Av2 - Cálculo Diferencial e Integral I

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1)
Seja a função real f: [0,7) → R cuja representação gráfica é dada conforme a seguinte figura:
Em relação à função apresentada, analise as seguintes afirmações:
I. O ponto x = 4 corresponde a um valor máximo local de f.
II. O ponto x = 4 corresponde a um valor máximo global de f.
III. O ponto x =  2 corresponde a um valor mínimo local de f.
IV. O ponto x = 2 corresponde a um valor mínimo global de f.
Está correto o que se afirma apenas em:
Alternativas:
· a) I e II.
· b) I e III.
· c) II e IV.
· d) I, II e III.
· e) I, III e IV.
Agora, com a imagem da função f(x)f(x)f(x), posso analisar as afirmações visualmente.
· I. O ponto x=4x = 4x=4 corresponde a um valor máximo local de fff: Observando o gráfico, em x=4x = 4x=4 há um pico local, ou seja, é um ponto onde a função atinge um valor maior do que os pontos próximos. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
· II. O ponto x=4x = 4x=4 corresponde a um valor máximo global de fff: Embora seja um máximo local, o valor da função em x=4x = 4x=4 não é o maior valor em todo o domínio da função. Há um valor maior em torno de x=6x = 6x=6. Logo, essa afirmação é falsa.
· III. O ponto x=2x = 2x=2 corresponde a um valor mínimo local de fff: Em x=2x = 2x=2, o gráfico apresenta um vale local, ou seja, o valor da função é menor do que os valores em torno desse ponto. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
· IV. O ponto x=2x = 2x=2 corresponde a um valor mínimo global de fff: O gráfico indica que o ponto em x=2x = 2x=2 é o menor valor da função em todo o domínio [0,7). Logo, essa afirmação também é verdadeira.
Conclusão:
As afirmações corretas são I, III e IV.
Resposta correta: alternativa e) I, III e IV.
2)
Um problema de otimização é aquele onde se procura determinar os valores extremos de uma função. Sabendo disso analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) Para resolver um problema de otimização usa-se exclusivamente o teste da primeira derivada.
( ) Um dos passos que podem ser empregados para a resolução de situações-problema de otimização refere-se a fazer um diagrama.
( ) Os problemas de otimização referem-se exclusivamente a aplicação da regra de l'Hospital.
Assinale a alternativa que contenha a sequência correta.
Alternativas:
· a) F - V - V.
· b) F - V - F.
· c) V - V - F.
· d) V - F - F.
· e) V - V - V.
Vamos analisar cada uma das afirmações:
1. "Para resolver um problema de otimização usa-se exclusivamente o teste da primeira derivada."
· Falsa. O teste da primeira derivada é uma técnica comum para encontrar máximos e mínimos locais, mas não é o único método. Existem também o teste da segunda derivada, o uso de condições de contorno, além de outros métodos de otimização, como o método de Lagrange para problemas com restrições.
2. "Um dos passos que podem ser empregados para a resolução de situações-problema de otimização refere-se a fazer um diagrama."
· Verdadeira. Fazer um diagrama ou gráfico ajuda a visualizar a situação, o comportamento da função e facilita a análise para determinar os extremos da função.
3. "Os problemas de otimização referem-se exclusivamente à aplicação da regra de l'Hospital."
· Falsa. A regra de l'Hospital é usada para resolver limites indeterminados e não é uma técnica de otimização. A otimização envolve técnicas derivadas de cálculo diferencial para encontrar máximos e mínimos, e não está restrita ao uso da regra de l'Hospital.
Conclusão:
A sequência correta é F - V - F.
Resposta: alternativa b) F - V - F.
3)
Uma função exponencial da forma f(x) = ex tem a propriedade de ser sua própria derivada, ou seja, f'(x) = ex.
Mediante essa informação, e os conhecimentos sobre as regras de derivação, considere a função:
g(x) = ex(x2 - x)
Assinale a alternativa que forneça a derivada de 1ª ordem da função g(x).
Alternativas:
· a) g'(x) = ex.
· b) g'(x) = (x2 - x)e2x.
· c) g'(x) = (x2 - x)e2x-1.
· d) g'(x) = (x2 + x - 1)ex.
· e) g'(x) = e2x - 1.
Para encontrar a derivada de g(x)=ex(x2−x)g(x) = e^x(x^2 - x)g(x)=ex(x2−x), devemos aplicar a regra do produto, já que a função é o produto de exe^xex com x2−xx^2 - xx2−x. A regra do produto nos diz que a derivada de f(x)⋅h(x)f(x) \cdot h(x)f(x)⋅h(x) é dada por:
(f⋅h)′=f′(x)⋅h(x)+f(x)⋅h′(x)(f \cdot h)' = f'(x) \cdot h(x) + f(x) \cdot h'(x)(f⋅h)′=f′(x)⋅h(x)+f(x)⋅h′(x)
Neste caso, temos:
· f(x)=exf(x) = e^xf(x)=ex e h(x)=x2−xh(x) = x^2 - xh(x)=x2−x.
· A derivada de f(x)=exf(x) = e^xf(x)=ex é f′(x)=exf'(x) = e^xf′(x)=ex, porque exe^xex é sua própria derivada.
· A derivada de h(x)=x2−xh(x) = x^2 - xh(x)=x2−x é h′(x)=2x−1h'(x) = 2x - 1h′(x)=2x−1, usando a regra da potência.
