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Análise de circuitos senoidais
Análise de circuitos senoidais no domínio da frequência. Emprego das Leis de Kirchhoff, Teorema Norton e
de Thevenin no domínio da frequência para a resolução de circuitos monofásicos e trifásicos.
Prof. Sandro Santos de Lima
1. Itens iniciais
Propósito
Resolver circuitos monofásicos e trifásicos no domínio da frequência, empregando as Leis de Kirchhoff,
Teorema de Norton e de Thevenin, como também apresentar os conceitos de potência média e valores
eficazes.
Preparação
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica, a calculadora de seu
smartphone/computador ou um software matemático de sua escolha.
Objetivos
Aplicar as Leis de Kirchhoff, Teoremas de Norton e de Thevenin para a resolução de circuitos no
domínio da frequência.
Demonstrar os conceitos de potência média, valores eficazes e os circuitos trifásicos.
Introdução
Análise de circuitos senoidais
Neste vídeo. o professor Sandro Santos de Lima apresenta o que você irá estudar nesse tema.
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Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
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1. Leis de Kirchhoff, Teoremas de Norton e de Thevenin
Introdução
Neste tema estudaremos a resposta em regime permanente dos circuitos que são alimentados por fontes
senoidais.
 
Da análise clássica de circuitos, sabe-se que a resposta de um circuito tem a mesma característica da função
forçante, ou seja, se a entrada de um circuito é senoidal, a sua reposta em regime permanente também será
senoidal. Contudo, para que seja possível resolver os circuitos no domínio da frequência, devemos primeiro
compreender o conceito de transformada fasorial.
Leis de Kirchhoff, Teoremas de Norton e de Thevenin para a resolução de
circuitos no domínio da frequência
Neste vídeo, o professor Sandro Santos de Lima irá explicar as Leis de Kirchhoff, Teoremas de Norton e de
Thevenin para a resolução de circuitos no domínio da frequência.
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Transformada fasorial
Uma fonte de alimentação senoidal de um circuito é representada no domínio do tempo por uma função
trigonométrica, cuja forma é:
Para que possamos representar a função trigonométrica anterior na forma fasorial, devemos partir da
identidade de Euler, que é dada por:
Logo, as funções cosseno e seno podem ser definidas como a parte real e imaginária de , ou seja:
E a função trigonométrica poderá ser representada pela parte real de , isto é:
Então, a representação da função senoidal por meio da transformada fasorial dá-se pela sua amplitude e fase,
representados pela parcela e pela frequência angular da função trigonométrica, representada pela
parcela . A representação do fasor girante no tempo é mostrada pela Figura 1.
Figura 1: Movimento do fasor ao longo do tempo.
Normalmente, utilizam-se apenas as informações de amplitude e fase para se representar um fasor, e essa
representação dá-se pela forma complexa polar ou retangular, usando-se a seguinte notação:
O diagrama fasorial correspondente a esse fasor é apresentado a seguir:
Figura 2: Diagrama fasorial correspondente.
Exemplo
Considere um circuito que possui uma fonte de tensão pela qual circula uma
corrente . Faça a transformação fasorial dessas grandezas e represente-as em um
diagrama fasorial.
 
Solução:
A tensão é representada na forma fasorial por , enquanto a corrente 
 é representada na forma fasorial por .
 
A representação dessas grandezas no diagrama fasorial é:
Elementos passivos no domínio da frequência
De modo a realizarmos a análise dos circuitos senoidais no domínio da frequência, além de sermos capazes de
representar as tensões e correntes dos circuitos da forma como vimos na seção anterior, devemos estar aptos
a representar os elementos passivos existentes nos circuitos, que são:
 
