prova-de-equac3a7c3b5es-diferenciais-_-unidade-1-_-2013-1

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Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia
Professor: Allan de Sousa Soares
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
Aluno(a): Data: / /
Avaliac¸a˜o da Primeira Unidade 2013.1
Valor 10, 0 - Peso 9, 0
i) Na˜o e´ permitido qualquer tipo de comunicac¸a˜o entre os alunos;
ii) Justifique todos os ca´lculos e passagens;
iii) Na˜o e´ permitido a utilizac¸a˜o folhas de rascunho ou dispositivos eletroˆnicos sem a autorizac¸a˜o pre´via do professor;
iv) Desligue o celular;
v) Assine o nome em cada folha assim que receber a avaliac¸a˜o.
Questo˜es:
1) Considere a equac¸a˜o diferencial
(y2 + 2xy)dx− x2dy = 0.
a) Mostre que essa equac¸a˜o na˜o e´ exata.
b) Mostre que multiplicar os dois lados da equac¸a˜o por y−2 gera uma nova equac¸a˜o que e´ exata.
c) Use a soluc¸a˜o da equac¸a˜o exata resultante para solucionar a equac¸a˜o original.
d) Algumas soluc¸o˜es foram perdidas no processo?
2) Determine valores de a e α tais que y = xα + a seja uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial xy′ − 2y = −2.
3) Considere a equac¸a˜o diferencial
dy
dx
− y
x
= xex.
a) Determine a regia˜o do plano xy para o qual esta equac¸a˜o teria soluc¸a˜o u´nica..
b) Resolva esta equac¸a˜o diferencial sujeita a` condic¸a˜o inicial y(1) = e− 1.
4) Classifique cada uma das sentenc¸as a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F). A simples marcac¸a˜o da questa˜o
sem os devidos ca´lculos sera´ desconsiderada, isto e´, justifique.
( ) A equac¸a˜o diferencial (x+ y)dy = (y − x)dx e´ homogeˆnea.
( ) A equac¸a˜o diferencial dydx =
x
y pode ser classificada, simultaneamente, como de ordem 1, exata, homogeˆnea,
separa´vel, linear e de Benoulli.
( ) A func¸a˜o y = xex e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o lienar
y′′ − 2y′ + y = 0
no intervalo (−∞,∞).
( ) Uma famı´lia de soluc¸o˜es para a equac¸a˜o diferencial
ln
(
x
y
)
dx+ ln
(y
x
)
dy = 0
e´ dada por y = x+ c.
Valor das Questo˜es
1) a) 0,5 b) 0,5 c) 1,0 d) 0,5; 2) 1,5 3) a) 0,5 b) 1,5 4) a) 1,0 b) 1,0 c) 1,0 d) 1,0
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