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Probabilidade - Parte I
Luis A. Toscano
EST - UFMG
Conceitos basicos de probabilidade
Espac¸o Amostrais
Eventos
Atribuindo Probabilidade
Algumas relac¸o˜es ba´sicas de probabilidade
O que voceˆ deve apredender
Como identificar o espac¸o amostral de um experimento
probabilistico e tambem identificar eventos simples.
Como distinguir as probabilidades cla´ssica, empririca e
subjetiva.
Como identificar e usar as propriedades da probabilidade.
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Conceitos basicos de probabilidade
Espac¸o Amostrais
Eventos
Atribuindo Probabilidade
Algumas relac¸o˜es ba´sicas de probabilidade
Probabilidade
E´ uma medida nume´rica da possibilidade de um evento ocorrer.
Exemplos:
Quais sa˜o as chances de queda das vendas se aumentarmos os
prec¸os?
Qual e´ a probabilidade do projeto ser conclu´ıdo no prazo?
Qual e´ a chance de um novo investimento ser lucrativo?
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Espac¸o Amostrais
Eventos
Atribuindo Probabilidade
Algumas relac¸o˜es ba´sicas de probabilidade
Experimentos Aleato´rios
E´ um processo que gera resultados bem definidos.
Exemplos:
Experimentos Resultados Experimentos
Jogar uma moeda cara, coroa
Selecionar uma pec¸a para inspec¸a˜o defeituosa, na˜o defeituosa
Lanc¸ar uma dado 1,2,3,4,5,6
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Espac¸o Amostrais
Eventos
Atribuindo Probabilidade
Algumas relac¸o˜es ba´sicas de probabilidade
Espac¸o Amostral
E´ um conjunto de todos os resultados do experimento aleato´rio. E´
denotado por S
Exemplos:
Experimentos Espac¸o Amostral
Jogar uma moeda S = {Cara, Coroa}
Selecionar uma pec¸a S = {Defeituoso, Na˜o defeituoso}
para inspec¸a˜o
Lanc¸ar uma dado S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Espac¸o Amostrais
Eventos
Atribuindo Probabilidade
Algumas relac¸o˜es ba´sicas de probabilidade
Exemplo
Certo experimento probabilistico consiste em jogar uma moeda e
enta˜o um dado com seis faces. Descreve o espac¸o amostral.
Soluc¸a˜o
Jogando uma moeda, ha dois resultdos possiveis: cara (C) ou
coroa (K). Para cada um deles, ha seus resultados possiveis com o
dado: 1,2,3,4,5 ou 6. Uma maneira de fazer uma lista dos
resultados, neste caso, e´ usar um diagrama de arvore.
A partir do diagrama de arvore, vemos que espac¸o amostral tem 12
resultdos.
[C1,C2,C3,C4,C5,C6,K1,K2,K3,K4,K5,K6]
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Eventos
Atribuindo Probabilidade
Algumas relac¸o˜es ba´sicas de probabilidade
Eventos
E´ um subconjunto do espac¸o amostral de um experimento.
Exemplo: Revenda de caminho˜es.
Uma revenda de caminho˜es usados tem treˆs caminho˜es da
Ford 1998 para serem vendidos por qualquer um de seus dois
vendedores.
Queremos saber quantos desses caminho˜es cada um dos
vendedores vendera em uma dada semana.
Defina os seguintes eventos:
A = Ambos os vendedores juntos verderam dois caminho˜es.
B = O segundo vendedor na˜o vende nenhum caminha˜o.
C = O segundo vendedor vende no mimimo dois caminho˜es.
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Espac¸o Amostrais
Eventos
Atribuindo Probabilidade
Algumas relac¸o˜es ba´sicas de probabilidade
No restante do curso, vamos aprender a calcular a
probabilidade de um evento. Eventos sa˜o frequentemente
representados por letras maiusculas tais como A,B,C.
Um evento que consiste em um unico resultado e´ chamado de
evento simples.
Por exemplo, se voce determinar o tipo sanguineo de uma
amostra, um evento simples A sera ”o sangue e´ tipo A”.
Em contraste, o evento E sera ”o sangue na˜o e´ tipo A” e na˜o
sera simples, pois consistira em tres outros resultados
possiveis [A,AB ,O]
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Eventos
Atribuindo Probabilidade
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Exemplo
Identificando eventos simples
1 Para o controle de qualidade, seleciona-se ao acaso um chip
de computador dentre os fabricados naquele dia. O evento A
e´ selecionar um chip defeituoso.
2 Joga-se um dado de seis lados. O evento B e´ obter pelo
menos um 4.
Soluc¸a˜o
1 O evento A tem somente um resultado: a escolha do chip
com defeito. O evento, portanto, e´ simples.
2 O evento B tem tres resultados: obter um 4,5 ou 6. Uma vez
que o evento tem mais de um resultado, ele na˜o e´ simples.
