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1. O gerente de um restaurante informa que os pedidos do restaurante levam, em média, até 10
minutos para serem servidos, denotado por . Desconfiado de que os pedidos levam, em 0μ ≤ 1
média, mais de 10 minutos para serem servidos, você anotou o tempo de seus últimos 15
pedidos neste restaurante. A amostra forneceu um tempo médio de 14.5 minutosn 15)( =
e desvio padrão de 3 minutos (s = 3).x 14.5)( =
A informação do gerente é tida, no problema, como um "palpite" para a média populacional ( ). μ
A "minha" amostra ("...você anotou...") fornece dados para um estudo estatístico desse palpite.
Quanto maior a amostra, teoricamente, melhor o estudo. A partir da amostra, confrontaremos
nossas conclusões com o palpite do gerente. Como a amostra é apenas uma pequena parte da
população (o tempo dos últimos pedidos não significam o tempo de todos os pedidos), o
confronto leva em consideração uma penalidade: a confiança ( ).1 − α
(a) Com uma confiança de , qual é a sua conclusão a respeito da informação 5% .951 − α = 9 = 0
do gerente? Sugestão: utilize o teste de hipóteses apropriado, apresentando o
desenvolvimento completo do teste, i.e., (i) hipóteses, (ii) estatística do teste, (iii)
valor(es) crítico(s) (indicando a distribuição) e a (iv) Decisão Estatística (DE) (totalmente
técnica) e a Conclusão Experimental (CE) (explicando para a avó).
(i) Primeiro, levantamos as hipóteses em português, lembrando que é boa convenção que a
igualdade apareça em :Ho
os pedidos do restaurante levam, em média, até 10 minutos para serem servidos.H0 :
os pedidos levam mais do que 10 minutos para serem servidos.H1 :
Depois, transformamos as hipóteses em linguagem matemática:
(a hipótese nula é a de que o gerente está certo)0H0 : μ ≤ 1
(a hipótese alternativa é a de que o gerente está errado)0H1 : μ > 1
Nas hipóteses, sempre usamos grandezas populacionais (letras gregas), pois é o que estamos
testando: damos um palpite sobre o que acontece em toda uma população com base em uma
amostra, ou seja, fazemos inferência estatística.
(ii) A estatística de teste serve para transformar dados amostrais em uma distribuição
conhecida. Do formulário, devemos escolher a mais adequada. Neste caso, usamos a fórmula
para testes de hipóteses para (média populacional) com (desvio padrão populacional) μ σ
desconhecido (não foi fornecido no problema): ( )Sob H , t0 : μ = μ0 teste = √n s
x−μ0 ~ tn−1
(duas casas decimais normalmente são suficientes)ob H , t ( ) .81S 0 teste = √15 314.5 − 10 ≈ 5
(iii) Os valores críticos são os limites entre as regiões de aceitação e rejeição de nos H0
gráficos das distribuições de probabilidade utilizadas. No caso, após identificada a distribuição,
usamos a tabela correspondente para localizar os valores críticos. No caso, a distribuição t,
com dois parâmetros: (graus de liberdade) e (significância).n − 1 α
5 4n − 1 = 1 − 1 = 1
1 ) .95 .05 %α = 1 − ( − α = 1 − 0 = 0 = 5
.761t14,0.05 ≈ 1
(iv) Para a conclusão, consideramos o seguinte gráfico:
Este gráfico referese ao teste t de Student unicaudal, utilizado quando a hipótese nula
considera o parâmetro como um intervalo (neste caso, , ou seja, a média está entre 0H0 : μ ≤ 1
0 e 10). Quando a hipótese nula considerar o parâmetro como um único valor (Ex. e, 0H0 : μ = 1
consequentemente, ), consideramos o gráfico bicaudal, onde teremos 2 valores = 0H1 : μ / 1
críticos, um positivo e outro negativo, delimitando a região de aceitação, no centro, e as de
rejeição, nas extremidades. No caso bicaudal, para localizarmos o valor positivo na tabela t,
consideramos o parâmetro como (Ex. Para , o parâmetro será ). O α 2α .05α = 0 .02520.05 = 0
valor crítico negativo é o mesmo positivo com sinal trocado.
