IQA121 - 01-3 - Algarismos significativos

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IQA 121
“Erros, incerteza e algarismos significativos”
Dra. Vivian Saez, Professora Adjunta, Departamento de Química Analítica IQA 121 – Erros, incerteza e algarismos significativos 1
•Estatísticas de posição e de dispersão
•Erros em análises químicas
•Incerteza
•Algarismos significativos
•Arredondamento
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Estatísticas de posição (tendência central)
Média aritmética ( ഥ𝒙 )
É o ponto de equilíbrio de um conjunto de valores 
x1, x2, …, xn
•É muito sensível à presença de datos atípicos.
Média geométrica (G)
•É menos sensível aos dados atípicos.
•Significado menos intuitivo.
•Mais difícil de calcular.
•Resulta zero se há um valor nulo nos dados.
•Válida só para amostras com valores positivos.
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Mediana (Me)
Dado um conjunto de valores x1, x2, …, xn ordenados da variável o característica X, a 
mediana é definida como o valor que não é superado nem supera a mais da metade das 
observações do conjunto. É o valor que se encontra no centro do conjunto de dados 
ordenados.
Número impar de dados
Número par de dados
Os dados são ordenados e o dado central é a mediana
Os dados são ordenados e a média aritmética dos valores centrais dos dados é a mediana
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Estatísticas de dispersão (absolutos) 
Amplitude (R) 
Estes parâmetros expressam em que medida os dados se agrupam ao redor de um valor 
central.
É a diferença entre o maior e o menor valor que uma variável toma.
Variância ( s2 ) 
É a soma dos cuadrados de todos os desvios dos valores do conjunto de dados em relação à 
média aritmética
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Desvio padrão (s) 
É a raíz quadrada positiva da variância
Variância e desvio padrão da polupação ( 𝝈𝟐 e 𝝈 ) 
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Estatísticas de disperão (relativos) 
Coeficiente de variação de Pearson (CV) 
É o quociente do desvio padrão e o valor positivo (módulo) da média do conjunto.
Seria interpretada como o número de vezes que a média está contida no desvio padrão. É 
dada em percentagem.
É o quociente do desvio padrão e a la raíz quadrada do número de dados
Erro padrão da média
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Precisão e exatidão
Descreve a reprodutibilidade das
medidas, sua proximidade.
Representa a proximidade entre o
valor determinado (xi) e o real ou
aceito (xv).
• Desvio padrão
• Variância
• Coeficiente de variação
• Erro absoluto (E)
• Erro relativo (Er)
https://www.google.com/search?q=exatidao+vs+pr
ecisao&tbm=isch&source=iu&ictx=1&fir=7BPVTpbZ
sEEexM%253A%252CEV69yoi1Bh0jPM%252C_&us
g=AI4_-
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ahUKEwjriP7VlL_gAhWzEbkGHdkgCS0Q9QEwAHoE
CAkQBg#imgrc=7BPVTpbZsEEexM:
𝐸 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑣
𝐸 =
𝑥𝑖 − 𝑥𝑣
𝑥𝑣
100%
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Precisão e exatidão, erro absoluto e relativo, algarismos significativos
As medidas sempre envolvem erros e incertezas.
É a diferença entre uma
medida ou resultado e
seu valor verdadeiro.
Expressa a faixa de valores
possíveis que uma medida ou
resultado possa apresentar.
Está associado à medição ou
resultado. Caracteriza a
dispersão dos valores que
podem ser atribuídos ao
mensurando. É uma medida
quantitativa da qualidade de
uma medição o resultado.
Erro aleatório:
É a diferença entre um
resultado e a média que
resultaria de um número
infinito de medições de
um mesmo mensurando
sob condições de repeti-
bilidade.
Erro sistemático:
É a diferença entre a média
que resultaria de um
número infinito de
medições de um mesmo
mensurando sob condições
de repetibilidade e o valor
verdadeiro do mensurando.
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Algarismos significativos
São aqueles algarismos que têm um valor ao expressar uma grandeza.
É o número de dígitos para expressar o resultado de uma análise, consistente
com a precisão da medida, de maneira que apenas o último seja duvidoso.
Incerteza: É um parâmetro que indica a qualidade de uma medida de forma
quantitativa. Suas fontes são os erros aleatórios e sistemáticos.
Incerteza de uma medida única:
• Critério 1: A incerteza é a metade da divisão menor do instrumento.
• Critério 2: A incerteza é a metade do valor da unidade do último dígito.
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Exemplo 1: Proveta que mede volume em mL e a menor unidade é 1 mL.
