01_Exercícios do Estudo de Funções_Resolvidos

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1 
 
 RESPOSTAS - Exercícios do Estudo de Funções. 
 
 : A , A ,f y f x  
 
 Prof. Me. Ayrton Barboni 
1) Estudar a monotonicidade das funções 
a)
 2( ) 3 4f x x x  
 
 Temos que 
'( ) 2 3f x x 
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
'( ) 0 2 3 0 3/ 2f x x x      
 2º) Sinal de 
'f
: 

 + 

 

 + 
 3/2 3/2 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
] , 3/ 2]
 e estritamente 
crescente em 
[3/ 2, [
. 
 
b) 
3 2( ) 4 1f x x x  
 
 Temos que 
2'( ) 3 8f x x x 
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
2
8/ 3'( ) 0 3 8 0 S {0, }f x x x      
 2º) Sinal de 
'f
: + 

 + 

 + 

 + 
 0 8/3 0 8/3 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
8 / 3[0, ]
 e estritamente 
crescente em 
] , 0]
 e 
8/ 3[ , [
. 
 
c) 
2( ) 5 3f x x x 
 
 Temos que 
'( ) 5 6f x x 
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
'( ) 0 5 6 0 5/ 6f x x x      
 2º) Sinal de 
'f
: + 

 

 + 

 
 5/6 5/6 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
[5/ 6, [
 e estritamente 
crescente em 
] , 5/ 6]
. 
 
d)
 4 2( ) 4 3f x x x  
 
 Temos que 
3'( ) 4 8f x x x 
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
3'( ) 0 4 8 0 S { 2, 0, 2}f x x x       
 2º) Sinal de 
'f
 

 + 

 + 

 

 + 

 + 
 
2 
0 
2
 
2 
 0 
2
 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
2] , ] 
 e 
2[0, ]
estritamente crescente em 
2[ , 0]
 e 
2[ , [
. 
 
e)
 2( ) xf x x e
 
 Temos que 
2'( ) (2 )xf x e x x 
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 
2 
 
 1º) P/
2'( ) 0 (2 ) 0 S { 2,0}xf x e x x       
 2º) Sinal de 
'f
: + 

 + 

 + 

 + 
 

2 0 

2 0 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
[ 2, 0]
 e estritamente 
crescente em 
] , 2] 
 e 
[0, [
. 
 
f)
 ( ) xf x xe
 
 Temos que 
'( ) (1 )xf x e x 
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
'( ) 0 (1 ) 0 1xf x e x x       
 2º) Sinal de 
'f
 

 + 

 

 + 
 

1 

1 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
] , 1] 
 e estritamente 
crescente em 
[ 1, [ 
. 
 
g)
 ( ) .ln , 0f x x x x 
 
 Temos que 
'( ) ln 1f x x 
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
1'( ) 0 ln 1 0 S { }f x x e      
 2º) Sinal de 
'f
: 

 + 

 

 + 
 0 
1e
 0 
1e
 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
1]0, ]e
 e estritamente 
crescente em 
1[ , [e 
. 
 
h) 
2( ) lnf x x
, 
0x 
 
 Temos que 
2
'( )
x
f x 
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
2
'( ) 0 0
x
f x    
não tem solução
 
 2º) Sinal de 
'f
 

 + 

 

 + 
 0 0 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
] , 0[
 e estritamente 
crescente em 
]0, [
. 
 
 i) 
2( ) /( 9)f x x x 
, 
3 e 3x x  
 
 Temos que 2
2 2
( 9)
( 9)
'( )
x
x
f x
 


. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/ 2
2 2
( 9)
( 9)
'( ) 0 0
x
x
f x
 

   
 não tem solução
 
 2º) Sinal de 
'f
: 

 

 

 

 

 

 

 
 

3 3 

3 3 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
{ 3, 3} 
. 
 
