04 Teoria dos Conjuntos

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Teoria dos Conjuntos 
Teoria dos conjuntos ou de conjuntos é o ramo da lógica matemática que estuda conjuntos, que (infor-
malmente) são coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um 
conjunto, a teoria dos conjuntos é, em geral, investigada com elementos que são relevantes para os 
fundamentos da matemática. 
O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantor e Richard Dedekind em 1870. 
Após a descoberta de paradoxos na teoria ingênua dos conjuntos (i.e. sem formalização precisa), nu-
merosos sistemas axiomáticos foram propostos no início do século XX, dos quais a teoria dos conjun-
tos de Zermelo-Fraenkel, com ou sem o axioma da escolha, são os mais conhecidos e estudados. 
A teoria dos conjuntos é comumente empregada como um sistema precursor da matemática, particu-
larmente na forma de teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha. Além de 
seu papel fundamental, a teoria dos conjuntos é um ramo da matemática em si própria, com uma co-
munidade de pesquisa ativa. Pesquisas contemporâneas em teoria dos conjuntos incluem uma diversa 
coleção de temas, variando da estrutura da reta dos números reais ao estudo da consistência de gran-
des cardinais. 
 
Um diagrama de Venn ilustrando a interseção de dois conjuntos. 
Temas matemáticos geralmente surgem e evoluem através de interações entre muitos pesquisadores. 
Teoria dos conjuntos, no entanto, foi fundada por um único artigo de 1874, por Georg Cantor: "A res-
peito de uma propriedade característica de todos os números algébricos reais". 
Desde o século V a.C., começando com o matemático grego Zenão de Eleia no ocidente e os primei-
ros matemáticos indianos no oriente, os matemáticos têm se debatido com o conceito de infinito. Es-
pecialmente notável é o trabalho de Bernard Bolzano na primeira metade do século XIX. 
A compreensão moderna do conceito de infinito começou em 1867–1871, com os trabalhos de Cantor 
em teoria dos números, teoria das funções e séries trigonométricas. Um encontro em 1872 entre Can-
tor e Richard Dedekind influenciou o pensamento de Cantor e culminou no artigo de Cantor 1874. 
O trabalho de Cantor inicialmente dividiu os matemáticos de sua época. Enquanto Karl Weierstrass e 
Dedekind apoiavam Cantor, Leopold Kronecker, hoje visto como um dos fundadores do construtivismo 
matemático, era contra. 
A teoria dos conjuntos cantoriana, afinal, tornou-se amplamente difundida, devido à utilidade dos con-
ceitos cantorianos, tais como correspondência um-para-um entre conjuntos, sua prova de que há 
mais números reais que inteiros, e a "infinidade de infinitos" ("paraíso de Cantor") que a operação con-
junto das partes dá origem. 
A utilidade da teoria dos conjuntos desembocou em 1898 no artigo "Mengenlehre" de Arthur Schoen-
flies para a Enciclopédia de Ciências Matemáticas organizada por Felix Klein e Wilhelm Franz Meyer. 
A onda de entusiasmo seguinte na teoria dos conjuntos chegou por volta de 1900, quando foi desco-
berto que algumas interpretações da teoria dos conjuntos Cantoriana dava origem a várias contradi-
ções, chamadas antinomias ou paradoxos. Bertrand Russell e Ernst Zermelo encontraram o mais sim-
ples e mais conhecido paradoxo, hoje chamado paradoxo de Russell: considere "o conjunto de todos 
os conjuntos que não são membros de si mesmos". 
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Isto leva a uma contradição, uma vez que ele deve ser e não ser um membro de si mesmo. Em 1899, 
Cantor se questionou: "qual é o número cardinal do conjunto de todos os conjuntos?" e obteve um 
paradoxo relacionado. Russell usou seu paradoxo como tema em sua revisão de 1903 da matemática 
continental em seu livro "Os Princípios da Matemática" (não confundir com o Principia Mathematica). 
A força da teoria dos conjuntos foi tal que o debate sobre os paradoxos não a levou ao abandono. O 
trabalho de Zermelo em 1908 e Abraham Fraenkel e Thoralf Skolem em 1922 resultou na canônica te-
oria axiomática dos conjuntos ZFC. O trabalho de analistas, como Henri Lebesgue, demonstrou a 
grande utilidade matemática da teoria dos conjuntos. Essa teoria é comumente usada como funda-
mento, embora em algumas áreas - como a geometria algébrica e a topologia algébrica - a teoria das 
categorias seja considerada uma base preferencial. 
