N2 1_Simulado 3_Equação_Com Soluções

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Simulado POTI – Álgebra – Ńıvel II
Problemas
Problema 1. (2 pontos) Seja x ∈ R tal que x+
1
x
= 5. O valor
de x2 +
1
x2
é um número:
(a) racional não-inteiro.
(b) inteiro primo.
(c) inteiro múltiplo de 5.
(d) inteiro múltiplo de 19.
(e) irracional.
Problema 2. (2 pontos) Sejam m e n números inteiros positivos
tais que m2 − n2 = 13. O valor de mn:
(a) é 42.
(b) é 26.
(c) é 14.
(d) não pode ser determinado pois há vários valores para m e
n.
(e) não pode ser calculado pois não existem m e n inteiros
positivos satisfazendo a equação.
Problema 3. (2 pontos) Seja S = 1 − 2 + 3 − 4 + ... + 2011 −
2012 + 2013. A soma dos d́ıgitos de S é:
(a) 6 (b) 7 (c) 8 (d) 9 (e) maior que 9
Problema 4. (4 pontos) Quantos números inteiros positivos a
satisfazem 2(a3 + 1) = a+ 1?
(a) 0 (b) 2 (c) 4 (d) 6 (e) infinitos
Soluções:
Problema 1 2 3 4
Resposta B A C A
Solução do Problema 1: Alternativa B
Se x +
1
x
= 5, então, elevando ao quadrado, obtemos
x2 +
1
x2
+ 2 · x ·
1
x
= 25 ⇔ x2 +
1
x2
= 23, que é primo.
Solução do Problema 2: Alternativa A
Fatorando, obtemos (m+ n)(m− n) = 13× 1. Assim, como m
e n são inteiros positivos, só temos uma possibilidade, que é
m+n = 13 em−n = 1, ou seja, m = 7 e n = 6. Logo,mn = 42.
Solução do Problema 3: Alternativa C
Agrupando, formamos vários pares com soma −1, deixando
2013 de fora:(1−2)+(3−4)+ ...+(2011−2012)+2013. Como
há 2012 números pareados, há 1006 pares dando soma −1.
Assim, S = −1×1006+2013 = 1007, cuja soma dos d́ıgitos é 8.
Solução do Problema 4: Alternativa A
Inicialmente, veja que podemos dividir por (a + 1)(b + 1) 6= 0
pois a e b são inteiros positivos. Assim, obtemos
2(a2 − a + 1)(b2 − b + 1) = 1, que não possui solução
pois o lado esquerdo é par e 1, no lado direito, é ı́mpar.
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