 
3 
 
2) Obter pontos de máximos e mínimos utilizando a monotonicidade das funções 
 
 a)
 2( ) 3 2f x x x  
 
 Temos que 
'( ) 2 3f x x 
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
'( ) 0 2 3 0 3/ 2f x x x      
 2º) Sinal de 
'f
: 

 + 

 

 + 
 3/2 3/2 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
] , 3/ 2]
 e estritamente 
crescente em 
[3/ 2, [
. 
 Temos que 
2
3/ 2 3 / 2 3 / 2( ) ( ) 3( ) 2 1/ 4f     
 
 4º) Ponto mínimo local: m(3/2, 

1/4). 
 
 b) 
4 2( ) 2f x x x 
 
 Temos que 
3'( ) 4 4f x x x 
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
3'( ) 0 4 4 0 S { 1, 0, 1}f x x x       
 2º) Sinal de 
'f
 

 + 

 + 

 

 + 

 + 
 
10 
1
 
1 
 0 
1
 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
] , 1] 
 e 
[0, 1]
 e 
estritamente crescente em 
[ 1, 0]
 e 
[1, [
. 
 Temos que 
4 2
1 1 1( ) 4( ) 2( ) 1f      
, 
4 2
0 0 0( ) 4( ) 2( ) 0f   
 e 
4 2
1 1 1( ) ( ) 2( ) 1f    
. 
 4º) Pontos de mínimo local: m1(

1 , 

1) e m2(1, 

1) 
 Pontos de máximo local: M(0 , 0). 
 
 c) 
3( ) 5 6f x x x 
 
 Temos que 
2'( ) 15 6f x x 
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
2'( ) 0 15 6 0 S { 10 /5, 10 /5}f x x       
 2º) Sinal de 
'f
 + 

 + 

 + 

 + 
 
10 / 5 
 
10 / 5
 
10 / 5 
 
10 / 5
 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
10 10[ / 5, / 5]
 e 
estritamente crescente em 
10] , / 5] 
 e 
10[ / 5, [
. 
 Temos que 
10
10
4
( / 5)
5
f  
 e 
10
10
4
( / 5)
5
f


 . 
 4º) Pontos de mínimo local: 
10
10
4
m( / 5, )
5
 
 Pontos de máximo local: 
10
10
4
M( / 5, )
5

. 
Observação: 
2 6 2 2 1015 6 0
15 5 55
x x          
 
 
 
4 
 
 d) 
2( ) 6 8f x x x  
 
 Temos que 
'( ) 2 6f x x 
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
'( ) 0 2 6 0 3f x x x      
 2º) Sinal de 
'f
: 

 + 

 

 + 
 3 3 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
] , 3]
 e estritamente 
crescente em 
[3, [
. 
 Temos que 
2
3 3 3( ) ( ) 6( ) 8 1f     
 
 4º) Ponto mínimo local: m(3, 

1). 
 
 e) 
0( ) ln ,f x x x x 
 
 Temos que 
'( ) ln 1f x x 
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
1'( ) 0 ln 1 0f x x x e      
 2º) Sinal de 
'f
: 

 + 

 

 + 
 0 
1e
 0 
1e
 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
1]0, ]e
 e estritamente 
crescente em 
1[ , [e 
. 
 Temos que 
1 1 1( ) 1.f e e e     
 
 4º) Ponto mínimo local: 
1 1m( , )e e 
. 
 
f) 
2
( ) xf x e
 
 Temos que 
2
'( ) 2 xf x xe
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
2
'( ) 0 2 0 0xf x xe x     
 2º) Sinal de 
'f
: 

 + 

 

 + 
 0 0 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
] , 0]
 e estritamente 
crescente em 
[0, [
. 
 Temos que 
20(0) 1f e 
 
 4º) Ponto mínimo local: 
m(0, 1)
. 
 
 g)
 2( ) xf x e
 
 Temos que 
2
'( ) 2 xf x xe 
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
2
'( ) 0 2 0 0xf x xe x      
 2º) Sinal de 
'f
: + 

 

 + 

 
 0 0 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
[0, [
 e estritamente 
crescente em 
] , 0]
. 
 Temos que 
20(0) 1f e 
 
 4º) Ponto máximo local: 
M(0, 1)
. 
 