Resistores
 
Indutores
 
Capacitores
 
Em um circuito senoidal, a razão entre o fasor tensão e o fasor corrente é denominada impedância, sendo
dada por:
Resistores
Em um resistor, a corrente está em fase com a tensão. Logo, a tensão no resistor é dada por:
Passando corrente e tensão para o domínio da frequência:
Assim, a impedância do resistor, é dada por:
Podemos concluir que a impedância do resistor corresponde ao próprio valor de sua resistência e que o
seu valor independe da frequência angular do sistema.
Indutores
No indutor, sabemos que a corrente é defasada de 90° em relação à tensão e que a tensão no indutor é dada
por:
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• 
• 
Passando corrente e tensão para o domínio da frequência:
Concluímos que a impedância do indutor, também conhecida como reatância indutiva, é dada por 
 e que o seu valor depende da frequência angular do sistema.
Capacitores
No capacitor, sabemos que a corrente é adiantada de 90° em relação à tensão e que a tensão no capacitor é
dada por:
Passando corrente e tensão para o domínio da frequência:
Concluímos que a impedância do capacitor, também conhecida como reatância capacitiva, é dada por 
 e que o seu valor depende da frequência angular do sistema.
Agora, a partir da transformação fasorial e dos cálculos das impedâncias, podemos transformar um circuito
para o domínio da frequência e realizar as mesmas operações realizadas em circuitos resistivos.
Associação de impedâncias
A associação de impedâncias no circuito pode ser em série ou paralelo. A impedância equivalente de uma
associação série de impedâncias é:
Enquanto a impedância equivalente de uma associação paralelo de impedância é:
Divisor de corrente
No circuito indicado na figura anterior, a corrente será igual a:
Divisor de tensão
No circuito indicado na figura anterior, a tensão será igual a:
Leis de Kirchhoff
Da mesma forma que são aplicadas em circuitos resistivos, as Leis de Kirchhoff podem ser aplicadas em
circuitos no domínio da frequência.
Lei de Kirchhoff para correntes
"A soma algébrica das correntes que saem de um nó é zero."
Lei de Kirchhoff.
A fim de encontrar o número de equações para se resolver o circuito, devemos identificar a quantidade de nós
do circuito, e o número de equações nodais deverá ser:
Em que:
 é o número de nós do circuito (considerando o nó de referência).
Exemplo
Considere o circuito no exemplo a seguir:
Em que:
 
Determine, a tensão do nó B pelo método de Kirchhoff para as correntes.
 
Solução:
 
Inicialmente, identificamos a frequência angular do sistema:
Agora, vamos fazer as transformadas fasoriais da tensão e dos elementos passivos do circuito.
 
 
 
 
 
A figura a seguir mostra o circuito a ser analisado no domínio da frequência.
Como no circuito anterior temos 3 nós, a saber: nós A, B e o de referência, o número de equação nodais é:
Aplicando a Lei de Kirchhoff para as correntes, teremos:
 
Somatório das correntes que saem do nó A igual a zero:
Somatório das correntes que saem do nó B igual a zero:
A partir da equação anterior, montamos o sistema a seguir:
Que resultará nos seguintes valores das tensões de nó:
Portanto, a tensão do nó 
Passando para o domínio do tempo, temos:
Lei de Kirchhoff para as tensões
"A soma algébrica das tensões ao longo de uma malha é zero."
Lei de Kirchhoff para tensões.
Para se determinar o número de equações necessárias para se resolver o circuito, devemos identificar
primeiro o número de ramos do circuito e seu número de nós. A partir daí, o número de equações será dado
pela expressão a seguir:
Exemplo
Para o mesmo circuito do exemplo anterior, determine a tensão do nó B usando a Lei de Kirchhoff para as
tensões.
 
Solução:
 
Primeiro, devemos definir quantos ramos possui o nosso circuito.
 
Lembrando que o ramo é o caminho entre dois nós, a partir da análise do grafo do circuito, podemos concluir
que ele possui 5 ramos, identificados na figura a seguir:
Sabendo que o circuito possui 3 nós, o número de equações necessárias para resolver o circuito é:
Para se determinar as equações, primeiro temos que definir a árvore do grafo. Uma possível árvore para o
grafo do circuitoé:
Agora, um conjunto possível de correntes de malha é obtido fechando-se três caminhos, que podem ser:
Então, fazendo o somatório das tensões das malhas iguais a zero, temos as seguintes equações:
A partir da equação anterior montamos o sistema a seguir:
Que resultará nas seguintes correntes de malha:
A tensão do nó B será:
Passando para o domínio do tempo, temos:
Como era de se esperar, chegamos ao mesmo resultado obtido no exemplo anterior.
Teorema de Thevenin
Resolver circuitos no domínio da frequência também é possível usando o Teorema de Thevenin. Para
encontrar o equivalente Thevenin entre os pontos A e B de um circuito, devemos:
1. Encontrar a impedância equivalente de Thevenin entre os pontos A e B. Para isso, devemos colocar em
repouso todas as fontes independentes (curto circuitar as fontes de tensão e deixar em aberto das fontes de
corrente).
2. Encontrar a tensão de Thevenin, que vem a ser a tensão de circuito aberto entre os pontos A e B.
3. Fazer a associação série entre a fonte de tensão de Thevenin, a impedância de Thevenin e o ramo retirado
inicialmente entre os pontos A e B.
Exemplo
Para o circuito do problema anterior, encontre o valor usando o teorema de Thevenin.
 