Conceitos básicos 
Teoria dos conjuntos começa com uma fundamental relação binária entre um objeto o e um conjunto A. 
Se o é um membro (ou elemento) de A, escreve-se o ∈ A. Uma vez que conjuntos são objetos, a rela-
ção de pertinência também pode relacionar conjuntos. 
Um conjunto é descrito listando seus elementos separados por vírgula ou através de alguma proprie-
dade que determine seus elementos. 
Se todos os elementos do conjunto A também são elementos do conjunto B, então A é um subcon-
junto de B, denotado por A ⊆ B. Por exemplo, {1,2} é um subconjunto de {1,2,3}, mas {1,4} não é. 
A partir desta definição, é evidente que um conjunto é um subconjunto de si mesmo; nos casos em que 
se deseja evitar isso, o termo subconjunto próprio é definido para excluir esta possibilidade. Note que 
{1} é subconjunto, e não elemento, de {1,2,3}; note também que 1 é membro, e não subconjunto, de 
{1,2,3}. 
Assim como a aritmética caracteriza operações binárias sobre números, a teoria dos conjuntos carac-
teriza operações binárias sobre conjuntos. Uma lista parcial de tais relações: 
União dos conjuntos A e B, denotada por A ∪ B, é o conjunto de todos os objetos que são membros 
de A, ou B, ou ambos. A união de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {1, 2, 3, 4}. 
Interseção dos conjuntos A e B, denotada por A ∩ B, é o conjunto de todos os objetos que são mem-
bros de ambos A e B. A interseção de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {2, 3}. 
Diferença de conjuntos de U e A, denotada por U \ A é o conjunto de todos os membros de U que não 
são membros de A. A diferença de conjuntos {1,2,3} \ {2,3,4} é {1}, enquanto a diferença de conjuntos 
{2,3,4} \ {1,2,3} é {4}. Quando A é um subconjunto de U, a diferença dos conjuntos U \ A é também 
chamada de complemento de A em U. 
Neste caso, se a escolha de U é clara a partir do contexto, a notação Ac é algumas vezes usada no 
lugar de U \ A, particularmente se U é um conjunto universo como no estudo de diagramas de Venn. 
Diferença simétrica dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os objetos que são membros de exata-
mente um de A e B (elementos que estão em um dos conjuntos, mas não em ambos). Por exemplo, 
para os conjuntos {1,2,3} e {2,3,4}, o conjunto diferença simétrica é {1,4}. É o conjunto diferença da 
união e da interseção, (A ∪ B) \ (A ∩ B). 
Produto cartesiano de A e B, denotada por A × B, é o conjunto cujos membros são todos os possí-
veis pares ordenados (a,b) onde a é um membro de A e b é um membro de B. 
Conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto cujos membros são todos os possíveis subconjun-
tos de A. Por exemplo, o conjunto das partes de {1, 2} é {{}, {1}, {2}, {1,2}}. 
Alguns conjuntos básicos de importância central são o conjunto vazio (o único conjunto que não contém 
elementos), o conjunto de números naturais, e o conjunto de números reais. 
Um pouco de ontologia 
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Um conjunto é puro se todos os seus membros são conjuntos, todos os membros de seus membros 
são conjuntos, e assim por diante. Por exemplo, o conjunto {{}} contendo apenas o conjunto vazio é um 
conjunto puro não vazio. 
Na teoria dos conjuntos moderna, é comum restringir a atenção para o universo de von Neumann de 
conjuntos puros, e muitos sistemas da teoria axiomática dos conjuntos são projetados para axiomatizar 
apenas os conjuntos puros. 
Há muitas vantagens técnicas com esta restrição, e pequena generalidade é perdida, uma vez que, 
essencialmente, todos os conceitos matemáticos podem ser modelados por conjuntos puros. Conjuntos 
no universo de von Neumannsão organizados em uma hierarquia cumulativa, com base em quão pro-
fundamente seus membros, os membros de membros, etc, são aninhados. 
A cada conjunto nesta hierarquia é atribuído (por recursão transfinita) um número ordinal a, conhecido 
como a sua 'classe'. A classe de um conjunto puro X é definida como sendo uma mais do que o menor 
limitante superior das classes de todos os membros de X. 
Por exemplo, ao conjunto vazio é atribuída a classe 0, enquanto ao conjunto {{}} contendo somente o 
conjunto vazio é atribuída classe 1. Para cada a, o conjunto é definido como consistindo em todos 
os conjuntos puros com classe menor que a. O universo de von Neumann como um todo é denotado 
por V. 