5 
 
 
 
 h) 
2( ) 2 /( 1)f x x x 
 
 Temos que 
2 2 2'( ) 2( 1) /( 1)f x x x   
. Estudo do sinal de 
'f
: 
 1º) P/
2'( ) 0 2( 1) 0 S { 1, 1}f x x        
 2º) Sinal de 

 + 
   +  
 
1 
 
1
 
1 
 
1
 
 3º)Conclusão: f é estritamente decrescente em 
] , 1] 
 e 
[1, [
estritamente crescente em 
[ 1, 1]
. 
 Temos que 
2
2( 1)
1
( 1) 1
( ) 1f


 
  
, 
2
2(1)
1
(1) 1
( ) 1f

 
 . 
 4º) Pontos de mínimo local: m(

1 , 

1) 
 Pontos de máximo local: M(1, 1). 
 
3) Estudar a concavidade das funções 
a)
 3 2( ) 4 3f x x x x  
 
 Temos que 
2'( ) 3 8 3f x x x  
 e 
''( ) 6 8f x x 
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
''( ) 0 6 8 0 S {4/3}f x x      
 2º) Sinal de 
''f
 

 + 

 

 + 
 
 
 
4 / 3
 4 / 3 
 3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em 
] , 4 /3[
 e concavidade 
p/ cima em e 
]4 /3, [
. 
 
b)
 4 3( ) 2f x x x 
 
 Temos que 
3 2'( ) 4 6f x x x 
 e 
2''( ) 12 12f x x x 
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
2''( ) 0 12 12 0 S {0,1}f x x x      
 2º) Sinal de 
''f
 + 

 + 
 +  + 
 
 
 0 
1
 0 1 
 3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em 
]0, 1[
 e concavidade p/ 
cima em 
] , 0[ 
e 
]1, [
. 
 
 c)
 ( ) .ln , 0f x x x x 
 
 Temos que 
'( ) ln 1f x x 
 e 
1
''( )f x
x

. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
''( ) 0 1/ 0 S {}f x x     
 2º) Sinal de 
''f
 + 

 + 
 
 
0 0 
 
6 
 
 3º)Conclusão: f tem concavidade p/cima em 
]0, [
 . 
 
d)
 2( ) ln , 0f x x x 
 
 Temos que 
'( ) 2 /f x x
 e 
2
2
''( )f x
x

. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
2''( ) 0 2/ 0 S {}f x x      
 2º) Sinal de 
''f
 

 

 

 

 

 
 
 
0 0 
 3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em 
{0}
. 
 
e)
 ( ) . xf x x e 
 
 Temos que 
'( ) (1 ). xf x x e 
 e 
''( ) (2 ). xf x x e 
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
''( ) 0 (2 ). 0 2 0 S { 2}xf x x e x          
 2º) Sinal de 
''f
 

 + 

 

 + 
 
 
2  2 
 3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em 
] , 2[  
e concavidade p/ 
cima em 
] 2, [ 
. 
 
 f) 
2( ) . xf x x e
 
 Temos que 
2'( ) (2 ). xf x x x e 
 e 
2''( ) ( 4 2). xf x x x e  
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
2
2 2 2 2''( ) 0 ( 4 2). 0 S { , }xf x x x e           
 2º) Sinal de 
''f
 + 

 + 
 +  + 
 
2 2 
 
2 2 
 
2 2 
 
2 2 
 
 3º)Conclusão: f tem concavidade p/baixo em 
2 2 2 2] , [   
 e 
concavidade p/ cima em 
2 2] , [  
e 
2 2] , [  
. 
 
