Transferência de Calor Por Condução

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Transferência de calor por condução
A transferência de calor por condução: estado estacionário e transiente.
Prof. Oscar Javier Celis Ariza
1. Itens iniciais
Propósito
Os três modos de transferência de calor podem estar presentes em sistemas físicos reais. O conhecimento
desses fenômenos é essencial para qualquer projeto de engenharia, especificamente, na transferência de
calor por condução, tanto em estado estacionário como transiente (variação de temperatura com o tempo).
Preparação
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, faça o download do Solucionário, nele você encontrará o feedback
das atividades.
Objetivos
Identificar as equações de condução de calor e condições de contorno em geometrias simples 
(paredes, cilindros e esferas).
Aplicar cálculos para resolução de problemas em estado estacionário que envolvem transferência de 
calor por condução utilizando resistências térmicas.
Resolver problemas uni e bidimensionais em estado transiente pelo método de diferenças finitas.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e confira os principais pontos abordados neste conteúdo.
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https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/docs/solucionario_transferencia_de_calor_por_conducao.pdf
1. Condução de calor estável em geometrias simples
Vamos começar!
Como identificar as equações de condução de calor e condições de contorno
em geometrias simples?
Veja a seguir os principais pontos que serão abordados sobre o assunto.
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Transferência por condução unidimensional
A transferência de calor tem direção e magnitude. A razão de transferência de calor por condução em uma
direção específica é proporcional ao gradiente de temperatura, ou seja, a variação da temperatura com
relação à distância nessa direção.
No mundo real, a transferência de calor não acontece em uma única direção.
A condução de calor, em um meio, é tridimensional e depende do tempo e, por sua vez, a temperatura varia
com a posição e o tempo. Portanto, podemos definir que a temperatura é uma função de e 
Atenção
A condução em um meio é estacionária quando a temperatura não varia com o tempo. Do contrário, é
chamada de transiente! 
A “força impulsora” para qualquer forma de transferência de calor é a diferença de temperatura, e quanto
maior for, maior será a taxa de transferência. Em alguns problemas de transferência de calor, em engenharia,
requer-se a determinação da distribuição de temperatura de um ao outro lado do meio, com a finalidade de
calcular algumas quantidades de interesse, por exemplo, expansão térmica, esforço térmico, entre outros.
Isso é possível, primeiramente, mediante a escolha de um sistema de coordenadas que dependem da
configuração geométrica e seu ponto de referência (origem). Portanto, há três tipos de coordenadas. São elas:
 
Retangulares (x, y, z)
Cilíndricas 
Esféricas 
Neste sentido, veja na sequência a imagem dos espaços cartesianos desses sistemas de coordenadas:
• 
• 
• 
Espaços cartesianos dos sistemas de coordenadas.
Geração de calor
Em um meio no qual se transfere calor, provavelmente, pode haver a conversão de energia mecânica, elétrica,
nuclear ou química em calor (ou energia térmica) de outra fonte externa.
Nas análises de condução de calor, esses processos por conversão são caracterizados como geração de calor
(ou de energia térmica).
Exemplo
Uma grande quantidade de calor é gerada nos elementos combustíveis nos reatores nucleares como
resultado da fissão nuclear, que serve como fonte de calor para as usinas nucleares de geração de
energia elétrica. 
A geração de calor é um fenômeno volumétrico, ou seja, acontece em todo o meio. Portanto, a taxa de
geração de calor num meio é descrita por unidade de volume e se denota por com unidades de 
ou 
A taxa de geração de calor em um meio pode variar com o tempo e com a posição dentro dele. No caso,
quando é conhecida a variação de geração com a posição, a taxa total dessa geração, em um
meio de volume pode ser calculada a partir de:
No caso de ter uma taxa de geração de calor uniforme, a relação da equação anterior se reduz a:
Equação de condução de calor em uma parede plana
Vamos estudar agora o comportamento da transferência de calor unidimensional através de uma parede
plana. Observe a imagem a seguir:
Esquema da demonstração da transferência de calor unidimensional, por uma
parede plana.
A equação de transferência de calor unidimensional para a condução de calor no regime transiente em uma
parede é dada por:
Onde:
 condutividade térmica
 geração de calor
 densidade
 calor específico
Você deve estar se perguntando o por que de o termo de derivada " " estar presente na equação. Bom,
como tínhamos falado, a transferência de calor é multidimensional, ou seja, é função de duas variáveis,
neste caso de e Portanto, a derivada é parcial e não ordinária!
Os conceitos de derivadas parciais serão aplicados nesta matéria.
O termo de condutividade na equação anterior indica que ela não é constante. Isso acontece muito nos
fenômenos reais, em que há a variação de acordo com a temperatura.
No caso de condutividade térmica constante, a equação ser reduz à seguinte forma:
• 
• 
• 
• 
Onde é a difusividade térmica:
Dependendo das condições específicas do problema, é possível simplificar a equação unidimensional da
transferência de calor em uma parede. Acompanhe na sequência:
Estado estacionário
Regime transiente sem geração de calor
Estado estacionário e sem geração de calor
Observe que, quando deixa de ser função de duas variáveis para uma, a derivada passa de ser parcial à
ordinária.
Equação de condução de calor em um cilindro
A equação unidimensional de transferência de calor em regime transiente em um cilindro de raio é a
seguinte:
Observe os elementos na imagem a seguir:
Transferência de calor em um cilindro em regime transiente.
No caso de condutividade térmica constante, temos:
Como vimos, a escolha das coordenadas depende da geometria do problema.
Utilizando a mesma analogia da placa ou parede plana, é possível simplificar a equação anterior sob
condições específicas, acompanhe na sequência:
Estado estacionário
Regime transiente sem geração de calor
Estado estacionário e sem geração de calor
Equação de condução de calor em uma esfera
Consideremos uma esfera de densidade calor específico e raio exterior 
Processo de condução de calor em uma esfera.
A equação unidimensional de condução de calor, em regime ou estado transiente, para uma esfera é:
No caso de condutividade constante:
Em condições específicas, a equação se reduz às seguintes formas:
Estado estacionário
Regime transiente sem geração de calor
Estado estacionário e sem geração de calor
ou
Equação geral de condução de calor
Já consideramos a condução unidimensional de calor e desprezamos algumas direções. Na prática, a maior
parte dos problemas de transferência de calor pode ser aproximada como unidimensional. No entanto, em
casos particulares, é preciso resolver a condução de calor multidimensional.
Apresentaremos, a seguir, as equações considerando as dimensões para os três sistemas de coordenadas:
retangulares, cilíndricas e esféricas.
Coordenadas retangulares
A equação geral de condução de calor em coordenadas retangulares com condutividade constante, chamada
de Fourier – Biot, é:
A partir dessa equação, é possível, mediante condições específicas, transformá-la em casos reduzidos de
acordo ao problema. Por exemplo, nas considerações de regime estacionário, transiente e sem geração,
temos:
Estado estacionário
Equação de Poisson
Regime transiente sem geração de calor
Equação de difusão
Estado estacionário e sem geração de calor
Equação de Laplace
Vamos entender melhor o uso da equação geral de condução em coordenadas cartesianas?
Exemplo 1
Consideremos, a seguir, uma panela de aço, utilizada para ferver água, colocada sobrea parte superior de um
fogão elétrico. A seção do fundo da panela tem uma espessura e um diâmetro de . A
unidade elétrica de aquecimento, que está na parte superior do fogão, consome 1250W de potência durante a
cocção e 85% do calor gerado no elemento de aquecimento se transfere de maneira uniforme para a panela. A
transferência de calor desde a superfície superior da seção do fundo até a água é por convecção com um
coeficiente de transferência de calor de h. Supondo condutividade térmica constante e transferência
unidimensional de calor, expresse a formulação matemática deste problema de condução de calor em estado
estacionário.
Panela de aço.
Bom, antes de resolver qualquer problema de transferência de calor utilizando a equação geral, precisamos
analisar todas as considerações envolvidas, para simplificar a equação.
Consideração 1
Por que utilizar coordenadas cartesianas em vez de cilíndricas, já que a panela é cilíndrica? Como a
área superficial do fundo da panela é bem maior em relação à sua espessura, podemos considerá-la
como uma placa, em vez de um cilindro. Vamos, agora, tentar reduzir a equação geral de condução de
calor em coordenadas cartesianas:
Consideração 2
O problema descreve que somente existe condução em uma única direção. Assumindo que seja
somente em , sentido do fundo da panela para a superfície da água. Podemos desconsiderar
qualquer transferência em outro sentido. Portanto. e serão desconsiderados:
Consideração 3
A transferência acontece em estado estacionário, assim, não existe qualquer variação de temperatura
com o tempo. Então, o último termo da equação será zero:
Consideração 4
Podemos observar que temos uma fonte de geração de calor, no entanto, ela acontece no fogão e
não dentro do material condutor de aço, local onde estamos realizando a análise de transferência.
Logo, não existe geração de calor e, finalmente, temos a equação reduzida da seguinte forma:
Muito bem! Temos aqui uma equação diferencial que depende de uma única variável. Desse modo, podemos
colocar na notação de derivada ordinária em vez de parcial. Além disso, para resolver esta equação de
segunda ordem, precisamos de umas condições de contorno e iniciais. Mas o que seria isso? Não se
preocupe, porque iremos falar desses termos mais adiante! O objetivo desta primeira parte é de construir a
expressão matemática de transferência de calor, utilizando a equação geral de condução em coordenadas
cartesianas. Vejamos!
Coordenadas cilíndricas
A equação geral de condução de calor em coordenadas cilíndricas, a partir de um balanço de energia sobre
um elemento de volume e, fazendo uma conversão entre coordenadas retangulares e cilíndricas, é dada por:
Vamos para mais um exemplo para o entendimento do uso da equação geral de condução em coordenadas
cilíndricas.
Exemplo 2
Um arame com condutividade térmica de raio de e um comprimento de 
 esquenta, por resistência, de uma quantidade de água. Supondo condutividade térmica
constante e transferência unidimensional de calor, expresse a formulação matemática deste problema de
condução de calor durante uma operação estacionária.
O primeiro passo é reduzir o máximo possível a equação geral de calor por condução:
Considerando o arame como um cilindro e que a varação da superfície é homogênea, e segundo o enunciado,
de forma unidimensional, podemos considerar razoavelmente que somente a temperatura varia com relação
ao raio. Assim, as variáveis e são desconsideradas.
Operando em processo estacionário, temos, então, que o termo de temperatura com relação tempo é nulo:
Sendo a condutividade térmica constante, é possível retirar do parênteses e dividir a equação por de tal
forma que:
Existe uma geração de calor dentro do material, a partir da potência da resistência sobre o volume do cilindro
da seguinte forma:
Substituindo o valor de geração de calor e a condutividade térmica dentro da equação, e sendo a variação da
temperatura função de uma única variável (derivada ordinária), obtemos a expressão matemática assim:
 
