P2 Álgebra Linear - UFF - Professora Viviana Ferrer Quadrado

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A´lgebra Linear.
Prova 2.
5 de agosto de 2013.
Exerc´ıcio 1 Seja T : R3 → R3 o operador linear dado por
T (x, y, z) = (x,−2x− y, 2x+ y + 2z).
1. Encontre A =C (T )C , a matriz associada a T na base canoˆnica de R3.
2. Determine os autovalores de T .
3. Determine as multiplicidades alge´brica e geome´trica de cada autovalor.
4. E´ T diagonaliza´vel?. Justifique sua resposta.
5. Determine uma matriz invert´ıvel P e uma matriz diagonal D tais que
P−1AP = D. Verifique!
Exerc´ıcio 2 Considere a transformac¸a˜o linear T : R3 → R4 dada por
T (x, y, z) = (x− y − z, x+ y + z, 2x− y + z, y).
1. Calcule o nu´cleo e a imagem de T .
2. Determine a dimensa˜o do nu´cleo e da imagem de T .
3. E´ T sobrejetora? injetora?. Justifique sua resposta.
Exerc´ıcio 3 Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o 3. Sejam B = {v1, v2, v3}
e D = {u1, u2, u3} duas bases assim relacionadas:
 u1 = v3u2 = v2
u3 = v1 + 2v2
1. Determine a matriz de mudanc¸a de bases de D para B: BMD; e a matriz
de mudanc¸a de bases de B para D: DMB. Verifique que BMD e´ inversa
de DMB.
2. Se v ∈ V tem coordenadas na base B coordB(v) =
 12
3
, determine
coordD(v).
3. Escreva o vetor v do item anterior como combinac¸a˜o linear de cada uma
das duas bases.
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