4) Determinar pontos máximos ou mínimos de funções utilizando estudo concavidade 
a)
 2( ) 3 4f x x x 
 
 Temos que
'( ) 6 4f x x 
. Se 
'( ) 6 4 0,f x x  
 
então 
2 / 3x 
. Questão: 
Teremos em 
2 / 3x 
 
ponto máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal de f? 
 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade 
do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos uma das alternativas acima. 
 Temos que 
''( ) 6f x 
. Logo, 
''f
 é positiva para todo x real e, sendo assim, 
a concavidade de f estará voltada para cima em 
2 / 3x 
. Fato que nos permite 
concluir que aí teremos um ponto de mínimo local de f. 
 
 
 Sinal de 
''f
 + 

 + 
 
7 
 
 
 
 2/3 
Conclusão: 
 Ponto mínimo local: 
2
2 / 3 2 / 3( ) 3( ) 4( ) 4 /3f x    
. Logo, m(2/3, 

4/3). 
 
b)
 4 2( ) 2f x x x 
 
 Temos que
3
'( ) 4 4f x x x 
. Se 
3
'( ) 4 4 0,f x x x  
 
então 
{ 1,0,1}x 
. 
Devemos decidir sobre a possibilidade de termos em f ponto de máximo local, 
mínimo local ou inflexão horizontal para cada um destes valores de x. 
 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a 
concavidade do gráfico de f e, com esta informação, resolveremos a questão. 
 Temos que 
2''( ) 12 4f x x 
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
2
,''( ) 0 12 4 0 S { 3 /3 3 /3}f x x       
 2º) Sinal de 
''f
 + 

 + 
 +  + 
 
3 / 3
 
3 / 3
 
3 / 3
 
3 / 3
 
 Conclusão: 
 
1x  
 é menor que 
3 / 3 e a concavidade de f é voltada p/cima. Logo, 
4 2( 1) ( 1) 2( 1) 1f        
e 
m( 1, 1) 
 é ponto mínimo local de f. 
 
0x 
 é valor entre 
3 / 3
 e 
3 / 3
 e a concavidade de f é voltada 
p/baixo. Logo, 
4 2
(0) 0 2(0) 0f   
 e M(0,0) é ponto máximo local de f. 
 
1x 
 é maior que 
3 / 3 e a concavidade de f é voltada p/cima. Logo, 
4 2(1) (1) 2(1) 1f     
e 
m(1, 1)
 é ponto mínimo local de f. 
 
c)
 2( ) xf x e
 
 Temos que
2
'( ) 2
x
f x xe

 
. Se 
2
'( ) 2 0,xf x xe  
 
então 
{0}x
. Questão: 
Teremos em 
0x 
 
ponto máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal de f ? 
 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a 
concavidade do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos uma das 
alternativas acima. 
 Temos que 
2 2''( ) 2 (1 2 )xf x e x  
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
2 2
,''( ) 0 2 (1 2 ) 0 S { 2 / 2 2 / 2}xf x e x        
 2º) Sinal de 
''f
 + 

 + 
 +  + 
 
2 / 2
 
2 / 2
 
2 / 2
 
2 / 2
 
 Conclusão: 
 
0x 
 é valor entre 
2 / 2
 e 
2 / 2
 e a concavidade de f é voltada 
p/baixo. Logo, 
20
(0) 1f e

 
 e M(0,1) é ponto máximo local de f. 
 