 
Coordenadas esféricas
A partir de um elemento de volume em coordenadas esféricas e mediante uma relação entre as coordenadas
retangulares e esféricas, a equação geral de condução de calor em coordenadas esféricas é:
Resolver de forma analítica esse tipo de equação é muito complexo e precisaremos de métodos aproximados
de resolução de equações diferenciais parciais com ajuda de algum software.
Exemplo 3
Vamos analisar o comportamento de uma esfera metálica de raio que é esquentada dentro de um forno
até uma temperatura em toda sua extensão. Posteriormente, é retirada do forno, deixando cair dentro de
uma massa de água que está a uma temperatura de onde se resfria por convecção com um coeficiente
médio de transferência de calor h. Supondo que a condutividade térmica seja constante e a transferência
unidimensional de calor em regime transiente, vamos expressar a formulação matemática deste problema de
condução de calor.
Assim como nos casos anteriores, precisamos reduzir ou simplificar a equação geral de transferência de calor.
Por ser uma esfera, as coordenadas esféricas são as indicadas para descrever o comportamento térmico.
Comportamento de temperatura unidimensional e uniforme é característico de uma variação de temperatura
com relação ao raio da esfera. Portanto, as variáveis e são desprezíveis:
O problema não descreve nenhuma geração de energia dentro da esfera, então:
O problema é transiente, indicando que há a variação da temperatura com o tempo, ou seja, o último termo é
mantido nesta análise. No entanto, a condutividade térmica é constante. Assim, retirando-a do parênteses e
dividindo a equação por temos:
Finalmente, observamos que os dados de condição da superfície exterior, assim como a questão de
convecção, não influenciam a equação geral de transferência de calor por condução.
Condições de contorno e iniciais
 