Teoria axiomática dos conjuntos 
Teoria elementar dos conjuntos pode ser estudada de maneira informal e intuitiva, e por isso pode ser 
ensinada nas escolas primárias usando, por exemplo, diagramas de Venn. A abordagem intuitiva pres-
supõe que um conjunto pode ser formado a partir da classe de todos os objetos que satisfaçam qual-
quer condição particular de definição. 
Esta suposição dá origem a paradoxos, os mais simples e mais conhecidos dos quais são o paradoxo 
de Russell e o paradoxo de Burali-Forti. A teoria axiomática dos conjuntos foi originalmente concebida 
para livrar a teoria dos conjuntos de tais paradoxos. 
Os sistemas mais amplamente estudados da teoria axiomática dos conjuntos implicam que todos os 
conjuntos formam uma hierarquia cumulativa. Tais sistemas vêm em dois sabores, aqueles cuja onto-
logia consiste de: 
Conjuntos sozinhos. Estes incluem a mais comum teoria axiomática dos conjuntos, teoria dos conjuntos 
de Zermelo-Fraenkel (ZFC) com o axioma da escolha. Fragmentos da ZFC incluem: 
Teoria de conjuntos de Zermelo, que substitui o esquema de axiomas da substituição com o da sepa-
ração; 
Teoria geral dos conjuntos, um pequeno fragmento da teoria de conjuntos de Zermelo suficiente para 
os axiomas de Peano e conjuntos finitos; 
Teoria dos conjuntos de Kripke-Platek, que omite os axiomas da infinitude, conjunto das partes, e es-
colha, e enfraquece os esquemas de axiomas da separação e substituição. 
Conjuntos e classes próprias. Estes incluem a teoria dos conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel, 
que tem a mesma força que ZFC para teoremas sobre conjuntos sozinhos, e ambas as teoria dos con-
juntos de Morse-Kelley e teoria dos connjuntos de Tarski-Grothendieck, que são mais fortes do que a 
ZFC. 
Os sistemas acima podem ser modificados para permitirem urelementos, objetos que podem ser mem-
bros de conjuntos, mas que não são eles próprios conjuntos e não tem nenhum membro. 
Os sistemas de Novos Fundamentos NFU (permitindo urelementos) e NF (faltando eles) não são ba-
seadas em uma hierarquia cumulativa. NF e NFU incluem um "conjunto de tudo", em relação a qual 
cada conjunto tem um complemento. Nestes sistemas os urelementos importam, porque NF, mas não 
NFU, produz conjuntos para os quais o axioma da escolha não se verifica. 
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Sistemas da teoria dos conjuntos construtiva, como CST, CZF e IZF, firmam seus conjuntos de axiomas 
na lógica intuicionista em vez da lógica clássica. No entanto, outros sistemas admitem por padrão a 
lógica clássica, mas apresentam uma relação de pertencimento não padrão. Estes incluem a teoria dos 
conjuntos aproximados e a lógica difusa, na qual o valor de uma fórmula atômica incorporando a rela-
ção de filiação não é simplesmente Verdadeiro ou Falso. Os modelos boolianos valorados de ZFC são 
um assunto relacionado. 
Um enriquecimento do ZFC chamado teoria interna dos conjuntos foi proposto por Edward Nelson em 
1977. 
Áreas de estudo 
A teoria dos conjuntos é a principal área de pesquisa na matemática, com muitas subáreas inter-rela-
cionados. Ademais, a teoria dos conjuntos é mais do que simplesmente descrever conjuntos. Do 
mesmo modo como, na aritmética, é possível aprender a aplicar operações aritméticas a números, por 
exemplo, adição ou multiplicação, também é possível definir operações teóricas de conjuntos que ge-
rem novos conjuntos a partir de determinados conjuntos. Exemplificando, as uniões {1, 2} e {2, 3, 4} 
tornam-se {1, 2, 3, 4}; as interseções {1, 2} e {2, 3, 4} tornam-se {2}. Também há a possibilidade de 
formar Conjuntos de partes, ou seja, a família de todos os subconjuntos de um conjunto. 
Teoria dos conjuntos combinatória 
A teoria dos conjuntos combinatória preocupa-se com extensões da combinatória finita para conjuntos 
infinitos. Isto inclui o estudo da aritmética de cardinais e o estudo de extensões do teorema de 
Ramsey tais como o teorema de Erdos-Rado. 