 
 
8 
 
 
d)
 3 2( ) 2 6 12 1f x x x x   
 
 Temos que
2
'( ) 6 12 12f x x x  
. Se 
'( ) 0,f x 
 
então 
{ 2,1}x 
. Questão: 
Devemos decidir sobre a possibilidade de termos em f ponto de máximo local, mínimo 
local ou inflexão horizontal para cada um destes valores de x. 
 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade 
do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos as alternativas correspondentes 
para cada valor de x. 
 Temos que 
''( ) 12 6f x x 
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
1 2''( ) 0 12 6 0 S { / }f x x       
 2º) Sinal de 
''f
 

 + 
  + 
 
1/ 2
 
1/ 2
 
 Conclusão: 
 
2x  
 é valor menor que 
1/ 2
 e a concavidade de f é voltada p/baixo. 
Logo, 
3 2
2 2 2 2( ) 2( ) 336( ) 12( ) 1f       
 e M(
1/ 2
,33) é ponto máximo 
local de f. 
 1x 
 é valor maior que 
1/ 2
 e a concavidade de f é voltada p/cima. 
Logo, 
3 2
(1) 2(1) 36(1) 12(1) 1f     
 e m(
1/ 2
,

3) é ponto mínimo local de f 
 
e) 
( ) ln , 0f x x x x Temos que
'( ) ln 1f x x 
. Se 
'( ) 0,f x 
 
então 
1{ }x e
. Questão: 
Teremos em 
1x e
 
ponto máximo local, mínimo local ou inflexão horizontal de f ? 
 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a 
concavidade do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos uma das 
alternativas acima. 
 Temos que 
''( ) 1/f x x
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
''( ) 0 1/ 0 S { }f x x     
 2º) Sinal de 
''f
 + 
 + 
 
0
 
0
 
1e
 
 Conclusão: 
 
 A concavidade de f é voltada p/cima em 
1x e
. Logo, 
1 1 1 1
( ) ln( )f e e e e     
 e m(
1
e

, 
1
e


) é ponto mínimo local de f 
 
f) 2
( ) , 1
1
x
f x x
x
 

 
 Temos que 2
2
'( )
2
( 1)
f x
x x
x



. Se 
'( ) 0,f x 
 
então 
{0,2}x
. Questão: 
Devemos decidir sobre a possibilidade de termos em f ponto de máximo local, mínimo 
local ou inflexão horizontal em cada um destes valores de x. 
 
9 
 
 Os sinais da derivada segunda ordem nos dão informações sobre a concavidade 
do gráfico de f e, utilizando este fato, escolheremos as alternativas correspondentes 
para cada x . 
 Temos que 
3''( ) 2 / ( 1)f x x 
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
3''( ) 0 2/( 1) 0 S { }f x x      
 2º) Sinal de 
''f
 

 + 
  + 
 1 0 1 2 
 Conclusão: 
 
0x 
 é valor menor que 
1
 e a concavidade de f é voltada p/baixo. Logo, 
2
(0) 0 / (0 1) 0f   
 e M(
0
, 0) é ponto máximo local de f. 
 2x 
 é valor maior que 
1
 e a concavidade de f é voltada p/cima. Logo, 
2
(2) 2 4/(2 1)f  
 e m(
2
, 4) é ponto mínimo local de f. 
 
5) Determinar, se houver, os pontos de inflexão das funções 
 
a)
 4 2( ) 6 12 1f x x x x   
 
 Temos que
3
'( ) 4 12 12f x x x  
 e 
2
''( ) 12 12f x x 
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
2''( ) 0 1,112 12 0 S { }f x x      
 2º) Sinal de 
''f
 + 

 + 
 +  + 
 
1
 
1
 
1
 
1
 
 Conclusão: 
 

 A 
''f é zero em 1x   e “troca de sinal” na vizinhança de  1. Logo, 
4 2
1 1 1( 1) ( ) 6( ) 12( ) 1 16f         
 e 
1I ( 1, 16) 
 é ponto de inflexão de f . 
 