 
As equações de condução de calor apresentadas foram desenvolvidas mediante um balanço de energia sobre
um elemento diferencial no interior do meio e seguem sendo as mesmas, sem importar as condições térmicas
sob as superfícies dele.
Ou seja, as equações diferenciais não incorporam informação detalhada com as condições sobre as
superfícies, por exemplo, a temperatura das superfícies, temperatura do ambiente ou mesmo um
fluxo específico de calor.
A expressão matemática das condições térmicas é chamada condições de contorno. Precisamos dessas
condições para resolver as derivadas. Lembra, em Cálculo, que para eliminar as derivadas, era possível
mediante uma integral? E que ao resolver cada integral, era gerada uma constante arbitrária? Pois é! Esses são
os valores necessários para substituir nas equações e encontrar os valores das constantes.
De acordo com a ordem da equação diferencial, será necessário igual número de condições contorno, por
exemplo, uma equação diferencial de segunda ordem precisará de duas condições de contorno para sua
resolução.
Por outro lado, todas as condições de argumentos físicos coerentes no tempo inicial ou no instante quando 
 são chamadas de condição inicial.
Vamos, a seguir, ver alguns casos específicos de condições de contorno e inicial:
Condição de contorno de temperatura específica
A temperatura de uma superfície exposta pode ser mensurável diretamente. Portanto, as condições de
contorno para uma transferência unidimensional de calor através de uma parede plana de espessura são:
Onde e são as temperaturas específicas na superfície em e respectivamente.
Condição de contorno de fluxo específico de calor
Quando existe informação suficiente sobre as interações de energia na superfície, é possível determinar,
utilizando a Lei de Fourier, a velocidade de transferência de calor e, portanto, seu fluxo:
O sinal do fluxo específico de calor é positivo se o fluxo de calor é na direção positiva do eixo coordenador e
negativo se for oposto.
No caso de contorno isolado, podemos deixar claro que não existe fluxo de calor, assim:
Ou:
Condiçãode convecção no contorno
É muito provável que a convecção seja a condição de contorno comum encontrada na prática. Isso se deve ao
fato de que a maior parte das superfícies de transferência de calor está exposta a um meio (ambiente) e a
uma temperatura específica. A condição de contorno de convecção é baseada em um balanço de energia
superficial expresso como:
Para a transferência de calor unidimensional na direção , numa placa de espessura , as condições de
contorno sobre ambas as superfícies são descritas assim:
Onde e são os coeficientes de transferência de calor por convecção, e e são as
temperaturas do meio circundantes sobre os dois lados da placa.
Vamos retomar o caso do aquecimento da panela de aço que está aquecendo uma quantidade de água
(Exemplo 1) água. A equação matemática simplificada que expressa o fenômeno de transferência de calor por
condução de calor é:
No entanto, há ainda algumas condições que acontecem na superfície ou no contorno do problema. Lembra
que definimos que não existe geração de calor dentro do material condutor? No entanto, a fonte de calor que
vem do fogão está aportando um fluxo à superfície do fundo da panela. O problema sinaliza que, na parte
superior do fogão, consome 1250W de potência e que somente 85% do calor gerado no elemento de
aquecimento se transfere de maneira uniforme para a panela. Aqui, temos uma condição de contorno com
fluxo específico de calor. Vejamos!
Quando temos um fluxo de calor de da potência, ou seja, são atribuídos para a
superfície. Portanto, o fluxo de calor por área é:
Assim, a primeira condição de contorno de fluxo de calor específico, quando x = 0, é:
 
Quando , na superfície superior do aço, existe uma transferência de contorno por
convecção para água. Neste caso, teremos:
Finalmente, esse problema tem as seguintes equações e condições de contorno:
Condição de contorno com radiação
Em alguns casos, por exemplo, aplicações espaciais ou criogênicas, uma superfície de transferência de calor
está rodeada por um espaço vazio e, portanto, a transferência de calor por convecção é nula.
Nesses casos, a radiação se converte no único mecanismo de transferência entre a superfície e o
ambiente.
Utilizando um balanço de energia, a condição de contorno com radiação sobre uma superfície pode se
expressar:
Para uma transferência unidimensional de calor na direção de numa placa de espessura as condições
de radiação no contorno sobre ambas as superfícies podem ser expressas assim:
Onde e são as emissividades das superfícies de contorno, é a constante
de Stefan - Boltzmann, e são as temperaturas médias das superfícies circundantes dos dois
lados da placa, respectivamente.
Mão na massa
 
 
 
As questões 1 e 2 são baseadas na seguinte informação:
 
Uma panela, usada para ferver água, é colocada sobre um fogão, a partir do qual calor é transferido a uma
taxa fixa . Há dois estágios no processo. No estágio 1, a água é levada de sua temperatura inicial
(ambiente) até o ponto de ebulição, quando o calor é transferido da panela para a água por convecção
natural. Durante esse estágio, pode-se admitir um valor constante do coeficiente de transferência de calor ,
enquanto a temperatura média da água aumenta com o tempo, . No estágio 2 , a água encontra-
se em ebulição e a sua temperatura mantémse em um valor fixo, , enquanto o fornecimento de
calor continua. Considere uma base de panela com espessura e diâmetro , com um sistema de
coordenadas no qual e nas superfícies de contato com o fogão e com a água,
respectivamente.
Questão 1
Qual é a equação de calor e as condições de contorno que determinam a variação da temperatura com a
posição e o tempo na base da panela ao longo do estágio 1? Expresse o resultado em termos de e 
, assim como as propriedades pertinentes do material da panela.
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Qual é a equação de calor e as condições de contorno que determinam a variação da temperatura na base da
panela ao longo do estágio 2? A superfície da panela em contato com a água encontra-se a uma temperatura
fixa .
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
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As questões 3 e 4 são baseadas na seguinte informação:
 
Em uma partícula esférica de raio , há geração térmica uniforme a uma taxa e com condutividade
térmica constante . A temperatura da superfície tem um valor de e está sendo resfriada pelo ar
ambiente .
Questão 3
Qual é a equação de condução de calor e as condições de contorno do problema?
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
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Questão 4
Qual pode ser a expressão que representa em função dos parâmetros conhecidos? Deixe indicada a
constante de integração como .
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
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Questão 5
Em um elemento combustível cilíndrico para reator nuclear, com 50mm de diâmetro, há geração interna de
calor a uma taxa uniforme . Em condições de regime estacionário, a onde 
 está em e em . As propriedades do elemento combustível são 
. Qual é a taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento, quando 
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão e veja o feedback completo no Solucionário
disponibilizado no campo Preparação.
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Questão 6
A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em uma placa plana de material semitransparente,
com condutividade térmica e espessura , exposto à irradiação laser, é descrita por:
 
 
Onde A, a, B e C são constantes conhecidas. Nesta situação, a absorção de radiação do material é
manifestada por um termo de geração de calor distribuída, . Deduza uma expressão para essa geração
de calor.
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
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Teoria na prática
Na indústria de tratamento térmico, é comum o uso de fornos descontínuos elétricos. Considere um forno
descontinuo por uma placa de aço de de espessura e condutividade térmica de . O forno
está localizado numa habitação com uma temperatura do ar circundante de e um coeficiente de
transferência de calor por convecção de .K. Se a superfície interna do forno está sujeita a um fluxo
uniforme de calor de , e a superfície externa tem uma emissividade de , qual é temperatura
superficial interna da placa do forno?
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Analise as seguintes afirmações sobre o termo de geração de calor:
 
I. A geração de calor é um fenômeno volumétrico que acontece em todo o meio.
II. O termo de geração de calor é considerado nulo quando o problema está em regime estacionário.
III. A taxa de geração de calor em um meio pode ser função tanto do tempo como da posição.
 
Podemos afirmar que está correto o descrito em:
A
Somente I.
B
Somente II.
C
I e III.
D
II e III.
E
I, II e III.
A alternativa C está correta.
Os processos de conversão de energia, ao serem analisados, caracterizam-se como geradores de calor,
que, por sua vez, é um fenômeno volumétrico. A taxa com que isso ocorre pode variar com o tempo e
posição, isto é, conforme o gradiente de temperatura varia.
Questão 2
Analise as seguintes afirmações sobre a equação geral de condução de calor:
 
I. Dependendo da geometria do meio condutor, podemos utilizar a equação em coordenadas cartesianas,
cilíndricas ou esféricas.
II. A equação geral após as considerações do problema pode ser reduzida emfunção de uma única variável,
neste caso a derivada passa de parcial para ordinária.
III. As condições de contorno e iniciais devem ser empregadas dentro dos termos da equação geral de
condução de calor.
 