Solução:
Primeiro, vamos encontrar a impedância equivalente entre o ponto B e a referência, conforme mostrado na
figura adiante:
A impedância equivalente de Thevenin para o circuito anterior será:
Para se determinar a tensão de Thevenin, devemos encontrar a tensão de circuito aberto entre B e a
referência. Porém, pela configuração do circuito, percebemos que a corrente indicada na figura é zero e,
portanto, a tensão de Thevenin, , será igual à tensão do nó A , que será:
Encontradas a tensão e a impedância de Thevenin, para que possamos determinar a tensão do nó B, devemos
montar o circuito composto pela associação série da tensão de Thevenin, impedância de Thevenin e o ramo
retirado do circuito.
 
O circuito final é apresentado na figura a seguir:
O valor da tensão do nó B pode ser dado por divisor de tensão e será igual a:
Passando para o domínio do tempo, temos:
Mais uma vez, chegamos ao mesmo valor de tensão no circuito, porém, nesse caso, utilizando o Teorema de
Thevenin.
Teorema de Norton
Para encontrar o equivalente Norton entre os pontos A e B de um circuito, devemos:
1. Encontrar a impedância equivalente de Norton entre os pontos A e B. Para isso, devemos colocar em
repouso todas as fontes independentes (curto-circuitar as fontes de tensão e deixar em aberto as fontes de
corrente. Esse procedimento é idêntico para encontrar a impedância equivalente de Thevenin.
2. Encontrar a corrente de Norton, que vem a ser a corrente de curto-circuito entre os pontos A e B do
circuito.
3. Fazer a associação paralelo entre a corrente de Norton, a impedância de Norton e o ramo retirado
inicialmente entre os pontos A e B.
Exemplo
Para o circuito do problema anterior, encontre o valor utilizando o teorema de Thevenin.
 
Solução:
O valor da impedância de Norton é igual ao valor da impedância de Thevenin, portanto:
A fim de determinarmos o valor da corrente de Norton, devemos calcular a corrente que fluirá pelo curto-
circuito entre o nó B e a referência, conforme indicado na figura a seguir:
Para encontrarmos a corrente de Norton, podemos achar a tensão do nó A, e depois calcular a corrente de
Norton, sabendo que:
Aplicando a lei dos nós, a tensão do nó A pode ser obtida por meio da seguinte equação:
Resolvendo a equação anterior para , temos:
Portanto, a corrente de Norton será:
Conhecidos os valores da impedância de Norton e da corrente de Norton, podemos montar o circuito com
associação paralela da fonte de corrente, da impedância de Norton e o ramo retirado do circuito original,
conforme mostra a figura a seguir:
Para determinarmos o valor da tensão do nó B, basta encontramos a corrente e depois multiplicá-la pela
resistência.
Para determinarmos o valor de , usarmos o divisor de corrente, conforme mostrado a seguir:
Finalmente:
Passando para o domínio do tempo, temos:
Mais uma vez, chegamos ao mesmo valor de tensão no circuito, porém, nesse caso, utilizando o Teorema de
Norton.
Verificando o aprendizado
Questão 1
Considere o circuito a seguir para executar as duas atividades:
Em que:
 
 
 
 
 