 A 
''f é zero em 1x  e “troca de sinal” na vizinhança de 1. Logo, 
4 2
1 1 1(1) ( ) 6( ) 12( ) 1 8f     
 e 
2I (1,8)
 é ponto de inflexão de f . 
 
 b) 
4 3( ) 2f x x x 
 
 Temos que
3 2
'( ) 4 6f x x x 
 e 
2
''( ) 12 12f x x x 
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
2''( ) 0 0,112 12 0 S { }f x x x      
 2º) Sinal de 
''f
 + 

 + 
 +  + 
 
0
 
1
 
0
 
1
 
 Conclusão: 
 

 A 
''f é zero em 0x  e “troca de sinal” na vizinhança de 0. Logo, 
4 3(0) (0) 2(0) 0f   
 e 
1I (0,0)
 é ponto de inflexão de f . 
 

 A 
''f é zero em 1x  e “troca de sinal” na vizinhança de 1. Logo, 
4 3
1 1(1) ( ) 2( ) 1f    
 e 
2I (1, 1)
 é ponto de inflexão de f . 
 
 
10 
 
c) 
2
( ) xf x e
 
 Temos que
2
'( ) 2
x
f x x e

 
 e 
2 2
''( ) 2 (1 2 )xf x e x  
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
2 2
2''( ) 0 (1 2 ) 2 / 2 2 / 2,0 S { }xef x x       
 2º) Sinal de 
''f
 + 

 + 
 +  + 
 
2 / 2
 
2 / 2
 
2 / 2
 
2 / 2
 
 Conclusão: 
 

 A 
''f é zero em 2 / 2x   e “troca de sinal” na vizinhança de 2 / 2 . 
Logo, 
2( 2 / 2) 1/ 2( 2 / 2)f e e   
 e 
1/ 2
1 2 / 2I ( , )e


 é ponto de inflexão de f 
 

 A 
''f é zero em 2 / 2x  e “troca de sinal” na vizinhança de 2 / 2 . 
Logo, 
2( 2 / 2) 1/ 2( 2 / 2)f e e  
 e 
1/ 2
1 2 / 2I ( , )e

 é ponto de inflexão de f . 
 
d) 
3( ) 1f x x 
 
 Temos que
2
'( ) 3f x x
 e 
''( ) 6f x x
. 
 Estudo do sinal de 
''f
: 
 1º) P/
''( ) 0 6 S {0}0f x x    
 2º) Sinal de 
''f
 

 + 
  + 
 0 0 
 Conclusão: 
 
 Note que '(0) ''(0) 0, mas '''(0) 6 ( 0)f f f   
e 
''f “troca de sinal” 
na vizinhança de 
0x 
, assim teremos ponto de inflexão horizontal em x = 0. 
Logo, 
3(0) (0) 1 1f    e I(0, 1) é ponto de inflexão horizontal de f. 
 Observe, neste exemplo, que a 
'f
 não troca se sinal na vizinhança de 0, 
logo não poderia ter ponto de máximo ou mínimo em x = 0. 
 
6) Obter, se houver, as assíntotas das funções: 
 
a) 
( ) , 1
1
x
f x x
x
 

 
 1º) Assíntota horizontal: 
 Temos que 
finitolim lim 1 ( )
1x x
x x
x x 
 

. Logo, r: 
1y 
 é assíntota 
horizontal. 
 2º) Assíntota vertical 
 
 Vemos que x = 1 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-
ção do domínio de f e, também, que 
 
1 1
1
lim ( ) lim
1 0x x
x
f x
x    
 
    
  
 e 
1 1
1
lim ( ) lim
1 0x x
x
f x
x    
 
    
  
. 
 O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: 
1x  como 
assíntota vertical. 
 
11 
 
 
 3º) Assíntota inclinada: 
y a x b 
 
 (Deverá ocorrer 
( )
lim
x
f x
a
x

 e 
 lim ( )
x
b fx ax

 
 ambos finitos) 
 Temos 11lim lim 0
1x x
x
xa
x x 
  

 e 
0
1
1lim
x
x
x
x
b



  
   
(finitos). 
 Logo, r: y = 0 x + 1 é assíntota inclinada (coincide com a horizontal). 
 
