EDO- HORA DA MORTE

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UNIVERSADE ESTADUAL PAULISTA
Júlio de Mesquita Filho – Campus Guaratinguetá
TRABALHO CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – I
Equações Diferenciais Ordinárias
Aplicações de E.D.O
Determinação da hora da morte 
Camila Federice
Jaqueline Crepaldi 
Nathaly Shearer 
Guaratinguetá 
2015
Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
	Se uma equação envolvendo derivadas depender de apenas uma variável, como o exemplo, então ela será classificada como EDO.
				y’+ p(x)y = q(x) 
onde: 
 ou y’ representa a diferencial ;
p(x) e q(x) são funções continuas num intervalo I. 
	Se uma equação depender de duas ou mais variáveis, a equação é dita parcial. 
				
	A ordem de uma EDO mostra o número de constantes arbitrarias que a solução terá. Por exemplo, derivadas de primeira ordem tem apenas uma constante, se segunda ordem, duas e assim por diante. 
Como resolver uma EDO 
	Para a determinação da hora da morte, será utilizada uma equação diferencial de variável separável. 
	Uma equação de variável separável é uma equação de primeira ordem e primeiro grau, na qual a expressão para pode ser fatorada como uma função de x vezes uma função de y. Ou seja: 
			 ou M+ N =0 
	Devemos ter, para tanto, que as funções sejam continuas em todo o intervalo.
	Tendo , fazemos 
	Para extrair as soluções, basta integrar amos os lados e com isso y será definido em relação à x implicitamente.
				 
Lei de variação de temperatura de Newton 
	Em muitos casos, pessoas vão a óbito sem que haja testemunhas ou alguém pudesse ajuda-la. Quando se trata de crime ou acidente, e na busca da elucidação do acontecido é possível determinar o instante da morte do indivíduo, através de alguns aparatos. 
	Um deles é a Lei do resfriamento de Newton, que permite saber o tempo de morte da pessoa. Para esse procedimento é necessário considerar a temperatura do corpo como Ө(t) e T a temperatura ambiente. 
	A lei de variação da temperatura de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente. Então, a taxa de variação da temperatura do corpo pode ser formulada por: , onde k é uma constante positiva de proporcionalidade. 
	Porém, para ser possível aplicar esse método, é necessário avaliar em quais ambientes é possível desenvolver a teoria de Newton, e quais são os equipamentos utilizados para medir as temperaturas. 
	É possível calcular o instante da morte de uma pessoa utilizando a Lei de Variação de temperatura de Newton obtendo as temperaturas necessárias com um termômetro digital, que é ideal para se obter a temperatura ambiente e através do reto do cadáver.
	Quando o cadáver perdeu muito sangue, se sua morte foi devido à ingestão de veneno ou se já se passou muito tempo após o óbito, há restrições quanto a aplicação desse teorema. 	
		
Métodos para determinar o instante da morte de uma pessoa
	Alguns dos aparatos utilizados para determinar a hora da morte em series de televisão ou em filmes referem-se a fenômenos cadavéricos vitais negativos, quando fica evidente a falta de vida, ou seja, quando apresenta inconsciência, insensibilidade, imobilização, baixa temperatura, ausência de respiração e de circulação e fenômeno cadavérico transformativo, como a putrefação que modifica a característica do corpo.
	A temperatura normal de uma pessoa é mantida através de um equilíbrio direto entre o metabolismo corpóreo e a temperatura ambiente (sudorese, tremor por exemplo). Quando uma pessoa morre, a temperatura do corpo tende a cair até se igualar com a temperatura ambiente, frigor mortis. Esse resfriamento acontece de forma diferente dependendo da idade do indivíduo, por exemplo, idosos possuem trocas metabólicas de calor mais lentas enquanto recém-nascidos tendem a resfriar mais rapidamente. 
	Como as extremidades do corpo tendem a esfriar mais rapidamente, para melhor verificar a variação de temperatura do cadáver é necessário media a temperatura através do reto, porque a temperatura interna se mantém constante o suficiente. 
	Pode se considerar a rigidez cadavérica na determinação do tempo de morte. A rigidez cadavérica, ou rigor mortis, é quando o corpo já esta rígido, condição que geralmente acontece de 6 a 12 horas depois da morte da pessoa. 
	
Aplicação do Teorema de Newton 
Exemplos 
	Exemplo 1: Ocorreu um homicídio de um homem de 38 anos, causado por arma de fogo. A polícia chegou às 19h45min e mediu a temperatura do cadáver: 36,3ºC. Às 20h45min o corpo estaca com 35,4ºC. Considere que a temperatura normal de um corpo é 37ºC e a temperatura ambiente era de 30ºC, determine a hora da morte dessa pessoa utilizando E.D.O.
	Aplicando a integral na equação anterior e utilizando como intervalos de integração as temperaturas do corpo medidas e o intervalo das medições, e para T a temperatura ambiente, temos:
				
				ln((t)-30) = -kt 
				ln 5,4- ln 6,3 = -k 
				k= 0,15415068
	Encontrando k e substituindo seu valor, as variações de temperatura sendo o limite inferior a temperatura de um corpo vivo, e o superior a temperatura com que o corpo foi encontrado, e tempo, tem-se: 
				
				ln((t)-30) = -kt 
				ln 6,3 – ln7 = -k (-t) 
				t = - 0,683490439 horas	
	Com isso podemos fazer uma linha do tempo, sendo tx a hora da morte, to a hora da chegada dos peritos e t1 instante após a chegada dos peritos. 
		tx ------------------------- to -------------------------- t1
 hora da morte	 19h45min 20h45min 
	O sinal negativo do resultado encontrado em t indica que o tempo de morte ocorreu antes das 19h45min, momento da chegada dos peritos. Logo, deve-se encontrar t em minutos, que é igual a 41 minutos antes da chegada dos peritos. Podendo concluir que a pessoa faleceu por volta das 19h04min. 
	Exemplo 2: Supondo que um cadáver foi encontrado num quarto de motel à meia noite com temperatura de 28ºC. Após duas horas a temperatura do cadáver era de 26,5ºC. A temperatura ambiente era de 22ºC. Sabendo que a temperatura do cadáver segue a Lei de Refrigeração de Newton, determine a provável hora da morte. 
	Aplicando a integral na equação anterior e utilizando como intervalos de integração as temperaturas do corpo medidas e o intervalo das medições, e para T a temperatura ambiente, temos:
				
				ln((t)-22) = -kt 
				ln 4,5 - ln 6 = -2k 
				k= 0,143841
	Encontrando k e substituindo seu valor, as variações de temperatura sendo o limite inferior a temperatura de um corpo vivo, e o superior a temperatura com que o corpo foi encontrado, assim como o intervalo de tempos das medições, tem-se:
				
				ln((t)-22) = -kt 
				ln 6 – ln 15 = kt
				t = - 6,3701 horas	
	O sinal negativo do resultado encontrado em t indica que o tempo de morte ocorreu antes da 00h, momento da chegada dos peritos. Ou seja, o crime ocorreu por volta das 18h.