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Eventos
Atribuindo Probabilidade
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Podemos estar interessados em novos eventos a partir de
combinac¸o˜es dos eventos existentes.
Como sa˜o subconjuntos, podemos usar operac¸o˜es ba´sicas de
conjuntos.
As principais operac¸o˜es:
unia˜o;
intersec¸a˜o;
complemento.
Diagrama de Venn
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Eventos
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Unia˜o entre dois eventos
Todos resultados que esta˜o contidos em cada um dos dois eventos.
Notac¸a˜o: A ∪ B
Intersec¸a˜o entre dois eventos
Todos resultados que esta˜o nos dois eventos simultanemente.
Notac¸a˜o: A ∩ B
Complemento de um eventos
Conjunto dos resultados do espac¸o amostral que na˜o esta˜o no
evento. Notac¸a˜o: O complemento de A e´ denotado por Ac
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Eventos
Atribuindo Probabilidade
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Eventos mutuamente exclusivos (dijuntos)
Na˜o tem elementos em comum.
A ocorrencia de um deles impede a acorrencia do outro.
Exemplo: Revenda de caminho˜es.
Encontre B ∪ C , A ∪ C e Bc
Os eventos B e C sa˜o mutuamente excluentes?
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Eventos
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Regra de Probabilidade
Se S e´ o espac¸o amostral e E e´ um evento qualquer em um
experimento aleato´rio.
1 P(S) = 1
2 0 ≤ P(E ) ≤ 1
3 Para dois eventos E1 e E2, com E1 ∩ E2 = ∅
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)
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Eventos
Atribuindo Probabilidade
Algumas relac¸o˜es ba´sicas de probabilidade
Atribuindo Probabilidade
Me´todo Classico
E´ apropriado quando todos os resultados experimentais sa˜o
igualmente prova´veis.A probabilidade classica para um evento E e´
dada por
p(E ) =
nu´mero de resultados em E
numero total de resultados no espac¸o amostral
(1)
Exemplo:Lanc¸ar um dado.
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Espac¸o Amostrais
Eventos
Atribuindo Probabilidade
Algumas relac¸o˜es ba´sicas de probabilidade
Exemplo: Suponha num lote com 20 pec¸as existam cinco
defeituosas. Escolhemos quatro pec¸as do lote ao acaso, de modo
que a ordem seja irrelevante. Qual e´ a probabilidade de
(a) todos as quatro pec¸as serem defeituosa.
(b) somente duas das quatro pec¸as serem defeituosa.
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Eventos
Atribuindo Probabilidade
Algumas relac¸o˜es ba´sicas de probabilidade
Regra de Contagem
Em muitos exemplos e´ fa´cil determinar o nu´mero de
resultados em cada experimento.
Em exemplos mais complicados podem ser necessa´rias
algumas te´cnicas de contagem.
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Eventos
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Regra de Contagem de Combinac¸o˜es
O nu´mero de combinac¸o˜es de N objetos, tomados n a cada vez, e´
CNn =
(
N
n
)
=
N!
n!(N − n)!
Exemplo: Controle de qualidade.
Um inspetor seleciona aleatoriamente duas de cinco pec¸as
para testar se ha defeitos.
Em um grupo de cinco pec¸as, quantas combinac¸o˜es de duas
pec¸as podem ser selecionadas ?
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Eventos
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Exemplo
Certo experimento probabilistico consiste em jogar uma moeda e
enta˜o um dado com seis faces. Qual e´ probabilidade de obter uma
cara e numero 4?
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Eventos
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Regra de Contagem de Experimentos em Multiplas Etapas.
Se um experimento pode ser descrito como uma sequencia de k
etapas. O nu´mero total de resultados dos experimentais sera´ dado
por
(n1)(n2) . . . (nk)
onde ni e´ nu´mero de resultados possiveis na etapa i .
Exemplo:
Experimento: Jogar uma moeda e um dado.
Diagrama em arvore.
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Espac¸o Amostrais
Eventos
Atribuindo Probabilidade
Algumas relac¸o˜es ba´sicas de probabilidade
Exemplo: Controle de qualidade.
Um inspetor seleciona aleatoriamente duas de cinco pec¸as
para testar se ha defeitos.
Quantas permutac¸o˜es podem ser escolhidas?
Qual e´ probabilidade de escolher duas pec¸as em um grupo de
cinco quando a ordem de escolha deve ser levada em
considerac¸a˜o?
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Eventos
Atribuindo Probabilidade
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Regra de Contagem de Permutac¸o˜es
O nu´mero de permutac¸o˜es de N objetos, tomados n a cada vez, e´
dado por:
PNn = n!
(
N
n
)
=
N!
(N − n)!
Exemplo: Controle de qualidade.
Quantas permutac¸o˜es podem ser escolhidas ?
