Questoes máximos e mínimos - Cálculo Vetorial

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mat2351 - ca´lculo va´rias varia´veis i - licenciatura
1o sem 2011 - profa. daniela m. vieira
SE´TIMA LISTA DE EXERCI´CIOS
(1) Estude a func¸a˜o dada com relac¸a˜o a ma´ximo e mı´nimo no conjunto dado.
(a) f(x, y) = 3x − y no conjunto A de todos (x, y) tais que x ≥ 0, y ≥ 0, y − x ≤ 3, x + y ≤ 4 e
3x+ y ≤ 6.
(b) f(x, y) = 3x− y em A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}.
(c) f(x, y) = x2 + 3xy − 3x em A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0 e x+ y ≤ 1}.
(d) f(x, y) = xy em A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0 e 2x+ y ≤ 5}.
(e) f(x, y) = y2 − x2 em A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4}.
(f) f(x, y) = x2 − 2xy + 2y2 em A = {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| ≤ 1}.
Respostas:
(a) (0, 3) e´ ponto de mı´nimo; (2, 0) e´ ponto de ma´ximo.
(b)
(
−3
√
10
10
,
√
10
10
)
e´ ponto de mı´nimo;
(
3
√
10
10
,−
√
10
10
)
e´ ponto de ma´ximo.
(c) (0, y), 0 ≤ y ≤ 1 sa˜o pontos de ma´ximo; (1, 0) e´ ponto de mı´nimo.
(d) (x, 0), 0 ≤ x ≤ 5
2
e (0, y), 0 ≤ y ≤ 5, sa˜o pontos de mı´nimo;
(
5
4
,
5
2
)
sa˜o pontos de ma´ximo.
(e) (2, 0) e (−2, 0) sa˜o pontos de mı´nimo; (0, 2) e (0,−2) sa˜o pontos de ma´ximo.
(f) (0, 0) e´ ponto de mı´nimo; (0, 1) e (0,−1) sa˜o pontos de ma´ximo.
(2) Suponha que T (x, y) = 4 − x2 − y2 represente uma distribuic¸a˜o de temperatura no plano. Seja
A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, y ≥ x e 2y + x ≤ 4}. Determine o ponto de A de menor
temperatura.
Temos
• ∂T
∂x
(x, y) = −2x,
• ∂T
∂y
(x, y) = −2y.
Logo, (0, 0) e´ o u´nico ponto cr´ıtico.
Temos nas fronteiras:
• g1(t) = f(0, t) = 4− t2, t ∈ [0, 2],
1
• g2(t) = f(t, t) = 4− 2t2, t ∈ [0, 4/3],
• g3(t) = f(t,−t/2 + 2) = −5
4
t2 + t, t ∈ [0, 4/3].
Pontos cr´ıticos da g1, g2 e g3, sa˜o 0, 0, 2/5, respectivamente.
Logo, tiraremos que (0, 2) e´ ponto de mı´nimo.
(3) Determine (x, y) que maximiza (minimiza) a func¸a˜o f(x, y) = x2 + 2y2, com x e y sujeitos as
restric¸o˜es: y = 1− 2x e 0 ≤ x ≤ 1
2
.
Temos
• ∂f
∂x
(x, y) = 2x,
• ∂f
∂y
(x, y) = 4y.
Para encontrarmos seus pontos cr´ıticos basta resolvermos o sistema

2x = 0,
4y = 0,
donde conclu´ımos que (x, y) = (0, 0) e´ o u´nico ponto cr´ıticos.
Sobre a restric¸a˜o teremos
g(x) = f(x, 1− 2x) = 9x2 − 8x+ 2,
e a g so´ tem um ponto cr´ıtico x =
4
9
. Logo, g(0) = 2, g(4/9) = 18/81 e g(1/2) = 1/4, enta˜o mı´nimo
para (x, y) = (0, 1) e ma´ximo para (x, y) = (4/9, 1/9).
(4) Determine o ponto da reta x+ 2y = 1 cujo produto das coordenadas seja ma´ximo.
Vamos considerar
• f(x, y) = xy,
• g(x, y) = x+ 2y − 1.
Enta˜o teremos o seguinte sistema:


(y, x) = λ (1, 2)
x+ 2y = 1
∇g(x, y) 6= (0, 0)
⇒


y = λ
x = 2λ
x+ 2y = 1
∇g(x, y) 6= (0, 0)
.
2
Substituindo a primeira e segunda equac¸a˜o na terceira, tiramos λ =
1
4
.
Portanto, (x, y) =
(
1
2
,
1
4
)
.
(5) Determine o ponto da para´bola y = x2 mais pro´ximo de (14, 1).
Vamos considerar
• f(x, y) = (x− 14)2 + (y − 1)2,
• g(x, y) = y − x2.
Enta˜o teremos o seguinte sistema:


(2x− 28, 2y − 2) = λ (−2x, 1)
y = x2
∇g(x, y) 6= (0, 0)
⇒


2x− 28 = −2λx
2y − 2 = λ
y = x2
∇g(x, y) 6= (0, 0)
.
Substituindo λ dado pela segunda equac¸a˜o na primeira, e usando y = x2, teremos 4x3−2x−28 = 0,
que possui u´nica raiz real x = 2, enta˜o y = 4.
Portanto, (x, y) = (2, 4).
(6) Determine o ponto do elipso´ide x2 + 4y2 + z2 = 1 que maximiza a soma x+ 2y + z.
Vamos considerar
• f(x, y, z) = x+ 2y + z,
• g(x, y, z) = x2 + 4y2 + z2 − 1.
Enta˜o teremos o seguinte sistema:


(1, 2, 1) = λ (2x, 4y, 2z)
x2 + 4y2 + z2 = 1
∇g(x, y, z) 6= (0, 0, 0)
⇒


1 = 2λx
2 = 4λy
1 = 2λz
x2 + 4y2 + z2 = 1
∇g(x, y, z) 6= (0, 0, 0)
.
Substituindo a primeira, segunda e terceira equac¸a˜o na quarta, obtemos λ = ±
√
3
2
.
3
Portanto,
(√
3
3
,
√
3
6
,
√
3
3
)
maximiza e
(
−
√
3
3
,−
√
3
6
,−
√
3
3
)
minimiza.
(7) Determine o ponto do plano x+ 2y − 3z = 4 mais pro´ximo da origem.
Vamos considerar
• f(x, y, z) = x2 + y2 + z2,
• g(x, y, z) = x+ 2y − 3z − 4.
Enta˜o teremos o seguinte sistema:


(2x, 2y, 2z) = λ (1, 2,−3)
x+ 2y − 3z = 4
∇g(x, y, z) 6= (0, 0, 0)
⇒


2x = λ
2y = 2λ
2z = −3λ
x+ 2y − 3z = 4
∇g(x, y, z) 6= (0, 0, 0)
.
Substituindo a primeira, segunda e terceira equac¸a˜o na quarta, obtemos λ =
4
7
.
Portanto, (x, y, z) =
(
2
7
,
4
7
,−6
7
)
.
(8) Determine o ponto da reta


x+ 2y + z = 1
2x+ y + z = 4
que se encontra mais pro´ximo da origem.
Esta reta pode ser parametrizada por
r(t) = (3 + t, t,−2− 3t), t ∈ R.
Considerando f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, obtemos
g(t) = f(r(t)) = (3 + t)2 + t2 + (2 + 3t)2,
e logo g′(t) = 22t+ 18 e g′′(t) = 22. O ponto cr´ıtico da g e´ t = − 9
11
, e e´ mı´nimos, pois g′′
(
− 9
11
)
=
22 > 0.
Assim, r
(
− 9
11
)
=
(
24
11
,− 9
11
,
5
11
)
e´ o ponto mais pro´ximo da origem.
(9) Encontre os pontos da elipse x2 + xy + y2 = 3 (de centro na origem) mais pro´ximos e os mais
afastados da origem. Desenhe a elipse.
Vamos considerar
4
• f(x, y) = x2 + y2,
• g(x, y, z) = x2 + xy + y2 − 3.
Enta˜o teremos o seguinte sistema:


(2x, 2y) = λ (2x+ y, x+ 2y)
x2 + xy + y2 = 3
∇g(x, y) 6= (0, 0)
⇒


2x = λ(2x+ y)
2y = λ(x+ 2y)
x2 + xy + y2 = 3
∇g(x, y) 6= (0, 0)
.
Veja que se λ = 1, enta˜o termos (x, y) = (0, 0), mas este ponto na˜o esta´ sobre a elipse. Logo,
tiramos que x =
λ
2(1− λ)y e y =
λ
2(1− λ)x. Logo, obtemos
(
1− λ
2
4(1− λ)2
)
x = 0, mas como
x 6= 0, segue que 4(1− λ)2 = λ2, e enta˜o teremos λ1 = 2 e λ2 = 2
3
.
Assim obtemos os pontos, (
√
3,−√3), (−√3,√3), (−1,−1) e (1, 1). E mais, f(√3,−√3) = 6,
f(−√3,√3) = 6, f(−1,−1) = 2 e f(1, 1) = 2
Logo, os ponto (
√
3,−√3) e (−√3,√3) sera˜o os mais distantes, e (−1,−1) e (1, 1) os mais
pro´ximos.
−1
−0.8
0.4
y
1.6
0.0
1.2
0.8
−2
−0.4
−2.0
x
1 2
−1.6
0
2.0
−1.2
Figura 1:
(10) Determine o ponto da superf´ıcie xyz = 1, x > 0, y > 0, que se encontra mais pro´ximo da
origem.
Vamos considerar
• f(x, y, z) = x2 + y2 + z2,
• g(x, y, z) = xyz − 1.
5
Enta˜o teremos o seguinte sistema:


(2x, 2y, 2z) = λ (yz, xz, xy)
xyz = 1
∇g(x, y, z) 6= (0, 0, 0)
⇒


2x = λyz
2y = λxz
2z = λxy
xyz = 1
∇g(x, y, z) 6= (0, 0, 0)
.
Multiplicando a primeira por x temos, 2x2 = λ; a segunda por y temos, 2y2 = λ; a terceira por
z temos, 2z2 = λ. Fazendo o produto delas, obtemos 8(xyz)2 = λ3, isto e´, λ = 2.
Portanto, o ponto sera´ (1, 1, 1).
(11) Determine treˆs nu´meros positivos cuja soma e´ 36 e cujo produto seja ma´ximo.
Vamos considerar
• f(x, y, z) = xyz,
• g(x, y, z) = x+ y + z − 36.
Enta˜o teremos o seguinte sistema:


(yz, xz, xy) = λ (1, 1, 1)
xyz = 1
∇g(x, y, z) 6= (0, 0, 0)
⇒


yz = λ
xz = λ
xy = λ
xyz = 1
∇g(x, y, z) 6= (0, 0, 0)
.
Da primeira equac¸a˜o e da segunda, teremos que z(y − x) = 0. Mas, olhando para o sistema
tiramos que z 6== 0, enta˜o
y = x.
Usando a mesma ideia, tiramos
z = y = x.
Substituindo na nossa condic¸a˜o tiramos, e levando em conta que x, y, z > 0,
x = 12.
6
Portanto, cada um dos treˆs e´ igual a 12.
(12) Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com 1m3 de volume e com a forma de um par-
alelep´ıpedo retangular. O material a ser utilizado na confecc¸a˜o do fundo custa o dobro do que sera´
utilizado nas laterais. Determinar as dimenso˜esda caixa que minimiza o custo do material.
Suponhamos que o valor por m2 e´ R > 0. Vamos considerar
• f(x, y, z) = 2Rxy + 2Ryz + 2Rxz,
• g(x, y, z) = xyz − 1.
Enta˜o teremos o seguinte sistema:


(2Ry + 2Rz, 2Rx+ 2Rz, 2Ry + 2Rx) = λ (yz, xz, xy)
xyz = 1
∇g(x, y, z) 6= (0, 0, 0)
⇒


2(y + z) = λyz
2(x+ z) = λxz
2(x+ y) = λxy
xyz = 1
∇g(x, y, z) 6= (0, 0, 0)
.
Multiplicando a primeira equac¸a˜o por x e a segunda por y, teremos que 2x(y + z) = 2y(x+ z),
ou seja, xz − yz = 0. Mas, olhando para o sistema tiramos que z 6== 0, enta˜o
y = x.
Usando a mesma ideia, tiramos
z = y = x.
Substituindo na nossa condic¸a˜o tiramos, e levando em conta que x, y, z > 0,
x = 1.
Portanto, sera´ um cubo cujo a medida do lado e´ 1.
(13) Deseja-se construir um paralelep´ıpedo-retangular com com a´rea total 100cm2. Determine as
dimenso˜es para o volume ser ma´ximo.
Vamos considerar
• f(x, y, z) = xyz,
7
• g(x, y, z) = xy + yz + xz − 50.
Enta˜o teremos o seguinte sistema:


(yz, xz, xy) = λ (y + z, x+ z, x+ y)
xy + yz + xz = 50
∇g(x, y, z) 6= (0, 0, 0)
⇒


yz = λ(y + z)
xz = λ(x+ z)
xy = λ(x+ y)
xy + yz + xz = 50
∇g(x, y, z) 6= (0, 0, 0)
.
Multiplicando a primeira equac¸a˜o por x e a segunda por y, teremos que λx(y + z) = λy(x+ z),
ou seja, λ (xz − yz) = 0. Mas, olhando para o sistema tiramos que λ, z 6== 0, enta˜o
y = x.
Usando a mesma ideia, tiramos
z = y = x.
Substituindo na nossa condic¸a˜o tiramos, e levando em conta que x, y, z > 0,
x =
5
√
6√
3
.
Portanto, sera´ um cubo cujo a medida do lado e´
5
√
6
3
.
(14) Determine o paralelep´ıpedo-retangular de volume ma´ximo, com arestas paralelas aos eixos
coordenados, inscrito no elipso´ide
x2
4
+
y2
9
+
z2
16
= 1.
Vamos considerar
• f(x, y, z) = xyz,
• g(x, y, z) = x
2
4
+
y2
9
+
z2
16
− 1.
Enta˜o teremos o seguinte sistema:


(yz, xz, xy) = λ
(
x
2
,
2
9
y,
1
8
z
)
x2 + y2 + z2 = 4
∇g(x, y, z) 6= (0, 0, 0)
⇒


yz = λ
x
2
x
xz = λ
2
9
y
xy = λ
1
8
z
x2
4
+
y2
9
+
z2
16
= 1
∇g(x, y, z) 6= (0, 0, 0)
.
8
Multiplicando a primeira equac¸a˜o por x e a segunda por y, teremos que λ
x2
2
= λ
2
9
y2, ou seja,
λ
(
x2
2
− 2
9
y2
)
= 0. Mas, olhando para o sistema tiramos que λ 6== 0, enta˜o
y = ±3
2
x.
Usando a mesma ideia, tiramos
z = ±± 4
3
y = ±2x.
Substituindo na nossa condic¸a˜o tiramos
x = ± 4√
3
.
Portanto, os ve´rtices sera˜o dados por:
(
4√
3
,
6√
3
,
8√
3
)
,
(
4√
3
,
6√
3
,− 8√
3
)
,
(
4√
3
,− 6√
3
,
8√
3
)
,(
4√
3
,− 6√
3
,− 8√
3
)
,
(
− 4√
3
,
6√
3
,
8√
3
)
,
(
− 4√
3
,
6√
3
,− 8√
3
)
,
(
− 4√
3
,− 6√
3
,
8√
3
)
,(
− 4√
3
,− 6√
3
,− 8√
3
)
.
(15) A temperatura T em qualquer ponto (x, y, z) do espac¸o e´ dada por T (x, y, z) = 100x2yz.
Determine as temperaturas ma´xima e mı´nima sobre a esfera x2 + y2 + z2 ≤ 4.
Temos
• ∂T
∂x
(x, y, z) = 200xyz,
• ∂T
∂y
(x, y, z) = 100x2z,
• ∂T
∂z
(x, y, z) = 100x2y.
Logo, temos como pontos cr´ıticos (x, 0, 0), x ∈ R.
Para estudar a fronteira, vamos utilizar os multiplicadores de Lagrange.
Vamos considerar
• T (x, y, z) = 100x2yz,
• g(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 4.
9
Enta˜o teremos o seguinte sistema:


(200xyz, 100x2z, 100x2y) = λ(2x, 2y, 2z)
x2 + y2 + z2 = 4
∇g(x, y, z) 6= (0, 0, 0)
⇒


200xyz = 2λx
100x2z = 2λy
100x2y = 2λz
x2 + y2 + z2 = 4
∇g(x, y, z) 6= (0, 0, 0)
.
Multiplicando a primeira equac¸a˜o por y e a segunda por x, teremos que 200xy2z = 100x3z, ou
seja, xz(2y2 − x2) = 0. Mas, olhando para o sistema tiramos que x, z 6== 0, enta˜o
y = ±
√
2
2
x.
Usando a mesma ideia, tiramos
z = ±y = ±
√
2
2
x.
Substituindo na nossa condic¸a˜o tiramos
x = ±
√
2.
Assim teremos os ponto (
√
2, 1, 1), (
√
2, 1,−1), (√2,−1, 1), (√2,−1,−1), (−√2, 1, 1), (−√2, 1,−1),
(−√2,−1, 1), e (−√2,−1,−1), logo T (√2, 1, 1) = 2, T (√2, 1,−1) = −2, T (√2,−1, 1) = −2,
T (
√
2,−1,−1) = 2, T (−√2, 1, 1) = 2, T (−√2, 1,−1) = −2, T (−√2,−1, 1) = −2, T (−√2,−1,−1) =
2 e T (x, 0, 0) = 0, x ∈ R.
Logo, temos temperatura ma´xima 2 e mı´nima −2.
10