Agora aplicamos a regra do produto:
g′(x)=ex⋅(x2−x)′+(x2−x)⋅exg'(x) = e^x \cdot (x^2 - x)' + (x^2 - x) \cdot e^xg′(x)=ex⋅(x2−x)′+(x2−x)⋅ex
Substituindo h′(x)=2x−1h'(x) = 2x - 1h′(x)=2x−1:
g′(x)=ex⋅(2x−1)+(x2−x)⋅exg'(x) = e^x \cdot (2x - 1) + (x^2 - x) \cdot e^xg′(x)=ex⋅(2x−1)+(x2−x)⋅ex
Podemos colocar exe^xex em evidência:
g′(x)=ex((2x−1)+(x2−x))g'(x) = e^x \left( (2x - 1) + (x^2 - x) \right)g′(x)=ex((2x−1)+(x2−x))
Simplificando o que está dentro dos parênteses:
g′(x)=ex(x2+x−1)g'(x) = e^x \left( x^2 + x - 1 \right)g′(x)=ex(x2+x−1)
Portanto, a derivada de g(x)g(x)g(x) é:
g′(x)=(x2+x−1)exg'(x) = (x^2 + x - 1) e^xg′(x)=(x2+x−1)ex
Resposta correta:
d) g′(x)=(x2+x−1)exg'(x) = (x^2 + x - 1) e^xg′(x)=(x2+x−1)ex.
4)
Uma das maneiras de obter a derivada de uma função é pela definição. Porém, dependendo da função, esse processo pode ser bastante longo e complexo. Em contrapartida, existem regras de derivação que facilitam todo esse processo.
Com base nas regras de derivação, analise a função a seguir:
f(x) = cos(x) + ex + 3
Assinale a alternativa que indica a derivada de 1ª ordem da função f:
Alternativas:
· a) f'(x) = cos2(x) + ex.
· b) f'(x) = -sen2(x) + ex.
· c) f'(x) = cos(x) + ex.
· d) f'(x) = -sen(x) - ex.
· e) f'(x) = -sen(x) + ex.
Para derivar a função f(x)=cos⁡(x)+ex+3f(x) = \cos(x) + e^x + 3f(x)=cos(x)+ex+3, usamos as regras básicas de derivação para cada termo:
1. A derivada de cos⁡(x)\cos(x)cos(x) é −sin⁡(x)-\sin(x)−sin(x).
2. A derivada de exe^xex é exe^xex, já que exe^xex é sua própria derivada.
3. A derivada de uma constante, como 333, é zero.
Agora, aplicando as derivadas:
f′(x)=−sin⁡(x)+ex+0f'(x) = -\sin(x) + e^x + 0f′(x)=−sin(x)+ex+0
Simplificando:
f′(x)=−sin⁡(x)+exf'(x) = -\sin(x) + e^xf′(x)=−sin(x)+ex
Resposta correta:
e) f′(x)=−sin⁡(x)+exf'(x) = -\sin(x) + e^xf′(x)=−sin(x)+ex.
5)
Analise as funções descritas a seguir:
Em relação às funções apresentadas e com base nas regras de derivação, julgue as afirmativas a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) Para determinar a derivada da função f é necessário empregar apenas as seguintes regras de derivação: soma, multiplicação por escalar e constante.
( ) Para determinar a derivada da função g é necessário empregar apenas as seguintes regras de derivação: cadeia, soma e quociente.
( ) Para determinar a derivada da função h é necessário empregar apenas as seguintes regras de derivação: cadeia, produto, potência e soma.
( ) Para determinar a derivada da função k é necessário empregar apenas as seguintes regras de derivação: produto, potência e multiplicação por escalar.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Alternativas:
· a) V - V - F - F.
· b) V - F - V - F.
· c) V - V - F - V.
· d) F - V - F - V.
· e) F - F - V - V.
Vamos analisar as funções dadas e verificar quais regras de derivação são necessárias para cada uma delas:
1. Função f(x)=x(2x+1)7f(x) = x(2x + 1)^7f(x)=x(2x+1)7
Para derivar essa função, precisamos usar:
· Regra do produto (pois temos o produto de xxx e (2x+1)7(2x + 1)^7(2x+1)7).
· Regra da cadeia (para derivar (2x+1)7(2x + 1)^7(2x+1)7, uma função composta).
Portanto, a afirmativa que diz que só precisa de soma, multiplicação por escalar e constante é falsa.
2. Função g(x)=x2+13x+2g(x) = \frac{x^2 + 1}{3x + 2}g(x)=3x+2x2+1​
Para derivar essa função, precisamos usar:
· Regra do quociente (pois temos uma fração).
· Regra da soma (na derivada do numerador e do denominador).
Não é necessáriousar a regra da cadeia, pois não há funções compostas dentro de x2+1x^2 + 1x2+1 ou 3x+23x + 23x+2. Portanto, essa afirmativa é falsa.
3. Função h(x)=xe−x+e3xh(x) = x e^{-x} + e^{3x}h(x)=xe−x+e3x
Para derivar essa função, precisamos usar:
· Regra do produto (no termo xe−xx e^{-x}xe−x).
· Regra da cadeia (para derivar e−xe^{-x}e−x e e3xe^{3x}e3x).
· Regra da soma.
Portanto, essa afirmativa é verdadeira.
4. Função k(x)=2x2xk(x) = 2x^2 \sqrt{x}k(x)=2x2x​
Para derivar essa função, precisamos usar:
· Regra do produto (temos 2x22x^22x2 multiplicado por x\sqrt{x}x​).
· Regra da potência (para derivar x2x^2x2 e x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2}x​=x1/2).
· Multiplicação por escalar (o fator 2 é uma constante multiplicativa).
Portanto, essa afirmativa é verdadeira.
Conclusão:
A sequência correta é F - F - V - V.
Resposta: e) F - F - V - V.
 
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