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Estácio (Campus San Martin) Profª: Maria Alice Lyra Primeira lista cálculo II 1) Expresse os vetores abaixo na forma �⃗� = 𝑣1 𝑖 + 𝑣2𝑗 + 𝑣3 �⃗⃗� : a) 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ para os pontos P1 (5, 7, -1) e P2 (2, 9, -2) b) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ para os pontos A(-7, -8, 1) e B( -10, 8, 1) c) 5�⃗⃗� - �⃗� se �⃗⃗� = (1,1, -1) e �⃗� = (2, 0, 3) 2) Expresse cada vetor como produto de seu comprimento e sua direção: a) 2𝑖 + 𝑗 − 2�⃗⃗� b) 1 √6 𝑖 − 1 √6 𝑗 − 1 √6 �⃗⃗� 3) Encontre o ponto médio do segmento de reta 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ para A (-1, 1, 5) e B (2, 5, 0) 4) Encontre as equações paramétricas da função vetorial: 𝑟 = (t + 1 )𝑖 + (t2 + 1 )𝑗 + (2t )�⃗⃗�. 5) Encontre a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto P (1,1,1) e é paralela ao eixo x. 6) A trajetória de duas partículas para t ≥ 0 são dadas por: 𝑟1⃗⃗⃗ ⃗ = (t - 4 )𝑖 + (3 − 𝑡) 2𝑗 𝑟2⃗⃗⃗⃗ = ( 3𝑡 2 − 4)𝑖 + ( 3𝑡 2 − 2)𝑗 Determine o(s) instante(s) no(s) qual(is) as partículas colidem. 7) Uma partícula com velocidade angular constante, move-se numa trajetória circular. Sendo o vetor posição dado por 𝑟 = (cos 2𝑡)𝑖 + (𝑠𝑒𝑛2𝑡)𝑗 , determine o a aceleração dessa partícula em um tempo t qualquer. 8) A posição de uma partícula é dada por 𝑟 = (2𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑖 + (3 𝑠𝑒𝑛𝑡)𝑗 + 4𝑡�⃗⃗�, determine sua a aceleração e velocidade para t = 𝜋 2⁄ . 9) Calcule as integrais: a) ∫ [𝑡3 𝑖 + 7𝑗 + (𝑡 + 1)�⃗⃗�] 𝑑𝑡 1 0 b) ∫ [(6 − 𝑡)𝑖 + 3√𝑡𝑗 + 4 𝑡2 �⃗⃗�] 𝑑𝑡 2 1 c) ∫ [(𝑠𝑒𝑛𝑡)𝑖 + (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑗 + (𝑠𝑒𝑐2 )�⃗⃗�] 𝜋 4 −𝜋 4 𝑑𝑡 𝑑) ∫ [ 1 𝑡 𝑖 + 1 5−𝑡 𝑗 + 1 2𝑡 �⃗⃗�] 𝑑𝑡 4 1 10) Encontre �⃗⃗�, �⃗⃗⃗� e k para curvas espaciais: a) 𝑟(𝑡)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗= (3 sen t)𝑖 + (3 cos 𝑡)𝑗 + 4𝑡�⃗⃗� b) 𝑟(𝑡)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (cos 𝑡 + 𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡)𝑖 + (𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝑡 cos 𝑡)𝑗3�⃗⃗� 𝑐) 𝑟(𝑡)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ln(sec 𝑡)𝑖 + 𝑡𝑗 11) Supondo que 𝑟(𝑡)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗= (2cost)𝑖+(3sent)𝑗 é o vetor posição de uma partícula que se move a longo de uma curva então o esboço da trajetória da partícula é dado por ... a) Uma parábola b) uma reta c) uma circunferência d) uma elipse e) uma hipérbole 12) Converta as coordenadas polares dadas para coordenadas cartesianas: 𝑎) 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0 𝑏)𝑟 = 4 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝑐) 𝑟 cos 𝜃 + 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 1 𝑑) 𝑟2 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑒) 𝑟 = (𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃)𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑓) r sen 𝜃 = ln 𝑟 + ln cos 𝜃 𝑔) 𝑟 = 2 cos 𝜃 + 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 13) Converta as coordenadas cartesianas para coordenadas polares. a) x = 7 b) x = y c) x2 + y2 = 4 d) 𝑥2 16 + 𝑦2 25 = 1 e) x2 + (y – 3)2 = 9 f) y2 = x – x2 g) y2 = 4x 14) Um ponto, no plano cartesiano, é representado pelas suas coordenadas x e y, de modo que temos: P(x,y). No plano polar o mesmo ponto P pode ser representado pelas suas coordenada polares P(r,𝜃), existindo, então, as fórmulas de conversão de coordenadas: x = r cos θ e y = r sen θ. Portanto, converta as coordenadas polares dadas para coordenadas cartesianas. Ângulo θ expresso em radianos. Assim, seja o ponto P(4,π/6). Estácio (Campus San Martin) Profª: Maria Alice Lyra Primeira lista cálculo II RESPOSTAS 1) a) −3 𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝑗 − �⃗⃗� b) −3𝑖 + 16𝑗 c) 3𝑖 + 5𝑗 − 8�⃗⃗� 2) a) 3( 2 3 𝑖 + 1 3 𝑗 − 2 3 𝑘)⃗⃗⃗⃗⃗ b) √ 1 2 + ( 1 √2 𝑖 − 1 √3 𝑗 − 1 √3 �⃗⃗�) 3) ( 1 2 , 3, 5 2 ) 4) x = t + 1 y = t2 + 1 z = 2t 5) x = 1 +t y = 1 z= 1 6) t = 2 7) - (4cos2t)𝑖 − (4 𝑠𝑒𝑛2𝑡)𝑗 8) �⃗� = −2𝑖 + 4�⃗⃗� �⃗� = −3𝑗 9) a) 1 4 𝑖 + 7𝑗 + 3 2 �⃗⃗� 𝑏) − 3𝑖 + (4√2)𝑗 + 2�⃗⃗� 𝑐) ( 1+2√2 2 𝑖 + 2�⃗⃗� 𝑑) (ln 4)𝑖 + (𝑙𝑛4)𝑗 + (𝑙𝑛2)�⃗⃗� 10) a) �⃗⃗� = ( 3 5 cos 𝑡)𝑖 − ( 3 5 𝑠𝑒𝑛 𝑡) 𝑗 + 4 5 �⃗⃗� ; �⃗⃗⃗� = (−𝑠𝑒𝑛 𝑡)𝑖 − (𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑡)𝑗; k = 3 25 b) �⃗⃗� = (cos 𝑡)𝑖 − (𝑠𝑒𝑛 𝑡)𝑗; �⃗⃗⃗� = (−𝑠𝑒𝑛 𝑡)𝑖 + (cos 𝑡)𝑗; 𝑘 = 1 𝑡 c) �⃗⃗� = (𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡)𝑖 + (cos 𝑡)𝑗; �⃗⃗⃗� = (cos 𝑡)𝑖 − (𝑠𝑒𝑛 𝑡) 𝑗; 𝑘 = cos 𝑡 11) d 12) a) y = 0 b) y = 4 c) x + y = 1 d) x2 + y2= 4y e) y = ex f) y = ln x g) x2 + y2 = 2x + 2y 13) a) r cos𝜃 = 7 𝑏) 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐) 𝑟 = 2 𝑑) 𝑟2(25 (𝑐𝑜𝑠𝜃)216 (𝑠𝑒𝑛 𝜃)2) = 400 e) r = 6sen𝜃 𝑓) 𝑟2 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 14) (2√3 , 2)
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