Podemos afirmar que está correto o descrito em:
A
Somente I.
B
Somente II.
C
I e II.
D
II e III.
E
I, II e III.
A alternativa C está correta.
Grande parte dos problemas de transferência de calor pode ser aproximada como unidimensional. Em
casos particulares, é preciso resolver a condução de calor multidimensional. A escolha das coordenadas irá
depender, portanto, da geometria do problema. Após o dimensionamento e considerações adequadas, é
possível reduzi-lo a um problema de variável única. Vale ressaltar que as condições de contorno e iniciais
são utilizadas para encontrar os valores das constantes de integração na resolução da equação geral de
condução de calor. Essas condições não interferem na expressão matemática da equação geral de
condução de calor.
2. Condução em estado estacionário
Vamos começar!
Como resolver problemas de condução em estado estacionário?
Veja a seguir os principais pontos que serão abordados sobre o assunto.
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Resistência térmica em paredes planas
A equação de taxa de transferência de calor para uma parede plana, espessura temperaturas nas
superfícies de e pode ser descrita mediante a Lei de Fourier da seguinte forma:
E, ao separar as variáveis e integrar desde onde até onde obtemos:
No entanto, os termos e são constantes e podem ser reorganizados para obter a seguinte expressão:
Em que:
Onde é a resistência térmica em contrário da condução de calor e depende somente da configuração
geométrica e das propriedades térmicas do meio. Se observarmos, a resistência térmica pode ser expressa
como que é a razão do potencial de arraste de com relação à taxa de transferência
de calor e que é análoga à relação de fluxo de corrente elétrica expressa como:
Onde é a resistência elétrica e é queda de voltagem ao longo da resistência. Portanto, a taxa da
transferência de calor através de um meio corresponde à corrente elétrica, a resistência térmica à resistência
elétrica e a diferença de temperatura à queda de voltagem. Observe na imagem a seguir:
Taxa de calor dissipado pela resistência.
Corrente elétrica que atravessa a resistência.
Uma analogia de resistências também pode ser aplicada para um processo de transferência de calor por
convecção. A Lei de Newton de resfriamento para a taxa de transferência de calor por convecção pode ser
arranjado da seguinte forma: 
Em que:
Onde:
 resistência térmica da superfície contra a convecção de calor
: temperatura da superfície
 : temperatura do ambiente
: área
• 
• 
• 
• 
Observemos que, se o coeficiente de transferência de calor é muito grande a resistência da
convecção tende a zero, portanto, Ou seja, a superfície não oferece resistência à convecção e,
assim, não desacelera o processo de transferência de calor.
A taxa de transferência de calor por radiação entre uma superfície de emissividade área temperatura 
 e temperatura circundante de pode ser expressa como:
Onde:
E sendo a resistência térmica de uma superfície contra a radiação e 
No caso de radiação e convecção, simultaneamente, podemos utilizar o coeficiente de transferência de calor
combinado:
Rede de resistências térmicas
Consideremos a transferência unidimensional em regime estacionário através de uma parede plana de
espessura área e condutividade térmica que está exposta à convecção sobre ambos os lados com
temperatura e com coeficientes de transferência de calor e respectivamente.
Transferência de calor (regime estacionário) por meio de uma parede.
A taxa de transferência de calor é igual nas três fases, ou seja:
Desta forma representada:
Ou assim:
Ou de uma forma geral:
Onde:
Notemos que as resistências térmicas estão em séries e a resistência térmica equivalente se determina
simplesmente ao somar cada uma delas, assim como acontece em circuitos elétricos em série.
Algumas vezes, é conveniente expressar a transferência de calor através de um meio de uma forma análoga à
Lei de Newton de resfriamento como:
Onde é o coeficiente de transferência de calor total em (\W/m^2 \cdot K.\) Portanto:
 
Exemplo 1
Vamos considerar uma janela com dupla folha de de altura e de largura que consta com duas
camadas de vidro cada uma de de espessura separadas por um espaço de ar
estancado de de largura. Qual seria a taxa de transferência de calor
estacionaria através desta janela e a temperatura da superfície interior para um dia com a temperatura do
quarto mantida a enquanto a temperatura exterior é de ? Assumindo que os coeficientes de
transferência de calor sobre as superfícies interna e externa são e respectivamente.
Janela contendo duas camadas de vidro.
Observemos que, através da janela, temos 3 camadas: vidro, ar e vidro. Ou seja, podemos assumir como uma
série de resistências térmicas, da seguinte forma:
Associação de resistências térmicas: vidro - ar - vidro.
A taxa de transferência de calor total é:
Onde e são resistências convectivas, e a área é igual para todas as camadas 
 Então:
A taxa de transferência de calor é:
Como está em estado estacionário, essa taxa de calor é a mesma para qualquer ponto através do material, e
assim para o cálculo da temperatura da superfície interna será:
Redes generalizadas de resistências térmicas
Os conceitos de resistências térmicas são análogos aos de circuitos elétricos. Consideremos a parede
composta como se apresenta na imagem. Veja!
Parede composta e sua esquematização em associação de resistências em paralelo.
A transferência total de calor é a soma das transferências de calor através do material:
Se utilizamos a analogia elétrica, obtemos:
Onde:
É importante que saibamos que assim se configura porque as resistências estão em paralelo e não em série.
Resistência térmica em cilindros e esferas
Demonstramos, no módulo anterior, que a transferência de calor em um cilindro, estado estacionário,
unidimensional e sem geração de calor, apresenta uma variação de temperatura dependente do raio.
Considerando uma camada cilíndrica de raio interior raio exterior comprimento e condutividade
térmica constante a transferência de calor através dele pela Lei de Fourier é expressa como:
Acompanhe na imagem:
Variação de temperatura em um cilindro.
Onde é a área de transferência durante a posição em Observe que A é dependente do raio
e, por consequência, varia na direção da transferência de calor. Resolvendo a equação diferencial por
separação de variáveis e integrando o raio desde para 
Substituindo e resolvendo a integral:
Onde:
Observemos que a equação de taxa de transferência de calor de condução no cilindro é similar à da parede
plana, somente variam os parâmetros dentro da resistência térmica.
Por outro lado, se desenvolvemos a mesma analogia para uma camada de esfera, tomando e
realizar a integração, podemos obter:
Onde a expressão a seguir é a resistência térmica para a camada esférica:
Atenção
As mesmas considerações de transferência de calor por condução em múltiplas camadas descrita em
paredes planas podem ser aplicadas com camadas cilíndricas e/ou esféricas. A única diferença está na
definição do tipo de resistência térmica a ser empregado. 
Transferência de calor desde superfícies com aletas
As aletas são configurações alternativas que aumentam a área superficial e são construídas de materiais
altamente condutores, como o alumínio.
Nessa configuração, a transferência de calor é favorecida quando a superfície é exposta a uma área
maior à convecção e à radiação.
Portanto, dissipa calor rapidamente para o ambiente.
Exemplo
O radiador do carro, onde há folhas metálicas finas, colocadas entre si, aumentam a área superficial de
convecção. 
Observe, na imagem a seguir, alguns tipos de aletas:
Tipos de aletas.
Na análise de aletas,considera-se a operação em regime estacionário, sem geração de calor na aleta, e
supondo condutividade térmica constante em todo o material. Além de considerar um coeficiente de
transferência de calor constante ao longo da superfície da aleta.
Dissipador de calor de CPU utilizando um conjunto de aletas.
A equação de condução de calor para uma aleta com área de seção transversal , perímetro e
condutividade térmica constante é:
Ou:
Onde:
E é o excesso da temperatura. Na base da aleta, temos que 
A equação diferencial de segunda ordem acima é linear, homogênea com coeficientes constantes, e segundo
o que é estudado em cálculo, temos a seguinte solução:
Onde e são constantes arbitrárias que devem ser encontradas a partir das condições de contorno e
iniciais. É normal que a temperatura da placa, na qual estão sujeitas as aletas, seja conhecida. Portanto, uma
condição de contorno de temperatura específica é:
Analisando a extremidade da aleta, na ponta, podemos encontrar várias situações de acordo ao problema, tais
como:
Aleta infinitamente longa 
A condição de contorno na ponta da aleta é:
A variação de temperatura é:
A taxa de transferência de calor é:
Ponta da aleta isolada (perda de calor igual a zero)
A condição de contorno é:
A variação de temperatura é:
A taxa de transferência de calor é:
Temperatura específica 
A condição de contorno é:
A variação de temperatura é:
A taxa de transferência de calor é:
Convecção (ou convecção e radiação combinadas) desde a ponta da aleta
A condição de contorno é:
A variação de temperatura é:
 
