,1.mgd. 
46. Usando o sistema do Problema . 9, para Q = 5 mgd, qual será o fluxo 
e111 cada tubo e qual será a perda de carga ? Usar o método. de Hardy Cross. 
Reap.: 98 ft; Qu = 2,I; Qio = 1,6; Qs "" 1,3 mgd. 
47. Resolver o Problema 35 u9andí:> o método de Hardy Cfass. 
48. Três encaoaÍneotoe A, B e C (Fig. 8-25) estão sendo estudados. Qual 
o sistema de maior. capacidade? Usar C1 = 120 para todos os encanamentos. 
Reap.: B. 
(A) L 3000'-16" 
4000'-IO"' 
(C) 
(8) 1 1000'-18" 1 2I000'-1f'' 1 IODO'-li" 1 
Fig. 8-25 
. 49. No problema precedelite, qual o diâmetro do tubo, Com 300 ft 
de comprinÍento e colocado para)elamente a MN no sistema A (formando assim 
um anel de M a N) que faria com que o n&vo sistema A tivesseuma capacidade 
503 mafor do que C? · 
Reap.: d = 14,8 io. 
./ 
/ 
! CAPÍTULO 9 
MEDIÇÃO DE ESCOAMENTO DE FLUIDOS 
Introdução. Numerosos dispositivos são usados na prática 
para medir o escoamento de fluidos. As medições de velocidade 
são feitas com tubos de Pitot, medidores de corrente, anemômetros 
rotativos e outros. Em estudo de modelos, métodos fotográficos 
são muitas vêzes usados. As medidas de vazão são feitas através 
de oriücios, tubos, bocais, medidores Venturi e vertedores, cotovelos 
e numerosas modificações de medidores anacrônicos e de patentes 
diversas. A f"un de se aplicar inteligentemente os dispositivos 
hidráulicos, é necessário fazer uso da equação de Bernoulll e do 
conhecimento adicional das características e coeficientes de cada 
dispositivo. Na falta de coeficientes que mereçam confiança; um 
mecanismo deveria ser calibrado para as condições de operação 
esperadas; As fórmulas desenvolvidas para fluidos incompressíveis 
poderão ser usadas para .fluidos compressíveis onde o diferencial 
de pressão é muito pequeno em relação à pressão total. Em muitos 
casos práticos êste pequeno diferencial de pressão ocorrerá. Entre-
tanto, onde a compressibilidade deva ser considerada, fórmulas 
especiais deverão ser desenvolvidas e usadas (vide Problemas 5-8 
e 23-28). 
Tubo de Pitot. . O tubo de Pitot indica a velocidade em um 
ponto, em virtude do fato de que êle mede a pressão de estagnação 
que excede a pressão local estática de [w (V2/2g) J. Em um escoa-
mento aberto, uma vez que a pressão manométrica é nula, a altura 
a que o líquido sobe no tubo mede a taquicarga ou pressão cinética. 
Os Problemas 1 e 5 desenvolvem expressões para escoamento de 
fluidos incompressíveis e compressíveis, respectivamente. 
Coeficiente de descarga. O coeficiente de descarga (e) é a 
relação da descarga real através do dispositivo para a descarga ideal. 
CAP. 9 MEDIÇÃO DE ESCOAMENTO DE l'LUIDOS 
tste coeficiente pode ser expresso como: 
e= 
fluxo atual Q 
fluxo ideal Q 
201 
(1) 
Quando o coeficiente de descarga (e) fôr determinado experimen-
talmente, 
Q = cA v' 2 gH (em m'/s ou ft3/s. (2) 
Onde A = seção reta do dispositivo (em m2 ·ou ft2). 
li= altura de carga total que causa o escoamento, em me-
tros o.u . ft de fluido. 
O coeficiente de descarga também poderá ser escrito em têrmos 
do coeficiente de velocidade e do coeficiente de contração, a saber, 
(3) 
O coeficiente de descarga não é constante. Para um dado 
dispositivo, êle varia com o número de Reynolds. No Apêndice 
as seguintes informações serão encontradas: 
(1) a Tabela 7 contém coeficiente de descarga para orifícios 
circulares descarregando água a cêrca de 60ºF (16°C) na atmosfera. 
Poucos dados autorizados são disponíveis para todos os fluidos 
através de largas faixas do número de Reynolds. 
1 . 
(2) O Diagrama C indica a variação de e' com o número de 
Reynolds para 3 relações tubo-orifício. Poucos dados merecem 
crédito eficaz para número de· Reynolds abaixo de 10 000. 
(3) O Di11gr11m11 T> no11 mo.~t.ra a variação de e com o número 
de Reynolds para 3 relações de).w;ais medidores de ~ongo raio (bocais 
em tubulações). 
(4) O Diagrama E indica a variação de e com número de 
Heyuolds para 5 tamanhos de medidores Venturi de relação de 
diâmet.ro igual a 0,500. 
Coeficiente de velocidade. O coeficiente de velocidade (e,) 
é a razão da velocidade média real na seção reta de um fluxo (jato) 
para a velocidade média ideal que ocorreria se não houvesse atrito. 
Assim, 
e,= 
velocidade média atual 
velocidade média ideal 
V (4) 
V2gH 
202 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Coeficiente de contração. O cor.11ciente de contração (cc) 
é a relação da área d_a seção contraída de um fluxo Gato) para a 
área da abertura através da qual o fluido se escoa. Assim 
Cc = área do fluxo Gato) = Âjato • 
área da abertura Ao (5) 
Perda de Carga. A perda de carga em orifícios, tubos, 
bocais e medidores Venturi é expressa como: 
Perda de Carga (em ft ou metros do fluido = ( e~ 2 - l) V~to · (6) 
Quando esta expressão é aplicada a um medidor Venturi, 
Viaw = velocidade na garganta e, e, = e. 
Vertedores. Os vertedores medem o fluxo de líquidos em 
canais abertos, usualmente água. O número de equações empíricas 
encontradrui na literatura espe~ializada é bastante considerável, 
cada uma delas com suas limitações. Somente umas poucas são 
indicadas abaixo. Muitos vertedores são retangulares: o vertedor 
submerso sem contração alguma, geralmente 11sado para grandes 
escoamentos, e vertedores conlrafdos, para pequenos escoamentos. 
Outros tipos de vertedores são triangular, trapezoidal, parabólico 
e de escoamento proporcional. Para resultados de precisão o ver-
tedor deveria ser calibrado no lugar, sob condições para as quais 
foi planejada sua utilização. 
Fórmula teórica de vertedor. A fórmula teórica de vertedor 
para vertedores relauguiares, desenvoiviàa no Prohiema 29, é: 
onde 
(7) 
Q vazão em ft3/s ou m3/s 
e = coeficiente (a ser determinado experimentalmente) 
b comprimento da crista do vertedor em ft ou metros 
H = altura de carga no vertedor em pés ou metros (altura 
do nível da superfície líquida acima da crista) 
V = velocidade de aproximação em ft/s ou m/s. 
CAP. 9 MEDIÇÃO DE ESCOAMENTO DÊ FLUIDOS 203 
Fórmula de Francis*. Baseia-se em experiências feitas conr 
vertedores retangulares de 3,5 ft a 17.ft de comprimento sob altura 
de ·carga 0,6 a l,6 ft. 
( nH) [(. y2 )ª'2 ( p )ª/'] Q = 3,33 b - 10 H + 2 - 2 . . 
. g g 
(8) 
Onde os sím~los são os mesmos anteriormente citados e, 
n O para vertedores submersos 
n l para um vertedor com uma contração 
n = · 2 para vertedor13s com~letamente contraídos. 
Fórmula de Bazin. A fórmula de Bazin (comprimentos de 
1,64 Ct a 6,56 ft. sôbre cargas variáveis de 0,164 ft a 1,969 ft) é: 
Q = ( 3,25 + º·o;89 ) [ l + o,55 ( H ! z.) 2 J bH1' 2• (9) 
·Onde Z = altura da crista do vertedor acima do leito do canal. 
O têrmo entre colchêtes torna-11e desprezível para baixas velocidades 
de aproximação ou de afluxo. 
Fórmula de Fteley e Stearns. A fórmula de Fteley e 
Stearns (comprimentos de 5 ft a 19 ft sob alturas de carga variando 
de_ 0,07 ft a 1,63 ft) para vertedores submer~s é: 
( 
y2)3/% Q = 3,3 lb H + a 2g + 0,007 b. (10) 
Ond~ r1 = fator que de[>ende da altura de crista Z (tabela de 
valores necessários). 
FÓRMULA PARA VERTEDORES TRIANGULARES (desenvolvida DO 
Problema 30) é: 
Q = 8/15 e tg (8/2) y2g" H''2 (11) 
ou, para um dado vertedor, Q = mH5' 2• (12) 
• N. T. A f6rmula de Francis baseia-se numa pequena série de exper1enc1as 
sôbre o vertedor de 3 m X 1,5 m de altura operando com cargas variáveis de 
210 a 300 mm medidas a 1,80 m a montante da aresta. A fórmula (8) é original 
e pode ser fàcilmeote transformada para o sistema MKS. Desprezando-se a 
veloclda0de de fluxo ou de aproximação, a fórmula de Francis apresenta-se como 
é mais freqüentemente·usa:da,-isto é, ·Q = l;M.bff3'2 (sistema métrico). 
204 KECÂNICA. DOS J'LUJDOS 
:PÓBMULA DO VERTEDOR TRAPEZOIDAi. (de êipolletti) é: 
Q = 3,367 bHlfz. (13) 
:F.ste vertedor tem um lado (terminal) com declive de 1: 4 {ho-
rizontal para vertical). 
Para REPRisAs usadas como VERTEDORES, a expressão para o 
fluxo aproximado é: 
Q = mbll31:, (14) 
onde m = {ator experimental, usualmente do estudo de modelos. 
Escoamento não uniforme sôbre vertedores de soleira espêssa 
será discutido no Capítulo 10, Problema 52. 
o TEMPO PARA ESVAZIÀR TANQUES por meio de um orifício é 
(vide Problema 38): 
41)., 
(1'- -Ardh 
l = } 11. . Qaa(d& - Qentrsd& 
(seção reta constante, 
sem afluxo) (15) 
(seção reta constante, 
afluxo < defluxo) · (l6) 
Para um tanque cuja seção reta não é constante (~ide Problema 
o TEMPO PARA ESVAZIAR TANQUES por meio de vertedores é 
calculado utilizando-se(vide Problema 43): 
(17) 
Ü TEMPO PARA ESTABELECER UM E.SCOAMENTO EM UMA TUBU-
LAÇÃO é (vide Problema 45): 
t = L Vi ln ( Vi + V ).U 
2gH V1 - V 
(18) 
PROBLEMAS RESOLVIDOS 
i. Um tubo de Pitot tendo um coeficiente de 0,98 é usado 
para medir a velocidade da água no centro de um tubo. A pressão 
CAP. 9 HEDIÇÃO DE ESCOAHENTO DE ~UIDOS 205 
de estagnação é de 18;6 Ct e a altura de carga eátática no tubo é de 
15,5 ft. Qual ·é a velocidade ? · 
Soluçãor 
Se o tubo é feito de ac&do com os 
requesitos, e posicionado corretament.e, 
um 1>9nto de velocidade nula (ponto de 
estagnação) é desenvolvido em Bem Cren-
te ao terminal. aberto do iubo (vide 
Fig. 9-1). Aplicando o Teorema de Bet--
noulli de A a B, no líquido perturba-
do, ternos: 
T 
Fig. 9-1 
( PA VAZ ) ( PB ) -+--+o -semperdas= -+o+o. 
