Mecânica dos Fluidos - Cap 1. Introdução

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CAT118 - Mecânica dos Fluidos 
1. Introdução e Conceitos Fundamentais. 
 
 
1. Introdução. 
 
1.0. Recomendações. 
 Resolver problemas [1]; 
 
 Evitar métodos de solução para cada tipo de problema, sendo preferível conhecer a 
fenomenologia e as leis e envolvidas e adotar uma metodologia geral de solução de acordo 
com os passos a seguir [1]: 
 
1. Estabelecer, de maneira breve e concisa, escrevendo as informações dadas no problema e a 
informação desejada. 
 
2. Desenhar um esboço da situação do problema assinalando as fronteiras pertinentes à análise 
e os sentidos apropriados das coordenadas. 
3. Estabelecer a formulação matemática das leis básicas necessárias para resolver o problema e 
relacionar as hipóteses simplificadoras que podem ser utilizadas para facilitar (ou possibilitar) 
a resolução. 
 
4. Desenvolver os cálculos de forma ordenada para obter a solução na forma algébrica, e depois 
(se necessário) na forma numérica. Dados numéricos devem ser usados sob um sistema 
consistente de unidades. Caso não sejam dados no problema, valores de propriedades físicas 
utilizadas devem ser referenciados. 
 
5. Obter a solução numérica do problema (se necessário) de modo que os algarismos 
significativos (da solução) sejam compatíveis com aqueles (algarismos significativos) dos 
dados fornecidos. 
 
6. Verificar se as hipóteses utilizadas no desenvolvimento dos cálculos para obter a solução do 
problema são razoáveis. 
 
7. Assinalar a resposta. 
 
1.1. Definição de Fluido. 
Fluidos (Líquidos e Gases) são substâncias que se deformam continuamente sob a aplicação de 
uma tensão tangencial (cisalhante) independentemente da magnitude desta tensão [1]. 
 
1.2. Sólidos, Líquidos e Gases. 
 Em Sólidos: Pequenas distâncias intermoleculares. Elevadas forças de coesão. Moléculas em 
posições relativamente fixas (oscilam em torno de uma posição)[2]. 
 
 Em Líquidos: Pequenas distâncias intermoleculares. Elevadas forças de coesão (mais fracas 
que nos sólidos). Moléculas movem-se com liberdade umas em relação às outras. Em um 
recipiente a massa líquida tem seu volume preservado, formando uma superfície livre [2] 
 
 Em Gases: Grandes distâncias intermoleculares. Baixas forças de coesão. Moléculas movem-
se randomicamente umas em relação às outras. Em um recipiente a massa gasosa tem seu 
volume expandido, preenchendo todo o volume disponível [2]. 
 
 
 
1. Introdução. 
 
1.3. Escopo da Mecânica dos Fluidos. 
Os fundamentos da Mecânica dos Fluidos são utilizados para projetar, dimensionar e otimizar 
instalações industriais, máquinas e equipamentos e para compreender a natureza de 
escoamentos fluviais, marítimos e atmosféricos. 
 
Instalações industriais, máquinas e equipamentos: 
veículos (e.g., terrestres, aquáticos e aéreos); máquinas de fluxo (e.g., turbinas, bombas, 
ventiladores, aerogeradores, compressores); equipamentos e instrumentação hospitalar (e.g., 
respiradores artificias); linhas de distribuição e de processos (e.g., tubulações de água, vapor, 
ar-comprimido, alimentos em fase líquida, produtos químicos, oleodutos, gasodutos). 
 
Escoamentos fluviais, marítimos e atmosféricos: 
previsão e dinâmica de escoamentos atmosféricos (e.g., tempestades, furacões); navegação 
(aérea, marítima e fluvial); dinâmica de cursos de água (e.g., movimentos de solo e 
assoreamento de rios, lagoas e baías; dispersão de poluentes e matérias particulados (meios 
aquáticos e atmosféricos). 
 
1.4. Equações Básicas de Transporte. 
a) Massa; 
b) Quantidade de Movimento (Momento Linear); 
c) Momento da Quantidade de Movimento (Momento Angular); 
d) Energia (1a Lei da Termodinâmica); 
e) Entropia (2a Lei da Termodinâmica); 
 
As cinco Eqs. de transporte relacionadas formam o conjunto de Eqs. estudadas em 
termomecânica dos meios dos meios contínuos. As Eqs. de transporte definidas pelos itens (c) 
e (e) não são estudadas na disciplina CAT118 Mecânica dos Fluidos. 
 
1.5. Métodos de Análise. 
1.5.1. Sistemas e Volumes de Controle. 
Sistema: Quantidade de massa de identidade fixa, separada do meio exterior pela fronteira do 
sistema, que pode ser fixa (e.g., parede do cilindro) ou móvel (e.g., pistão) [1]. 
 