 Observação: Utilizamos 
x apenas por comodidade, visto que os 
limites têm o mesmo valor. 
 
b) 2
( ) , 1
1
x
f x x
x
 

 
 1º) Assíntota horizontal: 
 Temos que 2 2
lim lim lim
1x x x
x x
x
x x  
   

. Logo, não há assíntota 
horizontal. 
 2º) Assíntota vertical 
 
 Vemos que x = 1 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-
ção do domínio de f e, também, que 
 2
1 1
1
lim ( ) lim
1 0x x
x
f x
x    
 
    
  
 e 2
1 1
1
lim ( ) lim
1 0x x
x
f x
x    
 
    
  
. 
 O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: 
1x  como 
assíntota vertical. 
 
 3º) Assíntota inclinada: 
y a x b 
 
 (Deverá ocorrer 
( )
lim
x
f x
a
x

 e 
 lim ( )
x
b f x ax

 
 ambos finitos) 
 Temos 
2
1lim lim lim 1
1x x x
x
x xxa
x x x  
   

 e 2
1.
1
lim
x
x
x
x
b



 
  
 
 
2
1 1
( 1)
lim lim 1
x x
x x
x x
x x
  
           
 (ambos finitos). 
 Logo, r: y = 1 x + 1 é assíntota inclinada. 
 
c) 3
2
8
( ) , 0
x
f x x
x

 
 
 1º) Assíntota horizontal: 
 Temos que 3 3
2 2
8
lim lim lim
x x x
x x
x
x x  

   
. Logo, não há assíntota 
horizontal. 
 
 
12 
 
 2º) Assíntota vertical 
 
 Vemos que x = 0 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-
ção do domínio de f e, também, que 
 3
20 0
8 8
lim ( ) lim
0x x
x
f x
x   
  
    
 
 e 3
20 0
8 8
lim ( ) lim
0x x
x
f x
x    
 
    
 
. 
 O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: 
0x  como 
assíntota vertical. 
 
 3º) Assíntota inclinada: 
y a x b 
 
 (Deverá ocorrer 
( )
lim
x
f x
a
x

 e 
 lim ( )
x
b f x ax

 
 ambos finitos) 
 Temos 
3
3 32
3 3
8
8
lim lim lim 1
x x x
x
x xxa
x x x  


   
 e 3
2
1.
8
lim
x
x
x
x
b


 
  
 
 
3 2
2 2
88 ( )
lim lim 0
x x
x
x x
x x
 
           
 (ambos finitos). 
 Logo, r: y = 1 x + 0 é assíntota inclinada. 
 
d) 
sen
( ) , 0
x
f x x
x
 
 
 1º) Assíntota horizontal: 
 Temos que 
finitosen [ ]
lim lim 0
x x
x
x x 
 
 (finito). Logo, 
: 0r y  é assíntota 
horizontal. 
 
 2º) Assíntota vertical 
 Vemos que x = 0 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-
ção do domínio de f e, também, que 
 
0 0
sen
lim ( ) lim 1
x x
x
f x
x 
 
 (finito), limite fundamental. 
 O fato de não haver limite tendendo ao infinito implica que não existe 
assíntota vertical. 
 
 3º) Assíntota inclinada: 
y a x b 
 
 (Deverá ocorrer 
( )
lim
x
f x
a
x

 e 
 lim ( )
x
b f x ax

 
 ambos finitos) 
 Temos 
2 2
finito
sen
sen [ ]
lim lim lim 0
x x x
x
xxa
x x x  
   
 e 
sen
0.lim
x
x
x
x
b


 
   
sen
lim 1
x
x
x
 
 (ambos finitos). 
 Logo, r: y = 0 x + 1 é assíntota inclinada (coincide com a horizontal). 
 
 
13 
 
e)
 2( ) , 1( 1)
x
f x x
x
 

 
 1º) Assíntota horizontal: 
 Temos que 
2 2
finito
1
lim lim lim 0 ( )
( 1)x x x
x x
x x x  
  

. Logo, r: 
0y 
 é 
assíntota horizontal. 
 