ID 2g (aupmto) ID 
Então, para um fluido ideal "sem atrito", 
VA2 = PB _ _u 
2g 1D . [w ou 
18,6' 
(l) 
(2) 
Para um tubo real, o coeficient.e (e) que depende do desenho do tubo deve 
ser introduzido. A velocidade real para o 11roblema em questão seria: 
VA ==e V2g (ps/w - pAfw) = 0,98 V2g (18,6 - 15,5 = 13,8 ft/s. 
A equação acima será aplicada a todos os fluidos incompressíveis. O valor 
de (e) deverá ser considerado como unitário em muitos problemas de Enizenbaria. 
Resolvendo (l).acima, para a pressão de estagnação em B, tenios: 
PB = PA +!PY2 onde p .,; w/g. (3) 
2. Temos ar escoando através de um dut.o P. um tubo de 
Pitot-estático medindo a velocidade é fixado a um manômetro 
diferencial contendo água. Se a deflexão do manômetro é de 100 mm, 
calcular a velocidade do ar supondo-se que o pêso específico do 
ar é constante e igual a 1,22 kg/m3 e que o coeficiente do tubo 
é 0,98. 
Solução: 
Para um manômetro diferencial, 
{p,t. - ps)/w = 0,100 X 103/1,22 = 82 m de ar. 
Então, 
V = 0,98 V 2 X 9,81 (82) = 39,.2 m/s 
(vide Problema 26-28 e Capítulo 11 para considerações a respeito de velocidade 
acústica). 
206 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
3. Tetracloreto de carbono (densidade 1,60) escoa através de 
um tubo. Um manômetro diferencial adaptado at> tubo Pitot-es-
tático mostra 75 mm de deflexão de mercúrio. Supondo-se e = 1, 
calcular a velocidade. 
Soluçio: 
PB - PA = (0,075) (13,6 - 1,6) 103 = 900 kg/mi, 
V = V 2 X 9,81 [ 900/(1,6 X 103)] = 3,32 m/s. 
4. A água escoa a uma velocidade de 4,65 ft/s .. Um man&-
metro diferencial c~ntendo um líquido de densidade igual a 1,25 
é adaptado· a um tubo de Pitot-estático. Qual é a deflexão ·do 
líquido . indicador il 
Solução: 
V = e v' ~ (â p/111); 4,65 = 1,0 V 64,4 (.4. p/111) e .4. p/111 = 0,336 ft de 
água. 
Aplicando m princípios de man6metros diferenciais, 
8,.QJ36 = (l,25 - l) h e h '"' l,34 ft de deflexão. 
5. Deseawotv11 a expressão para medição de va7.ão de um gás 
com um tubo de Pitot. 
Solução: 
O escoallEBIO de A para B na Fig. 9.1 pode ser considerado adiabático e 
com uma perda desprezível. Usando a equação de Bernoulli (D) no Problema 20 · 
do Capítulo 6, de A para B, obtemos: 
[ (1:~ i) =~ + ~~2 +O J -Perdas desprezíveis= 
[ ( k ) ( PA. ) ( PB ) (k-1)/k ] = -.- - - +o+o • k-1 111A PA 
ou 
% ( k ) ( PA ) [ ( PB) (k-l)ík ] V.d~= -- -- --· -1 
k -1 IDA PA 
(1) 
O têrmo PB é a pressão de estagnação. Esta Expressão (1) é usualm•mte 
reagrupada, iubudmindo-ee a relação da velocidade em A para a v~ocidade 
acústica· {e) do llaido não perturbado. 
CAP. 9 MEDIÇÃO DE ESCOAMENTO DE FLUµ>OS 207 
Do Capítulo l,.a velocidade acústica e= v'EiP = v'k;ii =·V kpg/w. 
· Combinando com a eqiiação (1), acima 
ou 
(2) 
Expandindo pelo teorema binomial, 
PBIPA = 1 + : c:Ar[1 +l (~Âr- _k;·2 (~Ar+ .... ]. (3) 
A fim de comparar esta expressão com a fórmula (3) do Problema 1, multi-
~liquemos ambos os têrmos por PA e substituindo (kpA/c1) por PA .• obtemos: 
As expressões acima aplicam-se a t.odos os fluidos compressiveis para .as 
relações de V/e menores que a unidade. Para razões.:supetioteS:a ~ade, o.Odas 
de choque e outros fenônÍenos ocorrerão e a suposição -~iahá&iea- Jfio .ser.i süü-
cientemente precisa e a dedução não mais se aplicará. A relação Vfc é chamada 
número de Mach. 
O têrmo entre colchêtes na E'}Uação (4) é maior que a unidade e os.do~ pri-
meiros ~mos fornecem uma precisão suficiente. O efeito de compressibilidade é 
aumentar a pressão no ponto de estagnação acima da pressão de um fluido incom-
pressível (vide Equação (3), Problema 1). As velocidades acústiCRB ~rão discutidas 
nos Problemas 26-28 no Capítulo 11. 
6. O ar escoando sob condições atmosféricas (w = 1,22 kg/mª a 
16°é) a uma velocidade de 100 m/s é medido por um tubo de Pitot. 
Calcular o êrro na expressão de estagnação em virtude da suposição 
de o ar ser incompressível. 
Solução: 
Usando a fórmula (3) do Problema 1 acima, 
PB = PA + ~ p V' = 1,03 X 104 + i (l,22/9,81) (IOOf = 10 922 kg/m2 absol. 
Usando a fórmula (4) do Problema 5 ~cima e 
;, 
e = V kg RT = V U (9,81) (29.,3) (289) : . • e_ = 341 m/s 
PB = 1,03 X 104 + ! (l,22/9,81) (100)2 [ 1 + l (100/340,3)2 ••• ] 
= 10 300 + 622 ( l + 0,023 J = 10 923 kg/m'? absol. 
208 MECÂNICA DOS J'LUJDOS 
O êrro na pressão de estagnação é menor do que 0,1 % e o êrro na diferença 
(pB - PA} é de c&ca de 23. 
7. · A diferença entre a pressão de estagnação e a ·pressão 
estátiéa medida por um dispositivo PitOt-estático é de. 412 lb/ft2• 
A pressão estática é de 14,5 psi e a temperatura no fluxo de ar é 
de 60"F. Qual é a velocidade do ar, (a) supondo ser o ar com-
pressível e (b) supondo ser o ar iriêompressível? 
e 
SoJuçio: 
(a} PA = 14,S (144) = 2 090 lb/ft2 . e e = V kg RT 1,4 (32,2) (53,3) (520\ ~ 
= l 117ft/s. 
· Usand~ a Equação (2) · do Problema 5, 
k l V 2 . k/(k-l) 
PBf PA = [ l + ( --T-) ( cA) ] 
(b} 1D = l4,5 (144)/53,3 (520) = 0,0752 lb/f't3 
V= V2g(ps/w - PA!w) V= V2g(412/0,0752) = 593ft/s. 
8. O ar escoa. a 800 ft/s através de um duto. A pressão 
manométrica de estagnação é de - 5, 7 ft de água, considerando 
condiÇões normais. A temperatura de estagnação é de 145!'F. 
Qual é a pressão estática no doto ? 
Sol~ ... 
Como temos duas inc6gnitas Dll Equação (2) do Problema 5, consideremos 
o valor do número de Mach {V/e)= 0;72. Então, 
(- 5,70 + 34) 62,4 = PA ( 1 + l (1,4 - 1) (0,72)2]1.4/0.4 
e PA = 62,4 (28,3)/1,402 = 1260 lb/ft2 (absoluta). Verifiquemos a suposição, 
usando a i;elação adiabática: 
T /T = (p I )<k-iltk . 460 + 145 = ( 28,:t X 62,4 ) o,4/i.4 
B A • BPA • TA 1260 • 
TA = 548° Rankine. 
Também: 
e= VkgRT ~ Vl,4(32,2)(53,3)(548) = 1145ft/s. 
CAP. 9. MEDIÇÃO DB ~OAMENTO DE :t'LUIDOS_. 209 
Então, Vfc ~ 800/1145 - 0,699 
62,4X 28,3 
PA "' [l + 0,2 (0,699)2] 1,4~,4 "" l 270 lb/R2 ahsol. 
O grau de precisão é suficiente. 
9. Um orifício padrão de 4" de diâmetro descarrega água 
sob uma altura de carga de 6 m. .Qual é. o fluxo em ·m~/s? 
~luçlloz 
· Aplkando a equação de Bernoulli de A a B, re-
ferênda B na Fig. 9-2, 
( 1 ) y.? (yf ) (O+O + 6) - t - 1 -~· = Jato + PB + O • 
e, 2g 2g ta 
Ma11 a altilra de carga em B é nula (como foi 
dilK:~tido no Capítulo 4: Problema 6). Então, 
Fig. 9-2 
Também Q = Âjato Vjato. a qual, usando-se _as deímições dos coeficientes, se 
transforma em: 
Da Tabela 7, e = 0,594 para D = 4" e h = 20 Ct (6 m). Portanto, 
10. A velocidade real na seçã() contraída de um jato de líguido 
que se escoa de um o~ifício de 50 mm de diâmetro é 8,5 m/s, sob 
uma altura de carga de 4,5 m: (a) qual é o valor do coeficiente 
de velocidade, (b) se a descarga medida é de · 111/s, determinar 
os coeficientes de contração e de descarga. 
Solução: 
(a) velocidade real = c0 v'2iJi 8,5 ,.j e. V,}9,62 X 4,5, _e, = 0,904 
(6) Q (real)= cA V2gH; 0,011 = c[f'K·(0,05)21XV19,62X4,S c=0,595. 
Sabendo-se que e = e, X ec; e,, :. 0,595/0,904 = 0,658. 
~10 MECÂNICA DOS·J'LUIDOS 
ll •. Através de um orifício de 2s·inm de dfâmetró temos ól~ 
se. esooando' à razão de 3,14 Jis sob uma altm.a de ·carga de 5,S m. 