Para o circuito apresentado na figura anterior o valor da tensão do nó A, em V, é
aproximadamente:
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Para resolver este problema, primeiro devemos passar todas as grandezas para o domínio da frequência.
Sabendo que , a transformação fasorial das grandezas do circuito resultará nos valores
mostrados a seguir:
O que resultará no seguinte circuito:
A melhor forma de resolver esse circuito é adotar como nó de referência o nó anterior da fonte de corrente,
o que resultará no circuito mostrado a seguir:
Assim, para resolver o circuito, podemos aplicar a Lei de Kirchhoff para as correntes nos nós A e B, o que
resultará no seguinte conjunto de equações:
Resolvendo esse sistema, encontraremos:
Passando para a função senoidal, temos:
Portanto, a opção correta é a letra A.
Questão 2
O valor da corrente , no circuito, em A , é aproximadamente:
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Conhecidos os valores das tensões nos nós A e B, a partir da solução da atividade anterior, podemos
aplicar a Lei de Kirchhoff dos nós no nó X, conforme indicado na figura a seguir, de modo a determinarmos
o valor da corrente que circula pela fonte de luz.
Porém:
Da atividade anterior vimos que:
Portanto:
Passando para a função senoidal, temos:
Sendo assim, a opção correta é a Letra B.
2. Potência média, valores eficazes e os circuitos trifásicos
Introdução
Neste módulo, estão presentes os conceitos de potência média e valores eficazes necessários à análise de
circuitos senoidais, bem como o circuito trifásico, suas configurações e métodos para a sua resolução.
Os conceitos de potência média, valores eficazes e os circuitos trifásicos
Neste vídeo, conheça mais sobre os conceitos que serão abordados nesse módulo.
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Potência média
A potência instantânea aplicada em um elemento é dada pela expressão:
Uma vez que estamos trabalhando grandezas no regime permanente senoidal, podemons considerar que a
tensão e a corrente aplicadas ao elemento podem ser dadas por:
Portanto, a potência fornecida ao elemento será:
Contudo, a expressão anterior pode ser reescrita da seguinte forma:
A equação anterior pode ser reescrita da seguinte forma:
A potência média será dada por:
Cujo valor será:
Exemplo
Considere uma carga hipotética que possui as seguintes formas de tensão e corrente aplicadas a seus
terminais:
Qual a potência média, em W, aplicada na carga?
 
Solução:
 
A potência média é dada por:
Portanto, a potência média aplicada à carga é 2,60 kW.
Valores eficazes
O valor eficaz de uma corrente senoidal é igual ao valor de corrente contínua que circularia por uma carga e
produziria a mesma potência média.
 
Considerando a definição anterior, vamos passar ao cálculo da corrente eficaz.
 
A potência média dissipada em uma resistência R, percorrida por uma corrente senoidal é:
Em que:
 é período da função senoidal.
Agora, a potência fornecida pela corrente contínua é:
Igualando as duas potências, temos:
Resolvendo a expressão anterior para o valor eficaz da corrente, teremos:
Sabendo que a corrente aplicada ao sistema é uma função senoidal:
Agora, analisando-se a expressão a seguir, que nos dá o valor da potência média:
Ela pode ser reescrita em termos de valores eficazes de tensão e corrente:
Resumindo
A expressão da potência média fornecida a uma carga pode ser obtida pelo produto da tensão e da
corrente eficazes, aplicadas aos terminais de um elemento e cosseno da diferença entre as fases da
tensão e da corrente. 
Exemplo
Um resistor de e percorrido por uma corrente cuja função senoidal é dada pela equação a seguir:
Diantedo exposto, determine a potência média dissipada no resistor.
Solução:
 
Primeiro, vamos encontrar o valor eficaz da corrente.
A potência média dissipada no resistor será:
Logo, a potência média dissipada no resistor é 12,5 kW.
Circuitos trifásicos
A transmissão de grandes blocos de energia é feita de maneira mais eficiente empregando-se circuitos
trifásicos.
Dica
Circuitos trifásicos são obtidos a partir de geradores trifásicos, que produzem 3 tensões de mesma
amplitude, mesma frequência e defasadas entre si de 120°. 
A figura a seguir mostra o diagrama fasorial das tensões.
A relação entre as tensões de fase e de linha dependem da forma como o gerador está ligado.
Quando o gerador está conectado na configuração Y, com neutro acessível ou não, o gerador apresenta a
seguinte configuração:
Sequência direta ou positiva 
Quando as
tensões
induzidas
no gerador
são:
Essas tensões
são ditas de
sequência
direta ou
positiva.
Sequência inversa ou negativa 
Quando as
tensões
induzidas
apresentam-
se da
seguinte
forma:
As
tensões
são ditas
de
sequência
inversa ou
negativa.
Tensões de fase 
As tensões induzidas são denominadas
“tensões de fase”.
Tensões terminais 
As tensões terminais do gerador são
denominadas “tensões de linha”.
Nesse tipo de ligação, temos:
 