Volume de Controle: Volume arbitrário no espaço 3D através do qual há fluxo† de massa, 
definido por superfícies de controle reais (e.g., parede da junção) ou imaginárias (e.g., seções 
transversais da junção), em repouso (e.g., todas as superfícies da junção) ou movimento (e.g., 
a superfície livre de um volume líquido variando no tempo em um reservatório [1]. 
 
 
1. Introdução. 
 
Calor e trabalho cruzam a fronteira do sistema da figura. Não há fluxo de massa. A massa de 
mercúrio contida no bulbo de um termômetro é um exemplo de sistema com fronteira fixa. 
 
† Fluxo:= Quantidade de determinada grandeza/área. 
 
1.5.2. Formulações Integral e Diferencial. 
 
 Formulação Integral (Global): Abordagem do problema em termos de sistemas/volumes de 
controle finitos, descritos por leis básicas escritas na forma integral (Eqs. integrais). Em 
geral, são de tratamento matemático mais simples, observando os fenômenos no nível global, 
fornecendo resultados gerais sobre o domínio de análise. Ex.: força desenvolvida pela ação 
de um jato de água sobre uma placa plana (ver Figura)[1]. 
 
 Formulação Diferencial (Local): Abordagem do problema em termos de sistemas/volumes de 
controle infinitesimais, descritos por leis básicas escritas na forma diferencial (Eqs. 
diferenciais). Em geral, são de tratamento matemático mais complexo, observando os 
fenômenos no nível local, fornecendo resultados detalhados (ponto a ponto) sobre o domínio 
de análise. Ex.: perfil de velocidade na camada limite sobre uma placa plana [1]. 
 
 
 
1.6.Métodos de Descrição. 
 
Descrição Substancial (Material) 
A descrição substancial trata diretamente com pontos substanciais X. É a descrição usada em 
dinâmica analítica (mecânica da partícula), onde se fala em pontos substanciais, usualmente 
chamados massas. Mais precisamente, deve-se falar em ‘ponto de massa Xq, cuja massa é Mq’, 
mas esta expressão é comumente abreviada para ‘massa q’ ou ‘corpo Mq’, etc [3]. 
 
Para meios contínuos, cada corpo  compreende infinitamente muitos pontos materiais X. 
 
Na descrição material as variáveis independentes são as coordenadas (X,.t), o ponto substancial 
X, e o tempo t [3]. 
 
Com a descrição substancial para meios contínuos interpretada estritamente, poucas 
ferramentas analíticas estão disponíveis. O termo ‘descrição material’ por vezes é usado (de 
forma inadequadada) para designar outra forma de descrição muitas vezes confundida com a 
descrição substancial, a descrição referencial [3]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Introdução. 
 
Descrição Referencial 
A descrição referencial utiliza uma configuração de referência  associada ao movimento, 
descrevendo o movimento por meio de um mapeamento (movimento  em relação a uma 
configuração de referência ). A escolha de  é livre (pode-se escolher qualquer configuração ), 
i.e., a configuração  do corpo , (), é apenas uma forma assumida por , e deve ser possível 
sempre estabelecer hipóteses de estado e equações válidas para qualquer escolha de . Qualquer 
movimento de um corpo tem um número infinito de descrições referenciais diferentes, todas 
igualmente válidas [3]. 
 
Para a maioria das propostas em mecânica, a descrição substancial e a descrição referencial 
podem ser confundidas, o que tem sido feito há muito tempo, embora, a rigor, sejam descrições 
diferentes [3]. 
 
A descrição referencial é mais usada em mecânica dos sólidos, onde as massas sofrem 
deslocamentose deformações simples e lentas. No século XVIII, Leonhard Euler introduziu a 
descrição chamada pelos estudiosos de hidrodinâmica de descrição ‘Lagrangeana’. Esta é uma 
descrição referencial particular, em que as coordenadas Cartesianas da posição X do ponto 
substancial X em um instante t = 0 são usadas como ‘rótulos’ para o ponto substancial X [3]. 
 
Na descrição referencial as variáveis independentes são as coordenadas (X,.t), o lugar ocupado 
pelo ponto substancial X na configuração de referência , e o tempo t [3. 
 
Descrição Espacial 
A descrição espacial tem a atenção voltada para a forma atual assumida pelo corpo . Esta 
descrição introduzida por Daniel Bernoulli e Jean D’alembert, é chamada de descrição 
‘Euleriana’ pelos estudiosos de hidrodinâmica. Uma função espacial f (x,.t) é única. Enquanto 
existem infinitas descrições referenciais de um dado movimento, existe uma única descrição 
espacial, assim como existe uma única descrição substancial [3]. 
 