O jato choca"Se com uma parede a 1,5 m de distância do· orif"icio 
e a. 0,12 m, verticalmente abaixo da línha de centro da ~ção CÓil-
traída do jato. · Calcular os ~ficientes. . .. 
Solução: 
(11) Q ,,,; c v'2üH. 3,14 = e [ l r (0,025)! 1 Vl9,62 (5;S) e e= ô,615. 
(6) da cinemática.; . z .= Vty = gl?/2. Onde % e. y representam as coordt--
: nadas do jato, como é indicado. 
ElimioamlO-fie t; ·obt.emos .z~ = (2:v1/g)y •. 
Substituindo, (l,5)i =" (2 V?/9,81) (0;12) e Vre.1::'. 9,58 m/s. 
EntãÔ, 9,58 - e.·"\L'2g.(5,S) e e, = 0,92. Fmalménte ~ =e/e, ,;,; 0,615/0,92 =. 
= 0,668. 
12. O tanque no Problema 9 está fechado; . e o espaço de ar 
acima da áglla está sob pressão, ocasionando o acréscimo da vazão 
para 0,075 mª/s .. Determinar a ;pressão DO espaço de ar. 
Sotupa: 
Q- cAov'2iii ou 0,075 ·.,. e !l r (O,lf) v' 2g (6 + p/io) • 
A. Tabela 7 nos mostra que e não varia apreciàveba~nte na faixa de prenões 
em estudO. Usando e = 0,593 e· resolvendo, p/m = 7,2 m de' água (o e sup()3to 
· é verificado pua ·altura de carga H total). Então, 
p' =-1Dh = (10'} (7,2 X 10-t) = 0,72 kg/cm2• 
13. Um. oleo de densidade O, 72 escoa através de um orificio 
Ar 
de "3'' de diâmetro, cujos coeficientes . de 
velocidade e contração são 0,95 e 0,65, 
r~~pe.ct.ivamente. Q!!a! deverá ser e.. leitur~ 
no manômetro A da. Fig. 9.3 a fim de que a 
potência no jato e seja de 8 HP? 
Solução: 
A velocidade. no jato pode ser calculada a partir 
do valor da potência: 
Potência no jato = l.D QHjato/550 = 
= io (t:c Ao Vja~) (O + V'iato/2g +O) 
550 
(0,720) (62,4) (0,650) [ 1/4r(I/~)t1 J18 tJ2g 
a.o= 550 
CAP. 9 MEDIÇÃO DE ESC().AMENTO DE FLUlDOS 
Resolvendo, Yf..to = 197 500 e V;ato = 58,2 !t/s. 
Aplicando-ee a equação. de Bernoulli de· B a C, referência C, 
· . [ l · J (Sil,2)2 ( (58,2)2 · . ) (pA/:.o + despr. + 9,0) - (0,9S)2 - 1 2g = O + ""2g .+ 9 . 
211 
e p.4./!JI = 49,5 ft de 61eo. Então, PA' "". wh/144 = (0,720 X 62,4).(49,5)/144. 
P.A.1 = 15,41!'1i· 
NOTA: O leitoi; não deverá confundir a altura de carga ·total. H que causa o 
escoamento, com o valor de Hiato na expressão da potência. tles têm s~ficados 
diferen.t.es. 
14. Para o tubo curto, de 4" de diâmetro; indicado na Fig. 9-4, 
(a) qual será o escoamento de .água a 75°F que ocorrerá sob uma 
altura de carga de 30 ft? (b) qual A 
é a altura de carga na seção B? 
(e) qual a máxima altura de carga 
que.poderá ser utilizada se o tubo 
deverá escoar com seção plena à 
saída· (cheio)? (Usar e. = 0,82.) 
Solução: 
Para um tubo curto padrão o íluxo 
se contni em B de cêrca de 623 da área Fig. 9-4 
total do tubo. A perda de carga de 1 
A a B t.em sido medida por volta de. 0,042 vêzes.a taquicarga .em B. 
(a) Aplicand0-8e a equação de Bernoulli de A até C, referência C, 
(0 + despr. + 30) - [ 1/(0,82)2 - l] vf .. tof2g = (O + v;,.to /2g + O) e 
il;a.to = 36 ft/s. &tão, Q = Âjato Vja.to = 
= [ 1 X ! .1í ( + r] (3ó) = 3,14fi3/s. 
(b) Aplicando-se a. equação de Bernoulli de A até B,·referênc~ B, t.emos 
(O+ despr. + 30) - 0,042 Vi//2g =·(pB/w + VB2/2g +O) (A) 
Também, 
Q = AB VB = Ac Vc 
= 36/0,62 = 58,l ft/s. 
ou 
Substituindo na equação (A), 
·' 
ec:AVB"=AVc ou V B = Vja.to/tc = 
30 = pB/w + l,042 (58,lf/2g; PB/UI = - 24,4 ft d~ água. 
212 :MECÂNICA DOS J'LUIDOS 
(e) · Como a altura de carga que causa o esooamentÕ através do tubo curto 
está aumentada, a altura de carga em B.se tornarã cada vez menor. Para escoa-
mento permanente (e com o tubo pleno à saída) a altura de carga em B não deverá 
ser menor do qilé a pressão de vapor para o líquido à uma temperatura particular. 
Da Tabela 1 no Apêndi91l, para a água 75°F êste valor é 0,43 psia ou cerca de 1 ft 
absoluto ao nivel do mar ( - 33 Ct manométrico). 
De (A) acima, 
h = PB/ID + 1,042 (Vs!/2g) = - 33 + 1,042 (Vs!/2g). (B) 
Tambént, 
ec A Vs =- AVc = Ac. v'2fiii. 
Assim, 
Vs = (c,/ec) V2;ii ou Vs2/2g = (c,/ec)2 h = (0,82/0,62)2 h = l,75h. 
Substituindo em (B) 
h = - 33 + 1,042 (1,75 h) e, h = 40,1 ft. de água (75°F). 
Qualquer altura de carga acima de 40 ft, causará ao jato o seu deslocamento 
da~ paredes do tubo. O tubo funcionará então oomo .um orifício. A ca .-itação 
poderá ocorrer às condições de pressão de vapor (vide Capítulo 12). 
lã. Água escoa através de um tubo de 14" - à razão de 271/s 
e depois passa através de um bocal colocado no final da tubulação. 
O diâmetro final do bocal é de 2" de diâmetro e os coeficientes 
de velocidade e contração para o bocal são respectivamente 0,950 
e 0,930. Qual a altura de carga que deverá ser mantida na base 
do bocal se a pressão é a atmosfériCa em tôrno do jato ? 
Solução: 
Aplicando a equação de Bernoulli da base do bocal ao jato. 
( V:~ ) [ 1 J v? ( v? ) L+-•-+o _ -·-.-. _ 1 . 1ato= o+ 1ato+o w 2g (0,950)~ . 2g 2g 
e as velocidades são calculadas a partir de Q = A V 
Assim, 
Vi = 0,0%70 ,...., 3,35 m/s e V-jato = 0,0270 ~ 14,3 m/s í r (0,102):t 0.930 1 í r (U.0508)2 l 
Substituindo e resolvendo, p/w = 11,6 - 0,55 = 11,05 m de água. 
Se usássemos a fórmula 
CAP. 9 MEDIÇÃO' DE ESCOAllENTo DE ft.UIDOS .· 213 
ou 
14,3 - 0,95 ...! 2g [p/111 + 3,3:~1. 
.../ p/111 + 0,55 . = 3,405 e p/111 '.:::'. 11,05 m de água, como antes • 
. 16. Um bocal com uin diâmetro de· base de 4" e ponta de 2;, 
dirigida para baixo apn:5enta uma altura de carga de 26 ft de água 
em sua base. o coeficiente. de velocidade é de 0,962 e a base do 
bocal está a 3 ft acima da ponta. Determinar a potência no jato 
de água. 
Solaçloz 
Para um bocal, a meaos que e., seja d!ldo êle poderá ser considerado tinitário. 
Assim Vjato.= Vi"· Antes de calcularmos a potência, devere~os determinar 
Q e V. Usando a equação de Bernoulli, da base à extremidade, t.emos: 
( V4
1 ) [. l ] Viz ( Vi' ) 26,0 + 2i +s - (0,%2)2 - I 2i = o+ 29+o 
e 
Resolvendo, V2 = 42,8 ft/s. 
l'otência no jato = 
w QHiato · 62,4 [1/4 r (2/12)2 (42,8)] (O + (42,8)%/'1!/ +o 1 
550 = 550 
PotêncÍBjato = 3.01 hp. 
17. Na Fig. 9-5 temos um Venturi de 12" X 6';, por onde 
passam cêrca de 1,40 ft3/s de água e um manômetro diferencial 
Fig. 9-5 
que indica uma deflexão de 3,50 ft. ~A densidade· do liquido indi-
cador é de 1,25. Determinar o coeficiente do medidor. 
Solução: 
. . 
O coeficiente de um medidor Venturi é o mesmo qµe o coefíciente de descarga 
(e., = 1 e assim e = e.). O coeficiente de escoamento ·K não deve ser confundido, 
214 MECÂNICâ DOS J'LUIDOS 
com o coeficiente do medidor e. Serio dBdas explicaçõés ·no imal do problema. 
Aplicando a equação de· Bernoulli, de A a B, caso ideai. temo8: 
2· (~+ V12 +o)- não há perda de carga= (Pll + Va' +o)· 
.to 2g . tD 2g .. 
e V122 = (AJA12)2 Va~. Resolvendo: 
(sem perda de carga). 
A velocidade verdadeira. (e portanto o verdadeiro ~lor do fluxo Q) será obtido 
pela multiplicação do valor ideal pelo coeficiente e 40 medidor. Assim: 
.1 2g (pAftD - PBftD) 
Q = Aa Va =Aa c"l 1 _ (AJAu)2 • (1) 
Para se obter o diferencial de pressão indicado acima, os princípios do manô-
metro diferencial devem ser uliados. 
Pc =p.,' 
(pAfw - %) = PBfUJ - (z + 3,5) + 1,25 (3,5) ou (pAfw - PBfUJ) = 0,875 ft. 
(Substituindo~ (I); 1,49= t r (!)2 c v'2g(0,875) (1 - 1/16) e·c = O,~n8 (usar 0,98). 
T 
m 
+ l. IK 11) 
e _Q_j_ 
Fig. 9-6 
NOTA: A Equação (1) é algumas vêzes 
escrita da seguinte forma: 
mento. 
ou 
Q = KAz v' 2g {.â p/w) 
K = --;::::=c===.=-
v'1 - (AJA1)1 
e 
Podemos utilimr as tabelas que nos 
fornecem os valores de K para obtermos 
e, se isto fôr desejado. Neste liHo temos 
diagramas fornecendo os valores . de e. 
Os fatôres de CODversão para obtermos os valores de K, para determinadas re-
lações de diâmetros, sãoindicados em vários diagramas no Apêndice. 
