Terceira_prova_1S_2013___Gabarito

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Terceira Prova de Eletromagnetismo Básico (EMB) - Gabarito 
1) Questão Relacionada às atividades práticas: (2.0) 
 Em um ensaio de magnetização de um núcleo de ferrite em 60 Hz alguns resultados 
obtidos são sumarizados na tabela abaixo, onde H é o campo magnético máximo e B é a 
indução magnética máxima em cada curva de magnetização (vértice da curva) e wdiss é a 
densidade média de energia dissipada no ciclo de magnetização. O Núcleo é toroidal com 
seção transversal retangular. As dimensões do núcleo são: diâmetro externo 63 mm, 
diâmetro interno 38 mm e altura 25 mm. A magnetização do núcleo foi feita através de 
um enrolamento com 100 espiras. 
H (A/m) B (mT) wdiss (J/m
3) 
7.5 74.8 0.2829 
13.8 150 1.2060 
21.7 224 3.4648 
35.5 294 6.7683 
85.9 356 18.8859 
267 339 81.2218 
 
Com base nestes resultados, calcule: 
a) A permeabilidade magnética relativa máxima do núcleo; 
A permeabilidade relativa no vértice de cada curva de magnetização é calculada a partir da 
relação equivalente para um material linear: r =(B/H)/o. Da Tabela acima obtemos os 
seguintes valores: 
H (A/m) B (mT) r 
7.5 74.8 7,937 
13.8 150 8,650 
21.7 224 8,215 
35.5 294 6,591 
85.9 356 3,298 
267 339 1,010 
 
Portanto, a máxima permeabilidade é r=8,650 e ocorre com campo de 13.8 A/m. 
 
b) A energia total por ciclo e a potência total dissipada no núcleo quando a 
permeabilidade é máxima; 
Do resultado obtido no item anterior concluímos que a energia deve ser calculada para a 
indução de 150 mT. O valor fornecido da densidade de energia dissipada neste caso é 1.2060 
J/m
3
. O volume do núcleo é Vol = 2 m S (onde m é o raio médio e S é a área da seção 
transversal) o que resulta no valor 4.9578 x 10
-5
m
3
. A energia total dissipada no núcleo é, então, 
Wdiss = wdiss Vol = 5.979 x 10
-5
Joules. A potência dissipada nesta situação é obtida dividindo a 
energia por ciclo de histerese pela duração de um ciclo, que é igual ao inverso da frequência do 
campo aplicado. Assim, a potência dissipada no núcleo é Pdiss = Wdiss f = 3.587 x 10
-3
 Watts. 
c) A corrente necessária para magnetizar o núcleo até a condição de máxima 
permeabilidade magnética. 
O campo magnético no raio médio do núcleo é obtido através da lei de Ampere na seguinte 
forma: 
m
NI
H
2


 
Então, fazendo as substituições necessárias obtemos a corrente para produzir o campo de 13.8 
A/m. O valor obtido é 21.9 mA. 
 
2) Nas afirmações a seguir marcar as verdadeiras e corrigir as falsas. (4.0) 
OBS: 1) simplesmente negar uma afirmação incorreta não a torna correta. 2) Responda na 
folha de prova. 
Xa) Existem dois modos de ocorrer indução eletromagnética: 1) o campo magnético varia no 
tempo através de um circuito estacionário. 2) Os condutores do circuito se deslocam em um 
campo magnético estático. 
 
Xb) No caso de um condutor que se desloca em um campo magnético, a força eletromotriz 
por unidade de comprimento é calculada por: dVemf/dL= (u x B)aL , onde u é a velocidade do 
condutor, B é a indução magnética e aL é o vetor unitário na direção do comprimento do 
condutor. 
 
c) Em um dielétrico com perdas sujeito a um campo elétrico que varia senoidalmente no 
tempo a corrente de deslocamento está em fase com a corrente de condução e tem amplitude 
menor. (Errada) 
 
Em um dielétrico com perdas sujeito a um campo elétrico que varia senoidalmente no tempo 
a corrente de deslocamento está adiantada 90o em relação à corrente de condução e tem 
amplitude maior se >. Caso contrário terá amplitude menor. 
 
d) Ondas eletromagnéticas transversais são ondas nas quais os campos elétrico e magnético 
estão orientados na mesma direção perpendicular ao deslocamento da onda. (Errada) 
 
Ondas eletromagnéticas transversais são ondas nas quais os campos elétrico e magnético 
estão orientados em direções perpendiculares ao deslocamento da onda. Os campos sempre 
são perpendiculares entre si. 
 
