01_Exercícios do Estudo de Funções_Resolvidos
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01_Exercícios do Estudo de Funções_Resolvidos


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 RESPOSTAS - Exercícios do Estudo de Funções. 
 
\uf028 \uf029: A , A ,f y f x\uf0ae \uf0cc \uf03d
 
 Prof. Me. Ayrton Barboni 
1) Estudar a monotonicidade das funções 
a)
 2( ) 3 4f x x x\uf03d \uf02d \uf02b
 
 Temos que 
'( ) 2 3f x x\uf03d \uf02d
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
'( ) 0 2 3 0 3/ 2f x x x\uf03d \uf0de \uf02d \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
'f
: 
\uf02d
 + 
\uf0de
 
\uf02d
 + 
 3/2 3/2 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
] , 3/ 2]\uf02d\uf0a5
 e estritamente 
crescente em 
[3/ 2, [\uf02b\uf0a5
. 
 
b) 
3 2( ) 4 1f x x x\uf03d \uf02d \uf02b
 
 Temos que 
2'( ) 3 8f x x x\uf03d \uf02d
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
2
8/ 3'( ) 0 3 8 0 S {0, }f x x x\uf03d \uf0de \uf02d \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
'f
: + 
\uf02d
 + 
\uf0de
 + 
\uf02d
 + 
 0 8/3 0 8/3 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
8 / 3[0, ]
 e estritamente 
crescente em 
] , 0]\uf02d\uf0a5
 e 
8/ 3[ , [\uf02b\uf0a5
. 
 
c) 
2( ) 5 3f x x x\uf03d \uf02d
 
 Temos que 
'( ) 5 6f x x\uf03d \uf02d
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
'( ) 0 5 6 0 5/ 6f x x x\uf03d \uf0de \uf02d \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
'f
: + 
\uf02d
 
\uf0de
 + 
\uf02d
 
 5/6 5/6 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
[5/ 6, [\uf02b\uf0a5
 e estritamente 
crescente em 
] , 5/ 6]\uf02d\uf0a5
. 
 
d)
 4 2( ) 4 3f x x x\uf03d \uf02d \uf02b
 
 Temos que 
3'( ) 4 8f x x x\uf03d \uf02d
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
3'( ) 0 4 8 0 S { 2, 0, 2}f x x x\uf03d \uf0de \uf02d \uf03d \uf0de \uf03d \uf02d 
 2º) Sinal de 
'f
 
\uf02d
 + 
\uf02d
 + 
\uf0de
 
\uf02d
 + 
\uf02d
 + 
 
2\uf02d 
0 
2
 
2\uf02d 
 0 
2
 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
2] , ]\uf02d\uf0a5 \uf02d
 e 
2[0, ]
estritamente crescente em 
2[ , 0]\uf02d
 e 
2[ , [\uf02b\uf0a5
. 
 
e)
 2( ) xf x x e\uf03d
 
 Temos que 
2'( ) (2 )xf x e x x\uf03d \uf02b
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 
2 
 
 1º) P/
2'( ) 0 (2 ) 0 S { 2,0}xf x e x x\uf03d \uf0de \uf02b \uf03d \uf0de \uf03d \uf02d 
 2º) Sinal de 
'f
: + 
\uf02d
 + 
\uf0de
 + 
\uf02d
 + 
 
\uf02d
2 0 
\uf02d
2 0 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
[ 2, 0]\uf02d
 e estritamente 
crescente em 
] , 2]\uf02d\uf0a5 \uf02d
 e 
[0, [\uf02b\uf0a5
. 
 
f)
 ( ) xf x xe\uf03d
 
 Temos que 
'( ) (1 )xf x e x\uf03d \uf02b
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
'( ) 0 (1 ) 0 1xf x e x x\uf03d \uf0de \uf02b \uf03d \uf0de \uf03d \uf02d 
 2º) Sinal de 
'f
 
\uf02d
 + 
\uf0de
 
\uf02d
 + 
 
\uf02d
1 
\uf02d
1 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
] , 1]\uf02d\uf0a5 \uf02d
 e estritamente 
crescente em 
[ 1, [\uf02d \uf02b\uf0a5
. 
 
g)
 ( ) .ln , 0f x x x x\uf03d \uf03e
 
 Temos que 
'( ) ln 1f x x\uf03d \uf02b
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
1'( ) 0 ln 1 0 S { }f x x e\uf02d\uf03d \uf0de \uf02b \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
'f
: 
\uf02d
 + 
\uf0de
 
\uf02d
 + 
 0 
1e\uf02d
 0 
1e\uf02d
 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
1]0, ]e\uf02d
 e estritamente 
crescente em 
1[ , [e\uf02d \uf02b\uf0a5
. 
 
h) 
2( ) lnf x x\uf03d
, 
0x \uf0b9
 
 Temos que 
2
'( )
x
f x \uf03d
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
2
'( ) 0 0
x
f x \uf03d \uf0de \uf03d \uf0de
não tem solução
 
 2º) Sinal de 
'f
 
\uf02d
 + 
\uf0de
 
\uf02d
 + 
 0 0 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
] , 0[\uf02d\uf0a5
 e estritamente 
crescente em 
]0, [\uf02b\uf0a5
. 
 
 i) 
2( ) /( 9)f x x x\uf03d \uf02d
, 
3 e 3x x\uf0b9 \uf02d \uf0b9
 
 Temos que 2
2 2
( 9)
( 9)
'( )
x
x
f x
\uf02d \uf02b
\uf02d
\uf03d
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/ 2
2 2
( 9)
( 9)
'( ) 0 0
x
x
f x
\uf02d \uf02b
\uf02d
\uf03d \uf0de \uf03d \uf0de
 não tem solução
 
 2º) Sinal de 
'f
: 
\uf02d
 
\uf02d
 
\uf02d
 
\uf0de
 
\uf02d
 
\uf02d
 
\uf02d
 
 
\uf02d
3 3 
\uf02d
3 3 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
{ 3, 3}\uf02d \uf02d
. 
 
 
3 
 
2) Obter pontos de máximos e mínimos utilizando a monotonicidade das funções 
 
 a)
 2( ) 3 2f x x x\uf03d \uf02d \uf02b
 
 Temos que 
'( ) 2 3f x x\uf03d \uf02d
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
'( ) 0 2 3 0 3/ 2f x x x\uf03d \uf0de \uf02d \uf03d \uf0de \uf03d 
 2º) Sinal de 
'f
: 
\uf02d
 + 
\uf0de
 
\uf02d
 + 
 3/2 3/2 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
] , 3/ 2]\uf02d\uf0a5
 e estritamente 
crescente em 
[3/ 2, [\uf02b\uf0a5
. 
 Temos que 
2
3/ 2 3 / 2 3 / 2( ) ( ) 3( ) 2 1/ 4f \uf03d \uf02d \uf02b \uf03d \uf02d
 
 4º) Ponto mínimo local: m(3/2, 
\uf02d
1/4). 
 
 b) 
4 2( ) 2f x x x\uf03d \uf02d
 
 Temos que 
3'( ) 4 4f x x x\uf03d \uf02d
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
3'( ) 0 4 4 0 S { 1, 0, 1}f x x x\uf03d \uf0de \uf02d \uf03d \uf0de \uf03d \uf02d 
 2º) Sinal de 
'f
 
\uf02d
 + 
\uf02d
 + 
\uf0de
 
\uf02d
 + 
\uf02d
 + 
 
1\uf02d