CAP. 9 MEDIÇÃO DE ESCOAMENTO DE FLUIDOS · 215 
18. Na Fig. 9-6 temos água escoando ascensionalmente atra-
vés de um medidor Venturi de 300 mm X 150 mm,. cujo coefi-
ciente é 0,98. A deflexão no manômetro diferencial é de 1,18 in 
(líquido de densidade 1,25). Determinar a vazão em lfs. 
# 
Soluçio: 
Verificando a equação de Bemoulli no Problema 17, notamos que para o 
problema presente, ZA = O e ZB = 0,45 m. 
Então 
Q _ A ~ / 2g [(pA/w - ps/w) - 0,45] 
- e B.1 1 - (1/2)4 
Usando os· princípios do manômetro diferencial para obtermos A p/w: 
pc/w = pn/w (em metros de água) 
PAffD + (n + 1,18) = PBfw + m + 1,25 (l,18) 
[ (pAfw - PBfw) .,.- (m - n)] = 1,18 (1,25. - 1) 
[ (pA,fw - PB{W) - 0,45] = 0,295 m de água. 
Substituindo na· equação para a vazão 
Q = 0,98 (! r)16;150)2 V 2g (0,295)/(l - 1/16) = 0,00438 m1/s 
Q = 4,381/s. 
19. Temos água escoando através de um orifício de 4" em 
um tubo de 8" a razão de 0,525 ft3/s. Sabendo-se que 1a tempera-
tura da água é de IOOOF, qual será o diferencial de pressão entre a 
seção· a jusante e a seção contraída (vena contracta) ? 
Solução: 
No diagrama G do Apêndice observa-se que e' varia com o número de 
Reynolds. É importante notar que o número de Reynolds deve ser calculado 
para a seção do orifício e não para a seção contraída do jato ou para a seção do 
tubo. Êste valor é 
RE = Vo Do = (4 Q/r Do'!) Do 4 Q 4 (0,525) 
11 11 = 111rDo = 11' (7,39 X 10-8) (4/12) 
RE = 272000. 
o diagrama e para (3 = 0,500 nos forr~ece e' = 0,604. 
Aplicando o teorema de Bernoulli, da seção do tubo à do jato, t.emo$ a equação 
geral para fluidos incompressíveis, como se segue: 
( 
2 ) 'V2 ( v? ) E!. + !!.__ + O _ [..!... _ 1] _jato = Piato + Jato + O 
w .2g c.2 ' 2g w . 2g . 
216 .MEC..UtICA. DOS FLUIDOS 
e 
Sülistituindo os t.êrmos Vs em Vjato e resolvendo, 
ou 
então, 
~} 2g (ps/w '- Pi•to/W) 
Vjato = e, 1 1 _ é'- (D, _ Da)' 
_/ 2g ps/w - Piatolw 
Q = A jato Vj,to = (ec A,) X e," l _ c1 (D, /Da)' 
• } 2g (psfw - pjato/ID . 
=.:A,., 1- é'-(DJDs)4 • 
Para um orifício <'ºtn velocidade de aproximac;ão e um jato contraído, a 
equação pode !!el' e!l<'rita da ·maneira mais CQn\·eniente: 
c'A4 V Q = · 2g (ll p/w) , 
Vi - (D4/Ds)4 . 
(1) 
ou 
Q=KA,V2g(t:.p/w) • (2) 
onde K é chamado coeficiente de escoamento. O coeficiente e' pode ser determi-
nado experimentalmente, para uma dada relação entre os diâmetros do orifício 
e o diâmetro do. tubo ou a coeficiente K pode (ler preferido. 
Substituindo os símhol~ por seus valores respectivos D'.l E:inação (1), temos, 
ü,525 = 
0,604 X f r ( -ii-r . . . . 
V · V 2g {l.l p/w) 
1 - (1/2)4 
e 
lliJw = (psfw - pjato/w) = 1,44 ft de água. 
20. Para o tubo orifício do Problema 19, qual o diferenci~l 
de pressão que poderia causar a mesma vazão de terebintina a 
68ºF ?-(Vide no Apêndice os valores da densidade e da viscosidade 
cinemática.) 
Solução: 
__!Q_ 4 (0,525) 
RE = 1T P Do := r (1,86 X 10-5) (4/12) = IOS OOO. Do diagrama e. para 
{J = 0,500, e' = 0,607. 
CAP. 9 
Então, 
donde 
e 
MEDIÇÃO DE ESCO.\llilEMTO DE FLUII>OS 
0,525 = 0,607 X T/4 (4/12)!. v' 2, (.Ó. p/w) 
v'1 - (l/2)4 
A pfw = (psfw - Pio.to/tD) = 1,12 ft de t.erebintina 
. A 
1 
W/i 
t.>p = -- ;= 
l·.U 
(0;862 X 62;·1) (1.1.2} 
141. = 0,530 psi. 
217 
21. Detetminar o fluxo de água a 70ºF através de um orifício 
· ·de 6" de diâmetro instalado cm uma tubulação de 10" se a diferença 
de pressão para a "vena contracta" é de 3,62 ft df' água. 
Sohu;ão: 
P,.._te tipo de problema foi estudado no capíLulo sôhre escoamento de fluidos 
em tuho~. O ,·nlor du e' niio pode i<cr determinado, visto que o u,úmero de 
Heynold14 niio pode SP.r c:ult·nlndo. Ve1ifil11ndo o diagrama C, para fJ = 0,600, 
um yulor ele 0,610 poderia ·ser iiuposto para e'. Usando êst.e' valor., temos 
Então, 
Q = 0,610 X 1r/4 (6/12)2 v' 64,'l (3,62) = 1,96 ft3/s • 
. v' l - (0,60)4 
4 (J,96} 
Re = 1f' (l,OS9 X 10_,') (b/l2) = 'l72 000 (tent.'ltiva). 
Do diagrama C, {3 = 0,600 e' = 0,609. Rcculculando pura e',= 0,609 che-
smnns a <) = 1,9:; nª/s (o número de Reynolds não é afetado). 
· NOTA ESPECIAL: O proft.,;..•;or R. Ç. BINDER da Universidade de 
Purduc sugere nas páginas 132/3 da Mecânica dos Fluidos (2.ª edição) que êste 
lip;; de pro!:!t:m:! n!in pre1 ·i~•1 .,.,. rf'S:.kiclo por l.rnt.<1li\'Us. Êlc propõe que linhas 
espttt:iais sejam traç<tdas no grál'i<«• (níuuero lleynold;; - coeficiente). No caso 
do tnlio orifício, a equação (l) •lo Problema 19 pode ser escrita . 
Mas 
r· V2g (llp/u•) X D-r 
11 v'l' - (4!W 
ou, generalizando 
Re Do v' 2g (.ó..,,jw) 
V= li v'1 - (Du/Dp)4 
ou 
Re = D• v' 2g (.Ó.p,lw) 
e' 11 v'I - «~/8)4 
218 MECÂNICA OOS FLUIDOS 
Duas linhas retas chamadas linhas - T, devem sêr: ~çadas no ~agrama 
e, uma para.REie' = 700 000. uma para RE/C' - 800 000. Para o Problema 21, 
(6/12) ..; 64,4 (3,62) 
Rg/c' = · "' 775 000. 
1,059X10-5 V 1- (0,6)' 
Com certa precisão, a linha de 775 000 corta a curva fJ - 0,600 a e' - 0,609. 
A vazão Q é então calculada fàcilmente. 
22. Um bocal com uma extremidade de 100 mm de diâmetro 
é instalado em um tubo de ·250 mm de diâmetro. Um óleo com-
bustível médio a 27"C escoa através do bocal à razão de 100 J/s. 
Considerar que a calibração do bocal é representada pela curva 
fJ = 0,4 no diagrama D. Calcular a leitura do manômetró dife-
rencial se um líquido, de de0$idade 13,6, é usado como líquido 
indicador. 
Solocio: 
A equação de Bernoulli da seção· do tubó ao jato, é semelhante à equação 
obtida no Problema 17 para o medidor Venturi, uina vez que o booal é projetado 
para um coeficiente de ~ntraçiio unitário. 
. ~ / 2g (pA{w - ps/w) 
Q = A100 V100 = A1ooc1 l _ (l00/250), • 
O diagrama D nos mostra que e: varia com o número de Reynolds 
V100 = ~Q__ 0,100 5 -l 
A100 = i 1r (0,100)' = 12'7 ""s 
e 
i1- ___ 12,:!5 X 0,100 
•. ,,, - 3,65 X 0,093 X 101 
A curva pera fJ = 0,40 nos dá e ~ 0,993. Assim 
0,100 = t 1f (0,100)2 X 0,993 J 29 (p,tjw - ps/w) 
1 1 - (0,100/0,250) 
(pAfw .- pB/w) ~ 5,02 m de 6leo. 
(1) 
Os princípios dos manômetros diferenciais nos fornecem, (usando-se a densi-
dade 'de 0,85[ tirada do Apêndice). 
5,02 ~ h (13,6/0,851 - 1) e h - 0,334 m 
ou h - 334 mm tleitura manométrica). 
CAP. 9 MEDIÇÃO DE ESCOAMENTO DE FLUIDOS . 219 
Depois de feita a leitura poderíamos utilizar o ·process0 apresentado no 
problema precedente, isto é, supor um valor de e, calcular Q, obter o número de 
Reynolds e determinar o valor de 'e na curvà apropriada no diagrama D. Se 
· 0 valor ·de e fÔ8lle diferente do valor supôsto, o cálculo se repetiria· até que os coe-
fident.es se assemelhallllein. · 
23. Deduzir uma expr~o para o fluxo de um fluido incom-
pressível através de um bocal medidor e de um medidor Venturi. 
Solução: 
Um vez que a variação de velocidade se dá em um cÜrto espaço de tempo, 
ocorrerá uma pequena troca de calor e poderemos então considerar o escoamento 
~b condições adiabáticas. 
O t.eorema de Bernoulli para um fluido incompressível foi estudado no Ca-
pitulo 6, equação (D) do Problema 20: 
[( k ) p1 V1
2 
] [( k ) PI ( p,)(k-1)/k V22 J 
-- - +- + z1 - HL = -- - ~ + - + z2 . k-I 1111 2g k-I UI: PJ. 2g 
Para um bocal medidor e para um medidor Venturi horizontal, z1 = z2 e 
a perda de carga será considerada através do coeficiente de vazão. Também, 
uma vez .que e = 1,00 temos 
Então a montante V1 = W/1111 A1, a jusante V2 = W/1112 A2. Substituindo .e 
resolvendo para W, 
W2 W2 ( k ) (PI) [ ( /'2 )(k-1)/k] 
11122 A21 - i.11112 A12 = 29 k - l 1111 l - . Pt 
ou ideal W = 
Pràticamente, será interessante eliminar 1112 sob o radical. Uma vez que 
lll'JÍW1 = (p,}p1)lfk' 
(ideal) W = w2 A2 
~ (pJ1111) X (1 - (pJp1)C,,,_1l/k]l - (A.JA1'f (pJpi)2fk 
(l) 
O verdadeiro valor de W é obtido através da multiplicação do têrmo à direita 
da equação (1) pelo coeficiente e. 
