Questão resolvida - Os pontos críticos de uma Sabendo disso, para a função f(x,y) xy x y -6x -6y 9 - Cálculo II

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Os pontos críticos de uma função é encontrado fazendo-se a derivada parcial da f x , y( 0 0)
função em relação aos eixos e e igulando a zero;x y
 
= 0
𝜕f x, y
𝜕x
( )
= 0
𝜕f x, y
𝜕y
( )
 
Os valores (ou o valor) — se existirem — encontrados, solucionando o sistema 1, podem ser 
pontos de máximo ou mínimo, ponto de cela, ou um ponto indefinido. Para descobrir que 
tipos de pontos são os encontrados resolvando-se o sistema 1, devemos encontrar todas as 
segundas derivadas de , ou seja;f x, y( )
 
, , e 
𝜕 f x, y
𝜕x
2 ( )
2
𝜕 f x, y
𝜕y
2 ( )
2
𝜕f x, y
𝜕x𝜕y
( ) 𝜕f x, y
𝜕y𝜕x
( )
 
Agora, substituindo os pontos nas segundas derivadas, temos que;x , y( 0 0)
 
a. terá um máximo local em , se e f x , y( 0 0) < 0
𝜕 f x , y
𝜕x
2 ( 0 0)
2
⋅ - > 0.
𝜕 f x, y
𝜕x
2 ( )
2
𝜕 f x, y
𝜕y
2 ( )
2
𝜕f x, y
𝜕x𝜕y
( )
2
 
b. terá um mínimo local em , se e f x , y( 0 0) > 0
𝜕 f x , y
𝜕x
2 ( 0 0)
2
⋅ - > 0.
𝜕 f x, y
𝜕x
2 ( )
2
𝜕 f x, y
𝜕y
2 ( )
2
𝜕f x, y
𝜕x𝜕y
( )
2
 
 
 
(1)
c. Se , então, não será nem ponto de ⋅ - < 0
𝜕 f x, y
𝜕x
2 ( )
2
𝜕 f x, y
𝜕y
2 ( )
2
𝜕f x, y
𝜕x𝜕y
( )
2
x , y( 0 0)
máximo, nem ponto de mínimo local.
 
Sabendo disso, para a função ;f x, y = xy + x + y - 6x - 6y + 9( ) 2 2
 
1. Determine os possíveis pontos críticos de .f x, y( )
2. Verifique, usando o teste da segunda derivada, se os pontos críticos encontrados são 
de máximo ou mínimo local.
3. Encontre os valores assumidos por em seus pontos críticos .f x, y( ) x , y( 0 0)
4. Respresente a função no software GeoGebra e identifique os pontos de f x, y( )
máximo e mínmo, caso exista. 
 
Resolução:
 
1.
 
Como foi mostrado no enunciado, devemos encontrar o sistema 1 (dado no enunciado), para 
isso, vamos encontrar as derivadas parciais da função;
 
f x, y = xy + x + y - 6x - 6y + 9 = y + 2x - 6 = 0( ) 2 2 →
𝜕f x, y
𝜕x
( )
 
 = x + 2y - 6 = 0→
𝜕f x, y
𝜕y
( )
Com isso, o sistema 1 fica;
 
y + 2x - 6 = 0
x + 2y - 6 = 0
 
Então , resolvemos o sistema acima;
 
Isolando y na primeira equação : y + 2x - 6 = 0
 
y = -2x + 6
 
Agora substituindo na segunda equação e resolvendo, temos;
 
 
 
(1)
x + 2y - 6 = 0 x + 2 -2x + 6 - 6 = 0 x - 4x + 12 - 6 = 0 -3x + 6 = 0⏫⏪⏪⏪⏪ ( ) → →
 
-3x = -6 x = x = 2→
-6
-3
→
 
Substituindo o valor de x em 1, temos que;
 
 y + 2 ⋅ 2 - 6 = 0 y + 4 - 6 = 0 y - 2 = 0→ →
 
y = 2
 
Com isso, o único ponto crítico de f x, y é;( )
 
2, 2( )
2.
 
Agora, vamos verificar que tipo de ponto crítico é o encontrado em 1., para isso, vamos 
encontrar todas as 2° derivadas de ;f x, y( )
 
= y + 2x - 6 = 2
𝜕f x, y
𝜕x
( )
⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪relação a x novamente
𝜕 f x , y
𝜕x
2 ( 0 0)
2
 
= x + 2y - 6 = 2
𝜕f x, y
𝜕y
( )
⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪⏪relação a y novamente
𝜕 f x, y
𝜕y
2 ( )
2
 
= y + 2x - 6 = 1
𝜕f x, y
𝜕x
( )
⏫⏪⏪⏪⏪⏪relação a y 
𝜕 f x, y
𝜕x𝜕y
2 ( )
 
= x + 2y - 6 = 1
𝜕f x, y
𝜕y
( )
⏫⏪⏪⏪⏪⏪relação a x 
𝜕 f x, y
𝜕y𝜕x
2 ( )
 
Veja que (em 2), então, se trata do caso b. dado no enunciado, assim, > 0
𝜕 f x , y
𝜕x
2 ( 0 0)
2
vamos fazer o ourtro teste, como visto na sequência;
 
⋅ - > 0 2 ⋅ 2 - 1 > 0 4 - 1 > 0 3 > 0 vedadeiro!
𝜕 f 2, 2
𝜕x
2 ( )
2
𝜕 f 2, 2
𝜕y
2 ( )
2
𝜕f 2, 2
𝜕x𝜕y
( )
2
→ ( )2 → → →
 
 
substituindo
derivando em
derivando em
derivando em
derivando em
(Resposta - 1)
(2)
(3)
(4)
(5)
 Logo;
 
2, 2 é um ponto de mínimo local( )
 
3.
 
Vamos substituir o ponto em e verificar qual valor esta função assumi;2, 2( ) f x, y( )
 
f 2, 2 = 2 ⋅ 2 + 2 + 2 - 6 ⋅ 2 - 6 ⋅ 2 + 9 f 2, 2 = 4 + 4 + 4 - 12 - 12 + 9( ) 2 2 → ( )
 
f 2, 2 = - 3( )
 
3. 
 
Finalmente, vamos representar a curva dada pela função no software GeoGebra. f x, y( )
Para isso, primeiro, escrevemos a equação da curva no campo superior esquerdo, onde está 
escrito "entraga", como visto a seguir;
Após digitar a equação da curva, pressionamos "enter" no teclado, a curva é plotada, como 
podemos ver a seguir;
 
 
(Resposta - 2)
(Resposta - 3)
Agora, abaixo de onde foi plotada a curva, digitamos o ponto , que é o ponto de 2, 2, -3( )
mínimo da curva (como se trata de curva espacial, o é a coordenada ), e pressionamos -3 z
enter.
Com isso, o software apresenta a curva com seu ponto de mínimo;