Na descrição espacial observa-se o que ocorre em uma região fixa do espaço, que é a mesma 
para as sucessivas formas assumidas por  durante o movimento. Esta descrição é mais usada 
em mecânica dos fluidos, onde geralmente as massas se deslocam e se deformam com 
complexidade e rapidez, de modo que é preferível considerar o que acontece ‘aqui’ e ‘agora’ sem 
fazer referências ao que aconteceu antes, em outro lugar [3]. 
 
Em vários problemas de mecânica dos fluidos o contorno do corpo , , permanece fixo, 
tornando a descrição espacial especialmente adequada. Entretanto, a descrição espacial é 
‘estranha’ para questões de princípios em mecânica, desde que, as leis da dinâmica se referem 
ao que é sofrido pelo corpo, e não ao que é sofrido pela região do espaço que o corpo ocupa 
momentaneamente. Relações fáceis de obter nas descrições substancial ou referencial exigem 
raciocínio adicional se derivadas sob a ótica espacial, que é usualmente adotada em 
hidrodinâmica [3]. 
 
Na descrição espacial as variáveis independentes são as coordenadas (x, t), a posição atual do 
ponto substancial X, e o instante t [3]. 
 
1. Introdução. 
 
 
 
À esquerda: corpo , forma do corpo na configuração de referência  (), e forma do corpo  no instante t, 
durante o movimento  (t) ; À direita: trajetória de uma partícula substancial X, vetor posição de referência X 
em um instante t 0 e vetor posição atual x em um instante t. 
 
Lugar ocupado pela partícula X na configuração de referência.  : X =  (X); 
 
Partícula X que na configuração de referência.  ocupa o lugar X : X = 1 (X); 
 
Lugar ocupado pela partícula X no instante t : x =  (X, t); 
 
Partícula X que no instante t ocupa o lugar x : X = 1 (X, t); 
 
Lugar ocupado no instante t pela partícula X que na configuração de referência  ocupa o lugar 
X : x = 
 (X, t); 
 
Lugar ocupado na configuração de referência  pela partícula X que no instante t ocupa o lugar 
x :X = 
1(x, t). 
 
1
M
R
E
Descr. Material da Velocidade : ( ) ( ) = ( )
Descr. Referencial da Velocidade : ( ) ( ) = ( )
Descr. Espacial da Velocidade : ( ) ( ) ( ( ) )= (( )
X,t X,t X,t
t t
,t ,t ,t
t t
,t X,t ,t ,t ,t ,
t t t



  
  
 
  
 
    
  



xV x
xV X X x X
xV x x x x )t
 
 
 
1.7. Dimensões e Unidades. 
 
Dimensões 
Para um sistema particular de dimensões (quantidades físicas tais como comprimento, tempo, 
massa e temperatura) todas as quantidades mensuráveis podem ser subdivididas em dois 
grupos: quantidades definidas por dimensões primárias (grupo de dimensões fundamentais a 
partir do qual todos os outros grupos de dimensões podem ser formados) e quantidades definidas 
por dimensões secundárias (grupo de dimensões expressas em termos de combinações das 
dimensões fundamentais)[1]. 
 
 
Este estudo (tal como detalhado na Seção 1.5.3 destas notas) é de caráter mais avançado. O objetivo de 
apresentar este estudo aqui, é somente para ilustrar, de forma mais precisa que as literaturas usuais de 
mecânica dos fluidos, as descrições do movimento em termos das coordenadas materiais (X, t), referenciais 
(X, t) e espaciais (x, t). 
1. Introdução. 
 
Unidades 
São as magnitudes arbitrárias dadas às dimensões (primárias e secundárias) adotadas como 
padrões de medidas [1]. 
 
A dimensão primária de comprimento pode ser medida em unidades de pés (ft=foot), polegadas 
(in=inch), jardas (yd=yard) ou metros (m). Cada uma destas unidades está relacionada às 
demais por fatores de conversão de unidades, e.g., 1 ft = 0,3048 m ; 1 yd = 3 ft ; 1 in = 0,0254 m ; 
1 ft = 12 in. 
 
A dimensões secundária velocidade linear pode ser expressa em unidades como m  s1 , ft  s1 , 
in  s1, também relacionadas por fatores de conversão de unidades. 
 
1.7.1. Sistemas de Dimensões 
Qualquer equação relacionando quantidades físicas deve ser dimensionalmente homogênea, ou 
seja, cada termo da equação deve ter as mesmas dimensões [1]. 
 
Desde que a forma escalar da 2a lei de Newton, F = M a, relaciona as dimensões de força [F ], 
massa [M], comprimento [L] e tempo [t ], para exprimir a 2a lei de Newton, força e massa não 
podem ser selecionadas como dimensões primárias sem a introdução de uma constante 
dimensional de proporcionalidade gC (a constante gC não é a aceleração da gravidade g)
 [1]. 
 