Tensão induzidas de fase : e 
 
Tensões terminais: e 
 
Tensões de linha: e 
 
Correntes de armadura (ou de fase): e 
 
Correntes de linha: e 
 
As relações entre os módulos das tensões de linha e tensões de fase são mostradas a seguir:
As relações entre os módulos das correntes de linha e correntes de fase são mostradas adiante:
• 
• 
• 
• 
• 
Quando conectado em , o gerador apresenta a seguinte configuração:
As relações entre os módulos das tensões de linha e tensões de fase são mostradas a seguir:
As relações entre os módulos das correntes de linha e correntes de fase são mostradas a seguir:
Tensões 
Diagrama fasorial das tensões no gerador
ligado em Y
Correntes 
Diagrama fasorial das correntes no
gerador ligado em Y
O diagrama fasorial do gerador é indicado a seguir:
As cargas em um circuito trifásico são ligadas em ou .
Considere um circuito com cargas desiquilibradas:
Em que:
Tensões 
Diagrama fasorial das tensões no gerador
ligado em .
Correntes 
Diagrama fasorial das correntes no
gerador ligado em .
Carga equilibrada 
Se as impedâncias em cada uma das fases
forem iguais, a carga é dita equilibrada.
Carga desequilibrada 
Se as impedâncias forem diferentes, a
carga é dita desiquilibrada.
Considerando que as tensões de linha sejam iguais a:
As correntes de fase serão:
As correntes de linha serão:
A potência real do sistema será:
Portanto, a potência ativa total será:
A potência reativa será:
Assim, a potência reativa total será:
A potência aparente total da carga será:
Logo, a potência ativa total será:
Percebemos que as correntes de fase e de linha são desequilibradas, conforme mostra o diagrama fasorial a
seguir, no qual as tensões de linha estão representadas pelos fasores em preto, a corrente de fase pelos
fasores em azul, e as correntes de linhas pelos fasores em vermelho.
Considere a carga equilibrada ligada em Y, alimentada por um gerador trifásica ligado em Y, conforme a figura
a seguir:
Em que:
Suponha que essa tensão de linha é obtida a partir das seguintes tensões de fase:
Como o sistema é equilibrado, não há circulação de corrente no neutro, então a mesma tensão do gerador
será aplicada à carga.
 
As correntes de linha serão:
Considerando que as cargas sejam indutivas, as correntes de fase estarão defasadas de suas tensões de fase
de um ângulo, conforme a figura a seguir, onde os fasores das tensões estão representados em preto e as
correntes de linha estão representadas em vermelho.
Como o sistema é equilibrado, a defasagem entre as tensões é 120° e a defasagem entre as
correntes de linha é 120°.
Atenção
Observe atentamente o diagrama fasorial anterior. Quando o circuito trifásico é equilibrado, não
precisamos calcular todas as correntes de linha ou de fase. Basta calcular a corrente em uma das fases e
aplicar o defasamento de 120° nas demais fases. 
Exemplo
Considere o circuito do problema anterior.
 
Sabendo-se que as tensões de fase são:
A corrente da fase a será:
Aplicando-se a defasagem de 120° para as demais correntes, chegamos aos valores das demais correntes de
fase, que serão:
Para circuitos trifásicos, a potência real de cada uma das fases é dada por:
Em que:
 
 é a potência da i-ésima fase.• 
 
 é a tensão eficaz da i-ésima fase.
 
 é a defasagem angular entre a tensão é a corrente de cada fase.
 
Quando tratamos de circuitos trifásicos equilibrados, como as correntes e tensões na carga têm o mesmo
módulo e a defasagem entre elas é a mesma, a potência real do circuito trifásico é dada por:
Em que:
 
 é a potência trifásica.
 