Xe) Em um meio dissipativo uma onda eletromagnética é atenuada porque o campo elétrico 
realiza trabalho sobre as cargas elétricas que se movimentam produzindo dissipação de 
energia. 
f) Uma onda eletromagnética que se propaga em um meio dissipativo se desloca com 
velocidade independente da frequência e percorre uma distância igual à profundidade de 
penetração () no material até se extinguir totalmente. (Errada) 
 
Uma onda eletromagnética que se propaga em um meio dissipativo se desloca com 
velocidade que aumenta com a frequência e ao percorrer uma distância igual à profundidade 
de penetração () no material sua amplitude se reduz aproximadamente 63%. 
 
 Xg) O fluxo do vetor de Poynting de uma onda eletromagnética através de uma superfície 
fechada é numericamente igual ao negativo da soma da derivada no tempo da energia 
armazenada no volume com a potência dissipada no volume. 
h) Uma onda eletromagnética que se propaga no ar ao incidir em uma interface com um metal 
é totalmente refletida. Se for uma interface com um dielétrico será totalmente transmitida. 
(Errada) 
 
Uma onda eletromagnética que se propaga no ar ao incidir em uma interface com um metal 
é totalmente refletida. Se for uma interface com um dielétrico será parcialmente transmitida 
e parcialmente refletida dependendo das impedâncias dos dois meios. 
 
i) Em uma onda eletromagnética estacionária, os campos elétrico e magnético estão defasados 
de 90o no tempo. Se o coeficiente de reflexão é +1 o primeiro máximo de campo magnético 
ocorre na interface e não há nenhuma onda transmitida. (Errada) 
 
Em uma onda eletromagnética estacionária, os campos elétrico e magnético estão defasados 
de 90o no tempo. Se o coeficiente de reflexão é +1 o primeiro máximo de campo elétrico 
ocorre na interface e a onda transmitida tem máxima amplitude. 
 
j) Se uma onda eletromagnética incide obliquamente em uma interface entre dois dielétricos 
com índices de refração n1 e n2, a onda transmitida terá ângulo de direção maior que ângulo 
de incidência se n1<n2. Se o ângulo de incidência for igual ao ângulo de Brewster não haverá 
onda transmitida. (Errada) 
 
Se uma onda eletromagnética incide obliquamente em uma interface entre dois dielétricos 
com índices de refração n1 e n2, a onda transmitida terá ângulo de direção maior que ângulo 
de incidência se n1>n2. Se o ângulo de incidência for igual ao ângulo de Brewster não haverá 
onda refletida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) A Figura abaixo mostra uma espira circular de raio R de fio condutor de raio rc e 
condutividade  girando com velocidade angular  em um campo magnético estático de 
indução Bo. Calcule a corrente que circula nesta espira no domínio do tempo de acordo com a 
referência indicada na figura. Despreze o efeito pelicular. (2.0) 
 
R) A força eletromotriz induzida na espira pode ser calculada através da circulação do campo 
elétrico induzido. 
 m o z= B sen t   E u B a
 
Nesta equação, u é a velocidade de um ponto na espira. Essa velocidade dependa de 
velocidade angular  e da distância radial  ao eixo de rotação. O ângulo entre u e B varia com 
o tempo, por isso, escrevemos no módulo do produto vetorial a expressão sen(t). A direção 
do campo elétrico é sempre a mesma do eixo de rotação que designamos por direção ‘z’. A 
força eletromotriz é então obtida na seguinte forma: 
2
m m m
C C 0
d E Rd cos( ) E Rsen( )d
2


         femV = E L
 
Na equação anterior, uma vez que o campo está orientado na direção axial e o deslocamento 
dL é tangencial à circunferência da espira, o ângulo entre esses vetores é /2-, onde  é o 
ângulo azimutal no plano da espira. Substituindo o campo elétrico e verificando que 
 = R sen, obtemos o seguinteresultado: 
   
2
2 2 2
o o
0
V R B sen t sen ( )d R B sen t

       fem =
 
A resistência elétrica da espira, desprezando o efeito pelicular, é obtida na seguinte forma: 
e 2 2
c c
2 R 2R
R
r r

 
 
 
A corrente que circula na espira é então calculada através da lei de Ohm. 
 