220 :MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Por comparação, a t.'qUação (1) do Problema 17 e a eqUllção (1) jfo Problema 22 
(para fluidos inoompressiveis) no.s fornece: 
W = wQ = wA,c V2g(ilp/w) 
V 1 - (A2/A1)ª 
ou 
W = w K A~ ../211 (A. p/w). 
A equação acima poderá ser expressa sob um aspecto .mais genemlizadC), 
de modo que possamos uplicá-la para fluidf.l!I compressíveis e incompressín•Íl!. 
Um fator de expansão (adi'!báticu) Y é iutrodu>:ido e o valor de w1 é especificndo. 
A relação fundamental, ~rá então, · 
(2) 
Para fluidos ineompressíveis Y = 1. Pura fluidos t.'Ompressíveis, igualar as 
expressões (1) e (2) e resolver para Y. Assim, 
Êste fator de expansão y é uma função de três relações udimensionais. A 
Tabela 8 indica alguua valores típi<..-os pura bucais medidores e medidor Vcnturi. 
NOTA: . Os valores de Y' pard orifícios e orifíeios medidores devem ser deter-
minados experimentalmente. Os valores diferem dos valore.~ de Y acima, uma 
vez que o coeficiente de contração não é unitário, nem é uma constante. Conhe-
cend()-f!C Y' a;i soluções são idêntica~ àquelas seguidas pum escoamento em bocai.~ 
e medidores Venturi. Como fonte de informação o leitor poderá cousultur 
H.B Reynolds e J.A. Perry. 
24. Temos um escoamento de ar a 80"F através de um tubo 
de 4" e de um bocal de 2" de diâmetro. O diferencial de presi;iío 
é de 0,522 ft de óleo de densidade 0,910. A pressão a montante 
<lo bocal é àe 28,3 psi mauométrica. Quai será a vazâo em pêso 
para uma leitura barométrica de 14,7 psi, (a) supondo-se que a 
massa específica do ar é constante e (b) supondo-se as condii:ões 
adiabáticas? 
Solução: 
= (28,3 + B,7) H4 =O 215 lb/f 3. 
Wt 53,3 (460 + 80) ' t 
Dos prii:icípios do manômctro diferendal, utilizando-se as alturas de carga 
em ft de ar, 
~: = 0,552 ( '::: - 1) = 0,522 ( 0,9l:,~562•4 - 1) = 137 ft de ar. 
CAI'. 9 :MEDIÇÃO DE ESCOAMENTO DE FLUIDOS 221 
Supondo- e = 0,980 e usando a equação (1) do Prohlema 22 e depois multi-
plie1tndo por wi. n6s teremos: 
.!.. . .. J 2g(l37) 
w = w1 Q = 0,215 X 4 . r (2/12)· (0,980) 'l i _ (2/.i)4 = 0;445 lb/s. 
}'ara verificàrmos o valor do r.i. determinamos o n6mero de Reynolds e usamos 
a. curva apropri11d11 no Diagrama .D. (Onde w1 = ID2 e, da Tabela lB, 11 = 16,9 X 
X io-5 paro as condições normais.) 
w Y·=--
• A2w2 
w 
Então, 
4 (0,44S) = 274 000. 
r (2/12) (16,9 X 14,7/43) 10""' (0,215) 
Do diagrama D, e = 0,986. Recalculando, W = 0,447 lb/s, 
Maiores. refinamentos de cálculo não são necessários visto que o número 
'Je Reynolds não variará acentuadamente, assim como o valor de e lido no dia-
~ruma D. 
(b) Calculemos primeiro a pressão e os pesos específicos: 
Pt = (28,3 + 14,7) 144 = 6 200 lb/(t1 
pz = (6200 - 137 X 0,215) = 6 170 lb/ft2 
:i = : !~~ = 0,994 e ( :: ) k = 0,994 (vide Capítulo 1). 
Então w2 = 0,214 lb/Ct3• 
A Tabela 8 nos Cornece alguns valores dv fator de expansão Y mencionado 
no Problema 23. Poderemos interpolar, neste caso, entre as relações de pressões 
de IJ,95 e l,0 para obtermos Y para P2ÍP1 = 0,994. Para k = 1,4 e dJd1 = 0,50, 
nós obtemos Y = 0,997. 
Examinando o diagrama D, supomos e ·= 0,980 e verificando-se que K = 
= 1,032 e, a equação (2) do Problema 23 transforma-se em: 
W = w1 K A2 Y V 2g (ll.p/wi) 
= (0,215) (I,032 X 0,980) X Í r (2/12)2 X 0,997 V 64,4 (137) = 0,444 lb/s. 
Verificando-ae e, 
4 (0,444) 
r (2/12) (16,9 x 14,7/43) io-5 (0,214) = 275 000 
e e = 0,986 (diagrama D, curva fJ = 0,50). 
222 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Recalculando; W = 0,417 lb/s. A precisão de cÂlculo é suficiente.· Veri-
ficamos que não houve êrro· no item (a) pelo fato de .su~rmos a massa específica 
do ar constante. · · . 
25. Um medidor Venturi de 200 mm X 100 mm é usado para 
medir a vazão de dióxido de carbono a 200C. A deflexão da coluna 
de água no manômetro diferencial é de 1 800 mm e· a leitura do 
~anômetro é de 760 mm de mercúrio. Calcular a vazão em pêso, 
sabend~ que a pressão à entrada é de 1,2 kg/cm 2 absoluta. 
Solução: 
A pressão absõluta à entrada é de 1,2 X 104 kg/m2 e o pêso específico w1 
do dióxido de carbono é 
1,2 X 104 
W! = -1-9,-19~(-27_3_+_20-) = 2•25 kg/m3 -
A diferença de pressão = 1,8 (103 - 2,25) = 1 796 kg/m2 e portanto a pressão 
absoluta na garganta = P't = 12 000 - 1 796 = 10 204 kg/m2 abs. Para obt.ermos 
? pêso específico w., nós usamos PJlpi = ~~: ·= 0,85 e : = (0,85)1/k (vide 
Capítulo 1). 
Assim wi = 2,25_ (0,85)1' 1•3 ;; 1,99 kg/m3 
W = wí K Az Yv 2g (llpfw1) em kg/s. 
Usando k = 1,3 d2'd1 = 0,50 e PJ}p1 = 0,85, obteremos na Tabela 8, Y = 0,904. 
Supondo-se e = 0,985 no diagrama E, e verificando-se que K = 1,032 e, obteremos 
w = (2,25) (l,032 X 0,985) X l r (0,100)2 X 0,904 V 2g (1 796/2,2) 
W = 2,05 kg/s. 
Para verificar o valor suposto para e, determinemos o número de Reynolds 
e usemos a curva apropriada no diagrama E. Do Problema 24, 
4X2.05 a 
r (0,100) (9,1 X 0,093 X 1,03/l,2 X 10-9) (l,99) = 1•8 X lO • 
Do diagrama E, e = 0,981. Recalculando W = 2,01 kg/s. 
26- Estabelecer as .relações que Jimitain a velocidade de um 
fluido compressível em passagens ou tubos convergentes (velocidade 
acústica). 
Solução: 
Desprezando-se a velocidade de aproximação na equação de Bernoulli (D) 
do Problema 20, Capítulo 6, para um fluido ideal, nós obtemos: 
R = _k_ (.!!!.) [1 -( P2) <k-otk]. 
2g k-1 W1 PI (1) 
CAP. 9 lllEDIÇÃO DE F.sCOAMENTO DE FLUIDOS . 223 
Também, tivesse (J12/w2)1fk sido substituído por (pJwl/lk ant.es do integração 
que produziu a Equação (D), a t.aquicarga t.eria sido: 
·v22 = _k_ (.!!!..) [(.El..)c1c-1)/lc _ 1]. 2g k-l ID2 J12 (2) 
Se o fluido atinge a velocidade acústica e2, Seção 2, então Vi "" e2 e V22 = 
= ci2 = k}J'lg/w2 (vide Capítulo 1). Substituindo na Êquação (2), 
k P2 g = _k_ ( P2) [ (.El..) (k-1)/k - l], 
2g1112 k-l ID2 ,/12 
.E!. = (-2-)k/(k-1} 
que se simplifica para PI k + 1 • (3) 
Esta relação P2f p1 é chamada de relação critica de pre1Sões e depende do fluido 
em escoamento. Para valores de P2fp1 iguais ou menores. que a relação crítiéa 
de pressões, um gás escoará à velocidade acústica. A pressão em um jato livre 
escoando com velocidade acústica igualará ou excederá a pressão que o envolve. 
27. Através de um orifício de 1/2" de diâmetro na parede de 
um tanque, no qual a pressão é de 110 psi e a temperatura é de 68°F, 
escoa dióxido de carbono. Qual é a velocidade no jato (barômetro 
padrão)? 
Solução: 
Da _Tabela IA, R = 34,9 e k ~ 1,3 
Pl W1 =-- = 
RT1 
(110 + 14,7) 144 = O 0973 lb/f a 
34,9 (460. + 68) • t 
( P2 ) • • ( 2 ) k/(lc--1} ( 2,00 ) t,3/0,3 . 
- critico = --, = ., '.!O = 0,542 
'Pt,, , k + Ã, • -.~-. 
Relação ( a_tmosfera ) = 14,7 = O,ll8. pressao no tanque 124,7 
Uma vez que a última relação é menor do que a relação crítica de pressões, 
't pressão do gás que escapa é igual a 0,542 PI· 
'ortanto P2 ~ 0,542 X 124,7 = 67,5 psi absoluta 
V2 = e: = V 1,3 X 32,2 X 34,9 X T2 = :v'l 460 T2, 
onde· 
T2/T1 = CP2fpu<1c-1v1c = (0,542)º·3/1•3 = 0,868; T2 = 45So. 
Então, 
V2 = Vl 460 X 458 = 817 ft/s. 
224 l\tECÂ:NCCA DOS FLUIDOS 
28. Através de um dut.o eni que ocorre uma variação dê 
seção, temos um escoamento de nitrogênio. Em uma determinada 
seção reta, a velocidade é de 360 m/s, a pres'são absoluta é de 
0,84 kg/cm2 e a temperatura é de 32°C. Supondo-se que não há 
perdas por atrito e que as condições são adiabáticas, (a} qual será 
a velocidade em uma seção, onde a pressão é de 1,26 kg/cm2 absoluta 
e (b) qual será.o número de Mach nesta seção? 