A taxa de transferência de calor é:
A solução da equação geral para aletas com o caso de convecção na ponta é muito complexa. Um método
aproximado é substituir o comprimento da aleta L em relação à ponta isolada por um comprimento de aleta
corrigido. Veja:
Onde:
Em que é a espessura da aleta retangular e o diâmetro das aletas cilíndricas.
A eficiência de uma aleta é dada por:
Assim, teremos:
E:
Onde:
Sendo a área total superficial da aleta.
É possível calcular a transferência de calor quando se conhece a eficiência de um aleta da seguinte forma:
Para acessar a tabela de eficiência para diferentes tipos de configurações de aletas, clique aqui.
Exemplo 2
Consideremos uma aleta retangular muito longa, fixada a uma superfície plana, de tal forma que a temperatura
na ponta da aleta seja praticamente a do ar circundante A largura é de espessura de e
a condutividade térmica de A temperatura na base é de e seu coeficiente de
transferência de calor de Qual é a temperatura da aleta a uma distância de medida desde a
base? E sua perda de calor através de toda a aleta?
Esse problema é um caso de aleta infinitamente longa e a variação de temperatura é dada pela seguinte
equação:
Precisamos, então, encontrar o valor de e segundo a tabela de configurações para diferentes tipos de
aleta e, especificamente para a retangular, temos:
Portanto:
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04830/docs/tabela_eficiencia_aletas.pdf
A temperatura varia com x, logo, para um valor de 0,05m, temos:
Com relação à perda de calor, para aletas infinitamente longos, temos:
Mão na massa
Questão 1
A parede composta de um forno possui três materiais, dos quais dois têm condutividade térmica 
 e , espessura e conhecidas. O terceiro
material, , que se encontra entre os materiais e , possui espessura conhecida, mas a
sua condutividade térmica é desconhecida. Sob condições de operação em regime estacionário, medidas
revelam uma temperatura na superfície externa do forno de , uma temperatura na superfície
interna e uma temperatura do ar no interior do forno . O coeficiente convectivo
interno é conhecido, sendo igual a . Qual é o valor de , sabendo que o material está no
interior do forno e o material C na parte externa do forno?
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Um aquecedor elétrico delgado está inserido entre um longo bastão circular em um tubo concêntrico, com
raios interno e externo iguais a e respectivamente. O bastão possui uma condutividade
térmica de e o tubo . A superfície externa do tubo está sujeita
à convecção com um fluido à temperatura e um coeficiente de transferência de calor de 
. A superfície externa do cilindro está a . Qual é a temperatura da superfície externa do
cilindro ? Considere comprimento unitário do cilindro.
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 3
Um vaso esférico, usado como um reator para produzir fármacos, tem uma parede de aço inox 
 com de espessura e diâmetro interno de A superfície externa do vaso é
exposta ao ar ambiente , na qual um coeficiente convectivo de pode ser admitido.
Durante uma operação em regime estacionário, uma temperatura da superfície interna de é mantida
pela geração de energia no interior do reator. Qual é a perda de calor no reator?
A
154W
B
853W
C
489W
D
241W
E
55W
A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
Um bastão de latão com de comprimento e de diâmetro se estende
horizontalmente a partir de uma solda a . O bastão encontra-se em um ambiente com e 
. Qual é a temperaturas no bastão a da solda numa condição de convecção?
A
280K
B
200K
C
350K
D
400K
E
450K
A alternativa D está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão e veja o feedback completo no Solucionário
disponibilizado no campo Preparação.
Conteúdo interativo
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Questão 5
Uma aleta plana fabricada com a liga de alumínio tem uma espessura na base de 
 e um comprimento de . Sua temperatura na base é de e ela está exposta a
um fluido para o qual e . Para as condições anteriores e uma aleta de largura
unitária, qual é a sua eficiência?
A
0,98
B
0,95
C
0,90
D
0,85
E
0,88
A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
Uma casa possui uma parede composta por uma placa de gesso (exposto no lado interno, 
 ), isolamento à base de fibra de vidro (no meio, ) e uma camada
de madeira (exposto para o lado externo, ), as espessuras são e ,
respectivamente. Em um dia de frio de inverno, os coeficientes de transferência de calor por convecção são 
 e . A área total da superfície da parede é de . Qual é a perda total
de calor através da parede?
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Teoria na prática
Um reator nuclear de alta temperatura com resfriamento a gás, formado por uma parede cilindrica composta,
na qual um elemento combustível de tório , encontra-se envolto em grafite 
 e hélio gasoso escoa através de um canal anular de resfriamento. Considere as condições
nas quais a temperatura do hélio é de e o coeficiente convectivo na superficíe externa do
grafite é de . A configuração de dentro para fora é tório e ,
grafite e hélio. Se a energia térmica é gerada uniformemente no elemento combustivel, a uma
taxa de , qual é a temperatura na superficie interna e externa do tório? Considere de
comprimento do cilindro.
Chave de resposta
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão. Veja, também, o feedback no Solucionário
disponibilizado no campo Preparação.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Analise as seguintes afirmações sobre a transferência de calor por condução:
 
I.A resistência térmica por condução é totalmente independente da condutividade térmica.
II. A condução de calor unidimensional em camadas cilíndricas mediante resistências térmicas é dependente
do raio.
III. As resistências térmicas são equivalentes às resistências elétricas e podemos aplicar as mesmas
propriedadesde circuitos elétricos.
 