Teoria descritiva dos conjuntos 
Teoria descritiva dos conjuntos é o estudo de subconjuntos da reta real e dos subconjuntos dos espa-
ços poloneses. Ela começa com o estudo das pointclasses na hierarquia de Borel e se estende ao es-
tudo de hierarquias mais complexas, como a hierarquia projetiva e a hierarquia de Wadge. 
Muitas propriedades dos conjuntos de Borel podem ser estabelecidas em ZFC, mas a prova de que 
essas propriedades se verificam para conjuntos mais complicados requer axiomas adicionais relacio-
nados com determinismo e grandes cardinais. 
O campo da teoria descritiva dos conjuntos efetiva está entre a teoria dos conjuntos e a teoria da re-
cursão. Ele inclui o estudo de lightface pointclasses, e está intimamente relacionado com a teoria hipe-
raritmética. Em muitos casos, os resultados da teoria descritiva dos conjuntos clássica têm versões 
efetivas; em alguns casos, novos resultados são obtidos provando pela versão efetiva primeiro e depois 
estendendo-os ("relativizando-os") para torná-la mais amplamente aplicáveis. 
Uma área recente de pesquisa diz respeito a relações de equivalência de Borel e relações de equiva-
lência decidíveis mais complicadas. Isto tem importantes aplicações para o estudo de invariantes em 
muitos campos da matemática. 
Teoria dos conjuntos nebulosos 
Na teoria dos conjuntos como Cantor definiu e Zermelo e Fraenkel axiomatizaram, um objeto ou é um 
membro de um conjunto ou não. Na teoria dos conjuntos fuzzy esta condição foi relaxada, e desta 
forma um objeto tem um grau de pertinência em um conjunto, como número entre 0 e 1. Por exemplo, 
o grau de pertinência de uma pessoa no conjunto de "pessoas altas" é mais flexível do que uma simples 
resposta "sim" ou "não" e pode ser um número real, tal como 0,75. 
Conjuntos fuzzy foram introduzidos simultaneamente por Lotfi A. Zadeh e Dieter Klaua em 1965 como 
uma extensão da noção clássica de conjunto. Na teoria dos conjuntos clássica, a associação de ele-
mentos em um conjunto é avaliada em termos binários de acordo com uma condição bivalente - um 
elemento ou pertence ou não pertence ao conjunto. 
Por outro lado, a teoria dos conjuntos fuzzy permite a avaliação gradual da participação de elementos 
em um conjunto, o que é descrito com a ajuda de uma função de pertinência valorada no intervalo 
unitário real [0, 1]. 
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Conjuntos fuzzy generalizam conjuntos clássicos, visto que as funções indicadoras de conjuntos clás-
sicos são casos especiais das funções de pertinência de conjuntos fuzzy, se estes só podem tomar os 
valores 0 ou 1. Na teoria dos conjuntos fuzzy, conjuntos clássicos bivalentes são geralmente chamados 
conjuntos crisp. A teoria dos conjuntos fuzzy pode ser usada em uma ampla variedade de áreas em 
que a informação é incompleta ou imprecisa, como na bioinformática. 
Conjunto de partes 
A família de todos os subconjuntos de um conjunto dado A, é chamado de conjunto de partes (ou con-
junto potência ) de A, denotado por . 
Teoria do modelo interno 
Um modelo interno da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) é uma classe transitiva que inclui 
todos os ordinais e satisfaz todos os axiomas de ZF. O exemplo canônico é o Universo construível L de-
senvolvido por Gödel. Uma das razões que torna o estudo de modelosinternos interessante é que ele 
pode ser usado para provar resultados de consistência. 
Por exemplo, pode-se mostrar que, independentemente se um modelo V da ZF satisfaz a hipótese do 
continuum ou o axioma da escolha, o modelo interno L construído dentro do modelo original irá satis-
fazer tanto a hipótese do continuum generalizada quanto o axioma da escolha. Assim, a suposição de 
que ZF é consistente (tem qualquer modelo que seja) implica que ZF juntamente com estes dois prin-
cípios é consistente. 
O estudo de modelos de interior é comum no estudo do determinismo e grandes cardinais, especial-
mente quando se considera axiomas que contradizem o axioma da escolha. Mesmo que um modelo 
fixo da teoria dos conjuntos satisfaz o axioma da escolha, é possível que um modelo interno falhe em 
satisfazer o axioma da escolha. 