Solução: 
Para o nitrogêni;> ll = 30,3 m/°K e k = 1,1, da Tabela IA do Apêndice. 
(a) Do Problema 20, do Capítulo 6, a Equação (D) para condiç.1es adiabáti-
caspode ser escri la: 
V22 - Vi2 = _k_ (.E!.) [1 - ( P2P-1 ) (k--1)/k]. 
2g 2g k-I W1 
onde não se coiwideru " perda de earga e : 1 ,,,; z2• 
ou 
Calculemos o pêso espedfko do nitrogêuio na Seção l. 
w1 = J!!... = O,S4 X 
104 
= 0,91 kg/m3 (ou usar ~ = R Ti). 
R Ti 30,3 (273 + 32) . W1 
Então, 
V22 _ (360)2 = __!.?! ( 0,8-, X 104 ) [l _ ( 1,26 X 10~ )º·''1·'] 
2g 2g 0,4 0,91 0,114 X 10~ 
Y2~237 m/s. 
= 
·v2 = 231 (b) Número de Mach ---'---• onde 
C; V kg fn'2 
T2 = 1 5º·288 = 1 123 305 , ' • 
~2 = ( .!!!. ) (k-1)/k 
.Ji 'l'l/ 
Então, T: = 342,5°K e NM = 237 ; NJl.l = 0,627. 
VIA )(9,81 X 30,3 X 3·i2,5 
~9. Desenvolver a fórmula teórica para esc.oamento sôbre um 
vertedor retangular (vide Fig. 9-7). 
Solução: 
Considerar que a aberturd retangular na Fig. 9-7 se estendi" ao longo de tôda 
a largura W do canal (b = W). Com a superfície livre de líauidr> na posição 
CAP. 9 MEDIÇÃO D~ ESCOAl\lENTO DE Ji'LUIDÓS. 225 
tracejada, ai>liquemos o teorema de Bernoulli enire A e ~ iaixa elementar de 
Jtltura ày ·no jat.o produzido, para as condit.ões ideais, temos: 
{O+ VA~/2g + y) - niio há perdas,;,. (0 t V~~tof2g+O), 
~=~ T --
Á1 
Fig~ 9-7 
onde VA representa a velocidade média das partículas aproxi~ndo-se da ahertnra. 
Assim a velocidade ideal do jat.o, Vjato = V 2g {y .f. VA2/2g) 
e dQideal = dA Vjato = {bdy) Vjato = b.y 2g (y + VA2f2g)l/t dy 
Existirá um vertedor se h1 .= O. Façamos ·H substituir h2 e mtroduzamos 
um coeficiente de descarga e para obtermos a vazão real. . Então, 
{l) 
NOTAS: (l) Para abertura retangular completamente contraída, as contrações 
finais causam uma redução na descarga. O comprimento b é corrigido a fim de 
se adapf.llr a esta condição, e a fórmula se traruiforma em: 
226 MECÂNICA ·005 FLUIDOS 
(2) Para comportas altas e para a maior part.e dás aberturas contraídas, 
a velocida~ de aproximação é desprezível e . 
Q =- m ·(,; - ..!.c·ii) H~I! 
. 10 pilra Yertedores contraídos (3) 
Q = mbJI3fi · para vertedores afogados. (4) 
.(3) . O coeficient.e de descarga e não é constant.e. tle depende de muitas 
~-ariáv€.is que não foram incluídas na deduÇão, tais como tensão superficial, 
viscosidade, massa específica, distribuição não uniforme da velocidade, escoamentos 
secundários e outros.· . ' 
30. Deduzir a· fórmula teórica para escoamento através dE. 
Então, 
um vertedor triangular. Referir-
se à Fig. 9~8 .. 
SOiução: 
Do Problema 29, 
Vjato = v' 2g (y + de8prezível V"/2g) 
e 
d Qideal = dA Vjato = zdy V2 gy. 
Fig. 9-8 Por semelhança de triângulos, 
z H-y B b = -H- e; b ~ 2 H tg ( ~2). 
Qreal = (b/H) e v' 2g (B (H - y) yl/% dy. Jo . 
Integrando e' substituindo, 
Q = 8/15 e v2iÍ Jl5f% t.g D/2. (1) 
A abertura comum nestes vertedores é de um ~riá.1gulo isósceles com o 
ângulo do vértice de-900. A Expressão (1) então se transforma em Q = 4,28 cJiifi 
se empregarmos g = 32,2 ft/s2· e Q ~ 2,5 cfl6# para g = 9,81 m/s2• O rtalar 
médio de e é de cêrca de 0,60 para alturas de carga acima de l.ft. 
N.T. - Uma fórmula de uso ·comum entre nÓllÍ é a de Thompson: 
Q = 1,4 H5f% com · Q ém m3/s e H em m. 
31. Durante um teste em um vertedor submerso de 3 ft de 
al~ura é 8 ft de larg~a, a altura de carga era m!llltida em 1,0 ft. 
Êm 38 segundos 7 600 galões de água foram coletados. Determinar 
'o.fator m do vertedor.nas &mações (1) e (4) do Problema 29, 
CAP. 9 MEDIÇÃO DE ESCO..\llE~TO DE FLUIDOS 227 
Soluçio: 
(a). Mudança das unidades da vazão: 
Q = 7 600/(7,48 X 38) = 26,7 ft3/s. 
(b) Verificar a velocidade de apro:ómaçíio: 
V = Q!A = 26,7/(8 X 4) = 0,834 ft/s. 
Então, 
V!/2g = (0,834)2/2g = 0,0108 ft. 
(e) Usando (1): Q = mb [ (11 + V2/2g)'lfl - (V1/2g)3/tj 
ou 
26,7 = m X 8 ( (1 + 0,011)312 - (0,018)t12] 
e 
m = 3,28 (precisão de régua de cálculo). 
Usando (4) Q = 26,7 = mbll"2 = m X 8 X (l,00)212 e m ~ 3,34 (cêrca de 
J,8% maior se desprezarmos o têrmo de velocidade de aproximação). 
32. Determinar o fluxo que transpõe um vertedor submerso de 
3 m de comprimento por 1,2 in de altura sob uma altura de carga 
de 1 m. O valor de m é 1,92. 
Solução: 
Uina vez que a taquirorga não pode ser calculad11. uma vazão aproximada 
será, 
Q = mbll"2 = 1,92 (3) (1)3/! = 5,76 m3/s. 
Para '"'ta vazão, l' = 5,76/(3 X 2,2) = 0,87 m/s e 
Jt-'2/2g = 0,038 m. 
Usando a Equação (l) do Problema 29, 
1) = l,92 (3) [ (l + 0,038)3/t - (0,038)3f2] = 6,048 m3/~. 
F..ste segundo cálculo rn%tra um· aumento de 0,288 m3/s, ou seja, cêrca de 
53 s<ibre o primeiro cálculo. Cálculos posterio;es somente produziram um 
refinamento além dos limites de precisão da fórmula. Entretanto, para ilustração, 
re.-i&1remo., a velocidade de aproximação: 
V ~ 5,85/6,6 = 0,886 m/s e Jf!/2g ~ 0,04 m 
e 
Q = 1,92 (3) [ (1 + 0,04)s/! - (0,04)1121 = 6,05 m3/s. 
33. Um vertedor submer8o com 25 ft de comprimento deve 
descarregar 375 ft3/s em um canal. O fator do vertedor é m = 3,42. 
Qual deverá ser a altura do vertedor (com aproximação de centésimo) 
228 :MECÂNICA DOS FLUIDOS 
se a profundidade de água antes do vertedor - não deve exceder 
a 6 ft? 
Solução: 
Velocidade de aproximação V= Q/.4 = 375/(25 X 6) = 2,50 ft/s. 
Então, 
- [ ( (2,5)'! ) 3/2 ( (2.~)2) 3/2] 37a = 3,42 X 25 H + - 9 - - - 2-
-Y g 
e H = 2,59ft. 
A alturd do vertedor será Z = 6,00 - 2,59 = 30U ft. 
34. Um vertedor contraído, com 1,2 m de altura, deve ser 
instalado em um canal de 2,4 m de largura. A vazão máxima 
sôbre o vertedor é de 1,7 m3/s quando a altura tot~l antes do ver-
tedor é de 2 m. Que comprimento teria o vertedor se tivéssemos 
m = 1,8? 
Solução: 
·velocidade de apr:iximaçilo V = Q/A = 1,7/(2,4 X 2) = 0,354 m/s. 
A taquicarga é desprezível neste caso. 
Q = m (b- ...!._ H) (11\-111• 17 = 18 {b- ...!.. x oa) (08)3' 2 b = 148m 10 . • . 10 . • • . 
35. A descarga de um orifício de 6" de diâmetro sob uma 
altura de carga .li) n (e = 0,60) escoa para 'Um. canal retângular 
e sôbre um 'vertedor contraído. O canal tem 6 ft de largura, e para 
o vertedor, Zc = 5,0 ft. e b = 1,0 ft. Determinar a profundidade 
de água no canal se m = 3,35. 
ou 
Solução: 
A desrurg-d atrav(-s do orifício será: 
Q = cA v' 2g h = 0,60 X f ir (tl2 v' 2g (10) = 2,99 ft3/s. 
Pard o vertedor, Q = m (b - ~ fl) lf3'~ (taquicarga desprezível), 
10 
2,29 = 3,35 (1 - 0,2 li) u:r- :. 113/! r 0,2 fii>I! = 0,893. 
Por tentativ~s sucessivas II= l,09 fl; e a prnfundidude t; igual a Z + H = 5,0 + 
+ 1,09 = 6,09 ÍL 
36. A vazão de água sôbre um vertedor triangular de 45° 
é de 20 1/s. Para e = 0,58, determinar a altura de carga no vertedor. 
CAP. 9 :MEDIÇÃO DE ESCOAMENTO DE FLUIDOS ~29 
Solução:. 
8 8 . Q = Is e V 2g (tg 6/2) H51t; 0;02 = Is (0,58) v'i9,62 (tg 22,5º) JI'fl 
TI = 0,262.m. 
37. Qual o comprimento de um vertedor trapezoidal (Cipol-
letti) que deveria ser construído de modo que a altura de carga 
r&se 1,54 ft quando a descarga fôsse de 122 ftª/s? 
Solução: 
Q = 3,367 b JPP-; 122 = 3,367 b (l,54)3fl; b ~ 19 Ct. 
38. Estabelecer a fórmula para determinar o tempo necessário 
para baixar o nível do líquido em um tanque de se~ão reta constante 
por meio de um orifício. Viàe 
Fig. 9-9. 
