Teorema de Bayes

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Teorema de Bayes 
 
Três tipos diferentes de bactérias são responsáveis pelos casos de 
infecção hospitalar observados em determinado hospital. A 
distribuição dos casos segundo o tipo de bactéria é: 
 
Bactéria A Bactéria B Bactéria C 
0,20 0,30 0,50 
 
Suponha também que as probabilidades da infecção hospitalar 
resultar em morte variam com o tipo de bactéria e são dadas por: 
 
P(M| A) = 0,03 P(M|B) = 0,05 P(M|C) = 0,01 
 
Dado que um indivíduo morreu de infecção hospitalar, qual a 
probabilidade de sua morte ter sido causada pela bactéria A? 
 
P(A| M) = ? 
 
 
 
A, B e C são uma partição do espaço amostral 
 
φφφ =∩=∩=∩=∪∪ CB BA CA ECBA
 
A 
C 
B 
 
 
 
 
 
)()()()(
)()()(
MCPMBPMAPMP
MCMBMAM
∩+∩+∩=
∩∪∩∪∩=
 
 
 
)MC(P)MB(P)MA(P
)MA(P
)M(P
)MA(P)M|A(P
∩+∩+∩
∩
=
∩
=
 
 
 
 P(A) = 0,20 P(B) = 0,30 P(C) = 
0,50 
 
P(M| A) = 0,03 P(M|B) = 0,05 P(M|C) = 0,01 
 
Conhecidas 
 
A 
C 
B M 
)()|()( )(
)()|(
)()|()( )(
)()|(
)()|()( )(
)()|(
CPCMPMCP
CP
MCPCMP
BPBMPMBP
BP
MBPBMP
APAMPMAP
AP
MAPAMP
=→
∩
=
=→
∩
=
=→
∩
=
I
I
I
 
 
 
)()|()()|()()|(
)()|(
)()()(
)()|(
CPCMPBPBMPAPAMP
APAMP
MCPMBPMAP
MAPMAP
++
=
∩+∩+∩
∩
=
 
 
 
 
19,0
026,0
005,0
)01,0 x 50,0()05,0 x 30,0()03,0 x 20,0(
)01,0 x 50,0()M|C(P
58,0
026,0
015,0
)01,0 x 50,0()05,0 x 30,0()03,0 x 20,0(
)05,0 x 30,0()M|B(P
23,0
026,0
006,0
)01,0 x 50,0()05,0 x 30,0()03,0 x 20,0(
)03,0 x 20,0()M|A(P
==
++
=
==
++
=
==
++
=
 
A representação das probabilidade num diagrama de árore 
facilita a resolução do problema 
 
 
2377,0
005,0015,0006,0
006,0
)MC(P)MB(P)MA(P
)MA(P
)M(P
)MA(P)M|A(P
====
++++++++
∩∩∩∩++++∩∩∩∩++++∩∩∩∩
∩∩∩∩
====
∩∩∩∩
====
 
 
 
 
 
P(M | A) = 0,03 
A 
B 
C 
M 
V 
 
M 
V 
 
V 
 
M 
P(A) = 0,2 
P(A ) = 0,3 
P(A ) = 0,5 
P(V | A ) = 0,97 
P(M | B ) = 0,05 
P(V | B ) = 0,95 
P(M | C ) = 0,01 
P(V | C ) = 0,99 
P(M ∩ A) = P(A) P(M | A) = 0,006 
P(V ∩ A) = P(A) P(V | A) = 0,194 
P(M ∩ B) = P(B) P(M | B) = 0,015 
P(V ∩ B) = P(B) P(V | B) = 0,285 
P(V ∩ C) = P(C) P(V | C) = 0,495 
P(M ∩ C) = P(C) P(V | C) = 0,005 
Partição do Espaço Amostral: Os eventos A1, A2, ...., Ak 
formam uma partição do espaço amostral se eles são 
mutuamente exclusivos e se sua união é igual ao espaço 
amostral. 
 
Teorema de Bayes 
Suponha que os eventos A1, A2, ..., Ak formam uma partição do 
espaço amostral E e que suas probabilidades sejam conhecidas. 
Suponha ainda que, para um evento B se conheçam as 
probabilidades P(B | Aj), para todo i = 1,..., k. Então, para 
qualquer j 
∑∑∑∑
====
==== k
1i
ii
jj
j
)A(P)A|B(P
)A(P)A|B(P)B|A(P