- Segundo o primeiro critério seria:
I = 1 mL / 2 = 0,5 mL
- Segundo o outro critério seria:
O valor medido seria, por exemplo, 12,0 mL. Sendo 2 o último dígito do valor que
está no lugar das unidades que varíam de 1 mL em 1 mL. Nesse caso:
I = 0,5 mL
Em qualquer caso:
- Intervalo de confiança = 2 x I = 2 x 0,5 mL = 1 mL
• O valor do volume medido com este instrumento seria: 14,0 ± 0,5 mL
• O volume de aquele líquido está no intervalo de 13,5 a 14,5 mL
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Incerteza de múltiplas medidas: O mais comum é usar o desvio padrão:
Mas deverá ser feita a
propagação de erros:
𝑠 =
1
𝑛 − 1
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 − ҧ𝑥 2
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Apresentação de resultados calculados:
Um resultado numérico não tem valor para o usuário desse dado, a 
menos que ele saiba alguma coisa sobre sua qualidade.
• Intervalo de confiança
• Desvio padrão
• Coeficiente de variação
• Algarismos significativos
Todos os dígitos certos mais o
primeiro número duvidoso.
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Regras para considerar a significação dos algarismos:
• Desconsidere todos os zeros iniciais
• Desconsidere todos os zeros finais, a menos que eles sejam seguidos pela vírgula.
• Todos os algarismos remanescentes, incluindo algarismos entre dígitos diferentes 
de zero, são significativos.
Exemplos:
50,65 mL Tem quatro algarismos significativos: três são certos e um incerto.
0,05065 mL Tem quatro algarismos significativos, pois os dois zeros iniciais
apenas indicam a localização das casas decimais.
2,0 L Tem dois algarismos significativos, pois o zero indica a incerteza na
leitura desse volume, sendo um dígito certo e um incerto.
2000 mL
Confuso, pois a incerteza na leitura desse volume segue sendo nas
centenas de mL. Para evitar confusão, o melhor é usar notação
científica – 2,0 x 103 mL – onde o dígito depois da vírgula expressa a
incerteza na medição desse volume.
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Algarismos significativos em cálculos numéricos:
Somas e diferenças
O resultado deve conter o mesmo número de casas decimais que o número com o
menor número de casas decimais.
O algarismo da incerteza no resultado será aquele que expressa a incerteza de maior
valor.
0,8 + 0,060 + 2,32 = 8,180
Maior valor da incerteza
Portanto, é preciso arredondar o resultado à primeira casa decimal → 8,2.
Produtos e cocientes
O resultado deve ser arredondado para que contenha o mesmo número dealgarismos
significativos que o número original com o menor número de algarismos significativos.
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Algarismos significativos em cálculos numéricos:
Logaritmo e antilogaritmo
Em um logaritmo de um número mantenha tantos dígitos na casas decimais, à direita,
quanto existem no número original.
Três dígitos no
número original
log 9,57 𝑥 104 = 4,981
Três dígitos à
direita da vírgula
Em um antilogaritmo de um número mantenha tantos dígitos quanto existem na casas
decimais no número original.
Um dígito nas casas decimais
no número original
antilog 12,5 = 3 𝑥 1012
Um dígito no
antilogatirmo
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Arredondamento de dados
1) Se o último dígito é 5 acrescenta-se 1 ao penúltimo dígito.
Ex. 9,4267 g → 9,427 g
O valor arredondado deve ser obtido em uma só etapa, por
arredondamento direto do valor disponível mais preciso, e não, em dois
ou mais arredondamentos sucessivos.
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Arredondamento de dados
3) Se o último dígito for igual a 5
- Se o anterior for par ou 0, o penúltimo dígito permanece como 
está.
Ex. 9,4265 g → 9,426 g
Ex. 9,4205 g → 9,420 g
- Se o anterior for ímpar, acrescenta-se 1 ao penúltimo dígito.
Ex. 9,4275 g → 9,428 g
Se o número a ser removido é igual à 5, e não houver outros dígitos além
deste, ou houver somente zeros, o anterior aumenta se ele for ímpar e
permanece inalterado se for par
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Arredondamento de dados
Resumindo, o número 5, se não houver dígitos depois dele, é arredondado
para o número par mais próximo. E, se houver números depois dele, é
acrescentada uma unidade ao número anterior a ele.
média → 61,555 ≈ 61,56
s → 0,069 ≈ 0,07
61,56 ± 0,07
Se houver dúvida sobre o valor do desvio padrão (s), então
pode-se arredondar assim:
61,6 ± 0,1
Se o número a ser removido é igual à 5, e houver outros dígitos diferentes
de zero além deste, o subsequente à esquerda aumenta o seu valor de
uma unidade.
31,254 ≈ 31,3
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Expressão de resultados em cálculos químicos
Ao relatar resultados de cálculos químicos seguem-se dois procedimentos para
arredondar os números de maneira que contenham só os algarismos significativos.
1) Quando s é conhecido para o valor que compõe o cálculo final, então é aplicado o
arredondamento de dados como descrito anteriormente ou as regras dos algarismos
significativos para cálculos numéricos.
2) Quando os cálculos são feitos a partir de dados cuja precisão é indicada apenas pela
convenção dos algarismos significativos é preciso usar o bom senso para fazer as
considerações corretas quanto à incerteza de cada número, as quais serão usadas para
estimar a incerteza do resultado final mediante propagação de erros.
Finalmente o resultado é arredondado como explicado anteriormente.