Conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea correspondente a xy′′ − (1 + x)y′ + y = x2e2x, x > 0, e, encontre a solução geral da EDO dad...

A equação diferencial homogênea correspondente a xy′′ − (1 + x)y′ + y = 0 pode ser resolvida usando o método da equação característica. A equação característica é dada por r(r-1) - (1+x)r + 1 = 0. Resolvendo para r, temos r1 = 1 e r2 = 1/x. Portanto, o conjunto fundamental de soluções é dado por y1(x) = x e y2(x) = 1/x. Para encontrar a solução geral da equação diferencial dada, podemos usar o método da variação dos parâmetros. Assumimos que a solução geral é da forma y(x) = u(x)y1(x) + v(x)y2(x), onde u(x) e v(x) são funções a serem determinadas. Substituindo na equação diferencial, obtemos as seguintes equações para u(x) e v(x): u'(x)y1(x) + v'(x)y2(x) = 0 e u'(x)y1'(x) + v'(x)y2'(x) = x^2e^(2x) Resolvendo para u'(x) e v'(x), temos: u'(x) = -y2(x)/(y1(x)y2'(x) - y1'(x)y2(x)) * x^2e^(2x) e v'(x) = y1(x)/(y1(x)y2'(x) - y1'(x)y2(x)) * x^2e^(2x) Integrando u'(x) e v'(x), obtemos u(x) e v(x), respectivamente. Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por y(x) = c1x + c2/x + (1/2)x^2e^(2x), onde c1 e c2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.