Solução: 
Visto que, a altura de carga varia 
com o tempo, nós sabemos que iJ V/iJt ;é O, 
isto é, não temos um es<,"Oamento per-
manente. Isto significa que a equação 
de energia poderia ser alterada a fim de 
incluirmos um têrmo para aceleração, o 
que complicaria materiàlmeute a solu-
ção. Uma vez que a altura de carga 
não varia tão ràpidamente, nenhum êrro Fig. 9-9 
apreciável será introduzido se supusermos 
o escoamento permauen.te. desprezando-se assim o têrmo nreleração na equação de 
cnc~gia. Uma Yerifit.'"<;ii<> :iproxím11d11 do êrro introduzido é feita no Problema 39. 
CASO A 
Não havendo abaslecimenlo externo, o fluxo instantâneoserá: 
No intervalo de tempo dl, o volume elementar descurregado será Q dt. No 
mesmo intervalo de tempo, a altura de c111ga decrescerá dh (ft ou m) e o \'Olume 
descarregado será.:a área do tanque Ar vêzes dh. 
!~alando êstes valores: 
(cAoV2gh )dl = - Ardh, 
230 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
onde o sinal negativo significa que h decresce com o aumentÕ de l. Solucionando 
para t: 
l= f'•dt:. -AT 
· Ji, e Anv' 2g 
ou 
í"· h1f: dh Jh, • 
(1) .. 
Ao utilizarmos esta. expressão, poderemos usar um valor médio para o coe-
ficiente de descarga e, sem introduzinnPS uQl êrro sigaificativo no resultado. 
Como "" se aproxima de zero, um vértice será formado e não teremos mais um 
escoamento com o 01if"'icio pleno. Entretanto, usando-se h2 = O, na maioria 
dos caSO!I não cometeremos um êrro muito acentuado. 
Multiplicando-se e dividind<He a Equação (1) por (h11fl + h21f2), teremos: 
(2) 
Sabendo-se que o volume descarregado no tempo. (l2 - l1) é AT (h1 - hz), 
a Equação (2) se simplüica para: 
l = 12 _ li = volume descarregado = volume descarregado· [L:!J \3) ! (Q1 + Q2) vazão média Q [L3 r-11 
O Problema 41 ilustrará um caso onde a seção reta do tanque não ê cons-
tante, porém pode ser expressa em função de h. Para outros casos fora dos obje-
tivos dêste livro, vide bibliografm sôbre Abastecimento de Água. 
CASOB 
Ocorrendo um constante abastecimento menor que o fluxo através do orifício: 
e 
onde 
Qt = vazão através do orifício 
Q1 ;,, vazão de abasteciment.o. 
Poderíamos ter Qi maior que Qz e a altura de carga aumentaria, como deveria 
llt!I' espemdo. 
39. Um· tanque de 4 ft de diâmetro contém um óleo de 
densidade igi.ral a 0,75. Um tubo curto de 3" de diâmetro é instalado 
próximo ao fundo do tanque (e= 0,85). Em quanto tempo o 
nível de óleo descerá de 6 ft acima do tubo para 4 ft acima do. tubo ? 
c:.\P. 9 MEDIÇÃO DE ;ESCOAMENTO DE FLUIDOS 231 
Soluçiloz 
l = t,; - f1 "" 2Ar_ (h11/2 - hz1/a) "'" 2 X t r (4)z (61/!-41/2) 
cAo v' 2 g . O,sS X l r (3/12)2 V' 2g 
l = 33,8 segundos. 
A fim de avaliarmos o eCeito aproximado da suposição de esc:Oamento perma-
nente, .ª variação da veloCidade em relação ao tempo t é estimada como: 
av ~ ~ v = v'2;(6) - v'2i(4} = 8,025 (2.45 - 2) ... 0107 r 1 2 at - ~ · 33,8 33,8 • t,s .• 
Isto é cêrca de 1/33 da aceleração g, o que é uma adição mínima ao termo fl.· 
Tal precisio nio é necessária nesta ilustração de escoamento variável; particular-
mente quando os coeficientes de orifício não são determinado& com tal precisão. 
40. A altura de carga inicial em um orifício era de 3m e 
quando o e8coameilto terminou era de 1,2 m. Sob que altura de 
carga H, constante, teria o mesmo orifício descarregado o mesmo 
volume de água no mesmo intervalo de tempo jl considere o coe-
ficiente e constante. 
·SoJuÇão: 
Volume sob altura de carga decrescente = volume sob altura de carga 
constante: 
! e Ao v' 2g (h1112 + h2lfl) X t = 
= e Ao V 2g H X t. 
Súbsi.ituindo e resolvendo: 
Í (Vl +v'I.2) -v' H 
H = l,99m. 
41. Um tanque tem a for-
ma de um tronco de cone com o 
diâmetro da base superior de 8 
ft e o diâmetro do fundo de 4 ft. 
O fundo . contém um orifício cujo 
coeficiente médio de descarga 
T 
10 
10' 
pode ser considerado igual a 0,60. t 
Qual· o diâmetro do orifício que l 
esvaziaria o tanque em 6 minu- · 1 
tos se a altura total é de 10 ft? ------
Vide Fig. 9-10. Fig. 9-10 
232 MECÂNICA DOS· FLUIDOS 
Solução: 
Do Problema 38, Q dl = - AT dh 
e Ao V 2g /1 dt = ...,.. r r dh 
e, por semelhança de triângulos, z/4 = (10 + h)/20. 
Então, 
(0,60 X t r do2 v'2i dt = - r (lO ~ h)i h-11i dh 
do!Jdl = - 4 11' (O (10 + h)2 h-iti dh. 
25 r X 0,60 y'2g Jio 
Uma vez que f dt = 360 segundos, 
do2 = + 4 J:1º (100 h-l/l + 20 h1' 2 + Ji3fi) dh. 
360 X 25 X 0,60 V2g o 
lnt.egrando e resolvendo, nós obt.emos: 
d~ = 0;109 e d = 0,33 ít. Usar d = 4" (orifício). 
42. Dois tanques de hases quadradas têm uma parede em 
~mum na qual um orifício de 232 cm2 e coeficiente = 0,80 está 
localizado. O tanque A tem 2,4 m de lado e a altura inicial acima 
do orifício é de 3m. O tanque B tem 1,2 m de lado e a altura 
inicial é de · 1 m acima do orifício. Qual o tempo gasto até que as 
duas superfícies de água tenham a mesma altura ? 
Solução: 
Em um certo instant.e a diferença de nível entre as superfícies poderá ser 
tomada como a aii:ura ii. 
Então, Q = 0,80 X 0,0232 V 2 g h • 
A variação no volume será: · 
d11 = Q dt = o,os24 v hdt. 
Nest.e' int.ervalo de tempo dl, a variação. na altura de carga é dh. Cooside-
re~os que o nível do tanque A baixou de dy; então o correspondent.e acr&.:iruo 
no nível do tanque Bserá a relação das áreas vêzes dy, ou (5,76/1,44) dy. Teremos 
então para a variação de altura, dh = dy + {5,76/144) dy = 5 dy. 
A avariação no volume, dD = 5,76 dy [ ,,; 1,44 (5,76/1,~) dy também J ou, 
usando dh, 
d11 = (5,76/5) dh = 1,15 dh.. 
CAP. 9 MEDIÇÃO DE ESCOAMENTO DE FLUIDOS 233 
Igualando os valores de d11, 
. ,- - 1 15 .r:· 0,084 v h dt = - 1,15 dh; dt = O,OS2l 2 h-
1r- dh, t = 39,5 segundos. 
O :problelll{l poderia ser resolvido usand~ a descarga média expressa: em (3) 
dei. Propl~ina. 38. 
Qmed = ! [0,8 X 0,0232 V 2g (2)] = 0,0581 m3/s. 
O nível em A desce y metros enquanto que em B sobe (5,76/1,44) y metros com 
uma variação total de nível de 2 m, então y + 4y = 2 e y = 0,4 m. Assim a 
variação em volume = 2,4 X 2,4 X 0,4 = 2,3 m3 e 
t= 
variação em volume 
Qm{dió' 
2,3 . 
= 0,0581 = 39,5 segundos. 
43. Desenvolver a expressão do tempo gasto para abaixar 
o nível em um tanque, comporta ou canal por meio de· um vertedor 
submerso. 
Soluçio: 
Q dt = - AT d H (como antes) ou (m L ff3ll) dl = - AT dH. 
Então, 
ou 
44. Uma calha retangular, com 15 m de comprimento por 3m 
de largura, ·alimenta um vertedor submerso sob uma altura de .carga 
de 0,3 m. Se o abastecimento para a . calha é cortado, qual _será 
o tempo necessário para que a altora de carga no vertedor desça a 
100 mm? Usar m = 1,85 
Soluçio: 
Do Problema 43, 
2 (15 X 3) [ l 1 ] t = 1 85 X 3 ---= - -=- = 21,7 segundos. 
• VO,l V0,3 
45. Determinar o tempo necessário _para estabelecer o cscoa-
mentc em uma tubulação de comprimentO L sob uma altura de 
234 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
carga constante H, descarregando-se na atmosfera,- supondo-se um 
tubo inelástico, um fluido incompressível e um coeficiente de atrito j. 
SoluÇloi 
A velocidade final Vj pode ser determinada através da equação de Bernoulli, 
Nesta equação, as perdas menores são representadas pelos tênnos k Vi 2/2g, 
e a enerpa no jat.o na extremidade d11 lobulação é a energia cinética representada 
por V//2g. F.sta equação poderá ser reescrita na forma, 
[ H - j LE V1i J = O d 2g ' (l) 
onde LB é. o comprimento equivalente do· tubo para o 1<istema (vide Problema 6, 
Capítulo 8). 
Da equação de Newton para o movimento, em qualquer instante, 
dV w dV 
w (A H.) = M- = - (A L) -· dt g dl 
onde H é a altura efetiva em qualquer instante e V é função do tempo e não do 
compriment.o. Reagrupando a Equação, 
dt = w-A L fdV 
gwAH. ou 
dl=~. 
gH. 
(2) 
Na Equação (1), para todos os valores intermediários de V. o t.êrmo Pntrp 
colchêtes é diferente de zero, mas é a pressão efetiva disponível farn cau>i&r a 
aceleração do líquido. A Expressão (2) pode ser escrita: 
f dt = f g ( H ~: ~ ~) = f g (1 !:/ * d-~ !:/ fg r (3A) 
De (1) 
JLE H J f LdV 
2gd = Vf' dl= g(H-HYitv/)' (38) 
ou 
(
1 
L lv' Vl }o dt = li H o Vf - ~ dV. 
CAP. 9 MEDIÇÃO DE ESCOAMENTO DE FLUIDOS 235 
Integrando, 
l = LVj ln ( VJ +V ·). 
2gH Vj- V (4) 
Notamos que! .conforme V se aproxima da velocidade final Vj,. (Vj ·= V) 
tende para zero. Assim, matemàticamente, o tempo l tenderá para inímito. 