 2º) Assíntota vertical 
 Vemos que x = 1 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-
ção do domínio de f e, também, que 
 
2
1 1
1
lim ( ) lim
( 1) 0x x
x
f x
x   

   

 
 
 
 e 
2
1 1
1
0
( )
( 1)
lim lim
x x
x
f x
x

    
   
 
 
 
 
 O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: 
1x  como 
assíntota vertical. 
 
 3º) Assíntota inclinada: 
y a x b 
 
 Temos 2
2
1( 1)
lim lim 0
( 1)x x
x
x
a
x x  

  

 e 
2
0
( 1)
lim 0
x
x
x
x
b



 
 
   
(finitos). 
 Logo, r: y = 0 x + 0 é assíntota inclinada (coincide com a horizontal). 
 
 f) 2
( ) , 2
2
x
f x x
x
  

 
 1º) Assíntota horizontal: 
 Temos que 2 2
lim lim lim
2x x x
x x
x
x x  
   

. Logo, não há assíntota 
horizontal. 
 
 2º) Assíntota vertical 
 Vemos que x = 

2 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumula-
ção do domínio de f e, também, que 
 2
( 2) ( 2)
4
0
lim ( ) lim
2x x
x
f x
x

     
 
      
 e 2
( 2) ( 2)
4
0
lim ( ) lim
2x x
x
f x
x

     
 
      
 
 O fato de haver limite tendendo ao infinito teremos r: 
2x   como 
assíntota vertical. 
 
 3º) Assíntota inclinada: 
y a x b 
 
 Temos 
2
2
2
lim lim lim 1
x x x
x
x xx
x x x
a
  


   
 e 2
1.
2
lim
x
x
x
x
b



 
  
 
 
2
2
2 2
( 2)
lim lim 2
x x
x x
x x
x x
 

 
            
 (ambos finitos). 
 Logo, r: 
1. 2y x 
 é assíntota inclinada. 
 
14 
 
7) Esboçar o gráfico das funções dadas abaixo: 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 g) h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) = x - x
3 2
 2 0
 3
x
 
f(x) = x - x
4 2
1
 0
 2
 y
x-1
 
f(x) = x . x
1
 0
 y
x
ln
 
x
y
f(x) = x - xarctg
 
x
y
f(x) = x e
x
0
 
x
y
f(x) =
20
x - 
x
2
1
 
x
y
f(x) = e
0
/x1
 
x
y
f(x) =
0
x -
2
1
x
( )
1
 
15 
 
 
 i) 
 
 
 
 
8) A função f, real de variável real, tem seu gráfico cartesiano descrito abaixo. 
 Sabendo- se que possui derivadas até terceira ordem, pede os esboços gráficos de 
 ' e ''.f f 
 
a) I1(0, 3) e I2(?, 2) são pontos de inflexão de f. 
 m1(-1, 2) e m2(3, 0) são pontos mínimos de f. 
 M(1, 4) é ponto máximo de f. 
 
b) 
'( ) 0f x  em , 1 1, 3(] [ ] [)x   , visto que f é decrescente nestes intervalos. 
 '( ) 0f x  em 1,1 ,(] [ ]3 [)x    ,visto que f é crescente nestes intervalos. 
 
'( ) 0f x  em { 1, 1, 3}x  , visto que f tem pontos de máximo e mínimo. 
 
 
x
y
f(x) =
0
x +
2
2
x
 
16 
 
c) 
''( ) 0f x  em ,?]0 [x , pois f tem concavidade voltada para baixo neste intervalo. 
 ''( ) 0f x  em ,0 ,(] [ ]? [)x    , pois f tem concavidade voltada para cima 
nestes intervalos. 
 
'( ) 0f x  em {0, ?}x , pois f tem pontos de inflexão.