(DE) Para , rejeitamos , pois (5.81 > 1.761), encontrandose na região de .05α = 0 H0 tteste > tn−1,α
rejeição do gráfico (à direita de ).tcrítico
(CE) Com base na amostra e com uma confiança de 95%, é provável (nunca afirmamos com
certeza, pois a inferência é nada mais do que um palpite) que os pedidos do restaurante levem,
em média, mais do que 10 minutos para serem servidos.
(b) Construa um Intervalo de Confiança 90% para o tempo médio de todos os pedidos do
restaurante.
O intervalo de confiança define, dada uma certa confiança, um intervalo de valores aceitos para
o parâmetro populacional estimado, com base em uma amostra. Consiste da fórmula x ± ε
(média amostral maisoumenos a margem de erro). Devemos escolher a mais adequada.
Neste caso, para com desconhecido:μ σ C[μ, ] ( )I 1 − α = x ± tn−1,2α
s
√n
Isolando os dados do problema:
0% .9 .1 .051 − α = 9 = 0 ⇒ α = 0 ⇒ 2α = 0
5 5 4n = 1 ⇒ n − 1 = 1 − 1 = 1
(consultado na tabela t).761tn−1,2α = t14,0.05 ≈ 1
C[μ, 0%] 4.5 .761 13.13, 15.86]I 9 = 1 ± 1 3
√15
≈ [
2. Uma rede de lojas de roupas anunciou, às vésperas do dia das mães, que 80% das mães da
cidade gostariam de ganhar roupas de presente, denotado por . Intrigados com esta 0%π = 8
informação, um grupo de alunos selecionou uma amostra de 120 mães (n = 120), identificando
90 mães que gostariam de ganhar roupas de presente no seu dia (p = 90 : 120 = 0.75 = 75%).
(a) Indique a estimativa pontual para , a proporção de mães da cidade que gostariam de π
ganhar roupas de presente.
A estimativa pontual para um parâmetro populacional é o próprio valor do correspondente
amostral.
(leiase pichapéu, ou seja, pi ou proporçao populacional estimada).75 5%π︿ = p = 90120 = 0 = 7
(b) Apresente a margem de erro de 93% de confiança para a verdadeira proporção de mães da
cidade que gostariam de ganhar roupas de presente.
Fórmula do IC para : (margem de erro)π C[π, ] , onde ε I 1 − α = p ± ε = z||
| 2
α√ np(1−p) |||
3% .93 .07 .0351 − α = 9 = 0 ⇒ α = 0 ⇒ 2α = 0
(extraído da tabela de normal padrão )− .81z
2
α = z0.035 ≈ 1 (0, )N 1
O problema pede apenas a margem de erro , então:ε)(
( ).07 ε = − .81||
|
1 √ 1200.75(1−0.75) ||| ≈ 0 C[π, 3%] .75 .07 0.68, 0.82] 68%, 82%]I 9 = p ± ε = 0 ± 0 = [ = [
(c) Com uma significância de , aponte uma decisão racional para o grupo de .5% .0650α = 6 = 0
alunos a respeito da informação divulgada pela loja. Sugestão: utilize o teste de hipóteses
apropriado, apresentando o desenvolvimento completo do teste, i.e., (i) hipóteses, (ii)
estatística do teste, (iii) valor(es) crítico(s) (indicando a distribuição) e a (iv) Decisão
Estatística (DE) (totalmente técnica) e a Conclusão Experimental (CE) (explicando para a
avó).
(i) Em português:
80% das mães da cidade gostariam de ganhar roupasH0 :
Mais ou menos do que 80% gostariam de ganhar roupasH1 :
Matematicamente:
0% .8H0 : π = 8 = 0
= .8H1 : π / 0
(ii) Estatística de teste de hipóteses para : π ob H , z ( ) (0, )S 0 : π = π0 teste = √n
p−π0
√π (1−π)0 0
~ N 1
− .37 zteste = √120( 0.75−0.8√0.8(1−0.8)) ≈ 1
(iii) Neste caso, consideramos o gráfico bicaudal (hipótese nula sugere que a proporção é um
valor, não um intervalo). Então nosso parâmetro da tabela de normal padrão será .α 2α
.0650 .065 .0325α = 0 = 0 ⇒ 2α = 0
± .85z±2α = z±0.0325 ≈ 1
(iv) A região de aceitação, conforme (iii), encontrase entre os quantis 1.85 e +1.85.
(DE) Para , aceitamos , pois 1.85 < 1.37 < 1.85..065α = 0 H0
(CE) É provável que 80% das mães da cidade queiram ganhar roupas de presente.