Por exemplo, a existência de cardinais suficientemente grandes implica que há um modelo interno sa-
tisfazendo o axioma do determinismo (e, portanto, não satisfazendo o axioma da escolha). 
Grandes cardinais 
Um grande cardinal é um número cardinal transfinito cujo caráter de "muito grande" está dado por uma 
propriedade extra, denominada propriedade de grande cardinal. Muitas destas propriedades são parti-
cularmente estudadas, incluindo cardinais inacessíveis, cardinais mensuráveis, cardinais compactos, 
entre outras. A existência de um cardinal com uma dessas propriedades não pode ser demonstrada na 
teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, ZF, se ZF é consistente. 
Determinismo 
Determinismo refere-se ao fato de que, sob os pressupostos adequados, certos dois jogadores são 
determinados desde o início no sentido de que um jogador deve ter uma estratégia vencedora. A exis-
tência dessas estratégias tem conseqüências importantes na teoria descritiva dos conjuntos, como a 
suposição de que uma classe mais ampla de jogos ser determinada muitas vezes implica que uma 
classe mais ampla de conjuntos possui uma propriedade topológica. 
O axioma do determinismo (AD) é um importante objeto de estudo, embora incompatível com o axioma 
da escolha, AD implica que todos os subconjuntos da reta real são bem comportados (em particular, 
mensuráveis e com a propriedade de conjunto perfeito). AD pode ser usado para provar que os graus 
de Wadge têm uma estrutura alinhada. 
Forçamento 
Paul Cohen inventou o método de forçamento enquanto procura por um modelo de ZFC em que o axi-
oma da escolha ou a hipótese do continuum falhe. Forçando a adição de conjuntos adicionais a algum 
determinado modelo da teoria dos conjuntos de modo a criar um modelo maior, com propriedades 
determinadas (isto é "forçadas") pelo modelo original e pela construção. 
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Por exemplo, a construção de Cohen uniu subconjuntos adicionais dos números naturais sem mudar 
qualquer dos números cardinais do modelo original. Forçamento é também um dos dois métodos para 
provar consistência relativa por métodos finitístico, sendo o outro os modelos de valores Booleanos. 
Invariantes cardinais 
Invariante cardinal é uma propriedade da reta real medida por um número cardinal. Por exemplo, uma 
invariante bem estudado é a menor cardinalidade de uma coleção de conjuntos magros de reais cuja 
união é toda a reta real. Estes são invariantes no sentido de que quaisquer dois modelos da teoria dos 
conjuntos isomorfos devem dar o mesmo cardinal para cada invariante. Muitos invariantes cardinais 
foram estudados, e as relações entre eles são muitas vezes complexas e relacionadas com os axiomas 
da teoria dos conjuntos. 
Topologia 
Topologia estuda questões de topologia geral que são de teoria dos conjuntos em sua natureza ou que 
requerem métodos avançados da teoria dos conjuntos para sua solução. Muitos desses teoremas são 
independentes de ZFC, exigindo axiomas mais fortes para a sua prova. Um famoso problema é o pro-
blema do espaço de Moore, uma questão na topologia geral que foi objeto de intensa pesquisa. A 
resposta para este problema acabou por ser provada ser independente de ZFC. 
Objeções à teoria dos conjuntos como fundamento para a matemática 
Desde o início da teoria dos conjuntos, alguns matemáticos se opuseram a ela como um fundamento 
para a matemática, argumentando, por exemplo, que é apenas um jogo que inclui elementos de fanta-
sia. A objeção mais comum à teoria dos conjuntos, um manifesto de Kronecker dos primeiros anos da 
teoria dos conjuntos, começou a partir da visão construtivista de que a matemática é vagamente rela-
cionada à computação. 
Se este ponto de vista for admitido, então o tratamento de conjuntos infinitos, tanto na teoria ingênua 
dos conjuntos quanto na teoria axiomática dos conjuntos, introduz em matemática métodos e objetos 
que não são computáveis. 
Ludwig Wittgenstein questionou a forma como a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel manipulava 
infinitos. As visões de Wittgenstein sobre os fundamentos da matemática foram mais tarde criticadas 
por Georg Kreisel e Paul Bernays, e minuciosamente investigadas por Crispin Wright, entre outros. 
Teóricos das categorias propuseram a teoria de topos como uma alternativa à tradicional teoria axio-
mática dos conjuntos. A teoria de topos pode interpretar várias alternativas para aquela teoria, tais 
como o construtivismo, a teoria dos conjuntos finitos, e a teoria dos conjuntos computáveis. 
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