Podemos afirmar que está correto o descrito em:
A
Somente I.
B
Somente II.
C
I e II.
D
II e III.
E
I, II e III.
A alternativa D está correta.
Ao considerar a condução de calor unidimensional em camadas cilíndricas, é possível ver por meio da
equação a seguir que há dependência das resistências em relação ao raio. Estas ainda são equivalentes às
resistências elétricas e, por isso, as mesmas propriedades de circuitos elétricos podem ser aplicadas. Veja:
Questão 2
Analise as seguintes afirmações sobre a transferência de calor em aletas:
 
I. Aletas são utilizadas para facilitar a transferência de calor ou dissipação para o ambiente.
II. Aletas infinitas são aquelas em que a temperatura na ponta é equivalente à temperatura ambiente.
III. Aleta com condição de temperatura isotérmica na ponta significa que não transfere calor para o ambiente.
 
Podemos afirmar que está correto o descrito em:
A
Somente I.
B
Somente II.
C
I e II.
D
II e III.
E
I, II e III.
A alternativa C está correta.
Aletas que não transferem calor para o ambiente desde a sua ponta são aletas adiabáticas.
3. Condução em estado não estacionário
Vamos começar!
Como resolver problemas de condução em estado não estacionário?
Veja a seguir os principais pontos que serão abordados sobre o assunto.
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Condução de calor unidimensional em regime não
estacionário
Até aqui, estudamos a transferência de calor unidimensional em estado estacionário e a solução das
equações, dada de forma exata. No entanto, quando o problema se refere à transferência de calor
unidimensional em estado transiente, mais uma variável aparece, neste caso, o tempo. A resolução exata é um
pouco complicada e, portanto, o uso de métodos numéricos, tal como o método de diferenças finitas, é o que
mais se aproxima de um resultado satisfatório.
Método de diferenças finitas
Consiste em substituir as derivadas encontradas por diferenciais em variáveis espaciais e resolvendo as
temperaturas em distintos pontos, chamados de nós. Nos problemas transientes, as temperaturas mudam
com o tempo, assim como com a posição. Desse modo, a solução, em diferenças finitas, requer a
discretização no tempo e no espaço.
Método das diferenças dos nós.
Para resolver esses problemas, é preciso escolher um intervalo apropriado de tempo, e resolver para as
temperaturas nodais desconhecidas várias vezes para cada até obter uma solução no instante desejado.
Os nós e os elementos de volume nos problemas transientes são considerados. Por conveniência, toda a
transferência de calor é até o elemento. O balanço de energia sobre um elemento de volume, durante um
intervalo de tempo, pode ser expresso como:
(calor transferido até o elemento de volume desde todas as superfícies durante )
 (calor gerado dentro do elemento de volume durante o )
 mudança no conteúdo de energia interna do elemento de volume durante )
Ou:
Onde a transferência de calor normalmente, consta de termos de condução para os nós internos, mas
pode compreender convecção, fluxo de calor e radiação para os nós dos contornos.
Dado que o onde é a densidade e é o calor
específico do elemento, ao dividir a relação anterior entre temos:
Ou para qualquer nó no meio e seu elemento de volume:
Onde são as temperaturas do nó nos instantes e 
respectivamente, e representa a mudança de temperatura do nó durante o intervalo de tempo 
 entre os intervalos de tempo e 
Note que o último termo é simplesmente a aproximação em diferenças finitas da derivada parcial 
 que aparece nas equações diferenciais dos problemas em estado transiente.
As temperaturas nodais nos problemas transientes por comum variam durante cada intervalo de tempo.
Assim, dois métodos podem ser utilizados:
Método explícito
Utiliza as temperaturas no prévio intervalo de tempo :
Método implícito
Utiliza a temperatura no novo intervalo de tempo :
Os dois métodos têm suas características, sendo o método explícito o mais fácil de ser posto em prática. No
entanto, coloca uma restrição sobre o intervalo admissível de tempo para evitar instabilidades na solução. Por
outro lado, o método implícito requer que as temperaturas nodais se resolvam simultaneamente, sem impor
algum limite sobre a magnitude do intervalo de tempo.
Consideremos a condução de calor unidimensional em regime transiente, em uma parede plana de espessura 
 com geração de calor que pode variar com o tempo e a posição, condutividade térmica constante 
 com um tamanho de malha tal que e os nós na direção tal como se
apresenta na imagem a seguir:
Parede sofrendo condução de calor em regime transiente.
Sabendo que o elemento de volume de um nodo interior geral compreende a condução de calor, desde
dois de seus lados e o volume do elemento é a formulação em diferenças finitas no
regime transiente para um nó interior pode ser expressa assim:
Ao cancelar a área superficial e multiplicar por obtemos:
Onde é a difusividade térmica do material da parede. Para a continuação, definimos um número
discreto de Fourier adimensional como:
Então, a equação se reduz para:
Neste caso específico, para a parede plana, não foi definida a resolução pelo método explícito ou implícito, o
qual depende do intervalo de tempo no primeiro membro da equação. Portanto:
Método explícito
Método implícito
Critério de estabilidade para o método explícito (limitação sobre )
Com a finalidade de evitar as oscilações divergentes das temperaturas nodais, o valor de deve-se manter
abaixo de certo limite superior determinado pelo critério de estabilidade. Vejamos os critérios a seguir:
 
Verificar que todos os coeficientes primários de todas as nas expressões são maiores ou
iguais a zero em todos os nós .
No caso de condução de calor unidimensional em regime transiente, em uma parede plana com
temperaturas superficiais internas, usar: 
O método implícito é incondicionalmente estável, portanto, qualquer intervalo de tempo pode ser
aplicado. Quanto menor o intervalo, maior a precisão da solução.
A superfície superior de uma placa de latão se está resfriando mediante um fluxo, a pressão de ar a uma
temperatura de com um coeficiente de transferência de calor por convecção de 
 ) tinha uma temperatura inicial uniforme de ; além
disso, a superfície inferior da placa está isolada. Mediante um espaçamento nodal uniforme de 
e um intervalo de tempo de , determine as temperaturas nodais da placa de latão após 10 segundos
de resfriamento utilizando o método implícito.
• 
• 
• 
Superfície superior de uma placa de latão.
Precisamos realizar o balanço de energia para cada nó. Não temos geração, mas temos convecção no ponto
0.
Ponto 0: no termo transiente, é a metade do volume do elemento exposto à convecção.
Multiplicando pelos dois lados da equação por temos:
Substituindo no último termo e obtemos:
Agrupando por cada temperatura:
Ponto 1: é um ponto interno. Podemos utilizar diretamente a equação implícita, o mesmo acontece para os
pontos 2 e 3.
Ponto 2:
Ponto 3:
Ponto 4: No caso de ter uma parede isolada, temos uma condição de taxa de transferência nula da parte de
embaixo do ponto, que deve ser considerada no balanço. Além disso, o termo transiente é a metade do
volume do elemento. Realizando o balanço, encontramos:
A pergunta é saber o valor da temperatura quando se passaram 10s, o que significa que, na condição inicial,
ou seja, i=0 temos a temperatura uniforme e, após a primeira iteração é o ponto de 
 Portanto, vamos substituir nas cinco equações implícitas os valores constantes.
Obs.: nesses problemas de diferenças finitas, não tem problema trabalhar as temperaturas em devido à
simplificação da conversão (273K) nos 
Veja que, segundo o critério, o método explícito não poderia ser usado neste caso ). Então,
substituindo os termos constantes nas equações as equações implícitas, do ponto 0 até o 4:
 