 é a tensão de fase.
 
 é a corrente de fase.
 
Porém, se o sistema for ligado em Y, temos:
Então, a equação da potência trifásica pode ser reescrita como:
• 
• 
• 
• 
• 
Resumindo
A potência real trifásica, fornecida a um sistema ligado em Y, pode ser determinada usando-se valores
de linha, conforme mostra a equação anterior. 
Se o sistema for ligado em , temos:
Então, a equação da potência trifásica pode ser reescrita como:
Comparando-se as expressões de potência do sistema trifásico, tanto para o sistema ligado em Y quanto para
o sistema ligado em , a expressão que fornece a potência trifásica pode ser obtida usando-se os valores de
linha da instalação.
Verificando o aprendizado
Questão 1
Considere o circuito da figura a seguir para a resolução das atividades 1 e 2.
Em que:
Observação: Os valores das tensões são dados em valores eficazes.
O valor eficaz da corrente de linha , em A, é aproximadamente:
A
32
B
42
C
52
D
62
E
72
A alternativa D está correta.
Para resolver este problema, precisamos fazer a conversar para da carga ligada em .
A figura anterior mostra o equivalente monofásico do circuito:
Agora, a corrente de linha será dada p
Como as tensões trifásicas foram dadas em valores eficazes, a corrente encontrada também está em valor
eficaz.
Portanto, a opção correta é a letra D.
Questão 2
A potência trifásica do sistema, em kW, é aproximadamente:
A
5,8
B
10,6
C
13,5
D
27,0
E
40,6
A alternativa E está correta.
A potência trifásica é:
Portanto, a opção correta é a letra E.
3. Conclusão
Considerações finais
Ao longo destes módulos, estudamos a análise dos circuitos senoidais, iniciando pela transformação fasorial.
Observamos que, após essa transformação, as mesmas leis e teoremas vistos em circuitos resistivos podem
ser empregadas na resolução de circuitos.
No Módulo 2, vimos os conceitos de potência média e valores eficazes, além de conhecermos os circuitos
trifásicos, com as configurações . Analisamos os circuitos trifásicos com cargas equilibradas e
desiquilibradas e o cálculo da potência nesses circuitos.
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Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, resolva os exercícios dos livros constantes nas
referências.
Referências
CLOSE, C. M. Circuitos Lineares. Rio de Janeiro: LTC, 1966.
 
NAHVI, M.; EDMINISTER, J. A. Circuitos Elétricos. 5 ed. Porto Alegre: Bookman, 2014 (Coleção Schaum).
	Análise de circuitos senoidais
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Análise de circuitos senoidais
	Conteúdo interativo
	1. Leis de Kirchhoff, Teoremas de Norton e de Thevenin
	Introdução
	Leis de Kirchhoff, Teoremas de Norton e de Thevenin para a resolução de circuitos no domínio da frequência
	Conteúdo interativo
	Transformada fasorial
	Exemplo
	Elementos passivos no domínio da frequência
	Resistores
	Indutores
	Capacitores
	Associação de impedâncias
	Divisor de corrente
	Divisor de tensão
	Leis deKirchhoff
	Lei de Kirchhoff para correntes
	Exemplo
	Lei de Kirchhoff para as tensões
	Exemplo
	Teorema de Thevenin
	Exemplo
	Teorema de Norton
	Exemplo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Considere o circuito a seguir para executar as duas atividades:
	Para o circuito apresentado na figura anterior o valor da tensão do nó A, em V, é aproximadamente:
	2. Potência média, valores eficazes e os circuitos trifásicos
	Introdução
	Os conceitos de potência média, valores eficazes e os circuitos trifásicos
	Conteúdo interativo
	Potência média
	Exemplo
	Valores eficazes
	Resumindo
	Exemplo
	Solução:
	Circuitos trifásicos
	Dica
	Atenção
	Exemplo
	Resumindo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Considere o circuito da figura a seguir para a resolução das atividades 1 e 2.
	Observação: Os valores das tensões são dados em valores eficazes.
	A potência trifásica do sistema, em kW, é aproximadamente:
	3. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
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	Referências