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Espac¸o Amostrais
Eventos
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Me´todo de frequencia relativa
A probabilidade empirica baseia-se em observac¸o˜es obtidas de
experimentos probabilisticos. A probabilidade empirica de um
evento E e´ a frequencia relativa desse evento.
p(E ) =
frequencia do evento E
frequencia total
(2)
Exemplo:
Uma pesquisa mostrou que dentre 8.319 mulheres da faixa
eta´ria dos 20 aos 30 que casaram novamente depois do
divorcio, 1.358 voltaram a se divorciar.
Qual e´ a probabilidade de uma mulher divorciada da faixa
eta´ria dos 20 aos 30 divorciar-se novamente?
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Eventos
Atribuindo Probabilidade
Algumas relac¸o˜es ba´sicas de probabilidade
Quando as probabilidade sa˜o estimadas pelo me´todo
frequentista, e´ muito natural perguntar-se se as estimativas
teˆm alguma confiabilidade.
Esse pergunta pode ser respondida atraves do seguinte
teorema:
Lei dos grandes nu´meros
A medida que um experimento e´ repetido varias vezes, a
probabilidade dada pela frequeˆncia relativa de um evento tende a
se aproximar da verdadeira probabilidade.
Exemplo: Jogar uma moeda 10 vezes.
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Eventos
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Me´todo Subjetivo
Esse me´todo e´ indicado
Quando os resultados experimentais na˜o sa˜o igualmente
prova´veis.
Quando poucos dados relevantes esta˜o dispon´ıveis.
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Eventos
Atribuindo Probabilidade
Algumas relac¸o˜es ba´sicas de probabilidade
Exemplo:
Se treˆs de um grupo de vinte levantadores de peso teˆm usado
esteroides anabolizantes e quatro quaisquer deles sa˜o testados para
uso de esteroides, qual e´ a probabilidade de que exatamente um
dos treˆs levantadores de peso do grupo seja inclu´ıdo no teste?
EST180: Estat´ıstica I - Luis A. Toscano 25 / 30
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Algumas relac¸o˜es ba´sicas de probabilidade
Algumas relac¸o˜es ba´sicas de probabilidade sa˜o
Probabilidade usando o complemento
P(A) = 1− P(Ac)
Exemplo:
E um grupo t´ıpico, ha´ 205 rece´m-nascidos, dos quais 105 sa˜o
meninos.
Se o bebeˆ e´ escolhido aleatoriamente, qual e´ a probabilidade
de que na˜o seja menino?
EST180: Estat´ıstica I - Luis A. Toscano 26 / 30
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Atribuindo Probabilidade
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Regra da Adic¸a˜o
Seja os eventos A e B
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B))
Se os eventos A e B sa˜o mutuamente exclusivos (A ∩ B = ∅)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Exemplo:
Selecionar uma carta de um baralho comum.
Obtenha a probabilidade da carta ser um 4 ou um A´s.
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Eventos
Atribuindo Probabilidade
Algumas relac¸o˜es ba´sicas de probabilidade
Exemplo:
Voceˆ joga um dado.
Obtenha a probabilidade da sair um nu´mero menor do que 3
ou um nu´mero impar.
Generalizando para treˆs eventos
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C )− P(A ∩ B)− P(A ∩ C )
− P(B ∩ C ) + P(A ∩ B ∩ C )
EST180: Estat´ıstica I - Luis A. Toscano 28 / 30
Conceitos basicos de probabilidade
Espac¸o Amostrais
Eventos
Atribuindo Probabilidade
Algumas relac¸o˜es ba´sicas de probabilidade
Exemplo: Na tabela abaixo temos dados referentes a alunos
matriculados em quatro cursos de uma universidade em dado ano. Um
aluno e´ selecionado ao acaso. Obtenha a probabilidade de
(a) o aluno ser do curso de Matema´tica Aplicada ou ser homem.
(b) o aluno ser do curso de Matema´tica Aplicada ou Computac¸a˜o.
(c) o aluno ser do curso de Matema´tica Pura, Estatistia ou
Computac¸a˜o.
Sexo
Curso Homens (H) Mulheres (F) Total
Matema´tica Pura (M) 70 40 110
Matema´tica Aplicada (A) 15 15 30
Estat´ıstica (E) 10 20 30
Computac¸a˜o (C) 20 10 30
Total 115 85 200
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Eventos
Atribuindo Probabilidade
Algumas relac¸o˜es ba´sicas de probabilidade
Exemplo:
Use os dados da seguinte tabela que resume os resultados do
naufrago do Titanic.
Homens Mulheres Meninos Meninas
Sobreviveram 332 318 29 27
Morreram 1360 104 35 18
(a) Se um dos passageiros do Titanic e´ escolhido aleatoriamente,
ache a probabilidade de se obter uma pessoa que seja mulher
ou crianc¸a.
(b) Se um dos passageiros do Titanic e´ escolhido aleatoriamente,
ache a probabilidade de se obter uma crianc¸a ou uma pessoa
que sobreviveu.
EST180: Estat´ıstica I - Luis A. Toscano 30 / 30