2
c
o
e
V r R
i(t)= B sen t
R 2

 
fem
=
 
4) Uma onda eletromagnética de 100 MHz incide perpendicularmente na interface entre dois 
meios não magnéticos: um dielétrico (meio de incidência) com =0 e r=9 e um condutor 
(meio de transmissão) com impedância característica 100+j20  nesta frequência. Se a 
potência média transmitida a um metro da interface foi medida em 10 mW/m2, calcule: (2.0) 
a) As potências incidente e refletida na interface; 
b) As amplitudes máxima e mínima do campo elétrico no dielétrico; 
c) A velocidade de propagação da onda no dielétrico e no condutor; 
d) A atenuação em dB/m no condutor. 
 
R) Uma vez que foi informada a impedância do condutor e, sendo um material não magnético, 
podemos calcular a constante de propagação através das seguintes relações: 
j ( j )
j
j
     

 
  
 
Assim, resolvendo este sistema de equações, obtemos: 
     6 7
o
4 4
2 2
j 2 x 100x10 x 4 x10j j2 f 100 j20
x
100 j20 100 j20 100 j20
7.8957x10 -j1.5791x10
1.5184 +j 7.5920
100 20
=1.5184 Np / m
7.5920 rad / m
    
   
   
 


 
 
a) A potência que se propaga no condutor pode ser calculada pela equação: 
2
2 zot
med t
2
E
P ( z ) e cos
2
 
 

 
O campo transmitido na interface pode, então, ser calculado: 
     
     
2
med t
ot 2 z 2 x 1.5184
2 x 101.9804 x 102 P ( z )
E 6.5836 V / m
e cos e cos 0.1974

  


  

 
A impedância do dielétrico é 
   
     
7
o
1 12
r o
4 x 10
 125.6065
9 x 8.85 x 10



    
 
 
Os coeficientes de transmissão e reflexão na interface são: 
j2.39012 1
2 1
j0.10902
2 1
100 j20 125.6065 25.6065 j20
0.1435e
100 j20 125.6065 225.6065 j20
2 200 j40 200 j40
0.9005e
100 j20 125.6065 225.6065 j20
     
    
     
  
    
     
 
Apenas os módulos desses coeficientes são importantes neste cálculo. As amplitudes dos 
campos incidente e refletido são calculadas da seguinte forma: 
   
ot
oi
or oi
E 6.5836 V / m
E 7.3110 V / m
0.9005
E E 0.1435 x 7.3110 V / m 1.0491V / m
  

   
 
Assim, as potências médias incidente e refletida são calculadas a seguir: 
 
   
 
   
22
2oi
med i
1
22
2or
med r
1
7.3110 V / mE
P 212.8 mW / m
2 2 x 125.6065
1.0491 V / mE
P 4.4 mW / m
2 2 x 125.6065
  
 
  
 
 
b) A superposição da onda incidente com a onda refletida no dielétrico apresentará máximos e 
mínimos na amplitude do campo elétrico que são calculados através das seguintes expressões: 
     
     
max oi
min oi
E 1 E 1 0.1435 x 7.3110 V / m 8.3601 V / m
E 1 E 1 0.1435 x 7.3110 V / m 6.2619 V / m
     
     
 
c) A velocidade de propagação no dielétrico é: 
         
8
1
7 12
o r o
1 1
u 10 m / s
4 x 10 x 9 x 8.85 x 10 
  
   
 
A velocidade no condutor é: 
   6
7
2
2 x 100x10 Hz
u 8.28x10 m / s
7.5920 rad / m

  

 
d) Para obter a atenuação em dB/m no condutor basta converter o valor de  de Np/m para 
dB/m. 
   Atenuação 20ln( e ) = 8.686 dB / Np x 1.5184 Np / m 13.19 dB / m  