A Equação (38) poderá apresentar ní\vn Rsoecto, seusarmo8 o simbolo fi 
para a relação V/Vj. Então, . . 
Usando 
Integrando, 
dV gH gH • 
- = - (l - V2JV/&) = - { 1 - e?·) dl L . L . 
Y = Vj cP ; ~~ .. Vj (dc?/dt), nós obtemos: 
de? 
l - q,·i 
.lJ (I+c?) = gHt +e. 
2n 1-cP VjL • 
e quando t = O, C = O. Então, 
l + cP e·?11 Hl/VJC.. 
l - cP 
(5) 
Usando funções hiperbólicas, cp = tg h (g Hl/Vj L) e uma vez que .. = V/Vj, 
gHt V= V1tgh--· 
VtL 
(6) 
A vantagem da Expressão (6) é que o vaior da veiociàade V em i.êcmúS <la 
velccidade finei Vj pode ser calculada para qualquer tempo escolhido. 
46. Simplificar a Equação (4) do problema precedente, a fim 
de determinar o tempo necessário para estabelecer um fluxo tal 
que a velocidade seja de (a) 0,75; (b) 0,90 e (e) 0,99 vêzes a 
velocidade final V1. 
Solnçio: 
(a) t = L Vj ln [ V1 + 0,75 V1] = ( L Vj ) (2 3026) log 1,75 = ?.q H Vj - 0,75 V1 2gH ' 0,25 
= 0973 LVJ 
' uH. 
[ã1sÜÔrÊêà CENTRAL -ue; 
236 MECÂNICA DOS FLUIDOS 
(b) LV1 1,90 ( LVj) 1,90 LVj t = 2 gH ln O,IO = 2 gH (2,3026) log O,lO = 1,472 gH 
(e) L Vi 1,99 ( LV1) 1,99 ? L 1'f t = 2 g H ln 0,01 = 2 g H (2,3026)log • 0,01 = -,647 gH . 
47. A descarga de água de um tanque é feita através de 
600 m de uma tubulação de 300 mm de diâmetro (j = 0,020). A 
altura de carga é constante e igual a 6 m. As válvulas e conexões 
ao longo da linha produzem uma perda de carga de 21 (V2/2g). 
Após a abertura de uma válvula, qual será o ·tempo necessário 
pàra se atingir uma velocidade igual a 90% da velocidade final ? 
Solução: 
Aplicando a equação de Bernoulli, da superfície do tanque à extremidade 
do tubo, 
(O+ o+ H) - [f (L/d) + 211 V1/2g =(O +·vz12u +O), 
ou 
H = [ 0,020 (600/0,3) + 22] Jf'!/Zg = 62 Y:J2g. 
EntW, usando o mesmo procedimento apresentado no Problema 6 do 
Capítulo 8, 
62 (V2/2g) = 0,02 (Le/0,3) (V2/2g). 
ou 
Ls = 930m. 
Visto que a Equação (4) no Problema 45 não contém LE, a velocidade deverá 
ser calculada, como se segue: 
H J Ls Vr ..... / 2 gd~ ...f 19,62 (0,3) (6) = T2g ou Vj = l j Lg "'.' l 0,02 (930). = 1,375 m/s. 
Substituindo em (b) do Problema 46, temu..' 
t = 1,4';2 LgHVi = 1,472 (600) (I.375> = 20,6 segundos. (9,81) (6) 
48. No Problema 47, quais seriam as velocidades atingidas 
em 10 e 15 segundos? 
Solução: 
Na Equação (6) do Problema 45, calcular g H t/YJ L. 
CAP. 9 MEDIÇÃO DE ESCOAMENTO DE J'LUIDOS 
9,81X6X10 
Para 10 .segundos, l,3S X~ = o,71. 
Para 15 segundos, 
9·~~: ~ :0:5 .= 1,065. 
Usando i>. tabela de fun~ hiperb61icas e a equação (6), 
V = Vj tgh H t/Vj L, n6s obteremos, 
para 10 segundos, V m 1,38 tgh 0,71 = 1,38 X 0,616 = 0,850 m/s. 
para 15 segundos, V = 1,38 tgh 1,065 = 1,38 X 0,7869. = J,086 m/s. 
237 
Verificamos que o valor de V/Vj é representado pelo valor da tangente hi-
perbólica. Na solução acima, em 10 e 15 segundos são atingidos respectivamente 
61,5% e 78,6% da velocidade final. 
PROBLEMAS S{Jl>LEMENTARES 
N.T.: Os valores de m nos Problemas 71 a 77, 82 e 83. sã9 foi:necidas para 
g = 32,2 ft/s1 e g = 9,81 m/s2• · 
49. A terebintina a 680F escoa através de uma tubulação na qual um tubo 
de Pit.ot-estático, com o coeficiente de 0,97, é colocado pr&ximo à sua linha de 
centro. O manômetro diferencial, que contém mercúrio; indica uma deflexão 
de 4". Qual é a velocidade na linha de centro d~ tubulação ou velocidade central? 
Re11p.: 17,3 ft/s. 
50. Através de um tubo de Pit.ot-estático temos ar eseoando !à velocidade 
de 60 ft/s e a 1200F. Se o coeficiente do tubo é 0,95, qual a leitura diferencía1 
de água esperada, supondo-se o pêso eiipecífico do at constante à pressão atmos-
férica i' 
fle11p.: 0,816". 
51. A perda de carga através de um oriííc10 de 2" de diâmetro .. oh uma 
certa altura de carga é 0,540 ft e a velocidade da água no jato é de 22,5 ft/s. Se 
o coeficiente de descarga é 0,61, determinàr a altura de carga que ocasiona ·o es-
coamento, o diâmetro do jato e o coeficiente de veloeidade. 
Resp.: 8,39 ft; 1,59"; 0,97. 
52. Qual é o orificio padrão 11ecessário para termos uma descarga de 0,56 ft3/s 
de água sob uma altura de carga de 28,5 ft? 
Resp.: 2". 
53. Um orifício de borda viva tem um diâmetro de l" e coeficienteil de 
velocidade e contração de 0,98 e 0,62, respectivamente. Se o jato cai de 3,08 ft, 
238 MECÂNICA .DOS FLUJDOS 
em uma distincia horu.ontal de 8,19 rt, determinar o nuxo -em ft.3/s e a altura 
de carga no orlrlCio. · · 
Rap.: 0,0632 ft.3/s; 5,66 ft. 
/· 
M. A partir de ·um .orifício de 3" d"' diimetro na parede de um tanque 
feéhado, temos um escoamento de óleo de densidade igual 0,8 à razão de 0,911 ft1/s. 
O diâmetro do jat.o é de 2,305". O nível do óleo é de M,5 ft. acima do orificio 
e a pressão do ar é equivalente a ( - 6") de mercQrio. Determinar os 3 coefi-
cientes do orirlCio • 
. Rap.: 0,580; 0,590; 0,982. 
55. Na F"ig. 9-11, o orirJCio de 3" de diâmetro tem coeficientes de velocidade 
e contração de 0,950 e 0,632, res~tivamente. Determinar (a) o fluxo para 
clefle:mo indii:ada do mercúrio e (b) a po~ncia no jato. 
Rap.: 1,04 ftª/s; 2,06 hp. 
_El.6,679 
_ El.4.989 
F' •• 9-ll 
.. : 0,96 
0.:1,00 
Fig. 9-12 
_El.1,00 
36. Na r._ 9-12. temos óleo combUBtível pesado a 6&>F escoando at.ravéS 
do orifício de 3" de diâmetro na extremidade do tubo, e&U88ndo a deflexão do 
oiercfuio no lllllD&netro. Determinar a pot.ência no jato. 
Rap.: 2,90 hp. 
57. Algumas vêzes certas locomotivas a vapor abastecem-'le de água através 
uma concha que afunda em um tanque longo e estreito situado entre os trilhos. 
Se a elevação no tanque é de 9 ft a que velocidade deve o trem se locomover; em 
1nph (desprezar o atrito)_? 
Bup.: 16,4 mpb. 
58. Atr a 60-F escoa através de um largo duto e a partir daí através de um 
furo de 3" de diâmetro, feito em um metal fino (e = 0,62). Um man&netro-U 
contendo água registra l,25". Considerando o pêso específico do ar collStaote. 
qual SP.rá a vazão em pêso, através da abertura i> 
Rap.: 10,3 lb/min. 
W. Um ólet> de densidade 0,926 e viscosidade 350 Saybolt-segundos escoa 
atra-. éS ele um tubo orifício de 3" de diâmetro colocado em uma tubulação de 
CAP. 9 MEDIÇÃO DE ESCOAMENTO DE l'LUIDOS 239 
5" de diâllldtro. O manômetro diferencial.registra uma queda de pressão de 
21,5 psí. 
0
Det.enninar o . fluxo Q. 
Re1p.·: 1,93 Ct1/s. 
60. Um bocal com uma extremidade de 2" de diâmetro é rlXlldo ao terminal 
de uma tubulação horizontal de 8'; de diimetro. Os coeficientes de veloeidade 
e de contração são respectivament.e 0,976 e 0,909. 'ijm manômetro, flXlldo à 
base do bocal e localizado. a 7 ,lft acima da sua linha de ~ntro indica 32 psi. 
Det.ermioar o fiuxo de água em ft3/s. 
Rup.: 1,40 ft3/s. 
61. Quando o fluxo de água através de um Diedidor Venturi hori-
zontal de 12" X 6" (e = 0,95) é de 3,93 Ct.3/s, qual será à deflexão do mercúrio 
no manômetro diferencial fixado ao medidor? 
Rup.: 6,18". 
62. Quando ·4,2 ft3/s de água escoam através de ~m medidor Venturi de 
12" X 6" o manôínetro diferencial indica uma diferença de pressão de 7,2ft. Qual 
é o coeficient.e de descarga indicâdo para o medidor~ 
Rup.: 0,96-i. 
63. A perda de carga da entrada à garganta de um medidor Venturi de 
10" X 5" é 1/16 vêzes a taquicarga na.garganta (taquicarga DO estraagulament.o). 
Quando o mercúrio no manômetro diferencial í1Xado ao Diedidor; indicar 4", 
qual será a vazão de água indicada ? 
Re11p.: Q = 2,.23 rt3/s. 
64. Um medidor Venturi de 12" X 6" (e = 0;985) transporta 2 ft3/s de 
água com urna ~itul'!l no manômetro diferencial de 2,08 Ct. Qual é a densidade 
do liquido indicador ? -
Re1p.: 1.,75. 
65. Através de um medidor· Venturi de 12" X 6" t.emos uma vazão em 
pêso de 16,5 lb/s de metano a 6QoF. A pressão à entzada do medidor é de 49,5 psi. 
Usando k ~ 1,31, R = 96,3 ft j•R; " = 1,94 X: líi-~ it!js a .urwt &t.nusfe;&