Utilizam-se, em regra, três sistemas básicos de dimensões primárias [1]: 
 
a. massa [M], comprimento [L], tempo [t], temperatura [T]: sistema [M L t T ]; 
b. força [F], comprimento [L], tempo [t], temperatura [T]: sistema [F L t T ]; 
c. força [F], massa [M], comprimento [L], tempo [t], temperatura [T]: sistema [F M L t T ]. 
 
 No sistema a – [M L t T ], [M ] é dimensão primária e [F ] é dimensão secundária: 
[F ] = fF
 ([M] , [L] , [t ]) é possível, e a constante de proporcionalidade gC na 2a lei de Newton 
é adimensional [1]: 
F = M a (gC)
1 ; [F] = [M L t2] ; gC
 = [ – ] 
 
 No sistema b – [F L t T ], [F ] é dimensão primária e [M ] é dimensão secundária: 
[M ] = fM
 ([F] , [L] , [t ]) é possível, e a constante de proporcionalidade gC na 2a lei de Newton 
é, novamente, adimensional [1]: 
F = M a (gC)
1 ; M = F a1 (gC) ; [M]
 = [F L1 t 2] ; gC
 = [ – ] 
 
 No sistema c – [F M L t T ], [F ] e [M] são dimensões primárias: 
[F ] = fF
 ([M] , [L] , [t ]) ou [M ] = fM
 ([F] , [L] , [t ] não são possíveis, e a constante de 
proporcionalidade gC na 2a lei de Newton deve ter dimensão [F
 –1M L t2 ] para que a equação 
seja dimensionalmente homogênea [1]: 
F = M a (gC)
1 ; [F] = [M L t 2 (F 1 M L t 2) 1] ; [gC
 ] = [F –1M L t2 ] 
 
O valor numérico da constante dimensional gC depende das unidades de medida escolhidas 
para cada uma das quantidades primárias [1]. 
 
 
1. Introdução. 
 
1.7.2. Sistemas de Unidades 
Há mais de uma maneira de selecionar a unidade de medida para cada dimensão primária. Os 
sistemas de unidades mais comuns em engenharia para cada um dos sistemas básicos de 
dimensões são [1]: 
 
a. Sistema Básico de Dimensão [M L t T ] [1] 
 
a1. Sistema Internacional de Unidades (SI) 
Dimensões Primárias: 
[M]  kg (massa em quilograma) , [L]  m (comprimento em metro) , 
[t]  s (tempo em segundo) , [T]  K (temperatura em Kelvin). 
 
Dimensões Secundárias: 
[F]  N (força em Newton), com 1 N  1 kgms– 2 decorrendo da 2a lei de newton F = M a. 
 
a2. Sistema de Unidades Métrico Absoluto 
Dimensões Primárias: 
[M]  g (massa em grama) , [L]  cm (comprimento em centímetro) , 
[t]  s (tempo em segundo) , [T]  K (temperatura em Kelvin). 
 
DimensõesSecundárias: 
[F]  dyn (força em dyna), com 1 dyn  1 gcms 2 decorrendo da 2a lei de newton F = M a. 
 
b. Sistema Básico de Dimensão [F L t T ] [1] 
 
b1. Sistema Gravitacional Britânico (BG) 
Dimensões Primárias: 
[F]  lbf (força em libra-força) , [L]  ft (comprimento em pé) , 
[t]  s (tempo em segundo) , [T]  oR (temperatura em grau Rankine). 
 
Dimensões Secundárias: 
[M]  slug (massa em slug), 
com 1 slug  1 lbf  ft– 1 s 2 decorrendo da 2a lei de Newton M = F a– 1. 
 
 1 slug é acelerado por 1 lbf a 1 ft  s– 2. 
 
c. Sistema Básico de Dimensão [F M L t T ] [1] 
 
c1. Sistema de Unidades Inglês Técnico ou de Engenharia 
Dimensões Primárias: 
[F]  lbf (força em libra-força) , [M]  lbm (massa em libra-massa) , 
[L]  ft (comprimento em pé) , [t]  s (tempo em segundo) , 
[T]  oR (temperatura em grau Rankine). 
 
 1 lbf acelera 1 lbm a g = 32,2 ft  s– 2 (g = aceleração padrão da gravidade na Terra), e 
portanto, da 2a lei de Newton, 
F = M a (gC)
1 ; 1 lbf  1 lbm  32,2 ft  s– 2 (gC)
1 ; 
gC
  32,2 lbm  ft  lbf1  s– 2. 
1. Introdução. 
 
Referências. 
 
[1] Fox, W.R., McDonald, A.T, Introdução à Mecânica dos Fluidos, LTC, 2006. 
 
[2] Çengel, Y.A., Cimbala, J.M., Mecânica dos Fluidos – Fundamentos e Aplicações, McGraw-Hill, 2007. 
 
[3] Truesdell, C.A, A First Course in Rational Continuum Mechanics – Vol. 1, 1991.