 
 
 
 
 
Temos um sistema de 5 equaçõeslineares com 5 incógnitas. Assim, resolvendo em qualquer simulador on-
line, encontramos que as temperaturas após 10 segundos são:
Condução bidimensional de calor em regime transitório
Consideremos uma região retangular onde a condução de calor é significativa nas direções e e
considere uma profundidade unitária de na direção Pode ser gerado calor no meio com uma
velocidade de a qual pode variar com o tempo e a posição, supondo condutividade térmica
constante 
Posteriormente, dividimos o plano da região em uma malha retangular de pontos nodais espaçados
com uma separação e nas direções e respectivamente, e consideremos um nodo interior
geral cujas coordenadas são e como mostra a imagem:
Malha retangular de pontos nodais.
Dado que o elemento de volume centrado em torno do nodo interior geral compreende condução de
calor desde os quatro lados (direito, esquerdo, superior e inferior) e o elemento de volume é 
 a formulação em diferenças finitas, em regime transitório para um nodo
deste tipo, pode ser expressa da mesma forma que o balanço de energia descrito no modo unidimensional:
Quando se toma uma malha quadrada e se divide cada termo entre obtemos:
Da mesma forma que o caso unidimensional, podemos obter as expressões para os métodos implícito e
explícito:
Método implícito
Método explícito
Existe também aqui o critério de estabilidade para o método explícito:
Consideremos uma barra sólida, ) de seção transversal quadrada que
está inicialmente a uma temperatura uniforme de A seção transversal da barra tem um tamanho 
 e se gera calor nela de forma uniforme, com uma velocidade de Os quatro
lados da barra estão sujeitos à convecção com ar com uma temperatura ambiente de coeficiente de
transferência de calor Utilizando o método explícito das diferenças finitas com um tamanho de
malha de determine a temperatura do ponto central após 10 minutos.
Malha com pontos nodais.
Como os quatro lados estão expostos à convecção com ar e a barra é simétrica, temos que as temperaturas 
 assim como Ou seja, somente podemos realizar os cálculos
para os pontos 1, 2 e 5 . Assumindo que os balanços em cada ponto são:
Ponto 1: a convecção é mais predominante neste ponto, lado esquerdo e superior tem convecção para metade
do elemento de volume. Lado direito e inferior tem condução também para metade do elemento de volume.
No termo transiente e de geração, o ponto 1 está no centro de de elemento de volume. Portanto:
Multiplicando os dois lados da equação por e substituindo e obtemos:
Para ficar da forma explícita, o termo deve ser isolado, e T2=T4. Portanto:
Um dos critérios de utilizar o método explícito é que os coeficientes primários, ou seja, aqueles que
acompanham as variáveis de temperatura devem ser positivos. Os pontos que estão mais expostos a
convecções são utilizados para realizar essa análise. Da equação acima, o único termo que fica nesse critério
é Será que ele é maior ou igual a zero?
De acordo as condições do problema:
Para utilizar o método explícito, o 
Ponto 2: temos aqui a metade do elemento de volume, tanto para a geração como no termo transiente.
Lembrando que: 
Multiplicando os dois lados da equação por e substituindo e obtemos:
Isolando o termo temos:
Ponto 5: por ser um ponto interno, podemos aplicar diretamente a equação explícita:
 
 
Lembrando que as temperaturas Portanto:
Precisamos escolher um e, por conveniência, escolhemos 120s. Para esse valor, temos o
seguinte:
Substituindo os valores constantes nas três equações explícitas, obtemos:
No tempo i=0, temos que a temperatura era uniforme, ou seja, Em uma folha de cálculo no Excel,
podemos fazer as iterações. O valor da temperatura será o valor anterior, lembrando que, na primeira
linha, colocaremos o valor de Assim, a temperatura no centro da placa após um tempo de 
 será de Observe:
i t T1 T2 T5
0 0 32 32 32
1 120 73,0 127,9 73,1
2 240 141,8 209,0 145,8
3 360 211,3 308,1 223,3
4 480 291,4 417,5 313,3
5 600 381,0 541,6 414,5 
6 720 482,1 681,4 528,8
7 840 596,2 839,0 657,8
8 960 724,7 1016,8 803,3
i t T1 T2 T5
9 1080 869,8 1217,2 967,4
10 1200 1033,3 1443,3 1152,4
Tabela: Folha de cálculo relacionando: corrente, tempo e temperaturas.
Mão na massa
Questão 1
Uma parede com de espessura e difusividade térmica de , encontra-se, inicialmente,
a uma temperatura uniforme igual a . Subitamente, uma das suas faces tem a sua temperatura reduzida
a , enquanto a outra é perfeitamente isolada. Qual é a temperatura na parede isolada após 20 minutos?
Utilize a técnica de diferenças finitas com incremento espacial e no tempo de e ,
respectivamente.
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
As questões 2 e 3 são baseadas na seguinte informação:
Uma placa de grande espessura, com difusividade térmica de e condutividade térmica de 
, está inicialmente a uma temperatura uniforme de . De repente, a sua superfície é
exposta a uma substância refrigerante a , que mantém um coeficiente de transferência de calor por
convecção igual a . Usando um incremento no espaço de , determine o seguinte:
 
Qual seria o intervalo de tempo adequado para utilizar o método explícito?
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão e veja o feedback completo no Solucionário
disponibilizado no campo Preparação.
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Questão 3
Qual será a temperatura a uma profundidade de passados 3 minutos do início do processo? Assuma
um .
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
Uma parede plana de aço inox e com uma espessura de 
experimenta uma geração uniforme de calor de . Os lados direito e esquerdo da parede são
mantidos à temperatura constantes de e respectivamente. Após 20 minutos, qual é o valor da
temperatura no centro da placa?
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 5
Uma barra longa de aço tem sua seção transversal como se apresenta a seguir. A barra é extraída de um forno
de tratamento térmico a e se coloca no fundo de um tanque cheio de água a . Para intensificar
a transferência de calor, é aplicada agitação constante na água, de tal maneira que a temperatura fica quase
constante na superfície de todas as faces da barra, , com exceção da face inferior à qual é
adiabática. As propriedades da barra são .
Qual seria o intervalo de tempo ideal para aplicar o método explícito de diferenças finitas?
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
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Questão 6
Assumindo um intervalo de tempo de 10s, qual é o valor da temperatura no ponto 5 após 20s?
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Teoria na prática
Consideremos a transferência de calor bidimensional em uma barra sólida em formato de que está
inicialmente a uma temperatura uniforme de e cuja seção transversal está representada na imagem a
seguir. As propriedades da barra são . O lado direito da barra está
isolado e a superfície inferior se mantém a uma temperatura uniforme de em todo momento. No
instante , a superfície superior completa se sujeita a uma convecção com ar a uma temperatura de 
 e um coeficiente de transferência de calor de . Além disso, a superfície esquerda se
mantém a um fluxo de calor uniforme de . A rede de pontos é igualmente espaçada com 
. Utilizando o método explícito, determine a temperatura do nó 2 após 2 minutos.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Análise as seguintes afirmações sobre condução de calor transiente:
 
I. Na transferência de calor por condução em regime transiente, sempre existirá geração de calor.
II. O critério de estabilidade do método explícito por diferenças finitas é função do número de Fourier .
III. Os coeficientes primários que acompanham as variáveis de temperatura no método explícito precisam ser
maiores ou iguais a zero.
 
Podemos afirmar que está correto o descrito em:
A
Somente II.
B
Somente III.
C
I e II.
D
II e III.
E
I, II e III.
A alternativa D está correta.
Se o problema não apresentar uma variação de geração de energia ou energia uniforme, o termo deve ser
desconsiderado.
Questão 2
Análise as seguintes afirmações sobre a transferência de calor por condução bidimensional transiente:
 
I. Se o problema não tiver variação da temperatura com o tempo no balanço de energia em um ponto da
malha, a equação é assertiva para a análise em estado estacionário.
II. Pontos que são predominantes de convecção são estratégicos para analisar o critério de estabilidade do
método explícito de diferenças finitas.
III. A malha sempre deve ser quadrada para ser utilizado o método bidimensional por diferenças finitas.
 
Podemos afirmar que está correto o descrito em:
A
Somente I.
B
Somente II.
C
I e II.
D
II e III.
E
I, II e III.
A alternativa C está correta.
A ausência da variação da temperatura com o tempo no balanço de energia em determinado ponto da
malha permite que a análise seja feita sob as condições estacionárias. Em um ponto da malha, a equação é
assertiva para a análise em estado estacionário. Um critério para se utilizar na análise da solução do
problema de transferência de calor é a análise dos pontos predominantes na malha.
4. Conclusão
Considerações finais
Como vimos, a transmissão de calor é uma área relevante em múltiplos problemas de engenharia e na vida
cotidiana. Observamos o fato de que os mecanismos de transferência de calor por condução podem
acontecer tanto em estado estacionário como de forma transiente. Independentemente da forma de
propagação, é possível calcular ou aproximar a taxa de transferência de calor mediante a equação geral de
condução, resistências térmicas ou balanço de energia para elementos de volume.
Podcast
Para encerrar, ouça um resumo dos conceitos básicos abordados neste estudo.
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Explore +
Para continuar com as discussões tratadas neste conteúdo, sugerimos a leitura dos seguintes artigos:
 
Dissipadores de calor microaletados para resfriamento de processadores, de Isabelle Guimarães da Silva,
João Batista Campos-Silva e Elaine M Cardoso, publicado em 2020.
 
Um estudo das variações da temperatura do solo via equação do calor, de Gustavo Sutana Lima e Judith de
Paula Araújo, disponível no portal SciELO.
Referências
BERGMAN, T. L. Fundamentos de transferência de calor e de massa. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
 
CREMASCO, M. A. Fundamentos de Transferência de Massa. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2015.
 
ÇENGEL, Y. Transferência de Calor e massa: fundamentos e aplicações. 4. ed. New York: McGraw Hill, 2011.
 
DATLA, G.; SAHU, P. K.; SAINI, J. Review on numerical analysis of rectangular fin profile using different fin
materials. International Research Journal of Engineering and Technology (IRJET), v. 6. n. 10. out. 2019.
 
INCROPERA, F. P. Fundamentos de transferência de calor e massa. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
 
KREITH, F. MANGLIK, R. M.; BOHN, M. S. Princípios de transferência de calor. São Paulo: Cengage Learning,
2014.
	Transferência de calor por condução
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Condução de calor estável em geometrias simples
	Vamos começar!
	Como identificar as equações de condução de calor e condições de contorno em geometrias simples?
	Conteúdo interativo
	Transferência por condução unidimensional
	Atenção
	Geração de calor
	Exemplo
	Equação de condução de calor em uma parede plana
	Estado estacionário
	Regime transiente sem geração de calor
	Estado estacionário e sem geração de calor
	Equação de condução de calor em um cilindro
	Estado estacionário
	Regime transiente sem geração de calor
	Estado estacionário e sem geração de calor
	Equação de condução de calor em uma esfera
	Estado estacionário
	Regime transiente sem geração de calor
	Estado estacionário e sem geração de calor
	Equação geral de condução de calor
	Coordenadas retangulares
	Estado estacionário
	Regime transiente sem geração de calor
	Estado estacionário e sem geração de calor
	Exemplo 1
	Consideração 1
	Consideração 2
	Consideração 3
	Consideração 4
	Coordenadas cilíndricas
	Exemplo 2
	Coordenadas esféricas
	Exemplo 3
	Condições de contorno e iniciais
	Condição de contorno de temperatura específica
	Condição de contorno de fluxo específico de calor
	Condição de convecção no contorno
	Condição de contorno com radiação
	Mão na massa
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	2. Condução em estado estacionário
	Vamos começar!
	Como resolver problemas de condução em estado estacionário?
	Conteúdo interativo
	Resistência térmica em paredes planas
	Rede de resistências térmicas
	Exemplo 1
	Redes generalizadas de resistências térmicas
	Resistência térmica em cilindros e esferas
	Atenção
	Transferência de calor desde superfícies com aletas
	Exemplo
	Aleta infinitamente longa
	Ponta da aleta isolada (perda de calor igual a zero)
	Temperatura específica
	Convecção (ou convecção e radiação combinadas) desde a ponta da aleta
	Exemplo 2
	Mão na massa
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	3. Condução em estado não estacionário
	Vamos começar!
	Como resolver problemas de condução em estado não estacionário?
	Conteúdo interativo
	Condução de calor unidimensional em regime não estacionário
	Método de diferenças finitas
	Método explícito
	Método implícito
	Método explícito
	Método implícito
	Critério de estabilidade para o método explícito (limitação sobre )
	Condução bidimensional de calor em regime transitório
	Método implícito
	Método explícito
	Mão na massa
	Conteúdo interativo
	Questão 5
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	4. Conclusão
	Considerações finais
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